標題: 99家齊女中 [打印本頁]

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作者: bugmens    時間: 2010-6-12 21:34     標題: 99家齊女中

以下資料供以後的考生參考：

初試最低錄取分數 67分
80,75,72,70,68,67

60~65分 7人
50~59分 14人
40~49分 31人
30~39分 19人
20~29分 10人
10~19分 4人
0~ 9分 6人
缺考　　0人

共計 97 人

2010.8.28更正答案
第4題為不存在
第9題的第(2)小題為\( ( \pi,1) \)

附件: 99家齊女中.rar (2010-8-28 12:54, 63.07 KB) / 該附件被下載次數 13947
https://math.pro/db/attachment.php?aid=217&k=e10a6162ab22b39a5f407fe5d5018744&t=1732255549

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作者: bugmens    時間: 2010-6-12 21:42

5.
在一邊長為\(n\)的正方形方格中，以向內螺旋的方式排列正整數，如下所示，為\(n=5\)的排列結果。若\(n=27\)，試求左上至右下的對角線上所有元素的和。
１ ２ ３ ４ ５
16 17 18 19 ６
15 24 25 20 ７
14 23 22 21 ８
13 12 11 10 ９

這題我在97花蓮高中就遇過這題，只是我到現在仍是不會，求教各位網友

109.6.16補充
在一邊長為\(n\)的正方形方格中，以最左下的位置為起始點，向內螺旋的方式排列正整數，如圖所示，
為\(n=3\)與\(n=5\)的排列結果。若\(n=15\)，試求左下至右上的對角線上所有元素的和為　　　
７６５
８９４
１２３

13 12 11 10 ９
14 23 22 21 ８
15 24 25 20 ７
16 17 18 19 ６
１ ２ ３ ４ ５
(109建功國中，https://math.pro/db/thread-3348-1-1.html)

10.
試求(1)\( \displaystyle \sum_{k=2}^{100} \Bigg[\; \frac{k^4}{k^2-1} \Bigg]\; \)之值
(2)\( \displaystyle \sum_{k=2}^{\infty} \Bigg(\; \frac{k^4}{k^2-1}- \Bigg[\; \frac{k^4}{k^2-1} \Bigg]\; \Bigg)\; \)之值。
[提示]
(1) \( \displaystyle \Bigg[\; \frac{k^4}{k^2-1} \Bigg]\;=k^2+1+ \Bigg[\; \frac{1}{k^2-1} \Bigg]\; \)

(2)\( \displaystyle \frac{k^4}{k^2-1}- \Bigg[\; \frac{k^4}{k^2-1} \Bigg]\; =\frac{1}{k^2-1} \)

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作者: 老王    時間: 2010-6-12 22:09

引用:

原帖由 bugmens 於 2010-6-12 09:42 PM 發表
5.
這題我在97花蓮高中就遇過這題，只是我到現在仍是不會，求教各位網友

試試用補數觀念(用\(n^2+1\)去減)，從裡面排出來如何??

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作者: 八神庵    時間: 2010-6-12 23:07

最後四題與雄中部份考題一模一樣
考古題萬歲論再現!!

在一邊長為\(n\)的正方形方格中，以向內螺旋的方式排列正整數，如下所示，為\(n=5\)的排列結果。若\(n=27\)，試求左上至右下的對角線上所有元素的和。
１ ２ ３ ４ ５
16 17 18 19 ６
15 24 25 20 ７
14 23 22 21 ８
13 12 11 10 ９

關於第五題
以中間\(n^2\)為中心(當然\(n\)必為奇數)
向右下角有一組規律
向左上角亦有一組規律
題目的例子是\(n=5\),亦可自行規劃出\(n=3,7,9\)就可以看的出來了

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作者: iamcfg    時間: 2010-6-12 23:59

家齊抄很大  XD  很多題目都似曾相似
5.我想他的數字差會成等差
\(n=5\)   1,9,17,21,25  差  8  8  4  4
\(n=7\)   1,13,25,33,41,45,49  差  12  12  8  8  4  4
可以去推\(n=27\)時的情況  XD
每次遇到都這樣硬作

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作者: Ellipse    時間: 2010-6-13 13:18

引用:

原帖由 bugmens 於 2010-6-12 09:42 PM 發表
5.
這題我在97花蓮高中就遇過這題，只是我到現在仍是不會，求教各位網友

[*原作者為thepiano,代po文章*]

最中心是\(27^2\)

