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標題: 114中二中 [打印本頁]
作者: kobelian    時間: 2025-4-12 08:37     標題: 114中二中

114中二中數學

依學校官方網站公告：

【數學科】
第一大題第4題原答案為22/3，更正為44/3。
第二大題B原答案為4√6，更正為12√6。

附件: 114臺中二中數學科教甄__試題與更正版參考答案.pdf (2025-4-16 17:15, 342.96 KB) / 該附件被下載次數 2564
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7392&k=a5818d2e7097dfaa4fe330ee3c94d51a&t=1769613233
作者: kobelian    時間: 2025-4-12 08:45     標題: 回覆 1# kobelian 的帖子

請問老師  填充  4 ,5 , 7
作者: thepiano    時間: 2025-4-12 10:10     標題: 回覆 2# kobelian 的帖子

第 7 題
求滿足\((a+bi)^{2002}=a-bi\)的實數數對\((a,b)\)有　　　組。
[解答]
z = a + bi，z' = a - bi
z^2002 = z'
|z| = |z'| = |z^2002| = |z|^2002
|z|(|z|^2001 - 1) = 0
|z| = 0 or |z| = 1

(1) |z| = 0，(a，b) = 0

(2) |z| = 1
z^2003 = z' * z = |z|^2 = 1
(a，b) 有 2003 個解

所求 = 1 + 2003 = 2004
作者: thepiano    時間: 2025-4-12 10:26     標題: 回覆 2# kobelian 的帖子

第 4 題
袋中有5張紙牌，其中有2張標記為「5點」，另外3張標記為「4點」，今從袋中隨機取出2張紙牌，若2張紙牌點數不同，則結束取牌；若2張紙牌點數相同，則將紙牌放回，並繼續取牌，直到2張紙牌點數不同，則結束取牌。試問取出紙牌之點數總和的期望值為　　　。
[解答]
放回的紙牌有計算點數嗎？

若有的話
E(X) = (6/10)(5 + 4) + (1/10)(E(X) + 5 * 2) + (3/10)(E(X) + 4 * 2)
E(X) = 44/3
跟官方的答案不同？
作者: CyberCat    時間: 2025-4-12 10:35     標題: 回覆 2# kobelian 的帖子

第4題
袋中有5張紙牌，其中有2張標記為「5點」，另外3張標記為「4點」，今從袋中隨機取出2張紙牌，若2張紙牌點數不同，則結束取牌；若2張紙牌點數相同，則將紙牌放回，並繼續取牌，直到2張紙牌點數不同，則結束取牌。試問取出紙牌之點數總和的期望值為　　　。
[解答]
En+1 = En*(3+1)/10 +1
解 X = 0.4X+1 得 X=5/3
每一次的期望點數和=[ (2*5+3*4)/5 ] * 2 =44/5
則取出紙牌之點數總和的期望值=(5/3)*(44/5)=44/3

和公布答案不同? 是不是忘了每一次都取出兩張？

(打字太慢 送出時才發現三樓已有大師出手~鋼琴老師好）
作者: bugmens    時間: 2025-4-12 13:47

1.
設\(x\in R\)，求\(f(x)=\sqrt{x^4-x^2-6x+10}-\sqrt{x^4-3x^2+4}\)的最大值為　　　。

7.
求滿足\((a+bi)^{2002}=a-bi\)的實數數對\((a,b)\)有　　　組。

Find the number of ordered pairs of real numbers \((a,b)\) such that \((a+bi)^{2002} = a-bi\).
(A)1001　(B)1002　(C)2001　(D)2002　(E)2004
(2002AMC12A，連結有解答https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_24)

8.
已知\(f(x)=x^2+6x+1\)，令符合兩條件\(f(x)+f(y)\le 0\)與\(f(x)-f(y)\le 0\)之點\((x,y)\)所成的集合為\(R\)，則區域\(R\)的面積為　　　。

若 \( f(x)=5－6x＋x^2 \)，求滿足 \( f(x)+f(y)\leq 0\) 及 \( f(x)－f(y)\geq 0\)  的 \(P(x, y)\) 所表區域面積 。
(98彰化女中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=741&page=4#pid4233)

10.
計算\(\displaystyle \sum_{k=1}^{2025}\frac{2^{-k}+1}{2^{-2k}-2^{-k+1}+2^{k+1}-1}=\)　　　。
(我的教甄準備之路　裂項相消，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678)
[解答]
以Gemini 2.5 Pro(experimental)計算，指令為"請計算這個題目,並列出計算過程和答案"，以下為回應結果

