標題: 數列與級數題，透過夾擠求級數和. [打印本頁]

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作者: ksjeng    時間: 2009-3-9 15:15     標題: 數列與級數題，透過夾擠求級數和.

原標題：97附中填第五題可以使用微積分的方法夾擊求出嗎

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作者: weiye    時間: 2009-3-9 15:27

此題如果要用積分，做法同 https://math.pro/db/thread-156-1-1.html

註：

順便幫上面的不等式　\(2\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right) < \frac{1}{\sqrt{k}} < 2\left(\sqrt{k}-\sqrt{k-1}\right)\) 　加上說明.

因為對任意正整數 \(k\)，恆有
\[\frac{1}{\sqrt{k}}=\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k}} > \frac{2}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}=2\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right),\]
且
\[\frac{1}{\sqrt{k}}=\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k}} < \frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}=2\left(\sqrt{k}-\sqrt{k-1}\right).\]
故，
\[2\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right) < \frac{1}{\sqrt{k}} < 2\left(\sqrt{k}-\sqrt{k-1}\right).\]

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作者: ksjeng    時間: 2009-3-10 08:51

老師的數學底子真是深厚
謝謝老師 不勝感荷

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