標題: 113新北市高中聯招 [打印本頁]

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作者: bugmens    時間: 2024-5-5 14:03     標題: 113新北市高中聯招

　

附件: 113新北市高中聯招題目.pdf (2024-5-5 14:03, 234.15 KB) / 該附件被下載次數 1557
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附件: [數學填充第2,5,7題答案有修正。] 113新北市高中聯招_試題疑義回覆.pdf (2024-5-8 17:03, 1011.87 KB) / 該附件被下載次數 971
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作者: bugmens    時間: 2024-5-5 14:03

一、填充題
1.
空間中有一正三角形，其三頂點投影到\(xy\)平面後，形成邊長為2、3、\(2\sqrt{3}\)的三角形，試求原正三角形的邊長？

一平面上一正三角形\(ABC\)在另一平面的正射影為三角形\(A'B'C'\)，已知\(\Delta A'B'C'\)的三邊長分別為2，3，\(\sqrt{3}\)，求：
(1)正三角形\(ABC\)的一邊長？
(2)兩平面的夾角\(\theta\)，求\(cos\theta=\)？
(93中壢高中，連結有解答https://math.pro/db/thread-945-1-1.html)

8.
求極限\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(\frac{(2n)!}{n!n^n}\right)^{\frac{1}{n}}\)的值？

Find the limit as \(n \to \infty\)of \(\displaystyle \frac{1}{n}log\left(\frac{(2n)!}{n^nn!}\right)\).
連結有解答，https://math.stackexchange.com/q ... sum-of-log-function
收錄在我的教甄準備之路　黎曼和和夾擠定理，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615

二、計算證明題
2.
已知某三角形的三邊長為三個連續整數，且最大角為最小角的兩倍，求此三角形的外接圓面積？

(1)\(\Delta ABC\)中，\(A\)、\(B\)、\(C\)的邊長依次為\(a\)、\(b\)、\(c\)，如果\(\angle B=2\angle C\)，則\(b^2=c(a+c)\)。試證之。
(2)設上述\(\Delta ABC\)的三邊長為三個連續整數，試求所有滿足此條件的三角形。
(連結有解答，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1078)

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作者: aspoercig    時間: 2024-5-5 18:12     標題: 一、填充題 第2題

剛剛再次算過，發現這題的題意有問題(即容易產生誤解)。
答案給的是f自己合成113次，然後再代入x=2024得到的結果。
但我看題目認為是算f微分113次，然後再代入x=2024。

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作者: hughnald    時間: 2024-5-5 20:06

還有填充題第七題,答案疑似沒有考量0進去,答案應該不是公布的結果

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作者: mathchen    時間: 2024-5-5 20:10     標題: 回覆 3# aspoercig 的帖子

我這題也以為是微分113次耶，原題沒說明清楚吧？

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作者: mathchen    時間: 2024-5-5 20:14     標題: 回覆 4# hughnald 的帖子

老師您好，有考量0進去的話答案會是20對嗎

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作者: aspoercig    時間: 2024-5-5 20:24     標題: 回覆 6# mathchen 的帖子

對，我算的答案是20。
由小到大排第2023個，因為最小是0，所以以十進位看由小到大的第2023個數是2022，
換算成8進位是3746(即 512*3+64*7+8*4+6)，所以 a=3, b=7, c=4, d=6，
a+b+c+d=20。

我認為公告的21是錯誤的。

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作者: hughnald    時間: 2024-5-5 20:30     標題: 回覆 6# mathchen 的帖子

老師您好
是的,我算的也是20

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作者: Superconan    時間: 2024-5-5 21:43

填充第 5 題
答案有誤，最大值不存在。
因為等號不會成立，a, b, c 有人是負的。

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作者: Ellipse    時間: 2024-5-5 21:53

引用:

原帖由 aspoercig 於 2024-5-5 18:12 發表
剛剛再次算過，發現這題的題意有問題(即容易產生誤解)。
答案給的是f自己合成113次，然後再代入x=2024得到的結果。
但我看題目認為是算f微分113次，然後再代入x=2024。 ...

