Board logo

標題: 114師大附中二招 [打印本頁]
作者: kobelian    時間: 2025-5-4 11:55     標題: 114師大附中二招

114師大附中二招

選填【F】答案更正為送分。

附件: [選填【F】答案更正為送分。] 114師大附中第二次.pdf (2025-5-4 14:23, 481.35 KB) / 該附件被下載次數 2172
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7512&k=cf7464b72c91985419fbfc33fcb54be3&t=1769623585
作者: bugmens    時間: 2025-5-4 15:17

B.
在坐標平面上，不等式\(log_{(x+y)}x<log_{(x+y)}\sqrt{1-y^2}\)的解所構成區域的面積為　　　。
類似問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1186&page=3#pid4684

C.
已知\(A(-1,0)\)，\(B(1,0)\)，若\(P\)點為圓\(C\)：\((x-3)^2+(y-4)^2=4\)上一點，設\(\overline{PA}^2+\overline{PB}^2\)的最小值為\(m\)，最大值為\(M\)，則\(M+m=\)　　　。

E.
若\(\alpha,\beta,\gamma\)為\(x^3-4x-2=0\)的三根，則\(\alpha^6+\beta^6+\gamma^6=\)　　　。
類似問題，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1019&page=1#pid2501

F.
設多項式\(f(x)\)的次數為23，若\(\displaystyle f(k)=\frac{1}{k}\)，\(k=1,2,3,\ldots,23\)，則\(f(-2)=\)　　　。
類似問題，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1195&page=1#pid4108

G.
設空間中兩直線\(L_1\)：\(\displaystyle \frac{x}{2}=\frac{y+1}{3}=z+3\)與\(L_2\)：\(\displaystyle \frac{x+1}{4}=\frac{y+4}{-2}=\frac{z+2}{-1}\)，已知直線\(L\)過點\(P(1,2,-1)\)，且與\(L_1\)、\(L_2\)分別交於\(A\)、\(B\)兩點，則\(\displaystyle \frac{\overline{PA}}{\overline{PB}}=\)　　　。

J.
如圖，\(\triangle ABC\)內部有一點\(P\)，\(\overline{DE}\)、\(\overline{DG}\)、\(\overline{HI}\)都過\(P\)點，長度都是\(d\)，且分別平行於\(\overline{BC}\)、\(\overline{CA}\)、\(\overline{AB}\)。若\(\overline{AB}=380\)、\(\overline{BC}=520\)、\(\overline{CA}=494\)，求\(d=\)　　。
連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1286&page=1#pid4754

N.
正整數\(a\)，\(b\)，\(c\)滿足\(abc=2a+2b+2c\)，求有序組\((a,b,c)\)共有　　　種可能。

P.
數列\(\langle\;x_n\rangle\;\)滿足\(\displaystyle x_1=\frac{1}{20}\)，\(\displaystyle x_{k+1}=\frac{1}{3}x_k^2+x_k\)，求\(\displaystyle \frac{1}{x_1+3}+\frac{1}{x_2+3}+\ldots+\frac{1}{x_{2025}+3}\)的整數部分為　　　。

若一實數數列\(\{\;a_n \}\;\)滿足\(a_1=1\)，且\(3a_{n+1}=a_n^2+3a_n\)對所有的\(n\ge 1\)均成立。現令\(\displaystyle S=\frac{1}{a_1+3}+\frac{1}{a_2+3}+\ldots+\frac{1}{a_{2016}+3}\)，若\(M\)是一個整數且\(M<S<M+1\)，則整數\(M=\)　　　。
(105嘉義高中資優甄選，https://math.pro/db/thread-2628-1-1.html)

二、非選題
1.
求證：\(\displaystyle 1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)，除了利用課本介紹「數學歸納法」的證明之外，請再給出三種不同於「數學歸納法」的證明。 (完整給出第一種證法得4分，完整給第二、三種證法再各得3分)

2.
試求極限值\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{\left(\frac{n+1}{n}\right)+\left(\frac{n+1}{n}\right)^2+\ldots+\left(\frac{n+1}{n}\right)^n}{n}=\)　　　。

求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{\left(\frac{n+3}{n}\right)+\left(\frac{n+3}{n}\right)^2+\ldots+\left(\frac{n+3}{n}\right)^{2n}}{n}\)之值為　　　。
(114內湖高中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3970&page=1#pid27175)
作者: zj0209    時間: 2025-5-6 12:31

想請教一下K、N、O，謝謝老師！
作者: satsuki931000    時間: 2025-5-6 13:00

N
不失一般性假設\(a\leq b \leq c\)
則\(abc=2(a+b+c) \leq 6c \Rightarrow ab\leq 6\)

因此\((a,b)=(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,2),(2,3)\)

代回原式檢驗得到

\((a,b,c)=(1,3,8),(1,4,5),(2,2,4)\)

排列後共有15組

K.
線性變換一下
令\(\displaystyle x=x' , y=2y'\)
則橢圓變成圓形:\(x'^2+y'^2=18\)，且 \(P'(-3,3)\)
題目則改成在圓形上最大的三角形面積，且其中一點為\(P'\)
發生在正三角形的情況
且容易求出\(\displaystyle Q'(\frac{3-3\sqrt{3}}{2},\frac{-3\sqrt{3}-3}{2}) , R'(\frac{3+3\sqrt{3}}{2},\frac{3\sqrt{3}-3}{2})\)

