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標題: 115建國中學 [打印本頁]
作者: weiye    時間: 2026-3-13 10:30     標題: 115建國中學

臺北市立建國高級中學115學年度第1次正式教師甄選數學科試題暨參考答案

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作者: bugmens    時間: 2026-3-13 11:35

一、填充題
1.
已知\(z\)、\(w\)皆為非零複數，且滿足\(|z-2w|=3\)，\(\displaystyle\frac{z}{w}\)的主幅角為\(\displaystyle\frac{\pi}{3}\)，則\(|z|+|w|\)的最大值為　　　。

2.
已知\(x\)、\(y\)皆為正實數，且滿足\(x^3+y^3+3xy=1\)，則\(x^2y\)的最大值為　　　。

3.
已知數列\(\{a_n\}\)滿足\(a_1=1,a_2=5\)，且\(\displaystyle \frac{a_{n+2}+a_n}{a_{n+1}+2}=2\)，則\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+\dots+\sqrt{a_n}}{n^2}\)的值為　　　。

4.
已知\(\triangle ABC\)中，\(\angle A,\angle B,\angle C\)所對應的邊分別為\(a,b,c\)。若\(\displaystyle c=5,\frac{\cos A}{\cos B}=\frac{b}{a}=\frac{4}{3}\)。點\(P\)為\(\triangle ABC\)內切圓上的動點，\(d\)為點\(P\)到頂點\(A,B,C\)距離的平方和，令\(d\)的最小值與最大值分別為\(d_{\min},d_{\max}\)，則\(d_{\min}+d_{\max}\)的值為　　　。

5.
已知\(z\)為複數，且\(\displaystyle \frac{z+1}{z-1}\)是純虛數，則\(|\;z^2-2z+3|\;\)的最小值為　　　。

設\(z\)為一複數，若\(\displaystyle \frac{z-1}{z+1}\)為純虛數，試求\(|\;z^2-z+2|\;\)的最小值。
(109嘉義高中代理，https://math.pro/db/thread-3369-1-1.html)

6.
已知\(3^{2^{2026}}-1=2^n\cdot m\)，其中\(m\)為奇數，則正整數\(n\)為　　　。

7.
在一個\(2\times 7\)的格子內填入數字\(a_{i,j}\in \{1,2,3\}\)，使其滿足\(a_{i,j}\le a_{i+1,j}\)且\(a_{i,j}\le a_{i,j+1}\)，則相異的填法數共有　　　種。

\(a_{1,1}\)\(a_{1,2}\)\(a_{1,3}\)\(a_{1,4}\)\(a_{1,5}\)\(a_{1,6}\)\(a_{1,7}\)
\(a_{2,1}\)\(a_{2,2}\)\(a_{2,3}\)\(a_{2,4}\)\(a_{2,5}\)\(a_{2,6}\)\(a_{2,7}\)


8.
已知\(a\in\mathbb{R}\)，且對所有\(k\in[-1,1]\)，當\(x\in(0,4]\)時，\(5\ln x+x^2-8x+a\le kx\)恆成立，則\(a\)的最大值為　　　。\((1.386<\ln4<1.387)\)

9.
設\([x]\)表示「小於或等於實數\(x\)的最大整數」，則滿足\(x\cdot[x\cdot[x\cdot[x]]]=114\)的所有實數\(x\)為　　　。

10.
設\(x\ge1\)，若函數\(f(x)=x^2-2x-2-16\sqrt{x-1}+x\sqrt{x^2-4x-32\sqrt{x-1}+76}\)於\(x=x_0\)時有最小值\(m\)，則實數對\((x_0,m)\)為　　　。

11.
箱子中有13顆球，編號分別為\(1,2,3,\dots,13\)。現從中隨機取出三顆相異的球，並觀察其編號，假設箱子中的每顆球被取到的機會均等。已知這三顆球編號的乘積為\(a\)，這三顆球編號的總和為\(b\)，則\(a\)或\(b\)為完全平方數的機率為　　　。

