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標題: 114華江高中 [打印本頁]
作者: bugmens    時間: 2025-7-1 21:16     標題: 114華江高中

　

附件: 114華江高中.pdf (2025-7-1 21:16, 296.92 KB) / 該附件被下載次數 1078
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7634&k=cdea1303691911175c22379875c90666&t=1769613352
作者: bugmens    時間: 2025-7-1 21:16

3.
如右圖，矩形\(ABCD\)中，\(\overline{AB}=2\sqrt{6}\)，\(\overline{BC}=6\sqrt{2}\)，以\(\overline{AB}\)、\(\overline{AD}\)為直徑作半圓交於\(P\)，則鋪色區域面積為　　　。

參考下圖，矩形\(ABCD\)中，\(\overline{AB}=2\sqrt{6}\)，\(\overline{BC}=6\sqrt{2}\)，以\(\overline{AB}\)、\(\overline{AD}\)為直徑作半圓交於\(P\)，則鋪色區域面積為　　　。
(102竹北高中代理，thepiano解題http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=9438#p9438)

6.
設\(a\)、\(b\)均為實數，對任意實數\(x\)，若\(\displaystyle \frac{ax^2+2x+b}{x^2+1}\)的最大值是5，最小值是3，則數對\((a,b)=\)　　　。

7.
設集合\(I=\{\;1,2,3,4,5 \}\;\)，選擇\(I\)的兩個非空子集合\(A\)、\(B\)，使得\(B\)集合中的最小的數字大於\(A\)集合中最大的數字，則集合\(A\)、\(B\)有　　　種不同的取法。

8.
已知實數\(a>1\)，正方形\(ABCD\)的面積為36，其中\(\overline{AB}\)與\(x\)軸平行，且\(A\)、\(B\)、\(C\)分別為函數\(y=log_ax\)，\(y=2log_ax\)，\(y=3log_ax\)圖形上的點，試求\(a=\)　　　。
(105中科實中，https://math.pro/db/thread-2509-1-1.html)

10.
\((\sqrt{2}+\root 4\of 3)^{100}\)展開後，同類項合併後的結果有　　　項。
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2717&page=1#pid16696

11.
設兩數列\(a_1\)、\(a_2\)、\(a_3\)、\(\ldots\)、\(a_{10}\)及\(b_1\)、\(b_2\)、\(b_3\)、\(\ldots\)、\(b_{10}\)滿足\(\cases{a_{n+1}=3a_n-2b_{n+1}\cr b_{n+1}=a_{n+1}-3b_n}\)，\(n=1,2,3,\ldots,9\)。已知\(a_9=243\)、\(b_{10}=324\)，試求數對\((a_1,b_1)=\)　　　。

12.
已知\(z\)為複數且\(|\;z|\;=\sqrt{3}\)，\(i\)是虛數單位，則\(\displaystyle \left|\ \frac{1+2iz}{z-2i}+4i \right|\ =\)　　　。

15.
已知圓\(x^2+y^2=37\)內部一點\(P(1,2)\)，若\(P\)點為某弦的一個三等分點，求此弦所在的直線方程式。
https://math.pro/db/thread-3433-1-1.html

16.
平面上，四邊形\(ABCD\)中，\(\overline{AB}=2\)、\(\overline{BC}=\overline{CD}=\overline{AD}=1\)、\(\triangle ABC\)的面積為\(S\)、\(\triangle ACD\)的面積為\(T\)，則\(\overline{AC}=\)　　　時，可得\(S^2+T^2\)的最大值為　　　。

平面上有一線段\(\overline{AB}=\sqrt{3}\)，動點\(M,N\)滿足\(\overline{AM}=\overline{MN}=\overline{NB}=1\)。將\(\triangle AMB\)與\(\triangle MNB\)的面積記為\(S\)與\(T\)，試求\(S^2+T^2\)最大值？
(101中正高中二招，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1446&page=6#pid10008)
作者: loveray    時間: 2025-7-6 17:32