好的，我們來計算這個題目。

題目：
計算\(\displaystyle \sum_{k=1}^{2025} \frac{2^{-k} + 1}{2^{-2k} - 2^{-k+1} + 2^{k+1} - 1}\)

計算過程：

1.  化簡分式中的項：
    令\(\displaystyle a_k = \frac{2^{-k} + 1}{2^{-2k} - 2^{-k+1} + 2^{k+1} - 1}\)。 我們先化簡分母。
    分母\(D = 2^{-2k} - 2^{-k+1} + 2^{k+1} - 1\)
    \(D = (2^{-k})^2 - 2 \cdot 2^{-k} + 2 \cdot 2^k - 1\)

    為了更容易觀察，令\(x = 2^k\)，則\(2^{-k} = \frac{1}{x}\)。
    分母\(\displaystyle D = (\frac{1}{x})^2 - 2(\frac{1}{x}) + 2x - 1\)
    \(\displaystyle D = \frac{1}{x^2} - \frac{2}{x} + 2x - 1\)
    將分母通分：
    \(\displaystyle D = \frac{1 - 2x + 2x^3 - x^2}{x^2} = \frac{2x^3 - x^2 - 2x + 1}{x^2}\)

    因式分解分子\(2x^3 - x^2 - 2x + 1\)：
    我們可以發現\(x=1\)是根 (\(2-1-2+1=0\))， \(x=-1\)是根 (\(-2-1+2+1=0\))， \(x=1/2\) 是根 (\(2(1/8) - (1/4) - 2(1/2) + 1 = 1/4 - 1/4 - 1 + 1 = 0\))。
    所以分子可以分解為\(\displaystyle 2(x-1)(x+1)(x - \frac{1}{2}) = (x-1)(x+1)(2x-1)\)。
    檢查：\((x^2-1)(2x-1) = 2x^3 - x^2 - 2x + 1\)。正確。

    所以分母\(\displaystyle D = \frac{(x-1)(x+1)(2x-1)}{x^2}\)。
    代回\(x=2^k\)：
    \(\displaystyle D = \frac{(2^k - 1)(2^k + 1)(2 \cdot 2^k - 1)}{(2^k)^2} = \frac{(2^k - 1)(2^k + 1)(2^{k+1} - 1)}{2^{2k}}\)

    現在看分子\(\displaystyle N = 2^{-k} + 1 = \frac{1}{2^k} + 1 = \frac{1 + 2^k}{2^k}\)。

    因此，分式 \(\displaystyle a_k = \frac{N}{D} = \frac{(1 + 2^k)/2^k}{(2^k - 1)(2^k + 1)(2^{k+1} - 1)/2^{2k}}\)
    \(\displaystyle a_k = \frac{1 + 2^k}{2^k} \cdot \frac{2^{2k}}{(2^k - 1)(2^k + 1)(2^{k+1} - 1)}\)
    \(\displaystyle a_k = \frac{(1 + 2^k) \cdot 2^k}{(2^k - 1)(2^k + 1)(2^{k+1} - 1)}\)
    消去\((1 + 2^k)\)項：
    \(\displaystyle a_k = \frac{2^k}{(2^k - 1)(2^{k+1} - 1)}\)

2.  裂項（部分分式分解）：
    觀察分子\(2^k\)和分母中的兩項\((2^k - 1)\)和\((2^{k+1} - 1)\)。
    注意到\((2^{k+1} - 1) - (2^k - 1) = (2 \cdot 2^k - 1) - (2^k - 1) = 2 \cdot 2^k - 1 - 2^k + 1 = 2^k\)。
    這正好是分子！
    所以我們可以將\(a_k\)分解為：
    \(\displaystyle a_k = \frac{(2^{k+1} - 1) - (2^k - 1)}{(2^k - 1)(2^{k+1} - 1)}\)
    \(\displaystyle a_k = \frac{2^{k+1} - 1}{(2^k - 1)(2^{k+1} - 1)} - \frac{2^k - 1}{(2^k - 1)(2^{k+1} - 1)}\)
    \(\displaystyle a_k = \frac{1}{2^k - 1} - \frac{1}{2^{k+1} - 1}\)

