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標題: 115彰化女中(更正答案) [打印本頁]

作者: weiye 時間: 2026-4-15 09:02 標題: 115彰化女中(更正答案)

115彰化女中

115.4.16版主補充
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作者: bugmens 時間: 2026-4-15 09:08

一、填充題
1.
空間中有三向量\(\vec{OA},\vec{OB},\vec{OC}\)滿足\(|\vec{OA}|=\sqrt{2}\)、\(|\vec{OB}|=2\)、\(|\vec{OC}|=3\)，且\(\vec{OA}\)與\(\vec{OB}\)夾角為\(90^{\circ}\)、\(\vec{OB}\)與\(\vec{OC}\)夾角為\(120^{\circ}\)、\(\vec{OC}\)與\(\vec{OA}\)夾角為\(135^{\circ}\)，求以三向量\(\vec{OA}+\vec{OB}\)、\(\vec{OB}+\vec{OC}\)、\(\vec{OC}+\vec{OA}\)所張出平行六面體的頂點中，與\(O\)點的距離最大值為　　　。

2.
在邊長為6的正方形\(ABCD\)內有兩點\(P\)、\(Q\)，滿足\(\overline{PA}=\overline{PB}=\overline{QA}=\overline{QB}\)，求\(\overline{PQ}\)為　　　時，\(\overline{PA}+\overline{PB}+\overline{PQ}+\overline{QA}+\overline{QB}\)有最小值。

3.
設符號\([x]\)表示不大於\(x\)的最大整數，例如：\([\pi]=3,[2]=2\)，求\(\displaystyle\sum_{k=1}^{2025}\left[\frac{k^{3}}{2026}\right]\)的末兩位數字為　　　。

4.
已知\(\Gamma\)：\(15x^{2}-2\sqrt{3}xy+13y^{2}=144\)是一個橢圓，則此橢圓的正焦弦長為　　　。

5.
有一遊戲規則如下：參賽者每獲勝一次時就新增多玩二次的機會，失敗則無法新增。若小花每次獲勝之機率為\(\displaystyle\frac{2}{3}\)，失敗的機率為\(\displaystyle\frac{1}{3}\)，則小花玩此遊戲時，恰可玩9次之機率為　　　。(化為最簡分數)

6.
如下圖有10個半徑均為1的球體，組成一三角堆垛，求能包含此堆垛的長方體中最小體積為　　　。(不計球體、長方體厚度，長方體可在空間中轉動)

7.
連續擲一個骰子，將前\(n\)次擲出的點數依次寫在小數點的後面，得到實數\(a_{n}\)。例如：擲出的點數依序為5，2，6，\(\ldots\)，則\(a_{1}=0.5\)，\(a_{2}=0.52\)，\(a_{3}=0.526\)，\(\dots\)。令\(p_{n}(\alpha)\)為\(a_{n}\le\alpha\)的機率，\(\alpha\in\mathbb{R}\)，試求\(\alpha\)的範圍，使得\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}p_{n}(\alpha)=\frac{1}{2}\)。

8.
\(f(x)\)滿足\(\displaystyle x^{2}f(x)=\frac{3}{5}x^{5}+\frac{1}{2}ax^{4}-\frac{1}{3}x^{3}+2\int_{0}^{x}tf(t)dt\)，且\(f(0)=0\)。若\(x\)軸與\(y=f(x)\)所圍成的區域面積為\(S(a)\)，求\(S(a)\)的最小值　　　。

9.
\(x^2-12y^2=1\)有一組自然數解\((7,2)\)，請找出任一組非\((7,2)\)的自然數解為　　　。

T={(x,y)|\(x,y \in N,x<1000, x^2-2y^2=1 \)}，求T之元素個數
(台大資工甄選入學指定項目考試，https://math.pro/db/thread-915-1-1.html)

10.
擲兩枚骰子點數和記為\(N\)，將\(N\)表示成\(N=8a+4b+2c+d\)，其中\(a,b,c,d\in{0,1}\)，將\(a,b,c,d\)中取值為1的個數記為\(X\)，求\(X\)的期望值為　　　。

11.
設\(a\in\mathbb{R}\)，若曲線\(y=x^{2026}+(x+1)^{2025}-2\)在\((0,-1)\)處的切線亦為\(y=\ln x+a\)的切線，求\(e^a\)的值

12.
三角形\(ABC\)中，\(\angle A,\angle B,\angle C\)的對應邊長分別為\(a,b,c\)，已知\(6\sin A=4\sin B=3\sin C\)，且其內切圓面積為\(\displaystyle\frac{25}{8}\)，求其外接圓面積為　　　。

