一、填充題
1.
計算無窮級數\(\displaystyle \frac{1}{1\times2}+\frac{1}{1\times2+2\times 3}+\frac{1}{1\times2+2\times 3+3\times 4}+\ldots+\frac{1}{1\times2+2\times3+3\times 4+\ldots+n(n+1)}+\ldots\)之值為
。
(我的教甄準備之路 裂項相消，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678)
4.
已知實數\(a,b,c\)滿足下列條件：
\(\cases{\displaystyle
\frac{a}{2^2+3^2} + \frac{b}{2^2+5^2} + \frac{c}{2^2+7^2} = 1\cr
\frac{a}{4^2+3^2} + \frac{b}{4^2+5^2} + \frac{c}{4^2+7^2} = 1\cr
\frac{a}{6^2+3^2} + \frac{b}{6^2+5^2} + \frac{c}{6^2+7^2} = 1} \)
則\(a+b+c\)之值為
。
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2492&page=1#pid15192
7.
投擲一個公正骰子四次，試求投出的四個數的乘積為完全平方數的機率。
由\(1,2,3,\ldots,12\)十二個數字中隨機取出四個相異的數，每個數被取出的機會皆相等，令\(S\)表示此四數的乘積，求\(S\)為完全平方數的機率為
。
(114中二中，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3952&page=2#pid27603)
8.
已知在坐標平面上，滿足以下不等式\(|3x + 2y - 2| + |3x - 2y + 5| + |3x + 2y + 2| + |3x - 2y - 5| \le 14\)的點\((x, y)\)所成的圖形面積為
。
類似問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2264&page=3#pid13904
二、計算證明題
2.
設\(x,y,z\)為正實數且滿足\(x^2+y^2+z^2=3\)，試證明：\(\displaystyle \frac{x^3}{2+x}+\frac{y^3}{2+y}+\frac{z^3}{2+z}\ge 1\)。