3.  計算級數和（利用裂項求和法）：
    級數和\(\displaystyle S = \sum_{k=1}^{2025} a_k = \sum_{k=1}^{2025} \left( \frac{1}{2^k - 1} - \frac{1}{2^{k+1} - 1} \right)\)
    這是一個伸縮級數（或稱對消級數、裂項級數）。將級數展開：
    \(\displaystyle S = \left( \frac{1}{2^1 - 1} - \frac{1}{2^2 - 1} \right)\)  \((k=1)\)
      \(\displaystyle + \left( \frac{1}{2^2 - 1} - \frac{1}{2^3 - 1} \right)\)  \((k=2)\)
      \(\displaystyle + \left( \frac{1}{2^3 - 1} - \frac{1}{2^4 - 1} \right)\)  \((k=3)\)
      \(\ldots\)
      \(\displaystyle + \left( \frac{1}{2^{2025} - 1} - \frac{1}{2^{2026} - 1} \right)\) \((k=2025)\)

    中間的項互相抵消：\(\displaystyle -\frac{1}{2^2-1}\)與\(\displaystyle +\frac{1}{2^2-1}\) 抵消，依此類推，直到\(\displaystyle -\frac{1}{2^{2025}-1}\)與\(\displaystyle +\frac{1}{2^{2025}-1}\)抵消。
    剩下的項是第一項的第一部分和最後一項的第二部分：
    \(\displaystyle S = \frac{1}{2^1 - 1} - \frac{1}{2^{2026} - 1}\)
    \(\displaystyle S = \frac{1}{2 - 1} - \frac{1}{2^{2026} - 1}\)
    \(\displaystyle S = \frac{1}{1} - \frac{1}{2^{2026} - 1}\)
    \(\displaystyle S = 1 - \frac{1}{2^{2026} - 1}\)

4.  最終結果：
    將結果合併為一個分數：
    \(\displaystyle S = \frac{(2^{2026} - 1) - 1}{2^{2026} - 1}\)
    \(\displaystyle S = \frac{2^{2026} - 2}{2^{2026} - 1}\)

答案：
計算結果為\(\displaystyle 1 - \frac{1}{2^{2026} - 1}\)或\(\displaystyle \frac{2^{2026} - 2}{2^{2026} - 1}\)。
作者: Jimmy92888    時間: 2025-4-12 14:17

引用:
原帖由 kobelian 於 2025-4-12 08:45 發表
請問老師  填充  4 ,5 , 7
第5題
平面上，有一個四邊形\(ABCD\)內接於圓\(\Gamma\)：\(\overline{AC}\)為圓\(\Gamma\)的直徑、\(O\)點為圓\(\Gamma\)的圓心。已知\(\overline{AB}=4\sqrt{5}\)，\(\vec{AB}\cdot \vec{AD}=11\)且\(\triangle OAB\)的面積:\(\triangle OAD\)的面積\(=16:7\)，設\(\vec{AC}=r\vec{AB}+s\vec{AD}\)，求數對\((r,s)=\)　　　。
[解答]
首先由面積比知，r：s=7：16
因為AC的直徑，所以向量的內積：AB．AC=AB^2
所以，由AB．AC=AB．(rAB)+AB．(sAD)，可得80=80r+11s
故s=40/23，r=35/46
作者: joiuk123    時間: 2025-4-12 19:02     標題: 回覆 1# kobelian 的帖子

請問老師，計算C，D，E。
C原本的想法是設座標，用對稱中心去解，但沒成功。
作者: Ellipse    時間: 2025-4-12 23:33

引用:
原帖由 joiuk123 於 2025-4-12 19:02 發表

請問老師，計算C，D，E。
C原本的想法是設座標，用對稱中心去解，但沒成功。
計算D
已知一銳角三角形\(\triangle ABC\)之邊長分別為\(a,b,c\)。令\(r\)為\(\triangle ABC\)內切圓之半徑，\(R\)為\(\triangle ABC\)外接圓之半徑，
試證：(1)\(\displaystyle r=4Rsin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}\)
　　　(2)\(\displaystyle \frac{abc}{\sqrt{2(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}}\ge\frac{r}{2R}\)
[提示]
⑴r=△/s，R=abc/(4△)，sin(A/2)用cosA及邊長來表示代入前式，証明左=右
作者: thepiano    時間: 2025-4-12 23:46     標題: 回覆 8# joiuk123 的帖子

計算 C
坐標平面上，若四邊形的四個頂點都在函數\(f(x)\)上，則稱此四邊形為\(f(x)\)的內接四邊形。已知函數\(f(x)=x^3+ax\)的圖形有唯一一個內接正方形，求\(a\)之值為何？
[解答]
f(x) = x^3 + ax 對稱於原點
內接正方形 ABCD 的中心亦為原點 O

