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標題: 數列與級數，分項對消法的考題。 [打印本頁]

作者: weiye 時間: 2008-1-9 22:28 標題: 數列與級數，分項對消法的考題。

引用:

設數列 a_n = ( n^2 + 2n + 1 )^(1/3) + ( n^2 - 1 )^(1/3) + ( n^2 -2n +1 )^(1/3)，
則 1/a_1 + 1/a_3 + 1/a_5 + ... + 1/a_2001 = ?

如果 x=(n+1)^(1/3), y=(n-1)^(1/3) ，則 a_n=x^2 + x y + y^2

所以

1/a_n = 1/(x^2 + x y + y^2) = (x-y)/(x^3-y^3) = (x-y)/2 = {(n+1)的三次方根 - (n-1)的三次方根} / 2

故，所求 = {2的三次方根 - 0 的三次方根}/2 + {4的三次方根 - 2的三次方根}/2 + {6的三次方根 - 4的三次方根}/2 +‧‧‧‧‧‧

中間大多數都會對消掉，剩下兩項，也就是

{2002的三次方根 - 0 的三次方根}/2

作者: bugmens 時間: 2011-7-3 10:27

補上出處
設數列\( a_n=\root 3 \of{n^2+2n+1}+\root 3 \of{n^2-1}+\root 3 \of{n^2-2n+1} \)，則\( \displaystyle \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_5}+...+\frac{1}{a_{2001}} \)
(90高中數學能力競賽　宜花東區試題，h ttp://www.math.nuk.edu.tw/senpengeu/HighSchool/2002_Taiwan_High_Ilan_02.pdf　連結已失效)

對每個\( n \in N \)，設\( a_n=\root 3 \of{n^2+2n+1}+\root 3 \of{n^2-1}+\root 3 \of{n^2-2n+1} \)，則\( \displaystyle \sum_{n=1}^{500} \frac{1}{a_{2n-1}} \)的值是？
(1991上海高中數學競賽)

設數列\( a_n=\root 3 \of{n^2+2n+1}+\root 3 \of{n^2-1}+\root 3 \of{n^2-2n+1} \)，則\( \displaystyle \sum_{n=1}^{1000} \frac{1}{a_n}= \)？
(94蘭陽女中)

設對所有的正整數n，\( a_n=\root 3 \of{n^2+2n+1}+\root 3 \of{n^2-1}+\root 3 \of{n^2-2n+1} \)，\( \displaystyle \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_5}+...+\frac{1}{a_{997}}+\frac{1}{a_{999}}= \)？
(A)1　(B)3　(C)5　(D)7
(95基隆市國中聯招)

\( g(n)=\root 3 \of{n^2+2n+1}+\root 3 \of{n^2-1}+\root 3 \of{n^2-2n+1} \).
\( \displaystyle \frac{1}{g(1)}+\frac{1}{g(3)}+...+\frac{1}{g(999999)} \)
https://artofproblemsolving.com/community/c6h333174

113.5.12補充
若\(n\)為正整數，且\(\displaystyle a_n=\root 3\of{(n+1)^2}+\root 3\of{n^2-1}+\root 3\of {(n-1)^2}\)，試求\(\displaystyle \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_5}+\ldots+\frac{1}{a_{4095}}=\)　　　。
(113內湖高工，https://math.pro/db/thread-3866-1-1.html)

104.4.12補充
設數列\( a_n=\root 3 \of {n^2+2n+1}+\root 3 \of {n^2-1}+\root 3 \of {n^2-2n+1} \)，\( \displaystyle S_{n+1}=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_5}+\ldots+\frac{1}{a_{2n+1}} \)，求\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{\root 3 \of n^2}\left( \frac{1}{S_{n+1}}+\frac{1}{S_{n+2}}+\frac{1}{S_{n+3}}+\ldots+\frac{1}{S_{2n}} \right) \)。
(104台中女中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2208&page=1#pid12872)

105.5.22補充
設數列，\(a_n=\root 3 \of{n^2+2n+1}+\root 3 \of{n^2-1}+\root 3 \of{n^2-2n+1}\)，則\(\displaystyle \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\ldots+\frac{1}{a_{105}}=\)？
(105中科實中，https://math.pro/db/thread-2509-1-1.html)

115.6.3補充
已知函數\(\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x^2-2x+1}+\sqrt[3]{x^2-1}+\sqrt[3]{x^2+2x+1}}\)，則\(f(1)+f(2)+f(3)+\dots+f(999)\)之值為下列何者？
(A)\(\displaystyle\frac{3+\sqrt[3]{37}}{2}\)　(B)\(\displaystyle\frac{3}{2}(3+\sqrt[3]{37})\)　(C)\(\displaystyle5+\frac{3\sqrt[3]{37}}{2}\)　(D)\(9+3\sqrt[3]{37}\)
(115香山高中國中部，https://math.pro/db/thread-4127-1-1.html)

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