13.
將\(A,B,C,D,E,F\)這6個大寫字母依此順序順時針排成一個環狀，再將\(a,b,c,d,e,f\)這6個小寫字母放入此環狀中，並要求大小寫字母相間，而\(Aa,Bb,Cc,Dd\)這4組字母的大小寫不得相鄰，共有　　　種可能的放入方式。

14.
已知\(\sin\alpha+3\sin\beta=3\)，求\(\cos(\alpha+\beta)\)的最大值為　　　。

15.
已知二次函數\(f(x)\)的圖形通過原點，且對於任意實數\(t\)都有\(f(4+t)=f(2-t)\)。若\(f(x-108)\)的最大值為12，則\(f(x)=\)　　　。

二、計算證明題
1.
彰化女中高二有兩個二類組班級，第一次期中考的數A科目成績表現如下：
201班有\(n_{1}\)個學生，算術平均數為\(\mu_{1}\)分，標準差為\(\sigma_{1}\)分；202班有\(n_{2}\)個學生，算術平均數為\(\mu_{2}\)分，標準差為\(\sigma_{2}\)分。
若這兩班\(n_{1}+n_{2}\)個學生這次期中考數\(A\)科目的算術平均數為\(\mu_{mix}\)分，標準差為\(\sigma_{mix}\)分：
請證明：\(\displaystyle\sigma_{mix}\ge\sqrt{\frac{n_{1}\cdot \sigma_{1}^{2}+n_{2}\cdot \sigma_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}}}\)，並說明等號成立的條件。

2.
數學老師在數學課時，請同學上台解下列題目：「已知空間坐標系中有\(A(3\sqrt{5},4,-3)\)、\(B(2,3,1)\)兩點，動點\(P\)在\(x\)軸上，動點\(Q\)在\(y\)軸上，求\(\overline{AP}+\overline{PQ}+\overline{QB}\)的最小值？」。
某位同學的解題想法如下：「將\(A\)點轉換成\(xy\)平面上的點\(A'(3\sqrt{5},5,0)\)，\(B\)點轉換成\(xy\)平面上的點\(B'(\sqrt{5},3,0)\)，再使用二維空間的算法：即為『坐標平面上有\(A"(3\sqrt{5},5)\)、\(B"(\sqrt{5},3)\)、\(x\)軸上動點\(P'\)、\(y\)軸上動點\(Q'\)，求\(\overline{A"P'}+\overline{P'Q'}+\overline{Q'B"}\)的最小值？」。
請說明該位同學解題想法在空間中的幾何意義及可以這樣作的原因，並求出原題目的最小值及\(P\)、\(Q座標。

3.
\(\triangle ABC\)中，\(O\)為外心、\(G\)為重心，\(\vec{OH}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}\)：
(1)證明：\(H\)為\(\triangle ABC\)的垂心。
(2)證明：\(\vec{GH}=2\vec{OG}\)(即尤拉線性質)。
(3)作\(\triangle A'B'C'\)使\(A\)、\(B\)、\(C\)分別為\(\overline{B'C'}\)、\(\overline{A'C'}\)、\(\overline{A'B'}\)之中點，證明：\(H\)為\(\triangle A'B'C'\)的外心，並說明\(\triangle A'B'C'\)的垂心所在位置。

4.
請判斷下列敘述：兩個任意週期函數相加亦為週期函數。如果敘述正確，請證明之。如果敘述錯誤，請舉一個反例，亦請證明之。

5.
\(f(x)\)是\(x\)的實係數的三次多項式，最高次項的係數為1。方程式\(f(x)=0\)有三個相異的根\(\alpha\)，\(\beta\)，\(\gamma\)，同時\(\alpha^{2}\)，\(\beta^{2}\)，\(\gamma^{2}\)也是\(f(x)=0\)的三個相異根。請求出所有符合上述條件的多項式\(f(x)\)。

6.
設\(a,b,c,d\in\mathbb{R}\)，滿足\(a+2b+c+2d=1\)且\(a^{2}+2b^{2}+c^{2}+2d^{2}=2\)，求\(a+b\)的最大值。

作者: Ellipse 時間: 2026-4-16 12:11

引用:

原帖由 weiye 於 2026-4-15 09:02 發表
115彰化女中

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作者: peter0210 時間: 2026-4-18 16:40

請教第6題

作者: thepiano 時間: 2026-4-18 22:28 標題: 回覆 4# peter0210 的帖子

填充第 6 題
10 個球心的連線形成一個邊長為 4 的正四面體
包含此正四面體的最小長方體是邊長 2√2 的正方體，此時正四面體的 6 條稜剛好是正方體 6 個面的對角線
當正方體的邊再往左右、前後、上下各增加 2，就可完整包含此三角堆垛
所求 = (2√2 + 2)^3 = 56 + 40√2

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