題目沒有定義好這個符號,若是看成微分
答案寫2*113! / 2025^114也要給對

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作者: Ellipse    時間: 2024-5-5 22:04

引用:

原帖由 Superconan 於 2024-5-5 21:43 發表
填充第 5 題
答案有誤，最大值不存在。
因為等號不會成立，a, b, c 有人是負的。

離譜至極~堂堂一個新北高中聯招,出題品質居然是這樣....
(包括填2,是微分或迭代符號也沒定義好)
出題老師都不會再用數學軟體檢驗過?
麻煩新北高中聯招單位請慎選命題老師
之前也出過一次誇張的狀況
(有一半題目出自某兩三年某幾區高中能力競賽題目)

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2024-5-5 22:22 編輯 ]

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作者: cut6997    時間: 2024-5-5 22:11     標題: 回覆 9# Superconan 的帖子

令所求=x+y+z
則
a=(x-y+z)/2
b=(x+y-z)/2
c=(-x+y+z)/2
等號成立時
x=36/11,y=4/11,z=9/11
=>c=-23/22

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作者: DavidGuo    時間: 2024-5-5 22:34

引用:

原帖由 hughnald 於 2024-5-5 20:06 發表
還有填充題第七題,答案疑似沒有考量0進去,答案應該不是公布的結果

第7題就是8進位，\(2022_{10}=3746_8\)
所以\(3+7+4+6=20\)。

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作者: yymath    時間: 2024-5-5 22:55

大家好～
這次新北聯招好多題有問題耶～
我整理了有問題的題目為 2，3，5，7題

錯題講解影片連結
https://youtu.be/cjLBy5ZSSOs?si=OB-KCQcbEpbDQvlW

大家還沒有提到的是第三題 如果AB可以是二位數以上 那可以找到更小的分子

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作者: YangRB    時間: 2024-5-5 23:01     標題: 回覆 12# cut6997 的帖子

老師好,想請問

若令所求為x+y+z
則 X^2+Y^2+z^2=2(a+b+c)
由柯西(X^2+Y^2+z^2)*3 >= (x+y+z)^2
等號成立時 求出最大值為3,(此時 a=b=c=1/2)

過程中錯誤使用的地方在哪呢

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作者: DavidGuo    時間: 2024-5-5 23:11

引用:

原帖由 yymath 於 2024-5-5 22:55 發表
大家好～
這次新北聯招好多題有問題耶～
我整理了有問題的題目為 2，3，5，7題

錯題講解影片連結
https://youtu.be/cjLBy5ZSSOs?si=OB-KCQcbEpbDQvlW

大家還沒有提到的是第三題 如果AB可以是二位數以上 那可以找到更小的分子 ...

第2題可以說符號沒定義好，但第3題A, B都是一個位數，很正常。

第3題分析一下即可，5AB當一個3位數
因為\(999=3^3\times37\)
所以把999的每個因數代進去測即可，當\(111|5AB\)，則\(\frac mn=\frac59\)，此時m最小是\(5\)。
註：3的話是167；9的話是56；27的話是19；37的話是14；111的話是5

[ 本帖最後由 DavidGuo 於 2024-5-5 23:24 編輯 ]

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作者: DavidGuo    時間: 2024-5-5 23:15

證明第一題：
從第一項開始寫，都mod 5
1,3,4,2,1,3,4,2...
四個一循環(第6項跟第2項一樣都是1+3)，所以都不會是5的倍數。

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作者: YangRB    時間: 2024-5-5 23:19     標題: 回覆 15# YangRB 的帖子

自己廣義柯西不等式使用錯誤,抱歉耽誤大家時間

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作者: DavidGuo    時間: 2024-5-5 23:24     標題: 第2題

若看成合成，就是在\(x\neq-1\)時，\(f^{(4)}(x)=x\)，所以\(f^{(113)}(2024)=f(2024)=\frac{2023}{2025}\)。
若看成微分，就是\(f^{(n)}(x)=-2\times(-1)^nn!(x+1)^{-(n+1)}\)，所以\(f^{(113)}(2024)=\frac{2\times113!}{2025^{114}}\)。
應該是要改成兩個答案都給分

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作者: DavidGuo    時間: 2024-5-5 23:29     標題: 第1題

