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標題: 98高雄市聯招 [打印本頁]

作者: bugmens    時間: 2009-6-22 22:21     標題: 98高雄市聯招

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作者: bugmens    時間: 2009-6-22 22:37

1.將與105互質之所有正整數由小到大排成一數列,求此數列第1000項之值。

補上出處,新奧數教程 高一 第2講 有限集元素的數目
将与105互质的所有正整数以小到大排成数列,求这个数列的第1000项。
其餘題目可參考h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=52834(連結已失效)
的"奧數教程.rar"

3.平面上有一四邊形ABCD,其頂點分別為\( A(0,0) \),\( B(2,1) \),\( C(3,4) \),\( D(-1,7) \),此平面上另P,Q兩點,使得\( \overline{PA}^2+\overline{PB}^2+\overline{PC}^2+\overline{PD}^2 \)與\( \overline{QA}+\overline{QB}+\overline{QC}+\overline{QD} \)均有最小值,試求P,Q座標。
[提示]
令\( P(x,y) \),配方法求最小值
\( \overline{AC} \),\( \overline{BD} \)的交點為Q

二、證明題
1.證明:\( \frac{1}{1999}<\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot ... \cdot \frac{1997}{1998}<\frac{1}{44} \)

102.08.19補充出處
Prove that \( \displaystyle \frac{1}{1999}< \prod_{i=1}^{999}\frac{2i-1}{2i}<\frac{1}{44} \)
(Canada National Olympiad 1997,http://www.artofproblemsolving.c ... id=51&year=1997)


補充一題
\( \frac{1}{2001}<\frac{2 \times 4 \times 6 \times ... \times 2000 }{1 \times 3 \times 5 \times ... \times 2001 }<\frac{20 \sqrt{10}}{2001} \)
(高中數學能力競賽 90高屏區競試(二))

2.給定空間中四面體OABC,其中三邊\( \overline{OA} \),\( \overline{OB} \),\( \overline{OC} \)兩兩垂直,若\( a△ABC \),\( a△OAB \),\( a△OBC \),\( a△OAC \)分別代表\( △ABC \),\( △OAB \),\( △OBC \),\( △OAC \)的面積,試證:\( (a△ABC)^2=(a△OAB)^2+(a△OBC)^2+(a△OAC)^2 \)

補上一題,新奧數教程 高二 第11講 四面體
已知四面体V-ABC中,棱VA、VB、VC两两垂直,三角形VBC、VCA、VAB和ABC的面积分别为\( S_1 \)、\( S_2 \)、\( S_3 \)、\( S \)。求证:\( S^2_1+S^2_2+S^2_3=S^2 \)。

提供另外一種方法
令\( A=(a,0,0) \),\( B=(0,b,0) \),\( C=(0,0,c) \)
\( \vec{AB}=(-a,b,0) \),\( \vec{AC}=(-a,0,c) \)
\( (a△ABC)^2=\frac{1}{4}(|\ \vec{AB} |\ ^2 \cdot |\ \vec{AC} |\ ^2-(\vec{AB}\cdot \vec{AC})^2 ) \)
\( (a△ABC)^2=\frac{1}{4}((a^2+b^2)(a^2+c^2)-a^4)=\frac{1}{4}\cdot a^2 b^2+\frac{1}{4}\cdot b^2 c^2+\frac{1}{4}\cdot c^2 a^2 \)
\( (a△ABC)^2=(a△OAB)^2+(a△OBC)^2+(a△OAC)^2 \)

109.5.30補充
已知\(2^x+3^y+5^z=7\),\(2^{x-1}+3^y+5^{z+1}=11\);若\(t=2^{x+1}+3^y+5^{z+1}\),試求\(t\)的範圍?
109高雄市高中聯招,https://math.pro/db/thread-3338-1-1.html

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作者: omfun    時間: 2009-7-5 00:18

請問計算第4題要怎麼做呢?
作者: Jacobi    時間: 2009-7-12 13:40     標題: 您好,想請教一下第5題 第7題 第8題如何作

您好,想請教一下第5題 第7題 第8題如何作,謝謝 bugmens 老師

                                                                                           Jacobi
作者: weiye    時間: 2009-7-12 21:21

一、計算題,第 5 題

已知 \(x,y,z\) 均為實數,且 \(\displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
   {{2^x} + {3^y} + {5^z} = 7}  \\
   {{2^{x - 1}} + {3^y} + {5^{z + 1}} = 11}  \\
\end{array}} \right.\),

若 \(t = {2^{x + 1}} + {3^y} + {5^{z - 1}}\),試求 \(t\) 的範圍.



