標題: 114鳳新高中 [打印本頁]

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作者: MAJIADI    時間: 2025-4-28 11:55     標題: 114鳳新高中

114鳳新高中

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作者: bugmens    時間: 2025-4-28 12:02

6.
已知\(\triangle ABC\)中，\(\angle C=90\)度，\(\overline{BC}=3\)，\(\overline{AC}=4\)，\(P\)點為斜邊\(\overline{AB}\)上的動點，現在沿著\(\overline{CP}\)將\(\triangle BCP\)折起來，使折起來後的平面\(BCP\)垂直平面\(ACP\)，則折起來後的\(\overline{AB}\)最小值為何？


7.
設\(P\)為平面上任意一點，\(O\)為原點，若二階方陣\(A\)將\(P\)對應到\(Q\)且\(\overline{PO}=\overline{QO}\)，以高中數學內容證明：\(A\)必為平面變換中的旋轉矩陣或鏡射矩陣。
[解答]
114.7.25補充
以Gemini 2.5 Pro計算，指令為"設P為平面上任意一點，O為原點，若二階方陣A將P對應到Q且PO=QO，以高中內容證明：A必為平面變換中的旋轉矩陣或鏡射矩陣。"，以下為回應結果

好的，這是一個非常好的問題，它將線性變換的幾何意義與矩陣的代數性質聯繫在一起。我們可以用高中向量和矩陣的知識來完成證明。

這個證明的思路是：
1.將幾何條件\(PO=QO\)轉換為向量和矩陣的代數關係。
2.證明這個代數關係等價於\(A^TA=I\)（即\(A\)是正交矩陣）。
3.一旦證明\(A\)是正交矩陣，後續的推導將與前一題完全相同，即證明\(A\)必為旋轉或鏡射矩陣。

證明

1.將幾何條件轉換為代數關係

設點\(P\)的座標為\((x,y)\)，其位置向量為\(\vec{OP}=[x,y]^T\)。
設二階方陣為\(A=\left[\matrix{a&b\cr c&d}\right]\)。
\(A\)將\(P\)(對應到\(Q\)，所以\(Q\)的位置向量\(\vec{OQ}\)為：
\(\vec{OQ}=A\vec{OP}=\left[\matrix{a&b\cr c&d}\right]\left[\matrix{x\cr y}\right]=\left[\matrix{ax+by\cr cx+dy}\right]\)題目給定的條件是\(PO=QO\)，這表示\(P\)點到原點的距離等於\(Q\)點到原點的距離。用向量的長度（範數）來表示就是：\(||\vec{OP}||=||\vec{OQ}||\)為了方便計算，我們使用距離的平方：\(||\vec{OP}||^2=||\vec{OQ}||^2\)將座標代入：\(x^2+y^2=(ax+by)^2+(cx+dy)^2\)展開等號右邊：\(x^2+y^2=(a^2x^2+2abxy+b^2y^2)+(c^2x^2+2cdxy+d^2y^2)\)整理合併\(x^2\),\(y^2\),\(xy\)的同類項：\(1\cdot x^2+1\cdot y^2+0\cdot xy=(a^2+c^2)x^2+(b^2+d^2)y^2+(2ab+2cd)xy\)

2.證明\(A\)為正交矩陣(\(A^TA=I\))

因為這個等式必須對平面上任意一點\(P(x,y)\)都成立，所以等號兩邊對應項的係數必須相等。
比較係數可得：
\(x^2\)的係數：\(a²+c²=1\)
\(y^2\)的係數：\(b²+d²=1\)
\(xy\)的係數：\(2ab+2cd=0\)⇒\(ab+cd=0\)

現在我們來計算\(A^TA\)：
\(A^TA=\left[\matrix{a&c\cr b&d}\right]\left[\matrix{a&b\cr c&d}\right]=\left[\matrix{a^2+c^2&ab+cd\cr ab+cd&b^2+d^2}\right]\)將我們上面比較係數得到的結果代入：\(A^TA=\left[\matrix{1&0\cr0&1}\right]=I\)
這證明了「保持點到原點距離不變」的幾何特性，等價於矩陣滿足\(A^TA=I\)的代數特性。滿足此條件的矩陣稱為正交矩陣。

3.利用正交矩陣的性質推導\(A\)的形式

從這裡開始，證明的步驟就和前一題完全一樣了。

首先，計算\(A\)的行列式\(det(A)\)：
\(det(A^TA)=det(I)\)
\(det(A^T)det(A)=1\)
\((det(A))²=1\)
所以，\(det(A)=1\)或\(det(A)=-1\)。

