8.
以正12邊形的12個頂點中，任意三個頂點所形成的直角三角形共有a個，鈍角三角形有b個，等腰三角形有c個；則2a+b−c=　　　。
[解答]
直角三角形：先確定斜邊是哪一條，然後再確定直角的點～
a=C1610=60

鈍角三角形：先確定不是鈍角的其中一個點，在確定剩下的兩個點～
b=C112C25=120

等腰三角形：先確定頂角的頂點，在確定底角的兩個點～然後正三角形會重複計算到～要記得扣掉～
c=C112C15−(123)2=52

2a+b−c=188

填充第 5 題：

先求得 CD 的中點 E(10−1)

所求的平面即為『包含 AB 且通過 E 的平面』，

（因為 CD 到 ABE 所在平面的距離相等）

通過 ABE 三點的平面可以求得為 2x−7y+9z+7=0

b=−7c=9d=7b+c+d=9

當某球通過 AB 兩點且與 x 軸相切於 P 點，且球半徑為最小時，

∠APB 會有最大值。

（很抱歉，我實在是不太會畫立體圖～＝＝

　只好請您在腦海中想像一下～）


設此時 P(a00)

因為球心必在 AB 的垂直平分面 3y−3z=0  上，

設球心 Q(ab3b) 

由 QA=QP

(a−1)2+(b−2)2+(3b)2=b2+(3b)2=半徑的平方 

可得 4b=a2−2a+5

當半徑有最小值時，b有最小值，所以，a=1b=1

可得

P(100)

PA向量 =(020)

PB向量 =(0,-1,\sqrt{3})

\displaystyle \cos \theta = \frac{\mbox{PA向量} \cdot \mbox{PB向量}}{\left|\mbox{PA向量}\right| \cdot\left|\mbox{PB向量}\right|}= \frac{-1}{2}

\theta= 120^\circ.

「當某球通過 AB  兩點且與 x 軸相交於 P 點，且球半徑為最小時，

∠APB  會有最大值。」


哈，我原本是要寫

「當某球通過 AB  兩點且與 x 軸相切於 P 點，且球半徑為最小時，

∠APB  會有最大值。」



因為通過 A,B,P 三點的圓半徑越小時，∠APB 越大。

沒想到寫錯一個字。：Ｐ

因為當球與 x 軸相切時，球心的 x 坐標會與此球與 x 軸切點的 x 坐標相同。

換句話說，球心在 x 軸的投影點即為切點。：）

你所多的那個答案～應該是「包含 \overline{AB}，且平行 \overline{CD} 的平面」，

那平面也會滿足到 C 與到 D 的距離相等，

但卻不會平分四面體 ABCD 的體積。：）