解答:

令 \(\displaystyle a=2^x, b=3^y, c=5^z\),則

\(\displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
   {a + b + c = 7}  \\
   {\displaystyle \frac{a}{2} + b + 5c = 11}  \\
\end{array}} \right.\) 且 \(\displaystyle a,b,c>0\),


得此兩平面部分交線段的參數式 \(\displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
   {a = 0 + 8k}  \\
   {b = 6 - 9k}  \\
   {c = 1 + k}  \\
\end{array}} \right.\),


其中 \(\displaystyle a,b,c>0\Rightarrow 0<k<\frac{2}{3}\)


故,

\(\displaystyle t=2a+b+\frac{c}{5}=\frac{31+36k}{5}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{31}{5}<t<11.\)








第 8 題

設整數數多項式 \(A\left(x\right)\) 除以 \(x^2+1\),餘式為 \(px+q\),

若 \(f\left(A\left(x\right)\right)=pi+q\) 恆成立(其中 \(i\) 為虛數單位),

求 \(\displaystyle \frac{{f\left( {{x^{10}} + x + 1} \right)}}{{f\left( {{x^5} + x + 1} \right)}}\) 的值?


解答:

依題意,

因為 \(\displaystyle x^5+x+1\) 除以 \(\displaystyle x^2+1\) 的餘式為 \(2x+1\),

所以 \(\displaystyle f(x^5+x+1)=2i+1.\)

因為 \(\displaystyle x^{10}+x+1\) 除以 \(\displaystyle x^2+1\) 的餘式為 \(x\),

所以 \(\displaystyle f(x^{10}+x+1)=i.\)

故,

\(\displaystyle \frac{{f\left( {{x^{10}} + x + 1} \right)}}{{f\left( {{x^5} + x + 1} \right)}} = \frac{{i }}{2i+1} =\frac{2+i}{5}.\)
作者: johncai    時間: 2010-7-11 19:36

3.
平面上有一四邊形\(ABCD\),其頂點分別為\(A(0,0),B(2,1),C(3,4),D(-1,7)\),此平面上另\(P,Q\)兩點,使得\(\overline{PA}^2+\overline{PB}^2+\overline{PC}^2+\overline{PD}^2\)與\(\overline{QA}+\overline{QB}+\overline{QC}+\overline{QD}\)均有最小值,試求\(P,Q\)座標。

請教第三題
為什麼\(Q\)為\(\overline{AC}\)和\(\overline{BD}\)的交點?
謝謝
作者: 八神庵    時間: 2010-7-11 22:02

引用:
原帖由 johncai 於 2010-7-11 07:36 PM 發表
請教第三題
為什麼Q為AC和BD的交點?
謝謝
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=725&start=10
這位仁兄,問題除了這樣問以外
還可以利用網頁右上角的短消息!
作者: johncai    時間: 2010-7-11 23:38

恩~感謝!
你的意思是直接發短消息給原作嗎?
作者: 八神庵    時間: 2010-7-12 00:03

引用:
原帖由 johncai 於 2010-7-11 11:38 PM 發表
恩~感謝!
你的意思是直接發短消息給原作嗎?
不一定要給原作
任何人(包括站主,板主)你都可以問
只要打上相對應的帳號即可
作者: tsusy    時間: 2011-10-15 15:21     標題: 回復 3# omfun 的帖子

4.
設有\(n\)個正立方體,邊長分別為\(1,2,\ldots,n\)公分,現在將他們由下而上堆疊起來,可隨機以任意大小順序堆疊,但是若連續堆疊兩個立方體,在上面的立方體邊長超過位在下面立方體邊長2公分,則此堆疊方式將會傾倒(例如:若由下而上是②①③④則可安全堆疊,但①④②③則否),問能安全堆疊的機率為何?

感謝 Pacers31 指正,下面是錯的...不小心誤會題意了,請往下找解答

解1:

若安全,1 的上方必為 2 或沒有。如果 2 在 1 上一層,那麼必是 3 在 2 上,或沒有東西在 2 上。

因此可類推至由上至下到 1 出現,必為連續正整數的型: \( k_{1},k_1-1,k_1-2,\ldots 1\);

接著不看這 k_1 個,我們又會有相同之結論,即 1 的下方將是連續正整數 \( k_{1}+k_{2},k_{1}+k_{2}-1,\ldots,k_{1}+1 \);

重覆推論得第一個大層 \( k_{1} \)個最小連續整,第一個大層 \( k_{2} \) 個剩於的最小連續整數…

第 j 層 \( k_{j} \) 個剩於最小的連續整數。其中 \( k_{1}+k_{2}+\ldots+k_{j}=n \), \( k_{j} \) 為正整數。(總共分 j 大層)

所以共有 \( \sum_{j=1}^{n}H_{n-j}^{j}=\sum_{j=1}^{n}C_{n-j}^{n-1}=2^{n-1} \) 種不會傾倒的情形。

所求機率為 \( \frac{2^{n-1}}{n!} \).