接著，我們利用\(a^2+c^2=1\)和\(b^2+d^2=1\)引入參數式。
令\(a=cos(\alpha)\),\(c=sin(\alpha)\)
令\(b=cos(\beta)\),\(d=sin(\beta)\)
代入\(ab+cd=0\)，得到\(cos(\alpha-\beta)=0\)。

我們分兩種情況討論：

情況一：\(det(A)=1\)(旋轉矩陣)

\(det(A)=ad-bc=cos(\alpha)sin(\beta)-cos(\beta)sin(\alpha)=sin(\beta-\alpha)=1\)。
結合\(cos(\alpha-\beta)=0\)，唯一滿足條件的是\(\displaystyle \beta=\alpha+\frac{\pi}{2}\)。
代入\(b\)和\(d\)的表達式：
\(\displaystyle b=cos(\alpha+\frac{\pi}{2})=-sin(\alpha)\)
\(\displaystyle d=sin(\alpha+\frac{\pi}{2})=cos(\alpha)\)
所以矩陣\(A\)為：\(A=\left[\matrix{cos(\alpha)&-sin(\alpha)\cr sin(\alpha)&cos(\alpha)}\right]\)
這是一個旋轉矩陣。

情況二：\(det(A)=-1\)(鏡射矩陣)

\(det(A)=ad-bc=sin(\beta-\alpha)=-1\)。
結合\(cos(\alpha-\beta)=0\)，唯一滿足條件的是\(\displaystyle \beta=\alpha-\frac{\pi}{2}\)。
代入\(b\)和\(d\)的表達式：
\(\displaystyle b=cos(\alpha-\frac{\pi}{2})=sin(\alpha)\)
\(\displaystyle d=sin(\alpha-\frac{\pi}{2})=-cos(\alpha)\)
所以矩陣\(A\)為：\(A=\left[\matrix{cos(\alpha)&sin(\alpha)\cr sin(\alpha)&-cos(\alpha)}\right]\)
這是一個鏡射矩陣。

結論

我們從幾何條件\(PO=QO\)出發，證明了執行此變換的矩陣\(A\)必須是正交矩陣(\(A^TA=I\))。接著，根據正交矩陣行列式值必為\(\pm 1\)的性質，我們推導出\(A\)的結構，證實了它必定是旋轉矩陣或鏡射矩陣。證明完畢。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
二階方陣A滿足\(A^T=A^{-1}\)，證明：\(A\)必為平面變換中的旋轉矩陣或鏡射矩陣。
(114高雄中學，https://math.pro/db/thread-3962-1-1.html)

8.
若\(x\)、\(y\)為正數，且\(\displaystyle x^2+\frac{y^2}{45}=1\)，則試求\(\displaystyle \frac{2}{1-x}+\frac{75}{10-y}\)之最小值。

10.
(1)試證明已知\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\)為三實數，假設\(t=-(\alpha+\beta+\gamma)\)，\(v=\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha\)，且滿足\(\alpha\beta\gamma=-1\)、\(t+v=-3\)，則
\(\alpha^{\frac{1}{3}}+\beta^{\frac{1}{3}}+\gamma^{\frac{1}{3}}=\root 3\of {(-t-6)+3\root 3\of{t^2+3t+9}}\)。
(2)利用(1)的結果，試證明\(\root 3\of{\displaystyle cos \frac{2\pi}{9}}+\root 3\of{\displaystyle cos \frac{4\pi}{9}}+\root 3\of{\displaystyle cos \frac{8\pi}{9}}=\root 3\of{\displaystyle \frac{3}{2}(\root 3\of 9-2)}\)。
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1041&page=1#pid2759
https://artofproblemsolving.com/community/c6h1079891p12521649

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作者: KYL    時間: 2025-4-28 16:59     標題: 想請教填充4 謝謝

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作者: peter0210    時間: 2025-4-28 21:12

填充四

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作者: cut6997    時間: 2025-4-29 09:27

第8題我有在網路上找到一模一樣的題目詳解
可是該解法看起來像是一開始就知道兩個地方的取等條件是cosa=2/3
導致其他地方做了很多神奇的縮放
雖然版主有列出他是考古題了
但還是想請問一下合理的正確做法?(又或許這做法合理只是我沒看出來)
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感謝Hawlee老師，原來是靠上下同乘後對分母算幾
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自己嘗試做了一次之後還是做不太出來，得配出一模一樣的係數有點反直覺

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作者: peter0210    時間: 2025-4-29 09:34

想請教第二題，有除了排容以外的方法嗎？

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作者: Hawlee    時間: 2025-4-29 09:49

2.
7!−C(6,1)*6!+C(6,2)*5!−C(6,3)*4!+C( 6,4)*3!−C( 6,5)*2!+C(6,6)
=5040-4320+1800-480+90-12+1
=6931-4812
=2119

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作者: Hawlee    時間: 2025-4-29 10:01

8.