把對角線的27個數由大到小排列

列出其與\(27^2\)之差，依序是\(0，4，8，16，24，36，\ldots，27^2 - 1\)

上述數列\(= 1^1 - 1，2^2，3^2 - 1，4^2，5^1 - 1，6^2，......，27^2 - 1\)

故所求\(= 27^2 * 27 - (1^2 + 2^2 + 3^2 + ...... + 27^2 - 14) = 12767\)

若\(n\)為奇數，則所求為\(\displaystyle \frac{4n^3 - 3n^2 + 2n + 3}{6}\)

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作者: 八神庵    時間: 2010-6-15 14:24

家齊女中有公佈更正過後的答案
第四題為不存在
第九題的第(2)小題為(pi,1)

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作者: Jacob    時間: 2010-6-18 20:55     標題: 請問第 1 ，4，7，8，9之(1) 應如何做，謝謝。

請問第 1 ，4，7，8，9之(1) 應如何做，請各位高手，幫忙提示，謝謝。

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作者: 八神庵    時間: 2010-6-18 21:25

引用:

原帖由 Jacob 於 2010-6-18 08:55 PM 發表
請問第 1 ，4，7，8，9之(1) 應如何做，請各位高手，幫忙提示，謝謝。

1.
\( \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\int_{x^2}^{x^3}\sqrt{1+t^2}dt}{x^2}= \)　　　。
[提示]
L'Hopital's Rule

4.
設\(P(x,y)\)為雙曲線\(9x^2-16y^2=144\)上一點，且點\(P\)為第一象限內，則\( \displaystyle \lim_{x \to \infty}\sqrt{x |\; 3x-y|\;}\)值為何？
[提示]
使用參數式

7.
設\(a\)為整數。若多項式\(f(x)=(x-2009)(x-2010)(x-a)-98\)有整係數之一次因式，試求\(a\)值。
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=1538#p3704

8.
設多項式\(f(x)\)領導係數為1且滿足\(xf(x-1)=(x-4)f(x)\)，試求多項式\(f(x)\)。
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=1537

9.(1)
若\(i=\sqrt{-1}\)，則\(z_1=cos32^{\circ}+i sin32^{\circ}+i\)的主幅角為\(\alpha\)，又\(\displaystyle z=cos \frac{2 \pi}{7}+i sin \frac{2 \pi}{7}\)，\(1-z\)的主幅角為\(\beta\)，求序對\((\alpha,\beta)\)。
[提示]
和差化積,二倍角與有向角

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作者: 八神庵    時間: 2010-6-19 21:16

請教9(2)
\(A=\{\; z |\; z \in C,|\;z-1|\;=1 \}\;\)，\(B=\{\; \alpha |\; \alpha \in C, \alpha=iz \}\;\)，若\(Arg(\alpha-3)\)最大值為\(x\)，且\( |\; \overline{\alpha}+1 |\;=k \)，求序對\((x,k)\)。

問題
這個\( |\; \overline{\alpha}+1 |\;=k \)是定值嗎？

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作者: weiye    時間: 2010-6-19 21:31

引用:

原帖由 八神庵 於 2010-6-19 09:16 PM 發表
請教9(2)
問題如附件

似乎 \(\sqrt{5}-1\leq k\leq\sqrt{5}+1\) ，非定值。

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作者: Jacob    時間: 2010-6-20 06:38     標題: 回復 10# 八神庵 的帖子

謝謝 八神庵老師的解答

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作者: Jacob    時間: 2010-6-20 06:44     標題: 回復 10# 八神庵 的帖子

想再請教 八神庵老師，第9-(1)題之Alpha如何做? 我做好久還是做不出來是61度
還有就是您說的第八題，在網路上內容似乎已不存在，可否請老師再解一次，謝謝

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作者: 八神庵    時間: 2010-6-20 09:00

引用:

原帖由 Jacob 於 2010-6-20 06:44 AM 發表
想再請教 八神庵老師，第9-(1)題之Alpha如何做? 我做好久還是做不出來是61度
還有就是您說的第八題，在網路上內容似乎已不存在，可否請老師再解一次，謝謝 ...