解2:
考慮以逐次插入的方式,依小到大的方式插入。
第一步,放一個 1。

第二步, 2 可選擇在 1 的上方或下方。

第三步,3 可放在 2 上方的位置,或最下。

而不能放在 1 上方的位置,因為往後愈來愈大,不可能在 3 和 1 中間放入可安全疊起的的方式。

第四步,同上, 4 僅能放在 3 上方的位置,或最下。

...

得安全的放法僅有 \( 2^{n-1} \)

因此所求機率為  \( \frac{2^{n-1}}{n!} \).

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-7-25 05:06 PM 編輯 ]
作者: tsusy    時間: 2011-10-15 15:32     標題: 回復 4# Jacobi 的帖子

第七題:
\(\Delta ABC\)為邊長是1的正三角形,\(P\)為三角形內部任意一點,過\(P\)作\(\overline{DE}\)平行\(\overline{BC}\),\(\overline{FG}\)平行\(\overline{AB}\),\(\overline{HI}\)平行\(\overline{AC}\);在空間坐標系上,取\(\overline{OQ}=\overline{PD}\),\(\overline{OR}=\overline{PE}\),\(\overline{OS}=\overline{FI}\),求\(\Delta QRS\)的周長最小值為何?
[解答]
令 \( \overline{PD}=x \), \( \overline{PE}=y \), \( \overline{FI}=z\),則 \( x+y+z=1 \).

\( \triangle QRS \) 周長 \(=\sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{y^{2}+z^{2}}+\sqrt{z^{2}+x^{2}} \).

令 \( a=x+yi \), \( b=y+zi \), \( c=z+xi \),則周長 \(=|a|+|b|+|c| \).

由三等不等式得 \(=|a|+|b|+|c| \geq |a+b+c|=\sqrt{2} \).

等式成立為三向量平行,得 \( x=y=z=\frac{1}{3} \) 且 P 為重心。
作者: Pacers31    時間: 2013-7-25 16:37     標題: 回復 11# tsusy 的帖子

請教tsusy

題目說:連續堆疊的兩個立方體,上面那塊邊長超過下面那塊邊長2公分,會倒

所以題目的意思,能否允許上面邊長剛好比下面邊長多2公分?

題目後面有舉例說,從下到上2,1,3,4是OK的 (也就是3可以放在1的上面)

不過您的作法似乎是不允許3放在1的上面(相鄰且上面)? (可能我解讀有誤... 還請指教)

舉個例子,例如n=3就好,從下到上任意排應該就3!=6種,這6種應該都不會倒才對 (如此就不會是\(2^{n-1}\)種了)
作者: tsusy    時間: 2013-7-25 16:57     標題: 回復 13# Pacers31 的帖子

感謝指正,您的解讀是對...是我先前解讀錯誤

解 2. 的逐次插入法,仍然可以使用,但要從最大的開始放。

理由:如果堆疊完不會倒,那麼 1 的上方至多為 3 (若無,可解釋為  0)

所以把 1 抽出,不會倒,也是說 n 個安全的情形,必可由 n-1 之安全情形經插入最小者得到。

而且 n-1 時,堆疊順序不同,再插入新的正立方體,堆疊序必不相同。

先放 n,有 1 種;
再放 n-1,乘 2;
再放 n-2,乘 3;
再放 n-3,乘 3 (最上面,n-1 的下方,及n-2 的下方)
....
最後放 1,乘 3;

故安全的方法有 \( 2\cdot 3^{n-2} \),因此所求機率為  \( \frac{2\cdot 3^{n-2}}{n!} \)
作者: Joy091    時間: 2013-8-12 12:48     標題: 回復 2# bugmens 的帖子

證明題
第一題 \(\displaystyle \frac{1}{1999}<\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot ... \cdot \frac{1997}{1998}<\frac{1}{44} \)     (0.0005...<0.0178...<0.0227...)

在網路上看到更好的上下界為:
\(\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{999}}<\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot ... \cdot \frac{1997}{1998}<\frac{1}{\sqrt{3\times999+1}} \)      (0.0158...<0.0178...<0.0182...)

