標題: 98北一女一題 [打印本頁]

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作者: 老王    時間: 2009-6-15 23:09     標題: 98北一女一題

題目是聽朋友說的，基本上還沒有好方法
題目是
比較\( \displaystyle C_{20}^{100} \times 0.2^{20} \times 0.8^{80} \) 和 \( 0.2 \)的大小

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作者: bugmens    時間: 2009-6-19 20:50

這幾天我一直想用\( ln(x) \)的積分來求近似值,原來我走錯方向了
改用normal distribution來逼近binomial distribution才對

二項分配的平均數為\( \mu=np \)，標準差為\( \sigma=\sqrt{np(1-p)} \)
\( \displaystyle p(x)=\frac{1}{\sqrt{np(1-p)2 \pi}} e^{-\frac{(x-np)^2}{2np(1-p)}} \)
\( \displaystyle p(20)=\frac{1}{\sqrt{100 \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{4}{5} \cdot 2 \cdot \pi}}=\frac{1}{\sqrt{32 \pi}} \)和\(0.2\)比大小

\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{32 \pi}}<\frac{1}{5} \)
\(\displaystyle \frac{1}{32 \pi}<\frac{1}{25} \)
\(\displaystyle \frac{25}{32}<\pi \)
逆推回去可以知道\(0.2\)比較大

用右上角的Wolfram Alpha求近似值
\( \displaystyle C_{20}^{100} \times 0.2^{20} \times 0.8^{80}=0.0993002 \)
http://www10.wolframalpha.com/in ... 20%2A%280.8%29%5E80
\( \frac{1}{\sqrt{32 \pi}}=0.0997355 \)
http://www10.wolframalpha.com/input/?i=1%2Fsqrt%2832+%2Api%29

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作者: Isaac    時間: 2009-6-20 08:19     標題: 回復 2# bugmens 的帖子

掌聲鼓勵

厲害

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作者: 老王    時間: 2009-6-20 10:35     標題: 回復 2# bugmens 的帖子

真神人也!!!
感謝!!
雖然我看不懂關鍵部份
但我想那是書上會有的東西
不好意思讓您繞路
因為這是一題裡面的第二小題
如果看到完整敘述
您應該就能馬上找到正確的路

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作者: bugmens    時間: 2009-6-20 20:48

經sweeta314同意將題目轉錄到這裡
1.
有一隻老鼠要進入一個迷宮
迷宮共有abc三個入口
老鼠選擇入口的機率都相同  且老鼠不會記得他走過哪些門
若老鼠進入a門  則三小時後可走出迷宮
若老鼠走進b門  則兩小時後回到原地
若老鼠走進c門  則四小時後回到原地
求老鼠走出迷宮所需時間的期望值
[提示]
\( \displaystyle E(x)=\frac{1}{3}\times 3 +\frac{1}{3}\times (2+E(x))+\frac{1}{3} \times (4+E(x)) \)

補充一題
某一老鼠走迷宮的遊戲中，假設迷宮有A,B,C三個門，老鼠走進這三個門的機率都相等，且假設老鼠不去記憶走過。如果走進A門，則老鼠在3個小時後可以走出迷宮；如果走進B門，則老鼠經過2個小時後又走回原地；如果走進C門，則老鼠經過4個小時後又走回原地。那麼，這隻老鼠要走出迷宮所花時間的期望值為幾小時。
(97台灣師大推薦甄試)

迷宮入口處有向右、向左、向前三條路，其機率相同。若向右走，平均經過5分鐘，將回到入口處；若向左走，則平均經過8分鐘，就走出迷宮；若向前走，經過1分鐘後有左、右兩條路。向左和向右的機率相同下，向左走，平均經過6分鐘，就走出迷宮；而向右走經過2分鐘後，又回到入口處。平均而言，試問走一趟迷宮需多少時間？
(96桃園高中，93全國高中數學能力競賽南區筆試一)

108.5.11補充
小明在森林中迷了路，若繼續往前走則經過5分鐘後會回到原地，若返回走則有一半的機會於5分鐘後回到原地，另一半的機會於10分鐘後走出森林；假設小明向前走的機率為0.6，問小明能夠走出森林所花費的期望值為？
(A)25　(B)30　(C)40　(D)45　分鐘
(108全國高中聯招，https://math.pro/db/thread-3132-1-1.html)
(113桃園高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3852&page=1#pid25966)

112.6.5
動物學家以老鼠為實驗對象進行一項記憶實驗，測試其在迷宮中記憶行為。經實驗，已知老鼠從迷宮某處出發，該處僅能往左及往右兩個方向前進。若往左走則經過10分鐘後會回到原地，若往右走則有\(\displaystyle \frac{2}{3}\)的機率於5分鐘後回到原地，\(\displaystyle \frac{1}{3}\)的機率於15分鐘後走出迷宮；假設老鼠向左走的機率為0.4，問老鼠能夠走出迷宮所花費時間的期望值為　　　分鐘。
(112關西高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3749&page=1#pid25126)

