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標題: 99文華高中 [打印本頁]

作者: bugmens 時間: 2010-5-3 10:21 標題: 99文華高中

試題及答案，於附件。

以下資料供以後的考生參考：

初試最低錄取分數 78分

100,90,90,85,80,80,80,78,78(同分)

其他
70~75分 12人
60~69分 14人
50~59分 18人
40~49分 18人
30~39分 21人
20~29分 15人
10~19分 7人
0~ 9分 1人
缺考　　 8人

共計 123 人

附件: 99文華高中.rar (2010-5-3 10:21, 66.55 KB) / 該附件被下載次數 20731
https://math.pro/db/attachment.php?aid=172&k=cd9da194b35d8ace9523fc4ec2fe360d&t=1732212261

作者: bugmens 時間: 2010-5-3 10:38

6.試求無窮級數\( \displaystyle 1-\frac{\pi^2}{2!}+\frac{\pi^4}{4!}-...+(-1)^n\frac{\pi^{2n}}{(2n)!}+... \)之和
[提示]
泰勒展開式
\( \displaystyle cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}... \)

7.一個正四面體盒子內部邊長為8，要在四面體內部放入35顆一樣大小的球，求放入球的最大半徑
[類似問題]
稜長6的正四面體，裡面要放20個大小一樣的球，求球之最大半徑
http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=12657

在一個邊長為1的正四面體中，放入大小相同的20顆球，試求球的最大半徑為？
(97中二中，http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=44807)

撞球檯上有15個大小全等的紅色球，平放在桌上，使得它們正好擠在一個等邊三角框內，該框的內周長是876公分，則每個紅球的半徑是多少公分？
(A)\( \displaystyle \frac{73}{2} \)　(B)\( \displaystyle \frac{146}{4+\sqrt{3}} \)　(C)\( \displaystyle \frac{146}{2+\sqrt{3}} \)　(D)\( \displaystyle \frac{146}{3+\sqrt{3}} \)
(94台南縣國中聯招)

11.設有一階梯共有100階，每次只能走2階或3階，若走到第n階的方法數為\( A_n \)，其中n為正整數，求\( A_{15} \)
[解答]
\( A_n=A_{n-2}+A_{n-3} \)
\( \matrix{A_1 & A_2 & A_3 & A_4 & A_5 & A_6 & A_7 & A_8 & A_9 & A_{10} & A_{11} & A_{12} & A_{13} & A_{14} & A_{15} \cr 0 & 1 & 1 & 1 & 2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 7 & 9 & 12 & 16 & 21 & 28} \)

計算題
1.求\( xyz=360 \)有幾組整數解？

類似題目
For how many three-element sets of positive integers {a,b,c} is it true that abc=2310?
(A)32　(B)36　(C)40　(D)43　(E)45
(1995AMC12)

假設a,b,c為相異正整數，則滿足abc=2310之集合S={a,b,c}有幾個？
(高中數學101 P4，95台中家商，97家齊女中)
http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=49736

101.4.29補充
正整數a,b,c滿足\( a \dot b \dot c=420 \)，考慮集合\( S=\{\;a,b,c \}\; \)，問集合S的所有可能有幾種。
(101台中一中，https://math.pro/db/thread-1334-1-1.html)

作者: oscar 時間: 2010-5-4 00:05

7.一個正四面體盒子內部邊長為8，要在四面體內部放入35顆一樣大小的球，求放入球的最大半徑

這些放入的球會堆成三角垛，假設最底層是個數\(n\)的三角形，正四面體邊長為\(d\)，則
\[
r=\frac{d}{2(n-1)+2\sqrt{6}}
\]

105.12.24版主補充
一個稜長(邊長)為1的正四面體內，放入20個全等的球，試求球的最大半徑　　　。
(91北一女競試)

在一個邊長為1的正四面體中，放入大小相同的20顆球，試求球的最大半徑為　　　。
(97中二中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2414)

利用SketchUp動態物件做成可調整球個數的三角垛，在功能表"視窗/元件選項"填入每個邊有幾個球，輸入後就會調整對應的三角垛。

圖片附件: 三角垛.png (2016-12-24 08:04, 217.12 KB) / 該附件被下載次數 10948
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3722&k=18f3a114fd44daef686a118678b475a8&t=1732212261