回推到\(Q(\displaystyle \frac{3-3\sqrt{3}}{2},-3\sqrt{3}-3),R(\displaystyle \frac{3+3\sqrt{3}}{2},3\sqrt{3}-3)\)

\(\displaystyle \overline{QR}=3\sqrt{15}\)
作者: Superconan    時間: 2025-5-6 14:34

第 F 題更改為「送分」

圖片附件: 師大附中114二招_試題疑義.png (2025-5-6 14:34, 175.5 KB) / 該附件被下載次數 1304
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7523&k=1b236a1fc7e9ff044740021b39dc6d6b&t=1769623585

作者: satsuki931000    時間: 2025-5-7 10:27

O.
想法基本上就是分項對消
找到一個函數\(F(k)\)
滿足\(F(k)-F(k-1)=k(k+1)(21-k)(22-k)\)
用手算太累，請AI幫忙 wwww

這個東西用CHATGPT寫出來\(\displaystyle F(k)= \frac{k(k+1)(k+2)(752-53k+k^2)}{5}\)
所以分子為\(F(20)=170016\)
又易知道分母為\(\displaystyle \frac{21\times22\times 23}{3}=3542\)
故答案為\(\displaystyle \frac{170016}{3542}=48\)

考試的時候應該會先砍掉這題....
作者: thepiano    時間: 2025-5-7 13:44     標題: 回覆 6# satsuki931000 的帖子

第 O 題
手算還是可以算出來，就是要多背 Σ(i^4) = n(n + 1)(2n + 1)(3n^2 + 3n - 1)/30

k(k + 1)(21 - k)(22 - k)
= k(k - 21)(k + 1)(k - 22)
= (k^2 - 21k)(k^2 - 21k - 22)
= (k^2 - 21k)^2 - 22(k^2 - 21k)
= k^4 - 42k^3 + 419k^2 + 462k

分子前 10 個與後 10 個一樣
所以 k 算 1 ~ 10，再乘以 2 就好

四次方和 = (10 * 11 * 21 * 329)/30
三次方和 = (-42 * 10^2 * 11^2)/4
二次方和 = (419 * 10 * 11 * 21)/6
一次方和 = (462 * 10 * 11)/2
分母和 = (21 * 22 * 23)/3
以上都先約去 21 * 22

所求 = 2[(329/6) - 275 + (2095/6) + 55]/(23/3) = 48
作者: zj0209    時間: 2025-5-7 18:29

謝謝 satsuki931000老師 thepiano老師 ！！
作者: 王重鈞    時間: 2025-5-7 22:50     標題: 第O題 另解分享

另解分享

圖片附件: IMG_6429.jpeg (2025-5-7 22:50, 482.21 KB) / 該附件被下載次數 1260
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7530&k=8c706fd4eddac8f0ebf68b34688961e7&t=1769623585

作者: zj0209    時間: 2025-8-5 10:57

想請教一下選填L，謝謝
作者: thepiano    時間: 2025-8-6 18:25     標題: 回覆 10# zj0209 的帖子

第 L 題
這 20 個複數根所代表的點，平分以原點為圓心，半徑為 {√[18^2 + (-10√7)^2]}^(1/20) = 2^(1/4) 的圓周
周角被平分成 20 個 18 度的圓心角

利用餘弦定理，可估出當圓心角小於或等於 72 度時
兩點的距離的平方會小於 1 + 2√2 - √3

從 20 點中，先取 1 點，當另一點是其左或右 4 點以內時，符合題意

所求 = (4 * 2 * 20 / 2) / C(20，2) = 8/19
作者: zj0209    時間: 2025-8-8 19:27

謝謝 thepiano 老師！
作者: ruee29    時間: 2025-11-22 14:55

整理了一些解答，供參考~
感謝寸絲老師回覆精煉的寫法，之前也和同事討論到這個問題~

[ 本帖最後由 ruee29 於 2026-1-15 17:33 編輯 ]

附件: 114師大附中二招.pdf (2025-11-22 14:55, 1.82 MB) / 該附件被下載次數 284
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7710&k=2064bf10e877bb57afd8e795e5398631&t=1769623585
作者: duncan0804    時間: 2026-1-14 16:20

請教各位老師第P題

為什麼可以確認1/x_2026可以介於0.1之間

圖片附件: 螢幕擷取畫面 2026-01-14 161854.png (2026-1-14 16:20, 150.32 KB) / 該附件被下載次數 39
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7729&k=d67b7ec78f7fd5e12705ba8b8ba5e22d&t=1769623585

作者: tsusy    時間: 2026-1-14 16:43     標題: 回覆 14# duncan0804 的帖子

19 P
\( x_{k+1} = \frac{1}{3} x_k^2  + x_k \ge x_k \)

故 \( x_n \ge x_1 = \frac{1}{20} \), \( \forall n \) (因遞增)

因此有 \( x_{n+1} = \frac{1}{3} x_n^2 + x_n \ge  \frac{1}{1200} +x_n \)

可推得 \( x_{2026} \ge \frac{2025}{1200} +x_1 > 1 \)
作者: duncan0804    時間: 2026-1-16 13:10     標題: 回覆 15# tsusy 的帖子

謝謝老師



歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/) 論壇程式使用 Discuz! 6.1.0