2010.5.6補充
一袋中有五顆球，三顆為2號球，兩顆為3號球。今從袋中取兩個球，若取出兩顆球點數相同就繼續，取出不同即停止。試求取出點數的期望值為何？
http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=48413

102.1.1
擲兩個公正骰子，若和為7可得100元，必可續投；若又擲點數和7可得100元，再續投，否則停止。求期望值？


2.
\( \displaystyle S_n=\frac{1}{n^2+1^2}+\frac{1}{n^2+2^2}+\frac{1}{n^2+3^2}+...+\frac{1}{n^2+n^2} \)
試求一實數a使得\( \displaystyle \frac{a}{n}-\frac{1}{2n^2}<S_n<\frac{a}{n} \)對所有n為正整數皆成立

3.
題目:給一個六次多項式\( f(x)=x^6-2x+1 \)(不確定有沒有記錯一次項跟常數項)求\( f(x) \)除以\( (x-1)^2 \)的餘式
試問這個題目  你要如何教以下三種學生?
(1)高一學生　(2)高二下學生　(3)高三理組學生
ps.去年考中山的時候有類似的題目
[提示]
(1)綜合除法　(2)二項式定理　(3)微積分

4.
若\( tanX=t \). 試用t表示\( tan(nX) \) 並證明你寫的是對的
[解答]
\( (cos(\theta)+i sin(\theta))^n=cos(n \theta)+i sin(n \theta) \)...(1)
\( (cos(-\theta)+i sin(-\theta))^n=cos(-n \theta)+i sin(-n \theta) \)，
\( (cos(\theta)-i sin(\theta))^n=cos(n \theta)-i sin(n \theta) \)...(2)
從(1)(2)式得
\( \displaystyle sin(n \theta)=\frac{(cos(\theta)+i sin(\theta))^n-(cos(\theta)-i sin(\theta))^n}{2i} \)

\( \displaystyle cos(n \theta)=\frac{(cos(\theta)+i sin(\theta))^n+(cos(\theta)-i sin
(\theta))^n}{2} \)
兩式相除得
\( \displaystyle tan(n \theta)=\frac{1}{i} \frac{(cos(\theta)+i sin(\theta))^n-(cos(\theta)-i sin(\theta))^n}{(cos(\theta)+i sin(\theta))^n+(cos(\theta)-i sin(\theta))^n} \)
分子分母同除\( cos^{n}(\theta) \)
\( \displaystyle tan(n \theta)=\frac{1}{i}\cdot \frac{(1+i \cdot tan(\theta))^n-(1-i \cdot tan(\theta))^n}{(1+i \cdot tan(\theta))^n+(1-i \cdot tan(\theta))^n} \)
\( tan \theta \)換成t
\( \displaystyle tan(n \theta)=-i \cdot \frac{(1+i \cdot t)^n-(1-i \cdot t)^n}{(1+i \cdot t)^n+(1-i \cdot t)^n}=i \cdot \frac{(1-i \cdot t)^n-(1+i \cdot t)^n}{(1-i \cdot t)^n+(1+i \cdot t)^n} \)

5.
１　２　３　４　５　６　…　99　100
　３　５　７　９　11　………　199
　　８　12　16　20　………
　　　20　28　36　………
　　　　　………………
　　　　　　…………
　　　　　　　ａ
(說明 一個倒三角形,下一行的數字為上一行相鄰兩數的和)求a。
[提示]
從少數項觀察規律
ａ　　　　ｂ　　　　ｃ　　　　ｄ　　　　ｅ
　　a+b　　　b+c　　　　c+d　　　d+e
　　　a+2b+c　　b+2c+d　　c+2d+e
　　　　a+3b+3c+d　　b+3c+3d+e
　　　　　　　a+4b+6c+4d+e
\( \displaystyle C^4_0 \cdot a+C^4_1 \cdot b +C^4_2 \cdot c+C^4_3 \cdot d+C^4_4 \cdot e \)
將a,b,c,d,e換成1,2,3,4,5
\( \displaystyle C^4_0 \cdot 1+C^4_1 \cdot 2 +C^4_2 \cdot 3+C^4_3 \cdot 4+C^4_4 \cdot 5=\sum^{n}_{k=0} C^{n}_{k} \cdot (k+1) \)，這裡的\( n=4 \)