圖片附件: 三角垛元件選項.png (2016-12-24 08:05, 80.22 KB) / 該附件被下載次數 10801
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3723&k=1f488f1aa5668cbe20d7a769f3c7eed6&t=1732212261

圖片附件: 三角垛元件屬性.png (2016-12-24 08:10, 152.02 KB) / 該附件被下載次數 10847
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3724&k=616bc41beae78e1e10b1f17a380627d7&t=1732212261

附件: 三角垛SketchUp檔.zip (2016-12-24 10:12, 70.03 KB) / 該附件被下載次數 17489
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3725&k=e68d90a9a688401f635e3de3ecf85e57&t=1732212261

附件: n=4各層球心座標.zip (2016-12-24 10:12, 38.22 KB) / 該附件被下載次數 17728
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3726&k=19f0dc348850e1e41e8d6ac425044594&t=1732212261

附件: 91北一女競試.pdf (2016-12-24 10:55, 17.33 KB) / 該附件被下載次數 21640
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3727&k=a75bebc54732747bca0e8c759a95721a&t=1732212261

作者: chiang 時間: 2010-5-4 09:47 標題: 請教填充題第十五題

可以請教一下填充第15題如何下手?
另，有人知知道計算題題型嗎?

作者: weiye 時間: 2010-5-4 11:55

填充第 15 題： \(p\) 為不小於 \(3\) 的質數，則位於雙曲線 \(x^2-y^2=p^2\) 上的格子點有多少個？

解答：

\(\left(x+y\right)\left(x-y\right)=p^2\)

若 \(x,y\) 都為整數，則 \(x+y\) 與 \(x-y\) 亦都為整數。

\(x+y\)	\(1\)	\(p^2\)	\(-1\)	\(-p^2\)	\(p\)	\(-p\)
\(x-y\)	\(p^2\)	\(1\)	\(-p^2\)	\(-1\)	\(p\)	\(-p\)

因為上表中的數字都是奇數，所以

\(\displaystyle x=\frac{\left(x+y\right)+\left(x-y\right)}{2}, y=\frac{\left(x+y\right)-\left(x-y\right)}{2}\) 皆為整數，

故，共有六組解。

作者: mandy 時間: 2010-5-5 19:57

請問文華高中第1,10,12,14 題如何做 ? 感恩 !

作者: weiye 時間: 2010-5-5 21:26

第 1 題：

\(\triangle ABC\) 中﹐已知 \(\overline{AB}= 4﹐\overline{BC}= 5﹐\overline{CA}= 6\)，\(\triangle ABC\) 內部一點 \(P\) 到 \(\overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CA}\) 的距離分別為 \(h_1﹐h_2﹐h_3\)，則 \(h_1^2 + h_2^2 + h_3^2\) 的最小值為___________。

解答：

三角形面積＝\(\displaystyle \frac{1}{2}\times4\times h_1+\frac{1}{2}\times5\times h_2+\frac{1}{2}\times6\times h_4=\sqrt{\left(\frac{4+5+6}{2}\right)\left(\frac{4+5+6}{2}-4\right)\left(\frac{4+5+6}{2}-5\right)\left(\frac{4+5+6}{2}-6\right)}\)

\(\displaystyle \Rightarrow 4h_1+5h_2+6h_3 = \frac{15\sqrt{7}}{2}\)

由柯西不等式，

　　　　\(\left(4^2+5^2+6^2\right)\left(h_1^2+h_2^2+h_3^2\right)\geq \left(4h_1+5h_2+6h_3\right)^2\)

可得 \(h_1^2+h_2^2+h_3^2\) 的最小值為 \(\displaystyle \frac{\left(\frac{15\sqrt{7}}{2}\right)^2}{4^2+5^2+6^2}=\frac{225}{44}\).

