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標題: 114高雄中學 [打印本頁]

作者: kobelian 時間: 2025-4-14 15:32 標題: 114高雄中學

114高雄中學

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作者: bugmens 時間: 2025-4-14 15:41

6.
若\(\left[\matrix{\displaystyle \frac{2}{5}&\frac{1}{3}\cr\frac{3}{5}&\frac{2}{3}}\right]\Bigg\{\;\left[\matrix{\displaystyle \frac{3}{5}&\frac{4}{5}\cr\frac{4}{5}&-\frac{3}{5}}\right] \left[ \matrix{\displaystyle \frac{24}{25}&-\frac{7}{25}\cr \frac{7}{25}&\frac{24}{25}}\right]\Bigg\}\;^{114}\left[\matrix{1&4\cr 3&2}\right]=\left[\matrix{a&c\cr b&d}\right]\)，求\(a+b+c+d=\)？
(我的教甄準備之路　矩陣\(n\)次方，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid14875)
[提示]
\(R_1=\left[\matrix{cos2\theta&sin2\theta \cr sin2\theta&-cos2\theta}\right]=\left[\matrix{\displaystyle \frac{3}{5}&\frac{4}{5}\cr\frac{4}{5}&-\frac{3}{5}}\right]\)為鏡射矩陣，\(det(R_1)=-1\)
\(R_2=\left[\matrix{cos\theta&-sin\theta \cr sin\theta&cos\theta}\right]=\left[ \matrix{\displaystyle \frac{24}{25}&-\frac{7}{25}\cr \frac{7}{25}&\frac{24}{25}}\right]\)為旋轉矩陣，\(det(R_2)=+1\)
\(det(R_3)=det(R_1\cdot R_2)=det(R_1)\cdot det(R_2)=-1\)，\(R_3\)為鏡射矩陣
\((R_1\cdot R_2)^2=R_3^2=I\)鏡射兩次回到原來位置

10.
已知\(p\ne 0\)，\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\)為\(x^3-px+p^3=0\)的三個根，試以\(p\)表示\(\displaystyle \frac{\alpha-p}{\alpha+p}+\frac{\beta-p}{\beta+p}+\frac{\gamma-p}{\gamma+p}\)之值。

114.4.21補充
設方程式\(x^3-2x^2-3x+1=0\)之三根為\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\)，試求以\(\displaystyle \frac{\alpha-1}{2\alpha+3}\)、\(\displaystyle \frac{\beta-1}{2\beta+3}\)、\(\displaystyle \frac{\gamma-1}{2\gamma+3}\)為三根之三次方程式。
(109全國高中聯招，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3342&page=1#pid21387)

15.
二階方陣A滿足\(A^T=A^{-1}\)，證明：\(A\)必為平面變換中的旋轉矩陣或鏡射矩陣。
[解答]
114.7.25補充
以Gemini 2.5 Pro計算，指令為"二階方陣A滿足A^T=A^-1，證明：A必為平面變換中的旋轉矩陣或鏡射矩陣。"，以下為回應結果

好的，這是一個線性代數中關於正交矩陣 (Orthogonal Matrix) 的經典證明題。我們將從定義出發，推導其結構。

證明

1. 前置定義與條件分析

我們要證明一個二階方陣 (2x2 matrix) \(A\)，若滿足\(A^T=A^{-1}\)，則\(A\)必為旋轉矩陣或鏡射矩陣。

首先，我們設一個通用的二階方陣\(A\)：
\(A =\left[\matrix{a & b\cr c & d}\right]\)其轉置矩陣\(A^T\)為：\(A^T=\left[\matrix{a&c \cr b&d}\right]\)題目給定的條件\(A^T= A^{-1}\)，兩邊同乘以\(A\)，可得：\(A^T A = A^{-1} A = I\)
其中\(I\)是單位矩陣\(\left[\matrix{1&0\cr0&1}\right]\)。這個關係\(A^TA=I\)是正交矩陣的定義，也是我們證明的出發點。