101.10.10補充
下面一系列的圖形，隱藏了一些規則，即
(圖請看連結)
令在第1個圖、第2個圖、第3個圖、...、第n個圖中最下面一層的唯一數字分別為\( a_1 \)、\( a_2 \)、\( a_3 \)、...、\( a_n \)。如上圖，其中\( a_1=3 \)，\( a_2=8 \)，\( a_3=20 \)。則當\( n=2011 \)時，最下面一層唯一的數字\( a_{2011}= \)？
(100建國中學科學班甄選　數學能力測驗，連結已失效h ttp://www.ck.tp.edu.tw/~scicla/pdf/101/100math1.pdf)

2010.5.23補上ptt當初的討論文章
展開\( (0.2+0.8)^{100}=C_0^{100}(0.2)^0*(0.8)^100+C_1^{100}(0.2)^1*(0.8)^{99}+...+C_{100}^{100}(0.2)^0*(0.8)^{100} \)
依序令其為\( A_0 , A_1 , ... , A_{100} \), 共101項。
Q1. 請問\( A_1 ~ A_{100} \)中，何者最大？
Q2. 請問你如何向學生講解這件事情？

附件: 98北一女.zip (2013-1-1 07:28, 11.13 KB) / 該附件被下載次數 12127
https://math.pro/db/attachment.php?aid=85&k=2302d406081f018fae36313e290c6259&t=1732257276

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作者: bugmens    時間: 2009-8-12 21:45

１　２　３　４　…　2006　　2007　　2008　　2009
　３　５　７　　…　　　4013　　4015　　4017
　　８　12　　　…　　　　　8028　　8032
　　　20　　　　…　　　　　　　16060
　　　　…　　　…　　　　　　　…
　　　　　　　　Ｋ
已知一個排列如三角形狀的數列如上所示：其中第一列各數依次為1, 2, 3, … , 2009。
從第二列起，每個數分別為上一列的左與右兩數的和。求此三角形最下方的數字K=?
(建中通訊解題第72期)

通訊解題第5題還出自1984AIME,這些題目用國中數學就可以解嗎?
至少ΣC(n,k)=2^n，Σk*C(n,k)=n*2^(n-1)都是高中數學吧

2009.10.21補充
http://math1.ck.tp.edu.tw/通訊解題/index.html
公佈的解法也很特別

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作者: Fermat    時間: 2009-9-3 10:25

１　２　３　４　５　６　…　99　100
　３　５　７　９　11　………　199
　　８　12　16　20　………
　　　20　28　36　………
　　　　　………………
　　　　　　…………
　　　　　　　ａ
求a。

這題我是這樣看的
每一列任一數的正下方的數（列數加2）都是上方數的4倍
以下為簡單證明
n-k　n　n+k
  2n-k  2n+k
         4n

故a上一列的兩數為50*4^49及51*4^49 (首項為分別50及51的等比數列的第50項)
=> a=50*4^49+51*4^49=101*4^49=101*2^98

這樣就不需要用到高中數學的組合公式或巴斯卡定理了

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作者: Fermat    時間: 2009-9-3 10:42

另第四題我的作法如下

連結已失效h ttp://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1509061802221

以下令t= tanθ
cos(nθ)+isin(nθ)=(cosθ+isinθ)^n
=C(n,0)*(cosθ)^n+C(n,1)*(cosθ)^(n-1)*(isinθ)+…+C(n,n)*(isinθ)^n
=[C(n,0)*(cosθ)^n-C(n,2)* (cosθ)^(n-2)*(sinθ)^2+-…]+
i[C(n,1)*(cosθ)^(n-1)*(sinθ)-C(n,3)* (cosθ)^(n-3)*(sinθ)^3+-…]
=(cosθ)^n*[C(n,0)-c(n,2)t^2+-…]+i(cosθ)^n*[C(n,1)t-c(n,3)t^3+-…]

故
cos(nθ)= (cosθ)^n*[C(n,0)-c(n,2)t^2+-…]
sin(nθ)= (cosθ)^n*[C(n,1)t-c(n,3)t^3+-…]
得tan(nθ)= sin(nθ)/ cos(nθ)
=[C(n,1)t-C(n,3)t^3+-...]/[C(n,0)-C(n,2)t^2+-...]


知識+菩提兄的作法
tan(nx)
=(-i)[(cosx+i sinx)^n-(cosx-i sinx)^n]/[(cosx+isinx)^n+(cosx-isinx)^n]
=(-i) Im[(1+i t)^n-(1-i t)^n]/ Re[(1+i t)^n+(1- i t)^n]   ( t= tanx)
= -ΣC(n, 2k-1)(-1)^k t^(2k-1) / ΣC(n, 2k)(-1)^k t^(2k)   
is a rational function of t=tanx
Note: the 1st Σ takes sum for k=1,2,..., [n+1]/2
         the 2nd Σ takes sum for k=0,1,...,[n]/2

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作者: mandy    時間: 2010-5-21 23:49     標題: 請問二題

1. 求最大的自然數n , 使得大於n的數皆可表示成6a+9b+20c的型式 .
2. S_n = 1/(n^2+1^2)+1/(n^2+2^2)+......1/(n^2+n^2) , 試求a 使得(a/n)-(1/2n^2)<S_n<(a/n) .