112.6.8
若\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=5\)、\(\overline{AC}=6\)、\(\overline{BC}=7\)，且\(P\)為三邊上或其內部的任一點，則點\(P\)到三頂點距平方和\(\overline{PA}^2+\overline{PB}^2+\overline{PC}^2\)有最小值時，\(\overline{PA}^2=\)　　　。
(112新竹女中代理，https://math.pro/db/thread-3756-1-1.html)

第 10 題：

已知 \(x+2y+3z=14,x^2+y^2+z^2=196\)，\(x,y,z\in \mathbb{R}\)，求 \(z\) 之最大值為？

解答：

利用科西不等式

　　　　\(\left(1^2+2^2\right)\left(x^2+y^2\right)\geq\left(x+2y\right)^2\)

可得

　　　　\(5\left(196-z^2\right)\geq\left(14-3z\right)^2\)

　　　　\(\Rightarrow z^2-6z-56\leq0\)

　　　　\(\Rightarrow 3-\sqrt{65}\leq z\leq3+\sqrt{65}\)

故，\(z\) 的最大值為 \(3+\sqrt{65}.\)

第 14 題：

設 \(f(x)=x^2+ax+b\)，若\(f\left(f\left(x\right)\right)<f\left(x\right)\) 的解為 \(-2<x<-1\) 或 \(4<x<5\)，則序對\(\left(a, b\right)=\)？

解答：

　　\(f(f(x))-f(x)<0 \Leftrightarrow (x^2+a x+b)^2+a(x^2+a x+b)+b-(x^2+a x+b)<0\)

　　\(\Leftrightarrow x^4+2ax^3+\left(a^2+a-1+2b\right)x^2+\left(a^2-a+2ab\right)x+\left(ab+b^2\right)<0\)

同義於

　　\(\left(x+2\right)\left(x+1\right)\left(x-4\right)\left(x-5\right)<0\)

　　\(\Leftrightarrow x^4-6x^3-5x^2+42x+40<0\)

兩者因為首項係數相同，所以比較係數可得

　　\(a=-3,\, b=-5.\)

作者: dream10 時間: 2010-5-5 21:44

12.
利用AAA不相鄰-AAA不相鄰BB相鄰-AAA不相鄰CC相鄰+AAA不相鄰BB相鄰CC相鄰

14. 把她展開比較係數就得到囉

我想要問計算第三題~~怎麼求平行六面體體積

謝謝

作者: weiye 時間: 2010-5-5 21:51

引用:

原帖由 dream10 於 2010-5-5 09:44 PM 發表

我想要問計算第三題~~怎麼求平行六面體體積

謝謝 ...

剛剛去美夢成真論壇看，似乎有計算題的題目（http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=1427）

將之抄錄如下：

1.求 \(xyz=360\) 有幾組整數解？（5分）

2.橢圓 \(\displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\) 內接梯形 \(ABCD\)，已知 \(A(5,0)\)、\(B(-5,0)\) 且 \(\overline{AB}//\overline{CD}\)，

求梯形 \(ABCD\) 之最大面積為何？（10分）

3.空間中 \(\left\{\begin{array}{ccc}  0&\le& x+2y &\le& 4\\  -1&\le& x-3y+z &\le& 3\\ 1&\le& x+3y-2z&\le& 7 \\ \end{array}\right.\)所圍成的平行六面體體積是多少？（5分）

解答：

令 \(\left\{\begin{array}{ccc}u&=&x+2y\\ v&=&x-3y+z\\ w&=&x+3y-2z\end{array}\right.\)

且設　\(\displaystyle A=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1 & 2 & 0  \\
1 & { - 3} & 1  \\
1 & 3 & -2  \\
\end{array}} \right]\)，則 \(\left[\begin{array}{c}u\\v\\w\end{array}\right]=A \left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]\)

則 \(u,v,w\) 所圍的平行六面體體積＝\(\left|det(A)\right|\times\) \(x,y,z\) 所圍的平行六面體體積

　\(\Leftrightarrow 4\times 4\times 6 = 9\times\mbox{所求體積}\)

　\(\displaystyle \Leftrightarrow \mbox{所求體積} = \frac{32}{3}.\)

註：感謝 dream10 於後方回覆幫我抓出眼花的數字錯誤！已修正！感謝！　^___^

112.6.8
設空間中\( P(x,y,z) \)滿足不等式\( \displaystyle \Bigg\{\; \matrix{0 \le x+y \le 2 \cr 0 \le y+z \le 2 \cr 0 \le x+z \le 2} \)，此P點之點集合形成一平行六面體，求此平行六面體體積為？
(102新化高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1710&page=1#pid9038)

空間中6個平面\(E_1\)：\(2x+y+z=0\)、\(E_2\)：\(2x+y+z=4\)、\(E_3\)：\(x+2y+z=0\)、\(E_4\)：\(x+2y+z=4\)、\(E_5\)：\(x+y+2z=0\)、\(E_6\)：\(x+y+2z=4\)所圍成的平行六面體體積為　　　。
(112新竹女中代理，https://math.pro/db/thread-3756-1-1.html)