連結已修正
如果對第八題仍有問題,其實這一題的類似題今年中二中早就考過了
https://math.pro/db/thread-934-1-2.html
裡面blue大的作法可供參考
另外第九題的第一小題
把\(z_1\)中的\(i\)改成\(cos90^{\circ}+i sin90^{\circ} \)
就可以用和差化積並提出相同的\( 2cos29^{\circ} \)....就可以知道\(\alpha\)了

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作者: 八神庵    時間: 2010-6-20 09:54

引用:

原帖由 weiye 於 2010-6-19 09:31 PM 發表


似乎 \(\sqrt{5}-1\leq k\leq\sqrt{5}+1\) ，非定值。

感謝瑋岳大的指導
雖然這一題如果當時有去argue可能會送分....還是進不了複試
但是還是希望命題單位能夠更嚴謹一些

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作者: Jacob    時間: 2010-6-20 12:46     標題: 回復 15# 八神庵 的帖子

抱歉  神庵大  我還是不懂為何 瑋岳大說似乎 5−1 < k < 5+1  ( = 打不出來)，非定值。
方便的話，可否說明一下為何 "5−1 < k < 5+1  ( = 打不出來)，非定值。謝謝"

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作者: Jacob    時間: 2010-6-20 12:50     標題: 感謝 神庵大 的指導

感謝 神庵大 的指導，99 家齊 應該沒問題了。

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作者: ivan_jaw    時間: 2010-8-24 12:39     標題: 回復 13# Jacob 的帖子

看複數平面
原點O、\(z'=cos32^{\circ}+isin32^{\circ}\)與\(z_1\)所形成的三角形
利用\(z'\)的主輻角和三角形\(Oz'z_1\)為等腰三角形，即可

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作者: ivan_jaw    時間: 2010-8-24 17:18     標題: 回復 11# weiye 的帖子

我覺得是\(\sqrt{2}-1 \leq k \leq \sqrt{2}+1\)

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作者: weiye    時間: 2010-8-24 19:11     標題: 回復 20# ivan_jaw 的帖子

嗯，\(\sqrt{2}-1 \leq k \leq \sqrt{2}+1\)

當初大概是眼花吧，哈！

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作者: icesnow1129    時間: 2011-5-20 00:30

引用:

原帖由 八神庵 於 2010-6-18 09:25 PM 發表

1.L'Hopital's Rule
4.使用參數式
7.http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=1538#p3704
8.http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=1537
9.和差化積,二倍角與有向角 ...

6.
四邊形\(ABCD\)，其\(∠DAB=90^{\circ}\)，\(∠BCD=135^{\circ}\)，\(\overline{BC}=3\)且\(\overline{CD}=2\sqrt{2}\)。試求四邊形\(ABCD\)的最大可能面積。

請教第6題該如何下手?

感覺\(\overline{BC}\)會是定值...剩下\(\overline{AB}\)、\(\overline{AC}\)在變...然後就沒有想法了

先感謝各位囉!!

想到了自解一下

\(\overline{AB}\)、\(\overline{AC}\)在變，設為\(a\)及\(b\)

由餘弦可得\(\overline{BD}=\sqrt{29}\)

∴\(a^2+b^2=29\)
利用算幾或柯西可得\(\displaystyle \frac{ab}{2}\)最大值\(\displaystyle =\frac{29}{4} \)
⊿BCD為定值3
所求\( \displaystyle =\frac{29}{4}+3=\frac{41}{3}\)

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作者: tsusy    時間: 2012-6-21 20:52     標題: 回復 2# bugmens 的帖子

第 5 題，雖然前面已有人解決了，還是提供一下，不同的觀點

反向操作，將 1 填在中心點，逆時針繞出，可得另一表格

此表格與原表格，每個位置的和皆為 \( n^2 +1 \)

但當 \( n \) 增加時，新的表格數字不會更動，只會外面多繞一層而已。

如此一來，更方便看出規律，從中心開始對角線上由小排到大依序為 \( 1, 5, 9, 17, 25 ,37, 49, 65, 81, \ldots \)

可看出奇數項是 \( n^2 \) ；偶項數是 \( n^2+1 \)

所以可加出，新表格的對角線和 \( 6943 \)，因此原表格的對角線和 \( 27\cdot(27^2+1) -6943 =12767\)

另外，第一題，用積分均值定理會更為簡潔

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作者: mathca    時間: 2016-1-6 21:29     標題: 回復 1# bugmens 的帖子

請教第4題，感謝。

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作者: thepiano    時間: 2016-1-6 23:00     標題: 回復 23# mathca 的帖子

第 4 題
設\(P(x,y)\)為雙曲線\(9x^2-16y^2=144\)上一點，且點\(P\)為第一象限內，則\( \displaystyle \lim_{x \to \infty}\sqrt{x |\; 3x-y|\;}\)值為何？