2.展開矩陣乘法

我們將\(A^TA=I\)展開：\(\left[\matrix{a&c\cr b&d}\right]\left[\matrix{a&b\cr c&d}\right]=\left[\matrix{a^2+c^2&ab+cd\cr ab+cd&b^2+d^2}\right]=\left[\matrix{1&0\cr0&1}\right]\)
比較兩邊矩陣的元素，我們可以得到以下三個重要的關係式：
(1)\(a²+c²=1\)
(2)\(b²+d²=1\)
(3)\(ab+cd=0\)

3.利用參數式表示矩陣元素

由關係式(1)\(a^2+c^2=1\)，我們可以聯想到三角函數的平方關係\(cos^2\theta+sin^2\theta=1\)。
因此，我們可以設存在一個角度\(\alpha\)，使得：\(a=cos(\alpha),c=sin(\alpha)\)
同樣地，由關係式(2)\(b^2+d^2=1\)，我們可以設存在一個角度\(\beta\)，使得：\(b=cos(\beta),d=sin(\beta)\)

現在，將這些參數式代入關係式(3)\(ab+cd=0\)：\(cos(\alpha)cos(\beta)+sin(\alpha)sin(\beta)=0\)
根據和角公式，\(cos(\alpha-\beta)=cos(\alpha)cos(\beta)+sin(\alpha)sin(\beta)\)，所以我們得到：\(cos(\alpha-\beta)=0\)
這表示\(\alpha\)和\(\beta\)的角度差為\(\displaystyle \frac{\pi}{2}\)的奇數倍，即\(\displaystyle \alpha-\beta=k\pi+\frac{\pi}{2}\)，其中\(k\)為整數。換句話說，\(\displaystyle \alpha-\beta=\pm\frac{\pi}{2},\pm\frac{3\pi}{2},\ldots\)。

4.探討\(A\)的行列式(Determinant)

我們從\(A^TA=I\)來計算\(A\)的行列式\(det(A)\)：
\(det(A^TA)=det(I)\)
\(det(A^T)\cdot det(A)=1\)
因為轉置矩陣的行列式值不變，即\(det(A^T)=det(A)\)，所以：\((det(A))²=1\)
這導出一個關鍵結論：\(det(A)=1\)或\(det(A)=-1\)。
這兩個值正好分別對應旋轉和鏡射變換，因此我們分兩種情況討論。

情況一：\(det(A)=1\)(旋轉矩陣)

\(det(A)=ad-bc=1\)
將參數式代入：\(cos(\alpha)sin(\beta)-cos(\beta)sin(\alpha)=1\)
根據差角公式，\(sin(\beta-\alpha)=sin(\beta)cos(\alpha)-cos(\beta)sin(\alpha)\)，所以：\(sin(\beta-\alpha)=1\)
這表示\(\displaystyle\beta-\alpha=2k\pi+\frac{\pi}{2}\)。
結合前面\(cos(\alpha-\beta)=0\)的結論，唯一滿足這兩個條件的是\(\displaystyle \beta-\alpha=\frac{\pi}{2}\)(或差\(2\pi\)的同位角)。
因此，\(\displaystyle \beta=\alpha+\frac{\pi}{2}\)。

現在我們用\(\alpha\)來表示\(b\)和\(d\)：
\(\displaystyle b=cos(\beta)=cos(\alpha+\frac{\pi}{2})=-sin(\alpha)\)
\(\displaystyle d=sin(\beta)=sin(\alpha+\frac{\pi}{2})=cos(α)\)

將\(a,b,c,d\)的結果代回矩陣\(A\)：\(A=\left[\matrix{a&b\cr c&d}\right]=\left[\matrix{cos(\alpha)&-sin(\alpha)\cr sin(\alpha)&cos(\alpha)}\right]\)
這正是將平面上的點繞原點逆時針旋轉\(\alpha\)角度的旋轉矩陣。