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作者: jerryborg123    時間: 2025-4-29 20:27     標題: 回覆 6# peter0210 的帖子

遞迴  a_n=(n-1)a_n-1+(n-2)a_n-2
試了一下答案是對的，但我也解釋不清楚n-2的部分

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作者: satsuki931000    時間: 2025-4-29 22:50     標題: 回覆 8# Hawlee 的帖子

想請問兩個問題
1.為何x的部分不仿照y的部分提出

2. \(\displaystyle \frac{2}{1-x}\)後面接的第一個有關x的不等式怎麼來的

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作者: KYL    時間: 2025-4-29 22:51     標題: 回覆 4 #peter0210

感謝回覆,非常清楚!!

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作者: Hawlee    時間: 2025-4-30 00:50     標題: 回覆 10# satsuki931000 的帖子

1.因為約束條件為x^2+y^2/45=1
   如果x按照y的方式提出，最後x^2跟y^2的係數比
   不會是45：1

2.算幾不等式
   為了湊x^2,又要把分母算幾後變成常數
   所以與相加的係數要是1，相乘的次方要是2次
   自然選擇兩個 x／2

    2/1-x=（2×x/2×x/2）/(1-x)×x/2×x/2
    對分母做算幾不等式
    [((1-x）+x/2+x/2)/3]^3>=(1-x)×x/2×x/2
    所以分母部分小於等於1／27

[ 本帖最後由 Hawlee 於 2025-4-30 01:08 編輯 ]

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作者: satsuki931000    時間: 2025-4-30 09:36     標題: 回覆 12# Hawlee 的帖子

感謝解惑
所以比較像是去嘗試看看要提出x還是y或是兩個都要提出
最後看看誰的係數比符合題意
不然一開始很難看出要提出y但不提出x

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作者: Ellipse    時間: 2025-4-30 10:55

引用:

原帖由 MAJIADI 於 2025-4-28 11:55 發表
114鳳新高中

7474

#3
所求為紅色區域面積

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2025-4-30 10:56 編輯 ]

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作者: shihqua    時間: 2025-4-30 21:24

想教第五題以及第9(4)題謝謝
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謝謝鋼琴老師#16樓、19樓的回覆
確實9(4)很難賺XDDD

[ 本帖最後由 shihqua 於 2025-5-2 10:55 編輯 ]

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作者: thepiano    時間: 2025-4-30 23:42     標題: 回覆 15# shihqua 的帖子

第 5 題
PD + PE + PF = (1/2)√3
PD：PE：PF = 1：3：2
PD = (1/12)√3、PE = (1/4)√3、PF = (1/6)√3

過 P 作 HK 平行 AB、JN 平行 BC、IM 平行 CA
△PHI、△PJK、△PMN 均為正三角形
PH = PI = 1/6
PJ = PK = 1/2
PM = PN = 1/3

PA^2 = PK^2 + AK^2 - 2 * PK * AK * cos120∘= 1/4 + 1/9 - 2 * (1/2) * (1/3) * (-1/2) = 19/36
PA = (1/6)√19
同理 PB = (1/6)√7，PC = (1/6)√13

PA + PB + PC = (1/6)(√19 + √7 + √13) < (1/6)(5 + 3 + 4) = 2

[ 本帖最後由 thepiano 於 2025-4-30 23:46 編輯 ]

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作者: cut6997    時間: 2025-5-1 00:41

想請教一下第６題
大家都沒問題那肯定就是我做法有問題

原題等同在AB上找一點P，並在CP上找A的垂足E，求AE^2+BE^2最小
座標化
A(0,4)
B(3,0)
C(0,0)
P(3t,4-4t)
則CE直線方程式:y=(4-4t/3t)x
過A點垂線:y-4=(3t/4t-4)x
寫到這邊其實快瘋了...
令k=4-4t/3t回頭再檢查條件
=>-(1/k)x+4=kx
=>x=4k/(k^2+1)
=>y=4k^2/(k^2+1)

垂足E(4k/(k^2+1),4k^2/(k^2+1))

AE^2+BE^2=(4k/(k^2+1))^2+(4-4k/(k^2+1))^2+(3-4k/(k^2+1))^2+(4k^2/(k^2+1))^2
經過一連串崩潰的計算，好險4次方能消掉...
=25-24k/(k^2+1)
求24k/(k^2+1)極值得±12
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感謝鋼琴老師，忘記用到角C是直角的條件...