作者: dream10 時間: 2010-5-5 22:44

哇~~太厲害囉~~
原來這麼簡單唷~~~
謝謝唷~~感恩您

PS:大大您寫錯一個數字w=>1 ,3 , -2

作者: chiang 時間: 2010-5-7 11:49 標題: 回復 5# weiye 的帖子

家裡網路掛點
結果現在才上線
感謝幫我解題

作者: jisam 時間: 2010-5-24 12:42

引用:

原帖由 weiye 於 2010-5-5 09:51 PM 發表
1.求 \(xyz=360\) 有幾組整數解？（5分）
...

請問如果(1,1,360) (1,360,1) (360,1,1)視為相同
            （ 2,2,90）（2, 90,2）(90,2,2)視為相同
則會有幾組正整數解?  謝謝
答案是32種?
想到腦袋打結＠＠

作者: weiye 時間: 2010-5-24 15:29

引用:

原帖由 jisam 於 2010-5-24 12:42 PM 發表

請問如果(1,1,360) (1,360,1) (360,1,1)視為相同
            （ 2,2,90）（2, 90,2）(90,2,2)視為相同
則會有幾組正整數解?  謝謝
答案是32種?
想到腦袋打結＠＠ ...

不考慮 \(x,y,z\) 的順序性的話，我也是算 \(32\) 種。

\(xyz=360=2^3\times3^2\times5=\left(2\times3\right)^2\times2\times5\)

case i: \(x,y,z\) 三同，無。

case ii: \(x,y,z\) 兩同一異，有 \(C^3_1 \left(1+1\right)\left(1+1\right)=12\) 種.

case ii: \(x,y,z\) 三異，有 \(H^3_3 H^3_2 H^3_1-12 = 168\) 種.

所以，如果不考慮 \(x,y,z\) 的順序性，有 \(\displaystyle\frac{12}{3}+\frac{168}{3!}=4+28=32\) 種.

作者: jisam 時間: 2010-5-24 19:36

謝謝weiye老師的指教^_^

作者: nanpolend 時間: 2011-4-25 08:47 標題: 回復 1# bugmens 的帖子

請教一下填充第二題的詳解很急這禮拜要去考

作者: Joy091 時間: 2011-4-25 09:51 標題: 回復 15# nanpolend 的帖子

(-4,5) 對 x 軸的對稱點為 (-4,-5)
題目相當於要求過 (-4,-5) 且與圓相切之直線
因為圓已經穿過 x 軸，所以只要求斜率較大的那一條切線

假設切線為 \( \displaystyle y-2=m(x-2)\pm\sqrt{5m^2+5}\)
(-4,-5) 帶入後化簡可得 \( \displaystyle 31m^2-84m+44=0\)
\( \displaystyle (31m-22)(m-2)=0\)

得到m=2

所以題目所求為：斜率=-2，且過 (-4,5) 的直線

作者: nanpolend 時間: 2011-4-25 10:17 標題: 回復 16# Joy091 的帖子

感溫
還有第四題三角解不出

作者: Joy091 時間: 2011-4-25 12:21 標題: 回復 17# nanpolend 的帖子

先將原式化成 sin 的連乘
再代入公式 \( \displaystyle \sin\frac{\pi}{2n+1}\sin\frac{2\pi}{2n+1}...\sin\frac{n\pi}{2n+1}=\frac{\sqrt{2n+1}}{2^n}\) 即可!

公式可利用恆等式 \( \displaystyle 1+x+x^2+...+x^{2n}=(x-w)(x-w^2)...(x-w^{2n})\)
推導出來
其中 \( \displaystyle w=\cos\frac{2\pi}{2n+1}+i\sin\frac{2\pi}{2n+1}\) 為 1 的 2n+1 次方根

過程摘要如下：

令 x = 1，可以得到

\( \displaystyle 2n+1=(1-\cos\frac{2\pi}{2n+1}-i\sin\frac{2\pi}{2n+1})(1-\cos\frac{4\pi}{2n+1}-i\sin\frac{4\pi}{2n+1})…(1-\cos\frac{4n\pi}{2n+1}-i\sin\frac{4n\pi}{2n+1})\)