情況二：\(det(A)=-1\)(鏡射矩陣)

\(det(A)=ad-bc=-1\)
將參數式代入：
\(cos(\alpha)sin(\beta)-cos(\beta)sin(\alpha)=-1\)
\(sin(\beta-\alpha)=-1\)
這表示\(\displaystyle \beta-\alpha=2k\pi-\frac{\pi}{2}\)。
結合\(cos(\alpha-\beta)=0\)，唯一滿足條件的是\(\displaystyle \beta-\alpha=-\frac{\pi}{2}\)。
因此，\(\displaystyle \beta=\alpha-\frac{\pi}{2}\)。

我們再次用\(\alpha\)來表示\(b\)和\(d\)：
\(\displaystyle b=cos(\beta)=cos(\alpha-\frac{\pi}{2})=sin(\alpha)\)
\(\displaystyle d=sin(\beta)=sin(\alpha-\frac{\pi}{2})=-cos(\alpha)\)

將\(a,b,c,d\)的結果代回矩陣\(A\)：\(A=\left[\matrix{a&b\cr c&d}\right]=\left[\matrix{cos(\alpha)&sin(\alpha)\cr sin(\alpha)&-cos(\alpha)}\right]\)
這個矩陣可以寫成\(\left[\matrix{cos(\alpha)&sin(\alpha)\cr sin(\alpha)&-cos(\alpha)}\right]\)的形式。這正是將平面上的點對一條通過原點、與\(x\)軸夾角為\(\displaystyle \frac{\alpha}{2}\)的直線進行鏡射的鏡射矩陣。

結論

我們已經證明，對於滿足\(A^T=A^{-1}\)的二階方陣\(A\)，其行列式值必為1或\(-1\)。
當\(det(A)=1\)時，\(A\)必定是旋轉矩陣。
當\(det(A)=-1\)時，\(A\)必定是鏡射矩陣。

因此，\(A\)必為平面變換中的旋轉矩陣或鏡射矩陣。證明完畢。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
設\(P\)為平面上任意一點，\(O\)為原點，若二階方陣\(A\)將\(P\)對應到\(Q\)且\(\overline{PO}=\overline{QO}\)，以高中數學內容證明：\(A\)必為平面變換中的旋轉矩陣或鏡射矩陣。
(114鳳新高中，https://math.pro/db/thread-3978-1-1.html)

作者: cut6997 時間: 2025-4-14 19:47

請教12.13題
12題毫無頭緒
13題
(n+1)/(8n+1)<S_(2n+1)-S_(n)<(n+1)/(4n+1)
當n->inf, 1/8<<S_(2n+1)-S_(n)<1/4
n=1時 S_(2n+1)-S_(n)=1/a2+1/a3=1/5+1/9=14/45
若f(n)=(n+1)/(4n+1)=(1+3/(4n+1))/4,則f'(n)=-3/(4n+1)<0函數遞減
這樣能推得 k/15>14/45 => k>14/3 ?
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12題跟辦公室老師初步討論，大家偏向題目出錯
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感謝Jimmy老師，當下沒注意到前後項的差很好處理

作者: Dragonup 時間: 2025-4-15 12:23 標題: 回覆 3# cut6997 的帖子

第 12 題.
滿足\(4Z_1^2+5Z_2^2+4Z_3^2=4Z_1Z_2+6Z_2Z_3+4Z_3Z_1\)，若複數平面上以\(Z_1\)、\(Z_2\)、\(Z_3\)為頂點的三角形，其三邊長由小到大分別為\(a\)、\(b\)、\(c\)且\(a:b:c=2:r:s\)，則\(rs=\)？
[解答]

作者: Ellipse 時間: 2025-4-16 12:59

引用:

原帖由 Dragonup 於 2025-4-15 12:23 發表
第 12 題.