設 A(p，q)、B(q，-p)、C(-p，-q)、D(-q，p)，其中 p > q > 0
可得
q = p^3 + ap
-p = q^3 + aq

a = (q - p^3)/p = (-p - q^3)/q
q/p - p^2 = -p/q - q^2
p^2 - q^2 = p/q + q/p

令 t = p/q > 1
a = [(q - p^3) + (-p - q^3)] / (p + q)
= -(p^2 - pq + q^2) - [(p - q)/(p + q)]
= -[(p^2 - pq + q^2)/(p^2 - q^2)](p/q + q/p) - [(p - q)/(p + q)]
= -[(t^2 - t + 1)/(t^2 - 1)](t + 1/t) - [(t - 1)/(t + 1)]
= -(t^4 + 1)/(t^3 - t)
= -(t^2 + 1/t^2)/(t - 1/t)
= -[(t - 1/t)^2 + 2]/(t - 1/t)
≦ -2√2

等號成立於 t - 1/t = √2
此時 a = -2√2
作者: thepiano    時間: 2025-4-13 00:32     標題: 回覆 8# joiuk123 的帖子

計算 E (1)
用\(|\;S|\;\)表示集合中元素的個數。已知集合\(\displaystyle S=\{\;\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots,\frac{1}{113} \}\;\)，\(T=\{\;A \subseteq S|\; |\;A|\;=2n,n\in N\}\;\)，試回答下列問題：
(1)\(|\;T|\;=\)？
(2)\(\forall A_i\in T\)，將\(A_i\)中所有的元素相乘的乘積記為\(m_i\)，再將所有的\(m_i\)相加，其和為\(M\)，求\(M\)之值？
[解答]
集合 S 有 112 個元素
集合 T 的元素是集合 S 中含有偶數個元素的子集(不含空集合)
所求 = C(112，2) + C(112，4) + C(112，6) + ... + C(112，112) = 2^111 - 1
作者: joiuk123    時間: 2025-4-13 17:10     標題: 回覆 10# thepiano 的帖子

謝謝老師們的回答！了解了。
作者: peter0210    時間: 2025-4-13 21:27

計算E(2)
用\(|\;S|\;\)表示集合中元素的個數。已知集合\(\displaystyle S=\{\;\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots,\frac{1}{113} \}\;\)，\(T=\{\;A \subseteq S|\; |\;A|\;=2n,n\in N\}\;\)，試回答下列問題：
(1)\(|\;T|\;=\)？
(2)\(\forall A_i\in T\)，將\(A_i\)中所有的元素相乘的乘積記為\(m_i\)，再將所有的\(m_i\)相加，其和為\(M\)，求\(M\)之值？
[解答]

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作者: peter0210    時間: 2025-4-13 21:42

計算C
坐標平面上，若四邊形的四個頂點都在函數\(f(x)\)上，則稱此四邊形為\(f(x)\)的內接四邊形。已知函數\(f(x)=x^3+ax\)的圖形有唯一一個內接正方形，求\(a\)之值為何？
[解答]

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作者: x14162003    時間: 2025-4-14 16:46     標題: 回覆 7# Jimmy92888 的帖子

請問老師，第一行的r:s怎麼得到的?
作者: peter0210    時間: 2025-4-14 19:22     標題: 回覆 15# x14162003 的帖子

可利用二階行列式求平行四邊形面積得出
作者: Dragonup    時間: 2025-4-15 12:17     標題: 回覆 8# joiuk123 的帖子

計算 D (2)
已知一銳角三角形\(\triangle ABC\)之邊長分別為\(a,b,c\)。令\(r\)為\(\triangle ABC\)內切圓之半徑，\(R\)為\(\triangle ABC\)外接圓之半徑，
試證：(1)\(\displaystyle r=4Rsin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}\)
　　　(2)\(\displaystyle \frac{abc}{\sqrt{2(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}}\ge\frac{r}{2R}\)
[解答]
作者: 王重鈞    時間: 2025-4-15 14:36     標題: 計算D(2)

已知一銳角三角形\(\triangle ABC\)之邊長分別為\(a,b,c\)。令\(r\)為\(\triangle ABC\)內切圓之半徑，\(R\)為\(\triangle ABC\)外接圓之半徑，
試證：(1)\(\displaystyle r=4Rsin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}\)
　　　(2)\(\displaystyle \frac{abc}{\sqrt{2(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}}\ge\frac{r}{2R}\)
[解答]

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作者: peter0210    時間: 2025-4-17 19:58     標題: 回覆 15# x14162003 的帖子

說明

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作者: ruee29    時間: 2025-7-7 17:43

整理了中二中解答，供參考

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=7640&k=f9bec56a9703151a0aa3d7fa81e7e19d&t=1769613233

附件: 114中二中(2).pdf (2025-7-7 17:43, 866.66 KB) / 該附件被下載次數 730
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