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標題: 袋中有各色球若干,取球不放回,求某色球先取完的機率? [打印本頁]

作者: chu1976    時間: 2008-5-9 14:48     標題: 袋中有各色球若干,取球不放回,求某色球先取完的機率?

袋中有紅球4個,白球5個,黑球6個,每次由袋中取一球不放回,則紅球最先取完之機率?
作者: weiye    時間: 2008-5-9 15:20

方法一:同此題:  http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=43062

    令 A 表示「紅球比白球先取完的事件」,B 表示「紅球比黑球先取完的事件」

    利用 P(A∩B)=P(A)+P(B) ﹣P(A∪B)=P(A)+P(B) ﹣(1 ﹣P(A'∩B'))

    其中 A'∩B' 所表示的就是「最後一球為紅球」的事件。

    註:詳細說明請見 http://ww2.worldone.com.tw/new_detail.do?ncId=15&newsId=5521

方法二:

    P(紅球先取完)=P(紅球比白球先取完且黑球為最後一球)+P(紅球比黑球先取完且白球為最後一球)

          =5/(4+5) * 6/(4+5+6) + 6/(4+6) * 5/(4+5+6)







推廣成四色球的情況: \(a\) 個紅球,\(b\) 個白球,\(c\) 個黑球,\(d\) 個綠球,求紅球先取完之機率?

方法一: \(\displaystyle 1-\frac{a}{a+b}-\frac{a}{a+c}-\frac{a}{a+d}+\frac{a}{a+b+c}+\frac{a}{a+b+d}+
\frac{a}{a+c+d}-\frac{a}{a+b+c+d}\)

    註:詳見 昌爸工作坊

方法二:\(\displaystyle b\cdot c\cdot d\Bigg(\frac{1}{a+b}\cdot \frac{1}{a+b+c}\cdot\frac{1}{a+b+c+d}+\frac{1}{a+b}\cdot\frac{1}{a+b+d}\cdot\frac{1}{a+b+d+c}\)

         \(\displaystyle +\frac{1}{a+c}\cdot\frac{1}{a+c+b}\cdot\frac{1}{a+c+b+d}+\frac{1}{a+c}\cdot\frac{1}{a+c+d}\cdot\frac{1}{a+c+d+b}\)

         \(\displaystyle +\frac{1}{a+d}\cdot\frac{1}{a+d+b}\cdot\frac{1}{a+d+b+c}+\frac{1}{a+d}\cdot\frac{1}{a+d+c}\cdot\frac{1}{a+d+c+b}\Bigg)\)

     註:取完順序分別為「紅→白→黑→綠;  紅→白→綠→黑;  紅→黑→白→綠;

               紅→黑→綠→白;  紅→綠→白→黑;  紅→綠→黑→白」


註1:若要求的是情況有幾種,則再乘上所有排列的方法數,即可得之。

附件: HPM通訊第17卷第10期.pdf (2019-8-10 08:04, 1.24 MB) / 該附件被下載次數 13
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5257&k=4fbdc1adaa544fe9cb0c49feeac12148&t=1566764871
作者: chu1976    時間: 2008-5-9 15:36

照你提示的連結所用的解法真是漂亮阿!
作者: YAG    時間: 2013-5-10 10:56     標題: 取球問題觀念想請問版主

(1)白球\(b\)顆,黑球\(c\)顆,每顆球被取到的機率相等,今每次取一球,連續取球,取後不放回,黑球較白球先取完的機率為\(\displaystyle \frac{b}{b+c}\)。
(2)袋中有紅球\(a\)顆,白球\(b\)顆,黑球\(c\)顆,每顆球被取到的機率相等,今每次取一球,連續取球,取後不放回,證明:
 (a)黑球較白球先取完的機率為?
 (b)黑球先取完的機率為\(\displaystyle \frac{a}{a+b+c}\times \frac{b}{b+c}+\frac{b}{a+b+c}\times \frac{a}{c+a}\)
解:
\(P(\)黑球較白球先取完\()=P(\)先捏住一白球\(\displaystyle )=\frac{b}{c+b}\)
(因為先捏住一白球之後,剩下的球逐一取,則必可以保證黑球比白球先取完)
(2)(a)
如何證明?答案是\(\displaystyle \frac{b}{c+b}\)嘛?也就是不管紅球有多少個,都這個答案?(類似優勝率)
(2)(b)
\(P(\)先捏住一紅球\()\times P(\)黑球比白球先取完\()+P(\)先捏住一白球\()\times P(\)黑球比紅球先取完\()\)
\(\displaystyle =\frac{a}{a+b+c}\times \frac{b}{b+c}+\frac{b}{a+b+c}\times \frac{a}{c+a}\ldots \ldots(*)\)
作者: thepiano    時間: 2013-5-10 12:43

