填充第 6 題：
設f(x)表定義為正整數的函數，且f(1)=999，又對n2的任意正整數n，恆有f(1)+f(2)+f(3)++f(n)=n2f(n)，求f(999)=？
[解答]
對任意 n2，恆有

　　nk=1f(k)=n2f(n) 

　　n−1k=1f(k)=(n−1)2f(n−1) 

將上兩式相減，可得

　　f(n)=n2f(n)−(n−1)2f(n−1)

　　(n2−1)f(n)=(n−1)2f(n−1)

　　(n+1)  f(n)=(n−1)f(n−1)

　　f(n)=n+1n−1f(n−1)


所以，


　　f(n)=n+1n−1f(n−1)

　　f(n−1)=nn−2f(n−2)

　　f(n−2)=n−1n−3f(n−3)

　　　　　

　　f(2)=31f(1)

將上列各式相乘，可得

　　f(n)=21(n+1)nf(1)

故，

　　f(999)=21100999f(1)

　　　　　　=1500

第 7 題：
袋中有編號1,2,3,4,5,6,7號的球各一個，設每一球被取到的機會相等，今由袋中一次任取一球，每次取完後均放回袋中再取，令an表取完n次後所取球號總和為3的倍數的機率,求a4=？
[解答]
令 =2−1+3i 

　 f(x)=(x+x2+x3+x4+x5+x6+x7)4

則

所求機率 =74f(x) 展開式中x 的 369 次方項的係數和

　　　　 =7431f(1)+f()+f(2) 

　　　　 =2401312401++2 

　　　　 =8002401

紅色部分的面積　－　藍色部份的面積值



等於



扣掉

(x+x2+x3+x4+x5+x6+x7)4

　　=(x+x2++x7)(x+x2++x7)(x+x2++x7)(x+x2++x7)

若第一二三四個括弧分別選出 x^p, x^q,x^r,x^s 來相乘變成了 x^{p+q+r+s} 這一項，

就相當於第一二三四次取球時，

分別選出球號為 p,q,r,s 來，使得總和為 p+q+r+s 這一種可能，

所以，

看有多少 p,q,r,s 會使得 p+q+r+s=n，

就是看有多少種 x^p, x^q,x^r,x^s 來相乘變成了 x^{p+q+r+s}\,(=x^n) 這一項

也就是對應到 x^{p+q+r+s}\,(=x^n) 這一項的係數到底是多少。

也就是說～

(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7)^4 展開後的 x^n 項係數所表示的意義是「四次取球後，會使得球號和為 n 的取球方法數」

更深入閱讀的話～可以 google 關鍵字「生成函數」^__^

第七題

IMG_20190810_063948~2.jpg (183.34 KB)

2019-8-10 06:43

另解4：

分母＝7^4

分子：算 x_1+x_2+x_3+x_4=6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 29 有多少組 (x_1, x_2, x_3, x_4) 解滿足 x_1, x_2, x_3, x_4\in\left\{1,2,3,4,5,6,7\right\}

　　　（略述：利用 H 列式～超過要扣，總和太大要改算反面和～）

看來是我的另解二想錯了，

3k與3k+2的球數相同，

不一定號碼數總和除3之後餘0與2的機率就會相同。 : )



沒想到剛好隔三次取球之後，機率剛好就會相同。

如附圖中的 x 與 y  相同，則隔三次取球之後機率亦相同。

x.png (16.03 KB)

2019-8-9 15:54