\(\begin{align}
  & \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt{x\left| 3x-y \right|} \\
& =\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt{x\left| 3x-\frac{3}{4}\sqrt{{{x}^{2}}-16} \right|} \\
& =\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt{3\left| \frac{4{{x}^{2}}-\sqrt{{{x}^{4}}-16{{x}^{2}}}}{4} \right|} \\
& =\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt{3\left| \frac{15{{x}^{4}}+16{{x}^{2}}}{4\left( 4{{x}^{2}}+\sqrt{{{x}^{4}}-16{{x}^{2}}} \right)} \right|} \\
& =\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt{3\left| \frac{15{{x}^{2}}+16}{4\left( 4+\sqrt{1-\frac{16}{{{x}^{2}}}} \right)} \right|} \\
& =\infty  \\
\end{align}\)

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作者: mathca    時間: 2016-1-7 07:54     標題: 回復 24# thepiano 的帖子

感謝，昨天令參數，令到後來卡住。

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作者: mathca    時間: 2016-1-17 12:57     標題: 回復 9# 八神庵 的帖子

請教第8題，如何知道f(x)不會再有其他因式？(除這四個因式外)

8.
設多項式\(f(x)\)領導係數為1且滿足\(xf(x-1)=(x-4)f(x)\)，試求多項式\(f(x)\)。

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作者: thepiano    時間: 2016-1-17 15:39     標題: 回復 26# mathca 的帖子

設\(f\left( k \right)=0,k\ne 0,1,2,3\)

\(\begin{align}
  & \left( k+1 \right)f\left( k \right)=\left( k-3 \right)f\left( k+1 \right) \\
& f\left( k+1 \right)=\frac{k+1}{k-3}f\left( k \right)=0 \\
\end{align}\)
矛盾

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作者: mathca    時間: 2016-1-17 18:25     標題: 回復 27# thepiano 的帖子

嘗試做另外一個(有四個，應該是依此類推)
k*f(k-1) = (k-4)*f(k)   =>  f(k-1) = (k-4)/k *f(k)   (因假設k不為零，可除過去)，
如此代換下去，每一項都是零，
但還是無法確認f(x)會變成零多項式...
(因為上述是說如果可以找到一個f(k)=0,那麼f(k-1)=f(k-2)=f(k-3)=....=0，沒有稠密，只能確定k-1,k-2,....)
會不會找錯矛盾點？

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作者: thepiano    時間: 2016-1-17 21:37     標題: 回復 28# mathca 的帖子

f(x) 的領導係數是 1，不是零多項式
還有，您看過無限多次的多項式嗎？

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作者: anyway13    時間: 2019-2-16 20:29     標題: 請教第一題

請問版上老師  第一題連續用羅必達兩次是如何得到-1的

根據寸絲老師的講義是用中間直定理,用羅必達兩次始終都是在取完極限(x approaches to 0)

後得不到-1

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作者: BambooLotus    時間: 2019-2-17 19:38

\( \displaystyle \lim\limits_{x\to 0}\frac{\int_{x^2}^{x^3}\sqrt{1+t^2}dt}{x^2}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x^6}\times3x^2-\sqrt{1+x^4}\times2x}{2x}= \lim\limits_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x^6}\times3x-\sqrt{1+x^4}\times2}{2}=-1\)

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作者: anyway13    時間: 2019-2-17 22:26     標題: 回覆 31#BambooLotus老師

謝謝BambooLotus老師，了解哪裡作錯了。

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作者: anyway13    時間: 2021-4-6 11:54     標題: 請問老師第九題(1)

版上老師好

請問beta 的主幅角到底是怎麼湊出來的啊?  有計算過程如下

1-z=1-2cos(2pi/7)-isin(2pi/7)=2(1-cos(2pi/7))(0.5-i (sin(2pi/7)/(2-scos(2pi/7))

然後就卡住了,,,  求救

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作者: thepiano    時間: 2021-4-6 13:38

引用:

原帖由 anyway13 於 2021-4-6 11:54 發表
1-z=1-2cos(2pi/7)-isin(2pi/7)

是 1 - z = 1 - cos(2pi/7) - isin(2pi/7)
您多打一個 2

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作者: Lopez    時間: 2021-4-6 15:57     標題: 回復 33# anyway13 的帖子

第9題 第(1)小題 beta的主幅角

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作者: anyway13    時間: 2021-4-6 20:20     標題: 回復 34# 35#的帖子

謝謝鋼琴師和Lopez師熱心的回答

Lopez老師的做法會好好研究  感謝兩位

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