\( \displaystyle =(2\sin^2\frac{\pi}{2n+1}-2i\sin\frac{\pi}{2n+1}\cos\frac{\pi}{2n+1})(2\sin^2\frac{2\pi}{2n+1}-2i\sin\frac{2\pi}{2n+1}\cos\frac{2\pi}{2n+1})…(2\sin^2\frac{2n\pi}{2n+1}-2i\sin\frac{2n\pi}{2n+1}\cos\frac{2n\pi}{2n+1})\)

\( \displaystyle =2^{2n}\sin\frac{\pi}{2n+1}\sin\frac{2\pi}{2n+1}...\sin\frac{2n\pi}{2n+1}(\frac{1}{i})^{2n}(\cos\frac{(1+2+…+2n)\pi}{2n+1}+i\sin\frac{(1+2+…+2n)\pi}{2n+1})\)

\( \displaystyle =2^{2n}\sin\frac{\pi}{2n+1}\sin\frac{2\pi}{2n+1}...\sin\frac{2n\pi}{2n+1}\)

\( \displaystyle =2^{2n}(\sin\frac{\pi}{2n+1}\sin\frac{2\pi}{2n+1}...\sin\frac{n\pi}{2n+1})^2\)

最後再兩邊開根號就得到公式了!

作者: weiye 時間: 2011-4-25 16:20

我來一個另解好了，

填充第 4 題：\(\displaystyle\cos 10^\circ \cos 20^\circ \cos 30^\circ \cos 40^\circ \cos 50^\circ \cos 60^\circ \cos 70^\circ \cos 80^\circ=?\)

解答：

\(\displaystyle\cos 10^\circ \cos 20^\circ \cos 30^\circ \cos 40^\circ \cos 50^\circ \cos 60^\circ \cos 70^\circ \cos 80^\circ\)

\(\displaystyle= \Bigg(\cos\left(60^\circ-10^\circ\right)\cos 10^\circ \cos\left(60^\circ+10^\circ\right)\Bigg)
\Bigg(\cos\left(60^\circ-20^\circ\right)\cos 20^\circ \cos\left(60^\circ+20^\circ\right)\Bigg)
\cos 30^\circ \cos 60^\circ\)

\(\displaystyle=\left(\frac{1}{4}\cos30^\circ\right)\left(\frac{1}{4}\cos60^\circ\right)\cos 30^\circ \cos 60^\circ\)

\(\displaystyle= \frac{3}{256}.\)

註：感謝 Joy091 提醒我的數字打錯！

作者: Joy091 時間: 2011-4-26 08:25 標題: 回復 19# weiye 的帖子

竟然是用三倍角公式 : D

謝謝瑋岳老師!

ps. 最後的答案有打錯，應為 3/256

作者: nanpolend 時間: 2011-4-27 16:05 標題: 回復 19# weiye 的帖子

麻煩12.13.填充題的詳解感溫

作者: weiye 時間: 2011-4-27 17:10 標題: 回復 21# nanpolend 的帖子

第 12 題：AAABBCCDEF共十個字母排成一列，同字母不相鄰的排列方法有____種。

前面 dream10 的回覆已經有寫了「12. 利用AAA不相鄰-AAA不相鄰BB相鄰-AAA不相鄰CC相鄰+AAA不相鄰BB相鄰CC相鄰」

解答：

　　　\(\displaystyle \frac{7!}{2!2!} \times C^8_3 - \frac{6!}{2!} \times C^7_3- \frac{6!}{2!} \times C^7_3 + 5!\times C^6_3 =47760.\)

第 13 題：由數字1000，1001，1002，、、、，一直寫到5678，問這些自然數中共有幾個數字含有“0” ___________

解答：

以下的 @ 表示 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 之中的數字，Δ 表示 1,2,3,4,5,6,7,8,9 之中的數字，