[ 本帖最後由 cut6997 於 2025-5-1 06:41 編輯 ]

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作者: thepiano    時間: 2025-5-1 06:22     標題: 回覆 17# cut6997 的帖子

第 6 題
∠BCP = α，∠ACP = (π/2 - α)

若 D 是 CP 上一點
因平面 BCP 和平面 ACP 垂直，故 BD 和 AD 垂直

AB^2 = BD^2 + AD^2 = BD^2 + CD^2 + AC^2 - 2 * CD * AC * cos∠ACP
= (3sinα)^2 + (3cosα)^2 + 4^2 - 2 * 3cosα * 4 * cos(π/2 - α)
= 25 - 12sin2α

當 α = π/4 時，AB 有最小值 √13

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作者: thepiano    時間: 2025-5-1 11:35     標題: 回覆 15# shihqua 的帖子

4 個小題才 10 分，先跳過

第 9 題 (4)
以下積分範圍都是 0 ~ π/4
1/2 = ∫(tanx)dx + ∫[(tanx)^3]dx
1/4 = ∫[(tanx)^3]dx + ∫[(tanx)^5]dx
1/6 = ∫[(tanx)^5]dx + ∫[(tanx)^7]dx
1/8 = ∫[(tanx)^7]dx + ∫[(tanx)^9]dx
:
:

(1/2 - 1/4) + (1/6 - 1/8) + (1/10 - 1/12) + ...
= ∫(tanx)dx - ∫[(tanx)^n]dx
= ∫(tanx)dx
= ln[sec(π/4)] - ln[sec(0)]
= ln(√2)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2025-5-1 11:37 編輯 ]

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作者: Ellipse    時間: 2025-5-1 15:00

引用:

原帖由 MAJIADI 於 2025-4-28 11:55 發表
114鳳新高中

7474

第 9 題 (3)   也才一分，太難賺了
I_n + I_(n+2)
=∫ {0 to  π/4}  [ (tanx)^n + (tanx)^(n+2) ] dx
=∫ {0 to  π/4}  [(tanx)^n*(1+(tanx)^2)]dx
=∫ {0 to  π/4}  (tanx)^n*(secx)^2 dx
=∫ {0 to  π/4}  (tanx)^n*d(tanx)
=[1/(n+1)]*(tanx)^(n+1)   |  {0 to  π/4}
=1/(n+1)

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作者: shihqua    時間: 2025-5-2 11:01

另想請教第7題
我的想法是
如果我一開始說明Q必落在以O為圓心OP為半徑的圓上
利用(rcosθ,rsinθ)說明必為旋轉矩陣，再從其中找到鏡射的情況
這樣是可以的嗎？總覺得好像少了一點什麼...

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作者: cut6997    時間: 2025-5-2 13:37     標題: 回覆 21# shihqua 的帖子

OP=OQ
=>|Ax|=|x|
=>x^TA^TAx=x^Tx
=>x^T(A^TA-I)x=0
因為A^TA和I都是對稱
=>(A^TA-I)對稱=>可對角化
=>(A^TA-I)=VDV^T,其中D為對角矩陣d1,d2為D的特徵值,V為其特徵向量所成矩陣
因為對所有的x=(x1,x2)^T都成立
=>D=零矩陣
後面就跟今年出現很多次的A^T=A^(-1)一樣了
基本上就是設4個變數硬爆
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考慮高中範圍的話
著色部分可替代為
A^TA-I=對稱矩陣
a   b
b   c
分別讓x=(1,0),(0,1),(1,1)帶入可得到a=b=c=0

[ 本帖最後由 cut6997 於 2025-5-2 17:02 編輯 ]

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作者: shihqua    時間: 2025-5-2 15:25

引用:

原帖由 cut6997 於 2025-5-2 13:37 發表
OP=OQ
=>|Ax|=|x|
=>x^TA^TAx=x^Tx
=>x^T(A^TA-I)x=0
因為A^TA和I都是對稱
=>(A^TA-I)對稱=>可對角化
=>(A^TA-I)=VDV^T,其中D為對角矩陣d1,d2為D的特徵值,V為其特徵向量所成矩陣
因為對所有的x=(x1,x2)^T都成立
=>D= ...

