Math Pro 數學補給站

標題: 114臺北市立陽明高中 [打印本頁]

作者: kobelian 時間: 2025-4-23 14:28 標題: 114臺北市立陽明高中

114臺北市立陽明高級中學

附件: 114臺北市立陽明高中_試題.pdf (2025-4-23 14:39, 469.99 KB) / 該附件被下載次數 1988
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7455&k=cf36ecf034d28639fdb2a7c88d431108&t=1769623585

附件: 114臺北市立陽明高中_答案.pdf (2025-4-23 14:39, 56.73 KB) / 該附件被下載次數 1731
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7456&k=759aa6f1c065ee0f4f9d08fc00eced0e&t=1769623585

作者: cut6997 時間: 2025-4-23 17:43

想請教
填2
1/x+1/y=(n-1)/n
只想到窮舉
1/y=(nx-x-n)/nx
=>y=nx/(n(x-1)-x)
x=2時，y=2n/(n-2)讓n跑到y<=3
=>n=3,4,6=>y=6,4,3
x=3時，y=3n/(2n-3)讓n跑到y<=4
=>n=2=>y=6
x=4時，y=4n/(3n-4)讓n跑到y<=5
可知x>=4以後無滿足者

和
計算4(只想到用柯西和算幾夾上下界)

p.s.
填充第8題我PDF放大到超過200%才看到那是向量不是線段

作者: bugmens 時間: 2025-4-23 19:19

3.
在空間中，已知平面\(E\)：\(x+2y+2z=9\)與球面\(S\)：\(x^2+y^2+z^2=16\)交於一圓。若球面\(S\)被平面\(E\)切成兩塊，求容積較小那一塊的容積為　　　。

將一實心地球儀浸入水中，令其北極朝上，而北緯\(30^{\circ}\)緯線恰與水面齊，則浮出水面部分之體積，佔全球體體積之　　　(註：赤道緯度為\(0^{\circ}\)，北極為北緯\(90^{\circ}\))。
(79大學聯考，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2441&page=1#pid14824)

4.
試求由\(y=x-x^2\)及\(y=0\)所圍成的區域繞著\(x=2\)旋轉所得到實體之體積為　　　。
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3832&page=3#pid25759

5.
在坐標空間中，\(xz\)平面上有一直線\(L\)：\(\sqrt{3}x-z-6=0\)，將此直線繞\(z\)軸旋轉得到一個直圓錐面，此圓錐面和\(xy\)平面圍成一個圓錐體。現將一球塞進此圓錐體中，則此球面半徑最大時的球心坐標為　　　。
(113大直高中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3844&page=1#pid25823)

6.
現有八枚相同的硬幣，每次至少取1枚，一直到取完為止。設每一種取法的機率相等，則在已知第二次取3枚的情況下，總共取了四次才取完的條件機率為　　　。(化為最簡分數)
(臺北區104學年度第二學期第一次模擬考，https://webapps.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/rab/RA594.pdf)

7.
橢圓\(\Gamma\)：\(\displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\)上相異三點\(P(x_1,y_1)\)、\(\displaystyle Q(4,\frac{9}{5})\)、\(R(x_2,y_2)\)分別至焦點\(F(4,0)\)的距離成等差數列，求\(x_1+x_2=\)　　　。
(連結有解答http://www.mathland.idv.tw/iofor ... 34418&bname=ASP)

8.
一個正十七邊形的頂點\(A_1,A_2,A_3,\ldots,A_{17}\)皆落在單位圓上，點\(\displaystyle P\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)\)為圓\(C\)上一點，試求\(2(\vec{PA_1}+\vec{PA_2}+\ldots+\vec{PA_{17}})=\)　　　。

一個正八邊形，其頂點\(A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_6,A_7,A_8\)皆落在單位圓\(C\)上，點\(\displaystyle P\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)為圓\(C\)上一點，試求：\(\displaystyle \Bigg\vert\; \sum_{k=1}^8 \vec{PA_k}\Bigg\vert\;=\)　　　。
(109中壢高中代理，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3339&page=2#pid21796)

9.
方程式\(2x^6-3x^5+4x^4-3x^3+4x^2-3x+2=0\)的六個根中，落在複數平面第一象限之所有根的總和為　　　。

解方程式\(2x^6-3x^5+4x^4-3x^3+4x^2-3x+2=0\)，得到的6個根中，落在複數平面第一象限的所有根為　　　。
(112羅東高工，https://math.pro/db/thread-3772-1-1.html)

10.
設\( \displaystyle p=\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\ldots+\sqrt{1+\frac{1}{2025^2}+\frac{1}{2026^2}}\)，\(p=\)？
看題目寫答案\(\displaystyle 2026-\frac{1}{2026}=2025\frac{2025}{2026}\)
我的教甄準備之路　裂項相消，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678

11.
設\(\displaystyle f(x)=\frac{sinx}{\sqrt{4cosx+5}}\)，其中\(x\in \mathbb{R}\)，試求\(f(x)\)的值域為　　　。

設\(\displaystyle f(x)=\frac{sinx}{\sqrt{4cosx+5}}\)，其中\(x\in \mathbb{R}\)，已知\(f(x)\)的值域為區間\([a,b]\)，則數對\((a,b)=\)　　　。
(107台中女中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2950&page=2#pid18454)