一般式: \(\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{n}}<\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot ... \cdot \frac{2n-1}{2n}<\frac{1}{\sqrt{3n+1}} \)     (數學歸納法)

網址:
http://www.cut-the-knot.org/proofs/inequality.shtml
http://www.cut-the-knot.org/Generalization/inequality.shtml


P.S.
其中 \(\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot ... \cdot \frac{1997}{1998} \) 的近似值 0.0178...  是由 R 軟體所算出

參考指令為:

x=1:999
for(k in 1:999)  x[k]=(2*k-1)/(2*k)
z=1
for(k in 1:999)  z=z*x[k]
z

[ 本帖最後由 Joy091 於 2013-8-12 01:20 PM 編輯 ]
作者: shingjay176    時間: 2014-4-24 19:51

1、將與\(105\)互質之所有正整數由小到大排成一數列,求此數列第\(1000\)項之值。
解答
\(105 = 3 \times 5 \times 7\),1至105的正整數中,和3互質,和5互質,和7互質的一共有48個。
\(105 \times \left( {1 - \frac{1}{3}} \right) \times \left( {1 - \frac{1}{5}} \right) \times \left( {1 - \frac{1}{7}} \right) = 48\)
把1至105的正整數,剩下的48個分類。
\(105k + 1,105k + 2,105k + 4,105k + 8, \cdots ,105k + 104\),共48類    \(k = 0,1,2,3,4,5,6, \cdots \)
\(1000 = 48 \times 20 + 40\),代表數了20輪迴後,再40個,就是第1000項。

因此進入第21輪迴,此時 \(k\)要帶入 20 計算。

\(105 \times 20 = 2100\), 104是第48類,往回退8類,就是 \(105k+86\)
所以第1000項是2186

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-4-24 08:48 PM 編輯 ]
作者: mathca    時間: 2016-1-1 21:24     標題: 回復 11# tsusy 的帖子

請教第七題,
令 a=x+yi, b=y+zi, c=z+xi,則周長 =|a|+|b|+|c|
請問為什麼要這樣令?代表的意思是?
感謝。.
作者: tsusy    時間: 2016-1-1 21:39     標題: 回復 16# mathca 的帖子

7. 根號內平方和有距離的味道,所以想到要用三角不等式

要怎麼令沒有一定,也可以在坐標平面上取四點

\( A(0,0), B(x,y), C(x+y,y+z), D(x+y+z,y+z+x) \)   ( \( D(1,1) \) )

則 \( \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CD} \geq \overline{AD} = \sqrt{2} \)
作者: mathca    時間: 2016-1-1 21:50     標題: 回復 17# tsusy 的帖子

所以這邊令的A、B、C、D點是在圖(一)上?
這樣令,我又更看不懂了,D點跑出(1,1)...

想了一整夜,好像想通了(有點冗長,不過是思考過程),
四邊形ABCD中(不是放在圖一或圖二座標系統上)
原式左邊看成是:AB向量、BC向量、CD向量,三個向量長度相加,
但須滿足 |AB向量|=sqr(x^2+y^2)、 |BC向量|=sqr(y^2+z^2)、 |AB向量|=sqr(z^2+x^2).....故此才會說"座標"令的方法不唯一
四邊形ABCD中,|AB|+|BC|+|CD|>|DA| (要形成四邊形,從A點出發,走到B、走到C、走到D,距離必大於AD直線距離)
故可令其中一種參數路徑為(所以四點座標令法不唯一):向量AB=(x,y)、向量BC=(y,z)、向量CD=(z,x),
則:向量AD=向量AB+向量BC+向量CD=(x,y)+(y,z)+(z,x)=(x+y+z,y+z+x),
所以:|AB|+|BC|+|CD|>|AD|=|(x+y+z,y+z+x)|
即     sqr(x^2+y^2)+sqr(y^2+z^2)+sqr(z^2+x^2) > sqr[(x+y+z)^2+(y+z+x)^2 ] ,
且滿足題目條件x+y+z=1代入,得證。

[ 本帖最後由 mathca 於 2016-1-2 08:37 AM 編輯 ]
作者: tsusy    時間: 2016-1-2 10:06     標題: 回復 18# mathca 的帖子

沒開題目,沒注意到題目原本就有 A,B,C,D。
總之,我的 A,B,C,D 不是原本的 A,B,C,D,就當作 A',B',C',D' 吧
作者: satsuki931000    時間: 2021-1-21 16:54

第2題: \( \displaystyle \frac{2}{3} \)

第6題: \(\displaystyle \theta_0=\frac{6-2\sqrt{6}}{3} \pi \), \(\displaystyle M= \frac{2\sqrt{3}}{27}\pi \)

想對一下這兩題的答案 謝謝
作者: thepiano    時間: 2021-1-21 19:13     標題: 回復 20# satsuki931000 的帖子






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