則，形如　@@@０　的數字有 \((567-99)\) 個

　　形如　@@０Δ 　的數字有 \((56-9)\times 9\) 個

　　形如　@０Δ Δ 　的數字有 \(5\times 9\times 9\) 個

故共有， \((567-99)+(56-9)\times 9 + 5\times 9\times 9=1296\) 個。

作者: nanpolend 時間: 2011-4-27 18:54 標題: 回復 22# weiye 的帖子

感溫

作者: nanpolend 時間: 2011-4-27 19:07 標題: 回復 22# weiye 的帖子

麻煩瑋岳老師
填充第七題的解法不太會
而且前面的公式也不會自行推導
再次麻煩

作者: weiye 時間: 2011-4-27 20:57 標題: 回復 24# nanpolend 的帖子

設某正四面體的邊長為 \(d\)，內部放入若干個大小相等的球，使得這些球排成的三角垛剛好會與各面相切，

假設最底層是每邊個數有 \(n\) 個球，且正四面體邊長為 \(d\)

先取此正四面體的四個角落與四個角落內切球的一部分，

拼成剛好只有一顆內切球的迷你正四面體，

設此迷你正四面體的邊長為 \(a\)，則可求得內切球的半徑為 \(\displaystyle r= a\times\frac{\sqrt{6}}{12}\)

亦即 \(a = 2 \sqrt{6}\times r\)

單看一個邊～把那迷你正四面體那一顆球剖半，然後中間插入 \(n-1\) 顆球（當然某一個要剖半、左右各放半個），

變回～內部是最底層每邊有 \(n\) 個球的狀態，則

此大正四面體邊長就是 \(a + 2r\times\left(n-1\right)\)，也就是邊長是 \(2 \sqrt{6} \times r + 2r\times\left(n-1\right)\)

故 \(\displaystyle d = 2\sqrt{6}\times r+2r\left(n-1\right)) \Rightarrow r= \frac{d}{2\sqrt{6}+2(n-1)}\)

註一：抱歉，目前還不太會用電腦畫立體圖，以上只用文字敘述立體的圖形，可能還是會讓人感覺真的很霧沙沙～～～～　　＝＝

另外，雙週一題也出過類似的考題：http://www.math.nsysu.edu.tw/~problem/2009f/4ans.pdf

註二：感謝 bugmens 幫忙製作 gif 動畫如附檔。

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作者: nanpolend 時間: 2011-4-27 22:56 標題: 回復 25# weiye 的帖子

感謝
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共五層一共35個

作者: 老王 時間: 2011-4-28 19:30

關於第13題，我只會慢慢算:
1000~1999有271個
2000~2999有271個
3000~3999有271個
4000~4999有271個
5000~5099有100個
5100~5199有19個
5200~5299有19個
5300~5399有19個
5400~5499有19個
5500~5599有19個
5600~5609有10個
5610,20,30,40,50,60,70還有7個
一共271*4+100+19*5+10+7=1296

新進朋友加油!!好久沒看到銀英傳了。

作者: natureling 時間: 2011-5-4 08:32 標題: 回復 9# weiye 的帖子

想請問第3題為何是這樣算....@@...怎麼思考的...感恩

作者: natureling 時間: 2011-5-4 08:47 標題: 回復 13# weiye 的帖子

請問一下..@@..那如果依照題意..答案??
我的想法如下不知是否正確??!!
360=2^3*3^2*5^1
H^3_3*H^3_2*H^3_1.....這若題目出正整數
H^3_3*H^3_2*H^3_1*(1+C^3_2)..........為此題整數且又考慮順序..(全正+有2個為負)

作者: weiye 時間: 2011-5-4 09:30 標題: 回復 28# natureling 的帖子

因為矩陣乘法可以視同線性變換，

在矩陣（Ａ）乘法的線性變換下，變換前後的面積會差 det(A) 倍。

更多細節可見線代課本，或網路搜尋（例如：http://ccjou.twbbs.org/blog/?p=9728，或 http://goo.gl/Rpdz0）。

作者: natureling 時間: 2012-4-13 15:13

想請教第二題計算
算到面積是
\(\displaystyle \sqrt{(1+cosa)^3(1-cosa)}\) 想請教如何求得<= \(\displaystyle\frac{3\sqrt{3}}{4}\)

引用:

原帖由 weiye 於 2010-5-5 09:51 PM 發表

剛剛去美夢成真論壇看，似乎有計算題的題目（http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=1427）

將之抄錄如下：

1.求 \(xyz=360\) 有幾組整數解？（5分）

2.橢圓 \(\displaystyle \frac{x^2}{25}+\) ...