跟幾位朋友討論後,覺得這題題目可能出錯了(三角形會不固定)

作者: Jimmy92888 時間: 2025-4-16 19:42 標題: 回覆 3# cut6997 的帖子

第13題
已知等差數列\(\{\;a_n \}\;\)中，\(a_2=5\)，\(a_6=21\)，若數列\(\{\;\displaystyle \frac{1}{a_n} \}\;\)的前\(n\)項和為\(S_n\)，若\(\displaystyle S_{2n+1}-S_n\le \frac{k}{15}\)，對所有的正整數\(n\)恆成立，試求實數\(k\)的取值範圍。
[解答]
\(a_n=4n-3\)
令\(f(n)=S_{2n+1}-S_n\)，
檢查\(f(n)\)的單調性
\(\displaystyle f(n+1)-f(n)=(S_{2n+3}-S_{n+1})-(S_{2n+1}-S_{n})=\frac{1}{a_{2n+3}}+\frac{1}{a_{2n+2}}-\frac{1}{a_{n+1}}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{8n+9}+\frac{1}{8n+5}-\frac{1}{4n+1}<\frac{1}{8n+2}+\frac{1}{8n+2}-\frac{1}{4n+1}<0\)
故\(f(n)為遞減函數\)，又\(\displaystyle f(1)=\frac{14}{45}\)
所以，\(\displaystyle \frac{14}{45}=\frac{k}{15}\)，得\(\displaystyle k=\frac{14}{3}\)

第12題，
有試著代兩組數進行化簡，得不到統一的答案。

作者: peter0210 時間: 2025-5-24 10:48

3.
已知\(A\)、\(B\)分別是\(\Gamma_1\)：\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的兩焦點且焦距長的一半記為\(c\)，現有\(\Gamma_1\)上的動點\(P\)。若\(\angle PAB=\alpha\)、\(\angle PBA=\beta\)，試求\(\displaystyle tan\frac{\alpha}{2}\cdot tan\frac{\beta}{2}=\)？(請以\(a,b,c\)的關係式表示)

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作者: Superconan 時間: 2025-9-30 00:32

不知道有沒有老師有算，可以對個答案～
另外請教第 4, 14 題
---
高雄中學114_參考簡答
1. 1/2 - (1/2)^115
2. (5, 4, 3)
3. (a-c)/(a+c)
4.
5. 100π
6. 10
7. (1) 1/3
(2) 四種可能；x+z=8, y=2, y-2z=-6, x-z=2
8. (54, 7)
9. (√3)/2
10. 6p+1
11. 7
12. 5（題目可能出錯）
13. 14/3
14.
15. 證明（略）

作者: ruee29 時間: 2025-10-3 05:42 標題: 回覆 8# Superconan 的帖子

空間坐標系中，有三個平面\(E_1\)：\(z=3\)、\(E_2\)、\(x-y+z=6\)、\(E_3\)：\(x+y-z=2\)。
令\(E_1\)與\(E_2\)相交的直線為\(L_3\)；\(E_2\)與\(E_3\)相交的直線為\(L_1\)；\(E_3\)與\(E_1\)相交的直線為\(L_2\)。
已知三直線\(L_1\)、\(L_2\)、\(L_3\)有共同交點\(P\)，若\(A\)、\(B\)、\(C\)分別在\(L_1\)、\(L_2\)、\(L_3\)上，且\(\overline{PA}=\overline{PB}=\overline{PC}=\sqrt{2}\)。
試求：(1)四面體\(PABC\)的體積為？
　　　(2)過\(A\)、\(B\)、\(C\)三點的平面有幾種可能？方程式為何？

7(2)和另一位老師算出8種
x+z=8, x+z=6,
y=2, y=0,
x-z=0, x-z=2,
y-2z=-6, y-2z=-4

作者: ruee29 時間: 2025-10-6 13:47

整理了一些解答，供參考~

附件: 114雄中(1).pdf (2025-10-6 13:47, 1.57 MB) / 該附件被下載次數 488
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附件: 114雄中(2).pdf (2025-10-6 13:47, 646.91 KB) / 該附件被下載次數 500
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