標題: 114蘭陽女中第二次 [打印本頁]

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作者: kobelian    時間: 2025-5-25 15:46     標題: 114蘭陽女中第二次

蘭女第二次

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作者: bugmens    時間: 2025-5-25 15:56

1.
投擲一個六面刻有1，1，1，2，2，3的公正骰子\(n\)次，設\(P_n\)表示此\(n\)次之點數和為偶數的機率，請寫出數列\(\langle P_n \rangle\)的遞迴關係式。

不透明箱內有編號分別為1至9的九個球，每次隨機取出一個，記錄其編號後放回箱內；以\(P(n)\)表示前\(n\)次取球的編號之總和為偶數的機率。求\(P(n)=\)？(以\(n\)表示)。
(99鳳新高中，連結有解答http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=4089#p4089)

3.
在坐標平面上第一象限有一點\(A\)在直線\(x-\sqrt{3}y=0\)上，另一點\(B\)在\(x\)軸的正向上。已知\(\overline{AB}=4\)，\(O\)為原點，試求\(\triangle OAB\)面積的最大值。

4.
求\(x=3^{200}-2025\)的十位數字。

求\(2022^{111}\)末兩位數是多少？
(112金門高中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3771&page=1#pid25277)

5.
設\(A=\left[\matrix{1&-\sqrt{3}\cr \sqrt{3}&1}\right]\)，\(n\in \mathbb{N}\)，\(c\in \mathbb{R}\)，\(A+A^4+A^7+\ldots+A^{3n+1}=cA\)，求\(c\)之值。
(我的教甄準備之路　矩陣\(n\)次方，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid14875)

矩陣運算規則\(A=\left[\matrix{a&b\cr c&d}\right]\)，\(B=\left[\matrix{p&q\cr r&s}\right]\)，\(A+B=\left[\matrix{a+p&b+q \cr c+r&d+s}\right]\)，\(AB=\left[\matrix{ap+br& aq+bs \cr cp+dr& cq+ds}\right]\)設\(A=\left[\matrix{1&-\sqrt{3}\cr \sqrt{3}&1}\right]\)。
(1)若\(A^3=aI_2\)，其中\(a\)為實數且\(I_2=\left[\matrix{1&0\cr 0&1}\right]\)，則\(a=\)　　　。
(2)\(A+A^4+A^7+\ldots+A^{100}=\)　　　。
(111高中數學能力競賽　第5區(屏東高中)筆試(一)，https://math.pro/db/thread-3782-1-1.html)

6.
某人由平面上一點\(A\)測得正東方一塔(塔頂\(T\))的仰角為\(\theta\)，由\(A\)向塔底\(D\)前進150公尺至\(B\)點再測得塔頂\(T\)的仰角為\(2\theta\)，再前進60公尺至\(C\)點測得塔頂\(T\)的仰角為\(3\theta\)，其中\(A\)、\(B\)、\(C\)都在塔的同一側，求塔高\(\overline{TD}\)之值。

某人在地面\(A\)點，測得山峰的仰角為\(\theta\)，此人向山腳前進100公尺到達\(B\)，測得山峰仰角為\(2\theta\)，再向山腳前進40公尺到達\(C\)，又測得山峰仰角為\(3\theta\)，則山高為　　　公尺。
(101台北市中正高中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1422&page=1#pid6435)

10.
\(x,y\in \mathbb{R}\)，\((x+1)^2+(y-1)^2\le 1\)，若\(\displaystyle \frac{x-y+3}{x+y+2}\)之最大值為\(M\)，最小值為\(m\)，求數對\((M,m)\)。
類似問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=811&page=1#pid1535

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作者: peter0210    時間: 2025-5-27 09:49

2.
有大小形狀相同的紅球1個，黃球2個，白球2個，黑球3個，全部排成甲、乙、丙三列，每列至少一球，問：共有多少種不同的排法？
[解答]
H(3,8-3)*8!/3!/2!/2!

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作者: Molly    時間: 2025-8-16 01:25

想請問第13題，感謝

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作者: thepiano    時間: 2025-8-16 07:20     標題: 回覆 4# Molly 的帖子

第 13 題
求直線\(L\)：\(2x-y+1=0\)以\((0,1)\)為中心，逆時針方向旋轉\(45^{\circ}\)後之直線方程式。
[解答]
設所求為 y = mx + 1，與 y = 2x + 1 的夾角為 45 度
tan 45 度 = | (m - 2) / (1 + 2m) |
m = -3 or 1/3(不合)
所求為 y = -3x + 1

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作者: Molly    時間: 2025-8-16 12:36     標題: 回覆 5# thepiano 的帖子

謝謝老師！

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作者: ruee29    時間: 2026-1-17 15:19

整理一些解答，供參考~

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