請問第12題？謝謝！
作者: thepiano    時間: 2025-7-6 21:18     標題: 回覆 3# loveray 的帖子

第 12 題
z = a + bi
|z| = √3
a^2 + b^2 = 3

(1 + 2iz) / (z - 2i) + 4i
= (9 + 6iz) / (z - 2i)
= [(9 - 6b) + 6ai] / [a + (b - 2)i]

所求 = | (9 - 6b) + 6ai | / | a + (b - 2)i |
= √[(9 - 6b)^2 + (6a)^2] / √[a^2 + (b - 2)^2]
= √(189 - 108b) / √(7 - 4b)
= √27
= 3√3

其實這題是填充題，z 用 √3i 代進去算就好

[ 本帖最後由 thepiano 於 2025-7-6 21:50 編輯 ]
作者: Jimmy92888    時間: 2025-7-7 21:06

引用:
原帖由 loveray 於 2025-7-6 17:32 發表
請問第12題？謝謝！
\(\frac{1+2i}{z-2i}-4i=\frac{9+6iz}{z-2i}=\frac{3z\overline{z}+6iz}{z-2i}=\frac{3z(\overline{z}+2i)}{z-2i}\)
又\(\overline{z}+2i\)與\(z-2i\)為共軛複數
故所求\(=3|z|=3\sqrt{3}\)

[ 本帖最後由 Jimmy92888 於 2025-7-7 21:12 編輯 ]
作者: Ellipse    時間: 2025-7-10 10:57

引用:
原帖由 Jimmy92888 於 2025-7-7 21:06 發表


\(\frac{1+2i}{z-2i}-4i=\frac{9+6iz}{z-2i}=\frac{3z\overline{z}+6iz}{z-2i}=\frac{3z(\overline{z}+2i)}{z-2i}\)
又\(\overline{z}+2i\)與\(z-2i\)為共軛複數
故所求\(=3|z|=3\sqrt{3}\)
前面應該是 (1+2i*z)/(z-2i) +4i
後面算法沒問題
作者: Superconan    時間: 2025-7-29 04:49

不知道有沒有老師有算計算題，可以對一下答案

13. \((4, -24, -2, -1)\)

14. (1) \(80\) (2) \(\displaystyle \frac{45}{7}\) (3) \(\displaystyle \frac{560}{3}\)

15. \(3x-4y=-5, x=1\)

16. \(\displaystyle \frac{\sqrt{14}}{2}, \frac{31}{32}\)

[ 本帖最後由 Superconan 於 2025-7-29 05:31 編輯 ]
作者: nico90015    時間: 2025-7-29 11:00

請問第14題，謝謝！

[ 本帖最後由 nico90015 於 2025-7-29 11:01 編輯 ]
作者: thepiano    時間: 2025-7-29 13:27     標題: 回覆 8# nico90015 的帖子

第 14 題
(1) ABCD 是圓內接箏形
ㄥABC = ㄥADC = 90 度
ABCD = (1/2) * 8 * 10 * 2 = 80

(2) 作 EP 垂直 ABCD 於 P
由於 EA = EC = EB = ED，故 P 必是 AC 中點
PA = (1/2)AC = √41，EA = 3√10，EP = 7

設球半徑 r
(r - 7)^2 + (√41)^2 = r^2
r = 45/7

(3) 四角錐體積 = (1/3) * 80 * 7 = 560/3

[ 本帖最後由 thepiano 於 2025-7-29 13:30 編輯 ]
作者: thepiano    時間: 2025-7-29 14:25     標題: 回覆 7# Superconan 的帖子

您計算題的答案正確
作者: Superconan    時間: 2025-7-29 20:12     標題: 回覆 10# thepiano 的帖子

謝謝老師！！
作者: nico90015    時間: 2025-7-30 00:07     標題: 回覆 9# thepiano 的帖子

謝謝老師！



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