12.
試求滿足\(log_{(x+y)}y<log_{(x+y)}\sqrt{1-x^2}\)之所有點\((x,y)\)所形成圖形的面積為　　　。

求不等式\(log_{(x+y)}\sqrt{1-x^2}>log_{(x+y)}y\)所形成的區域面積=　　　。
(100香山高中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1186&page=3#pid4684)

二、計算題
1.
已知由\(f(x)=-x^2+4x+1\)及\(g(x)=-x+5\)兩圖形所圍成之封閉區域\(A\)，若作直線\(L\)垂直\(x\)軸，分別與封閉區域\(A\)的邊界交於\(P\)、\(Q\)兩點，求在封閉區域內的\(\overline{PQ}\)長之最大值為何？
(110成功大學/臺南一中科學班　科學能力檢定，https://math.pro/db/thread-3726-1-1.html)

3.
已知一個圓內接四邊形\(ABCD\)中可找到一個內切圓，且\(E\)、\(F\)、\(G\)、\(H\)四點分別為此四邊形\(ABCD\)與其內切圓相切的四個切點，若\(\overline{FG}=6\)、\(\overline{EF}=7\)、\(\overline{EH}=8\)，求\(\overline{GH}\)的長度為何？

作者: thepiano 時間: 2025-4-23 19:57 標題: 回覆 2# cut6997 的帖子

填充第 2 題
考慮 1/x + 1/y + 1/n = 1

作者: cut6997 時間: 2025-4-23 22:36 標題: 回覆 4# thepiano 的帖子

寫的過程中有寫出這個形式過
但是我只看得出最小的必須小於3
=>x=2或n=2
然後就把它炸開了
現在想想把x=2做完就等於把n=2也做完了，
把裡面y=<x的情況去掉就好了(也就是n>=y)
我數論和幾何是真的爛
(像計算3題目故意給兩條誤導的輔助線，差點做不出來)

作者: Superconan 時間: 2025-4-24 01:56 標題: 回覆 1# kobelian 的帖子

陽明高中考試的時候，題目卷與答案卷上計算題的配分不一致。
題目卷：每題10分。
答案卷：第1~3題每題8分，第4題16分。

感覺上答案卷的配分比較合理，不過學校公告的答案卷上面沒寫配分，只看得到題目卷上的配分。
不知道最後批改會採用哪種配分方式，感覺學校應該要公告說明一下比較公平。

作者: satsuki931000 時間: 2025-4-25 01:04

計算二
印象中109某校代理有考過
但臨時找不到

若 \(\displaystyle x=\frac{-1}{2},-(\frac{-1}{2}a+b)^{20}=(\displaystyle \frac{1}{4}-\frac{1}{2}p+q)^{10}\) ，其值必為0
因此\(\displaystyle a=2b,2p-4q=1\)

根據首項係數得知\(2^{20}-(2b)^{20}=1 \Rightarrow 1-b^{20}=\displaystyle \frac{1}{2^{20}} \Rightarrow b^{20}=\frac{1048575}{1048576}\)

若\(x=-1, 1-(-a+b)^{20}=(1-p+q)^{10} \Rightarrow 1-b^{20}=\displaystyle \frac{1}{2^{20}}=(1-p+q)^{10}\)
\(\Rightarrow 1-p+q=\displaystyle \pm \frac{1}{4} \)

解聯立得\((p,q)=(1,\displaystyle \frac{1}{4})\) 或\((p,q)=(2,\displaystyle \frac{3}{4})\) ，明顯後者不合

所以答案為\( (\displaystyle \frac{1048575}{1048576},1,\frac{1}{4})\)

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2025-4-25 08:34 編輯 ]

作者: peter0210 時間: 2025-4-26 10:21

計算三

圖片附件: 計算三.png (2025-4-26 10:21, 34.45 KB) / 該附件被下載次數 1269
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7461&k=c7d9cee1f3216abefd7037cbfe6ba5fa&t=1769623585

圖片附件: 計算三-2.png (2025-4-26 10:21, 14.85 KB) / 該附件被下載次數 1261
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7462&k=ef27a574743d1e1d31bf30e34d52b39e&t=1769623585

作者: nico90015 時間: 2025-5-13 16:55

想問計算四～目前只想到用柯西來處理><

作者: thepiano 時間: 2025-5-13 18:01 標題: 回覆 9# nico90015 的帖子

計算第 4 題
用參數式
x = √3cosα，p = √2sinα，y = √3cosβ，q = √2sinβ
……

作者: nico90015 時間: 2025-5-15 08:16 標題: 回覆 10# thepiano 的帖子

啊啊對齁！謝謝鋼琴老師！！

作者: ruee29 時間: 2025-8-14 17:20

整理了一些解答，供參考~

附件: 114台北陽明(1).pdf (2025-8-14 17:20, 1.08 MB) / 該附件被下載次數 486
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7675&k=3b9197cdd964e9b778026ab8097726f9&t=1769623585

附件: 114台北陽明(2).pdf (2025-8-14 17:20, 898.59 KB) / 該附件被下載次數 479
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7676&k=a500710726df90255bfa32bb1fe661df&t=1769623585

歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/)

論壇程式使用 Discuz! 6.1.0