謝謝老師解答^^
不好意思想請問，這算高中範圍嗎?
因為題目有要求高中範圍解釋...

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作者: Jimmy92888    時間: 2025-5-3 07:20     標題: 回覆 23# shihqua 的帖子

以下數對皆表示行向量
設 A=((a,b), (c,d))
A(x,y)=(ax+cy,bx+dy)
因為OP=OQ，所以
x^2+y^2=(ax+cy)^2+(bx+dy)^2
比較兩邊x^2, y^2, xy的各項係數，得
a^2+b^2=1, c^2+d^2=1, ac+bd=0
所以(a,b)與(c,d)為兩組互相垂直的單位向量
令(a,b)=(cosθ,sinθ), 則(c,d)有兩種可能
(1)(c,d)=(sinθ,-cosθ)，此時A為對於通過原點且與x軸夾角為θ/2之直線的鏡射矩陣
(2)(c,d)=(-sinθ,cosθ)，此時A為繞原點旋轉θ角的旋轉矩陣

[ 本帖最後由 Jimmy92888 於 2025-5-3 07:34 編輯 ]

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作者: acolytej    時間: 2025-5-12 00:01

想請問第10題, 謝謝

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作者: tsusy    時間: 2025-5-12 21:58     標題: 回覆 25# acolytej 的帖子

計算 10(1)
依題意有以 \( x=\alpha,\beta,\gamma \)  為三根的方程式為

\( (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=x^{3}+tx^{2}+vx+1=0 \)

考慮以 \( \alpha^{\frac{1}{3}},\beta^{\frac{1}{3}},\gamma^{\frac{1}{3}} \)
為三根的方程式 \( y^{3}+ay^{2}+by+1=0 \)

\( \Rightarrow y^{3}+1=-y(ay+b) \)

\( \Rightarrow(y^{3}+1)^{3}=-y^{3}(ay+b)^{3} \)

\( \Rightarrow(y^{3}+1)^{3}=-y^{3}(a^{3}y^{3}+3ayb(ay+b)+b^{3}) \)

\( \Rightarrow(y^{3}+1)^{3}=-y^{3}(a^{3}y^{3}-3ab(y^{3}+1)+b^{3}) \)

將 \( y^{3} \)  改寫為 \( x \)

\( \Rightarrow(x+1)^{3}=-x(a^{3}x-3ab(x+1)+b^{3}) \)

\( \Rightarrow x^{3}+(3+a^{3}-3ab)x^{2}+(3+b^{3}-3ab)x+1=0 \)

此方程式的三根為 \( x=\alpha,\beta,\gamma \)

故 \( 3+a^{3}-3ab=t \) , \( 3+b^{3}-3ab=v \)

令 \( z=ab \) ，則 \( z^{3}=a^{3}b^{3}=(3z+t-3)(3z+v-3) \)

\( \Rightarrow z^{3}=9z^{2}-27z+(-t^{2}-3t+18) \)

\( \Rightarrow(z-3)^{3}=-(t^{2}+3t+9) \)

故 \( z=3-\sqrt[3]{t^{2}+3t+9} \) , \( a=\sqrt[3]{3z+t-3}=\sqrt[3]{6+t-\sqrt[3]{t^{2}+3t+9}} \)

再由根與係數有 \( \alpha^{\frac{1}{3}}+\beta^{\frac{1}{3}}+\gamma^{\frac{1}{3}}=-a=\sqrt[3]{-(6+t)+\sqrt[3]{t^{2}+3t+9}} \)

10(2) 利用三倍角公式，造成以題意所給三個餘弦為三根的三次多項式方程式，接著使用第(1)小題的結論

※此題出處，可能是101學年全國能力競賽 https://math.pro/db/thread-1503-1-1.html

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作者: ruee29    時間: 2025-8-26 13:18

整理了一些解答，有些相當困難的題目，參考學習老師們的寫法。供參考~

附件: 114鳳新高中.pdf (2025-8-26 13:18, 1.56 MB) / 該附件被下載次數 1198
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7683&k=12a6ac7547c94357d83261f629240121&t=1769624230

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