問題:
白球\(b\)個,黑球\(c\)個,……,黑球比白球先取完的機率是\(\displaystyle \frac{b}{b+c}\)
紅球\(a\)個,白球\(b\)個,黑球\(c\)個,……,為何黑球比白球先取完的機率還是\(\displaystyle \frac{b}{b+c}\)?

答:
白球\(b\)個,黑球\(c\)個,黑球比白球先取完(最後一球是白球)的情形有\(\displaystyle \frac{(b+c-1)!}{(b-1)!c!}\)種
上面的每一種情形都有\((b+c)\)個球及\((b+c+1)\)個空隙
把\(a\)個紅球插入這\((b+c+1)\)個空隙中有\(\displaystyle H_a^{b+c+1}=C_a^{a+b+c}=\frac{(a+b+c)!}{a!(b+c)!}\)種情形
故紅球\(a\)個,白球\(b\)個,黑球\(c\)個,黑球比白球先取完的情形數是\(\displaystyle \frac{(a+b+c)!}{a!(b+c)!}\times \frac{(b+c-1)!}{(b-1)!c!}\)
機率是\(\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{(a+b+c)!}{a!(b+c)!}\times \frac{(b+c-1)!}{(b-1)!c!}}{\displaystyle \frac{(a+b+c)!}{a!b!c!}}=\frac{b}{b+c}\)
作者: larson    時間: 2013-6-6 10:10     標題: 四種色球取球問題(96中一中考過)

3紅、4黃、5白、6黑,取後不放回,求白求先取完的機率?
我算出的答案為368/1365,與數學傳播28卷2期上的公式代入不合?可否請教板上高手幫忙解答?
作者: tsusy    時間: 2013-6-6 11:00     標題: 回復 1# larson 的帖子

依數學傳播 28 期卷2 之公式,為

\(\displaystyle -2+\frac{3}{3+5}+\frac{4}{4+5}+\frac{6}{6+5}+5\cdot(\frac{1}{12}+\frac{1}{14}+\frac{1}{15}-\frac{1}{1 8})=\frac{359}{1848} \)。

個人的做法分類和條件機率,依取完的順序有,以下六種情形,機率分別為

白紅黃黑:\(\displaystyle \frac{6}{18}\cdot\frac{4}{12}\cdot\frac{3}{8} \);白紅黑黃:\(\displaystyle \frac{4}{18}\cdot\frac{6} {14}\cdot\frac{3}{8} \);白黃紅黑:\(\displaystyle \frac{6}{18}\cdot\frac{3}{12}\cdot\frac{4}{9} \)

白黃黑紅:\(\displaystyle \frac{3}{18}\cdot\frac{6}{15}\cdot\frac{4}{9} \);白黑紅黃:\(\displaystyle \frac{4}{18}\cdot\frac{3} {14}\cdot\frac{6}{11} \);白黑黃紅:\(\displaystyle \frac{3}{18}\cdot\frac{4}{15}\cdot\frac{6}{11} \)

故白球先取完之機率為 \(\displaystyle \frac{6}{18}\cdot\frac{4}{12}\cdot\frac{3}{8}+\frac{4}{18}\cdot\frac{6}{14}\cdot\frac{3}{8}+\frac{6}{18}\cdot\frac{3}{12}\cdot\frac{4}{9}+\frac{3}{18}\cdot\frac{6}{15}\cdot\frac{4}{9}+\frac{4}{18}\cdot\frac{3}{14}\cdot\frac{6}{11}+\frac{3}{18}\cdot\frac{4}{15}\cdot\frac{6}{11}=\frac{359}{1848} \)
作者: larson    時間: 2013-6-6 11:14

1、謝謝寸絲大!是我計算錯了!
2、你的算法很棒用到條件機率,謝謝你的分享!




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