作者: weiye 時間: 2012-4-13 16:31 標題: 回復 31# natureling 的帖子

令 \(p=1+\cos a, q=1-\cos a\)，則上述提問相當於～～～

已知 \(p,q\) 為非負整數，且 \(p+q=2\)，試求證 \(\displaystyle\sqrt{p^3q}\leq\frac{3\sqrt{3}}{4}.\)

證明提示：由算幾不等式，可得 \(\displaystyle \frac{\frac{p}{3}+\frac{p}{3}+\frac{p}{3}+q}{4}\geq\sqrt[4]{\frac{p}{3}\cdot \frac{p}{3}\cdot \frac{p}{3}\cdot q}\)

作者: natureling 時間: 2012-4-17 16:50

嗯嗯...感恩...算出來了.....卡在要先左右同時4次方,,,再開平方....

引用:

原帖由 weiye 於 2012-4-13 04:31 PM 發表
令 \(p=1+\cos a, q=1-\cos a\)，則上述提問相當於～～～

已知 \(p,q\) 為非負整數，且 \(p+q=2\)，試求證 \(\displaystyle\sqrt{p^3q}\leq\frac{3\sqrt{3}}{4}.\)

證明提示：由算幾不等式，可得 ...

作者: casanova 時間: 2012-4-23 18:28

引用:

原帖由 weiye 於 2010-5-24 03:29 PM 發表

不考慮 \(x,y,z\) 的順序性的話，我也是算 \(32\) 種。

\(xyz=360=2^3\times3^2\times5=\left(2\times3\right)^2\times2\times5\)

case i: \(x,y,z\) 三同，無。

case ii: \(x,y,z\) 兩同一異，有 ...

請問\( (x,y,z) \)兩同一異為何是 \( C^3_1 \left(1+1\right) \left(1+1\right) = 12 \)呢？

另，再請問填充第9題要怎麼做呢？

作者: dennisal2000 時間: 2012-6-3 01:20

引用:

原帖由 Joy091 於 2011-4-25 12:21 PM 發表
先將原式化成 sin 的連乘
再代入公式 \( \displaystyle \sin\frac{\pi}{2n+1}\sin\frac{2\pi}{2n+1}...\sin\frac{n\pi}{2n+1}=\frac{\sqrt{2n+1}}{2^n}\) 即可!

公式可利用恆等式 \( \displaystyle 1+x+x^2+...+ ...

不好意思~我還是不知道該怎麼代入公式@@" n該代多少?

若n=4時可得到 sin20sin40sin60sin80 (度省略)

那還有剩下的sin10sin30sin50sin70 該怎麼辦??

作者: tsusy 時間: 2012-6-3 09:51 標題: 回復 35# dennisal2000 的帖子

#18 中， \( \sin \) 連乘積公式中的 \( 2n+1 \) 其實是不必要的

改成任意正整數 \( n \)，都可用一樣的方法都可以推出

\( \sin \frac{\pi}{n} \cdot \sin \frac{2\pi}{n} \cdots \sin \frac{(n-1)\pi}{n} = \frac{n}{2^{n-1}} \)

另外 \( 2n+1 \) 是出現在 \( \cos \) 連乘積的公式，不然有了 \( \cos \frac{\pi}{2} =0 \) 就直接等於 0 無聊了

作者: cefepime 時間: 2017-1-16 23:59

計算題
2. 橢圓 x²/25 + y²/16 = 1 內接梯形 ABCD，已知 A(5,0)、B(−5,0) 且 AB // CD，求梯形 ABCD 之最大面積為何？

這題如果用填充形式出題，或可如此推導:

橢圓 x²/25 + y²/16 = 1 是由圓 x²/25 + y²/25 = 1 依 y 軸方向壓縮 4/5 而成，這個比例也適用其內接圖形面積。

現考慮 x²/25 + y²/25 = 1 內接梯形 ABC'D' 之最大面積 -- 容易猜到即 BC'=C'D'=D'A 時，

則所求 = (√3/4)*25*3*(4/5) = 15√3

上述即最大面積的理由如下:

把 ABC'D' 以 AB 為軸作對稱圖形(得一六邊形)，則當 BC'=C'D'=D'A 時有最大周長 (由 y=sinx 的凹性與 Jensen 不等式) 與(定周長時)最大的圍面積方式(形成正六邊形)。

依上述構想，若本題更一般地求四邊形 (不要求梯形) ABCD 之最大面積 (A，B 是長軸兩端點)，則答案依然是 15√3。

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