第7題，設 xy 為實數，若 x+y=x2+y2 ，求  x3+y3+29x+29y  之最大值？

解答：

令 t=x+y，則 xy=2x+y2−x2+y2=2t2−t ，

一、先求一下 t 的範圍，

　　（1）：t=x2+y20

　　（2）：由算幾不等式，可得 2x2+y2x2y2t22t2−t ，且由（1）的 t0，可得 0t2

　　故，0t2

二、x3+y3+29x+29y=x+y3−3xyx+y+29x+y=−2t3+23t2+29t 

　　令 f(t)=−2t3+23t2+29t，

　　由 f(t)=0 及 f(x)=0，找出臨界點，可描繪此一元三次函數的圖形，

　　再由 0t2，可得當 t=2時，f(t) 有最大值為 11

第12題，在一圓周上有 20 個點，將他們兩兩之間接成一弦，任意三條弦之間，除端點外不相交於同一點，請問此時所有的弦共有多少個交點? (不包含圓周上20個點)

解答：任取圓周上的四點，連接之後，可以形成一個圓內的交點，

　　　所以答案是 C420=4845

第 1 題：設 k 為實數，若多項式 f(x) 具有下列性質 f(x+k)=f(x)+2k，f(1)=5，則 f(x)=？

解答：

f(x+k)=f(x)+2k(x+k)−xf(x+k)−f(x)=2

令 y=f(x) 圖形上兩任意動點為 P(xf(x))Q(x+kf(x+k))，

則 PQ 斜率恆為 2，亦即 y=f(x) 的圖形為直線，

且因為 y=f(x) 通過 (15)，

所以 f(x)=2x+3

第 13 題：在 100 與200 之間隨機選取一個實數 x ,如果 [x]=12 ，則 [100x]=120  的機率為何?
( [x] 表示不大於 x 的最大整數)。

解答：

[x]x[x]+112x13144x169 ，

[100x]100x[100x]+1120100x1212536x1000014641 

以上兩者交集為空集合

直接可以看出所求機率為 0 ......

第 13 題（修改版）：在 100 與 200 之間隨機選取一個實數 x，如果 x=12  ，則 \left[10\sqrt{x}\right]=120  的機率為何？

解答：

\displaystyle [\sqrt{x}]\leq \sqrt{x}<[\sqrt{x}]+1\Rightarrow 12\leq\sqrt{x}<13\Rightarrow 144\leq x<169，

\displaystyle [10\sqrt{x}]\leq 10\sqrt{x}<[10\sqrt{x}]+1\Rightarrow 120\leq 10\sqrt{x}<121\Rightarrow 144\leq x<\frac{14641}{100}

所求機率\displaystyle=P(\left[10\sqrt{x}\right]=120 \Bigg| \left[\sqrt{x}\right]=12)=\frac{\frac{14641}{100}-144}{169-144}=\frac{241}{2500}.

第 17 題：

(1)

設通過原點的直線與 y=x^2(3-x) 相切於第一象限的切點為 (x_0,y_0)，其中 x_0>0,y_0>0

由 \displaystyle y\,'=6x-3x^2\Rightarrow \frac{y_0-0}{x_0-0}=6x_0-3x_0^2 且 y_0=x_0^2(3-x_0)

可解得 \displaystyle x_0=\frac{3}{2}\Rightarrow f\,'(x_0)=\frac{9}{4}

因此，可得 L 的斜率範圍為 \displaystyle(0,\frac{9}{4})

另解，

設 L 的斜率為 m ，則

\left\{\begin{array}{cc}y=mx\\ y=3x^2-x^3\end{array}\right.\Rightarrow x(x^2-3x+m)=0

因為 L 與 y=3x^2-x^3 除原點外，尚有兩個位在第一象限的相異交點 P,Q

因此，x^2-3x+m=0 有兩相異正實根，由判別式＞０且兩根和＞０、兩根積＞０，

可得 \displaystyle 0<m<\frac{9}{4}




(2)

設 L 的斜率為 m，其中 \displaystyle 0<m<\frac{9}{4}

令題述之 P(x_1,y_1), Q(x_2,y_2)，

則 \left\{\begin{array}{cc}y=mx\\ y=3x^2-x^3\end{array}\right.\Rightarrow x(x^2-3x+m)=0

\Rightarrow x_1+x_2=3, x_1x_2=m\Rightarrow \left|x_1-x_2\right|=\sqrt{9-4m}

\Rightarrow \overline{PQ}=\sqrt{9-4m}\cdot\sqrt{1+m^2}

\displaystyle \Rightarrow \triangle APQ\mbox{面積}=\sqrt{9-4m}\cdot\sqrt{1+m^2}\cdot\frac{\left|3m-0\right|}{\sqrt{1+m^2}}\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\sqrt{(9-4m)m^2}

（再來你可以用微積分求極值，但是我想用算幾不等式～）

因為 \displaystyle 0<m<\frac{9}{4}，所以 9-4m 與 m 恆正，

由算幾不等式，可得 \displaystyle \frac{(9-4m)+2m+2m}{3}\geq\sqrt[3]{4(9-4m)m^2}\Rightarrow (9-4m)m^2\leq\frac{27}{4}

因此，\displaystyle\triangle APQ\mbox{面積}\leq \frac{3}{2}\cdot\sqrt{\frac{27}{4}}=\frac{9\sqrt{3}}{4}

且當等號成立時，\displaystyle 9-4m=2m\Rightarrow m=\frac{3}{2}，

此時，可得 \displaystyle\triangle APQ 的最大面積為 \displaystyle\frac{9\sqrt{3}}{4}