標題: 解三元三次聯立方程式 [打印本頁]

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作者: weiye    時間: 2007-10-24 21:10     標題: 解三元三次聯立方程式

一個學生問的問題，也是雙週一題96學年度第一學期第三題。

引用:

想請問一題：
x+xy+xyz=12 .................(1)
y+yz+yzx=5 ...................(2)
z+zx+zxy=6 ...................(3)
求解。

(1) 左右同乘 z ，然後左右同加 z
(2) 左右同乘 x ，然後左右同加 x
(3) 左右同乘 y ，然後左右同加 y

可得

\[z+zx+zxy+xyz^2=13z\]
\[x+xy+xyz+yzx^2=6x\]
\[y+yz+yzx+zxy^2=7y\]

亦即

\[(z+zx+zxy)+xyz^2=13z\]
\[(x+xy+xyz)+yzx^2=6x\]
\[(y+yz+yzx)+zxy^2=7y\]


亦即

\[6+xyz^2=13z\]
\[12+yzx^2=6x\]
\[5+zxy^2=7y\]


亦即

\[6=z(13-xyz) .................(4)\]
\[12=x(6-xyz) ...................(5)\]
\[5=y(7-xyz) ...................(6)\]

將 (4),(5),(6) 式相乘，可得

\[360 = xyz(13-xyz)(6-xyz)(7-xyz)\]

令 \(t= xyz\) ，則

\[360 = t(13-t)(6-t)(7-t)　⇒　t(t-13)(t-7)(t-6)+360=0\]

\[⇒　(t^2-13t)(t^2-13t+42)+360=0　⇒　(t^2-13t)^2 + 42 (t^2-13t)+360=0\]

\[⇒　(t^2-13t-12)(t^2-13t-30)=0　⇒　(t-12)(t-1)(t-3)(t-10)=0\]

所以 \(t = 12, 1, 3,\) 或 \(10\)

亦即 \(xyz = 12, 1, 3,\) 或 \(10\) ，帶入 (4),(5),(6) 分別可以解出四組 \(x,y,z\) 的值。


後來，另外一個朋友 keith_291 的提醒：

引用:

作者: keith_291

小小吐槽一下XDDD
其實只有3組解喔
(12/5, 5/6 , 1/2)這組代回去會矛盾
因為他算是增根!

感謝，因為有同乘變數的動作，可能會增根，居然忘了帶入最早的方程式檢查，呵呵

所以實際上只有三組解。

\[(x,y,z) = (-3, -\frac{5}{3}, 2), (-2,-1,6) 或是 (4, \frac{5}{4}, \frac{3}{5})\]







我的解答的 PDF 版本：

　　https://math.pro/temp/qq53.pdf


雙週一題的官方版解答：

　　http://www.math.nsysu.edu.tw/~problem/2007f/3ans.pdf

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作者: bugmens    時間: 2009-3-4 14:23

我仿照這篇來解這題　http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=116336
\( x+xy+xyz=12 \)　...(1)

\( y+yz+yzx=5 \)　...(2)

\( z+zx+zxy=6 \)　...(3)

顯然\( x,y,z ≠0 \)
(2) × \( x \)－(1)　得　\( x-yzx^2=12-5x \)，\( xyz=\frac{6x-12}{x} \)

(3) × \( y \)－(2)　得　\( y-zxy^2=5-6y \)，\( xyz=\frac{7y-5}{y} \)

(1) × \( z \)－(3)　得　\( z-xyz^2=6-12z \)，\( xyz=\frac{13z-6}{z} \)

所以\( 6-\frac{12}{x}=7-\frac{5}{y}=13-\frac{6}{z} \)

\( y=\frac{5x}{x+12} \)，\( z=\frac{6x}{7x+12} \) 代入(1)式

\( x+\frac{5x^2}{x+12}+\frac{30x^2}{(x+12)(7x+12)}=12 \)
化簡後
\( x^3+x^2-14x-24=0 \)，\( (x-4)(x+2)(x+3)=0 \)
得到三組解
\( (x , y , z)=(4 , \frac{5}{4} , \frac{3}{5})\)，\( (-2 , -1 , 6) \)，\( (-3 , \frac{-5}{3} , 2) \)

另外用maxima解題,方法是一樣的

圖片附件: maxima.gif (2009-3-4 21:31, 75.09 KB) / 該附件被下載次數 11189
https://math.pro/db/attachment.php?aid=11&k=ab8bf77323b158d16b5a4283d2dc6335&t=1769624179

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作者: anson721    時間: 2016-1-9 14:28     標題: 請教一題，謝謝各位

x+xy+xyz=9
y+yz+xyz=14
Z+zx+xyz=12  
求x,y,z實數解

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作者: thepiano    時間: 2016-1-9 16:07

參考站長大的解法
https://math.pro/db/thread-407-1-1.html

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作者: thepiano    時間: 2016-1-9 17:01     標題: 回復 1# anson721 的帖子

小弟也來個解法。這個題目的數據設計得不好，要解三次方程

\(\begin{align}
  & x+xy+xyz=9 \\
& y+yz+xyz=14 \\
& z+zx+xyz=12 \\
&  \\
& xyz=t \\
& x+xy=9-t \\
& z\left( 1+x+xy \right)=12 \\
& z\left( 10-t \right)=12 \\
& z=\frac{12}{10-t},x=\frac{9}{15-t},y=\frac{14}{13-t} \\
&  \\
& \frac{9}{15-t}+\frac{9\times 14}{\left( 15-t \right)\left( 13-t \right)}+\frac{9\times 14\times 12}{\left( 15-t \right)\left( 13-t \right)\left( 10-t \right)}=9 \\
& \frac{1}{15-t}+\frac{14}{\left( 15-t \right)\left( 13-t \right)}+\frac{168}{\left( 15-t \right)\left( 13-t \right)\left( 10-t \right)}=1 \\
& {{t}^{3}}-37{{t}^{2}}+438t-1512=0 \\
& \left( t-6 \right)\left( {{t}^{2}}-31t+252 \right)=0 \\
& t=6 \\
&  \\
& x=1,y=2,z=3 \\
\end{align}\)

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作者: anson721    時間: 2016-1-10 21:37

謝謝 thepiano 大大

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