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作者: bugmens    時間: 2010-5-22 06:21

第一題可參考http://www.yll.url.tw/viewtopic.php?t=2704　的Waster網友的解法

由 Waster 於 星期三 四月 16, 2003 9:48 am
\( 6a+9b+20c=k \)，a,b,c都是非負整數

\( 6(a+2)+9(b+1)+20(c-1)=k+1 \)
\( 6a+9(b-2)+20(c+1)=k+2 \)
\( 6(a-1)+9(b+1)+20c=k+3 \)
\( 6(a+1)+9(b+2)+20(c-1)=k+4 \)
\( 6(a-1)+9(b-1)+20(c+1)=k+5 \)
\( 6(a+1)+9b+20c=k+6 \)
現在我們只要使a≧1,b≧2,c≧1,則可以表達這個數以後的所有整數
6(1)+9(2)+20(1)=44
故44以後的所有整數都可以表達

設\( 6u+9v+20w=43 \)，u,v,w都是非負整數
w=0或1
當\( \displaystyle w=0,6u+9v=43,2u+3v=\frac{43}{3} \)
當\( \displaystyle w=1,6u+9v=23,2u+3v=\frac{23}{3} \)
故不能點的麥克雞塊數量的最大整數是43

99桃園縣現職教師高中聯招也出了一題類似題目
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=1473)

101.12.18補充
問題85
A在非標準信封中放入旅遊的照片，寄給朋友B。秤過重量，也依郵寄物的收費表查出正確的費用，但不巧手邊只有40元和70元的郵票。而且，A雖然將這個郵票做各種不同的組合，但怎麼也不能組合出正確的金額。已知金額在140元以上，請問正確的金額為何？
＜解答＞
首先，將40元郵票和70元郵票做各種組合，看看有哪幾種情況。如此一來，會發現有趣的事。不論何時的組合都在180元以上。我們試考慮從180元到210元的組合。
\( 180=40 \times 1+70 \times 2 \)(元)
\( 190=40 \times 3+70 \times 1 \)(元)
\( 200=40 \times 5 \)(元)
\( 210=70 \times 3 \)(元)
如此一來，在這上面如果加上40元郵票一張的話就是從220元到250元，如果加上40元的郵票2張的話，就是從260元到290元。如此一來，從180元到210元的任何一個加上40元郵票的話，180元以上的費用都可以組合出來。
所以，如果調查關於170元以下的話，
\( 140=70 \times 2 \)
\( 150=40 \times 2+70 \times 1 \)
\( 160=40 \times 4 \)
這是從140元到160的組合。但是，40元和70元再怎麼組合，也不能組合130元和170元。由於我們知道費用在140元以上，所以正確的費用為170元。
宋釗宜，難解數學破題
(題目應該要改成4元和7元的郵票才合理，否則141,142,...也都無法由40和70組合出來)

102.1.14補充
設a,b為大於1的兩互質正整數，試找出最大的整數k，使得\( k=ma+nb \)不存在非負的整數解\( (m,n) \)。
(101學年度第一學期　中山大學雙週一題　第八題)
答案：\( k=ab-a-b \)

102.1.26補充
設\( a>0 \)，\( b>0 \)，\( (a,b)=1 \)，則
當\( c>ab-a-b \)時，方程\( ax+by=c \)有非負整數解。
當\( c=ab-a-b \)時，方程\( ax+by=c \)無非負整數解。
證
設\( (x_0,y_0) \)是\( ax+by=c \)的一組解，則\( ax+by=c \)的解為

第二題
請見5樓的98北一女.rar，由perturb提供的解法

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作者: mandy    時間: 2011-3-29 20:22

請問Waste 的解法要如何下筆去想是\(a+1,a+2,a+3,a=1,a-2, \ldots\)?  如果沒有規則 , 很容易找到較大的數, 而忽略小的數 ?

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作者: rudin    時間: 2011-6-22 14:37     標題: 求最大的自然數n , 使得大於n的數皆可表示成6a+9b+20c的型式

求最大的自然數\(n\) , 使得大於\(n\)的數皆可表示成\(6a+9b+20c\)的型式
有沒有其他解法

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作者: tsusy    時間: 2013-7-11 22:58

記得之前，有人用中央極限定理處理它(二項分配近似常態分配)

見 98北一女

應該比較合適高中教甄(程度)的作法

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作者: weiye    時間: 2013-7-11 23:23

相同題目，主題合併討論。

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