12.
給定一個正三稜柱\(ABC-A_1B_1C_1\)，其中\(\triangle ABC\)和\(\triangle A_1B_1C_1\)皆為正三角形，側面皆為正方形，且所有稜長皆為1，則兩直線\(\overline{AB_1}\)與\(\overline{C_1B}\)的距離為　　　。

二、計算題
1.
設\(x\)為實數，若函數\(f(x)=|x-1|+a\cdot|x-b|+3\cdot|x-115|\)，其中\(a,b\)皆為整數且\(1<b<115\)。已知\(f(x)\)的最小值為12，請回答下列各小題：
(1)試證：\(a<0\)。
(2)試求所有滿足題目條件的數對\((a,b)\)。

2.
已知\(p>3\)，且\(p\)為質數。若\(\displaystyle\sum_{n=3}^{p-1}\frac{n^3}{(n-1)(n-2)}=\frac{b}{a}\)，其中\(a\)、\(b\)互質，試證：\(p\)為\(b\)的因數。
作者: Gary    時間: 2026-3-14 21:04

想問7 8 9 11跟計算二, 感謝各位老師
作者: thepiano    時間: 2026-3-15 07:55     標題: 回覆 3# Gary 的帖子

感謝 jimmy92888 老師的指正，小弟沒注意到有重複的

第 11 題
三數和 = 9，有 3 種
三數和 = 16，有 14 種
三數和 = 25，有 15 種
三數和 = 36，有 1 種
三數和是完全平方數，計有 33 種

三數均為完全平方數，有 1 種
三數中只有 1 個完全平方數，且乘積為完全平方數，有 6 種
三數中沒有完全平方數，且乘積為完全平方數，有 6 種
三數積是完全平方數，計有 13 種

其中 (1，3，12) 這組三數的和與乘積都是完全平方數

所求 = (13 + 33 -1 ) / C(13，3) = 45 / 286

[ 本帖最後由 thepiano 於 2026-3-15 21:07 編輯 ]
作者: peter0210    時間: 2026-3-15 10:38

115 建中 7.

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作者: peter0210    時間: 2026-3-15 16:07

9.

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=7784&k=eb7fb385b20cdbbebef30412da8cb23c&t=1783579670

作者: Jimmy92888    時間: 2026-3-15 20:58     標題: 回覆 3# Gary 的帖子

第8題
移項化簡，得
\(kx-(5\ln x+x^2-8x+a)\geq 0\)
令\(h(k)=kx-(5\ln x+x^2-8x+a)\)
對任一\(x\in(0,4]\)，對\(k\)而言，\(h(k)\)皆為斜率為正的直線
所以\(h(k)\)的最小值必發生在\(k=-1\)處
因此，僅需考慮對所有\(x\in(0,4]\)，\(-x^2+7x-5\ln x\geq a\)恆成立

令\(f(x)=-x^2+7x-5\ln x\)
透過微分，可知在\((0,4]\)，\(f(x)\)的最小值為\(f(4)=12-5\ln 4\)
故\(a\)的最大值為\(f(4)=12-10\ln 2\)

[ 本帖最後由 Jimmy92888 於 2026-3-15 22:05 編輯 ]
作者: Jimmy92888    時間: 2026-3-16 05:52     標題: 回覆 3# Gary 的帖子

計算二
令\(H=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{p-1}\)
=>  \(H=(1+\frac{1}{(p-1})+(\frac{1}{2}+\frac{1}{p-2})+...=\frac{p}{1(p-1)}+\frac{p}{2(p-2)}+...\)
經過通分，分子可提出p，分母為1、2、…、p-1的乘積
所以，可寫成H\(=p \cdot \frac{A}{B}\)，其中B必不被p整除

化簡，得\(\frac{n^3}{(n-1)(n-2)}=n+3-\frac{1}{n-1}+\frac{8}{n-2}\)
分別處理三個區塊的和
令S1=(n+3)從n=3到n=p-1的和\(=\frac{p^2+5p-24}{2}\)
　S2=1/(n-1)從n=3到n=p-1的和\(=H-1-\frac{1}{p-1}\)
　S3=1/(n-2)從n=3到n=p-1的和\(=H-\frac{1}{p-2}-\frac{1}{p-1}\)
令S=S1-S2+8*S3
=> S\(=\frac{p^2+5p-24}{2}+7H+ 1 - \frac{7}{p-1} - \frac{8}{p-2}\)
考慮尚無法提出p的部分，通分後分子恰可消去常數，如下
\(-12+1-\frac{7}{p-1}-\frac{8}{p-2}=-\frac{11p^2-18p}{(p-1)(p-2)}\)
故S\(=\frac{p(p+5)}{2}+7p\cdot \frac{A}{B}-p\cdot \frac{11p-18}{(p-1)(p-2))}\)
通分化簡後，分子可提出p，
而分母為1、2、…、p-1的乘積，必不可與p約分，

[ 本帖最後由 Jimmy92888 於 2026-3-16 06:06 編輯 ]
作者: peter0210    時間: 2026-3-16 15:48

請教第10題，感謝
作者: tsusy    時間: 2026-3-17 12:51     標題: 回覆 5# peter0210 的帖子

填充7 另解. 將同一行的2格一起看，有
(上,下): (1,1),(1,2),(1.3),(2,2),(2,3),(3,3)，共6種情形
分別標記為 A (1,1)、B (1,2)、C(1,3)、D(2,2)、E(2,3)、F (3,3)

其中除了 C 、 D 不能共存外，其餘情外，皆需依字母序左到右排入(填入) 才能符合題目

故可分三類：有出現C、有出現D、CD皆沒有出現。以重複組合 (自動左到右排好順序) 計算列式如下

\( H^5_{7-1} + H^5_{7-1} + H^4_7 = 2 C^{10}_6 +C^{10}_7 = 2 \times 210 +120 = 540 \)
作者: tsusy    時間: 2026-3-17 13:41     標題: 回覆 6# peter0210 的帖子

填充9. 第一行的觀察出，背後是單調性，以此推廣做類似勘根的操作，可以將範圍縮的更小

設函數 \( f(x) = [x[x[x[x]]]] \)，易知：當 \( x \geq 0 \) 時， \( f(x) \) 為遞增函數

而 \( f(3) = 81 \), \( f(4) =256 \), \( f(\frac{10}3) = \frac{10}3 \times 33 =110 \), \( f(\frac{11}3) \approx 146 \)
(先夾出 \( [x[x]] \) 的值

設原方程式有正實數解 \( a \)，則 \( \frac{10}3 < a < \frac{11}3 \)，

而 \( [a[a]] = 10 \), \( f(a) = a[10a] = 114 \)

令 \( k = [10a] \),  \( \frac{100}3 < 10a < \frac{110}3 \) \( \Rightarrow 33 \leq k \leq 36 \)
\( a=\frac{114}k \Rightarrow 10a=\frac{1140}{k}\)
\( \Rightarrow k =[10a] \le 10a = \frac{1140}{k} \) \( \Rightarrow k \le \sqrt{1140} \approx 33.8 \)
故 \( k \geq 33 \) (上三行其實可以換成勘根的寫法)
因此正根(唯一可能)僅需檢驗 \( a= \frac{1140}{33} \)

另一方面當 \( x \leq 0 \)， \( f(x) \) 也為遞減函數

而 \( f(-3) = 81 \), \( f(-4) =256 \), \( f(\frac{-14}4) = \frac{-14}4 \times (-49) = 171.5 \), \( f(\frac{-13}4) = \frac{-13}4 \times (-43) = 139.75 \)

設原方程式有負實數解 \( b \)，則 \( \frac{-13}4 < b < -3 \)
此時 \( f(b) = b[12b] \)，而 \( -39 < 12b < -36 \)，故 \( [12b] = -37\)  或 \( -38 \) 或 \( -39 \)
而 \( [12b] = \frac{114}{b} \) \( \Rightarrow -38 < [12b] < -\frac{456}{13} \approx -35.1 \)  \(-38 < [12b] < - 35 \)

綜合以上，共需檢查兩個情形 \( x= \frac{114}{33}, \frac{114}{-37} \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2026-3-18 07:25 編輯 ]
作者: weiye    時間: 2026-3-17 15:10     標題: 回覆 9# peter0210 的帖子

填充第 10 題：

\(\displaystyle x^2-4x-32\sqrt{x-1}+76\)

\(\displaystyle = \left(x^2-8x+16\right)+4\left(x-1\right)-2\times2\sqrt{x-1}\times8+8^2\)

\(\displaystyle = \left(x-4\right)^2+\left(2\sqrt{x-1}-8\right)^2\)

令 \(\displaystyle P(x,2\sqrt{x-1})\)， \(A(4,8)\)，

則 \(\displaystyle x^2-4x-32\sqrt{x-1}+76=\overline{PA}^2\) 。

且 \(P\) 在滿足 \(\displaystyle y=2\sqrt{x-1}\) 且 \(x \geq1\) 的曲線上，

即 \(P\) 在滿足 \(\displaystyle y^2=4\left(x-1\right)\) 且 \(y\geq0, x \geq1\) 的曲線上，

即 \(P\) 在 \(\displaystyle y^2=4\left(x-1\right)\) 拋物線位於第一象限或正向 \(x\) 軸的曲線上，

因為拋物線 \(\displaystyle y^2=4\left(x-1\right)\) 的頂點為 \((1,0)\)，焦點 \(F(2,0)\)，準線為 \(y\) 軸，

所以 「\(P\) 點的 \(x\) 坐標」  =「\(P\) 點到準線 \(y\) 軸的距離」 =「\(P\) 點與焦點 \(F\) 的距離」  = \(\overline{PF}\)，

得 \(\displaystyle x\times \sqrt{x^2-4x-32\sqrt{x-1}+76} = \overline{PF}\times\overline{PA}\) 。

另一方面，

\(\displaystyle x^2-2x-2-16\sqrt{x-1} = \frac{1}{2}\left[x^2 + \left(x^2-4x-32\sqrt{x-1}+76\right)\right] - 40 = \frac{1}{2}\left(\overline{PF}^2+\overline{PA}^2\right) - 40\) 。

因此，

\(\displaystyle f(x) = \frac{1}{2}\left(\overline{PF}^2+\overline{PA}^2\right)+40 +\overline{PF}\times\overline{PA} \)

\(\displaystyle = \frac{1}{2}\left(\overline{PF}+\overline{PA}\right)^2 - 40\) 。

當 \(A,P,F\) 三點共線且 \(P\) 在 \(A\) 與 \(F\) 之間時，可得 \(f(x)\) 的最小值為 \(\displaystyle \frac{1}{2}\overline{AF}^2 - 40 =  -6\)，

此時，解 \(AF\) 直線方程式與拋物線 \(\displaystyle y^2=4\left(x-1\right)\) 於第一象限的交點之 \(x\) 坐標，可得使 \(f(x)\) 最小值發生時的 \(x\) 值。



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作者: ruee29    時間: 2026-5-24 13:08

整理了解答  (難題參考老師們的寫法)
1. 整理了 三角，判別式，配方+柯西 幾種方法
6.因式分解+mod，可以不用公式
11.討論乘積時，試著先分組，{1, 4, 9} {2, 8} {3,12} ...
計算1  分段討論斜率=> 4種可能的圖形...
淺見供參考~

附件: 115建中.pdf (2026-5-24 13:08, 1.92 MB) / 該附件被下載次數 149
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7985&k=ac91f9c5bd3242eb9dba04937721e4b8&t=1783579670



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