感覺還蠻有趣的題目
設正三角形三頂點為ABC，
因為鉛直移動不影響邊長與投影，所以可以當C點在\(xy\)平面上，設A點的\(z\)坐標為\(a\)，B點的\(z\)坐標為\(b\)，
利用畢氏定理得\(a^2+3^2=b^2+12=(a-b)^2+4\)
解得\((a,b)=(2,-1)\)或\((-2,1)\)，兩者求出原正三角形邊長皆為\(\sqrt{13}\)。

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作者: Ellipse    時間: 2024-5-5 23:31

引用:

原帖由 YangRB 於 2024-5-5 23:19 發表
自己廣義柯西不等式使用錯誤,抱歉耽誤大家時間

也沒用到"廣義柯西不等式"
是因為您左式(X²+Y²+Z²)(1²+1²+1²)=2(a+b+c)*3=6(a+b+c)
還不是固定數,右式也不是固定數,所以這樣無法用科西不等式
的等號成立情況

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2024-5-5 23:35 編輯 ]

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作者: YangRB    時間: 2024-5-5 23:42     標題: 回覆 21# Ellipse 的帖子

謝謝老師解惑orz

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作者: ingibitor0606    時間: 2024-5-6 00:32

請問4，9，10謝謝

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作者: DavidGuo    時間: 2024-5-6 00:42     標題: 第5題

先用柯西，發現critical point在(a,b,c)=(41/22, 31/22, -23/22)，不在範圍內，所以極值發生在boundary上。
而題目的又說a,b,c都正，是一個open的區域，所以沒有boundary，因此最大值不存在。
答案應該改成不存在。


我猜是出題老師筆誤，以下三個改法：
1. 改為a,b,c皆為實數，那答案就是柯西那個critical point，其值為\(\sqrt{11}\)。
(感覺不是本意，否則不用寫自然就是實數，而且只用柯西，太簡單了點)
2. 改為a,b,c皆為非負實數，那答案就在boundary上，
分成x=0或y=0或z=0下去討論，就變雙變數而已，極值發生在x=4/3, y=1/2, z=0的地方，
其值為\(\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{6}} + \frac1{\sqrt{2}} + \frac2{\sqrt{3}}\)
(應該是本意，只是答案有點醜。)
3. 「最大值」改為「最小上界」，答案跟上面一樣。

[ 本帖最後由 DavidGuo 於 2024-5-6 09:52 編輯 ]

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作者: DavidGuo    時間: 2024-5-6 00:55     標題: 第4題

引用:

原帖由 ingibitor0606 於 2024-5-6 00:32 發表
請問4，9，10謝謝

第4題也是慢慢討論，
若前19箱的球數是0,0,0,1,1,1,2,2,2,…,5,5,5,6，第20箱的球數6顆以上(總球數57以上)，則就沒有4箱一樣多，
因此只要證明56顆可以即可，用反證法
每種球數最多只能3箱，20箱最少也要0+0+0+1+1+1+2+2+2+⋯+5+5+5+6+6=57以上，
所以n=56時，必有4箱球數一樣多。所以答案為56。

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作者: cut6997    時間: 2024-5-6 01:17     標題: 回覆 23# ingibitor0606 的帖子

9.
E=(1+E)/2+(2+E)/4+(3+E)/8+3/8
=>E=14
10.
(p^2+(1-p^2))(q^2+(1-q^2))>=所求^2
=>1>=所求^2

[ 本帖最後由 cut6997 於 2024-5-6 01:24 編輯 ]

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作者: DavidGuo    時間: 2024-5-6 01:28     標題: 第9題

引用:

原帖由 ingibitor0606 於 2024-5-6 00:32 發表
請問4，9，10謝謝

這應該…有出過吧…

設正面機率為\(p\)，反面為\(1-p\)，
設\(a_n\)為連續丟\(n\)正面的次數期望值，則\(a_n=p(a_{n-1}+1)+(1-p)(a_{n-1}+1+a_n)\)
所以\(a_n=(1/p)(a_{n-1}+1)\)。
以這題來說
\(a_1=2\)(幾何分配，次數期望值為\(\frac1p\))，\(a_2=2(2+1)=6\)，\(a_3=2(6+1)=14\)，再下去就是\(30, 62, 126, \dots\)

[ 本帖最後由 DavidGuo 於 2024-5-6 09:56 編輯 ]

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作者: DavidGuo    時間: 2024-5-6 01:39     標題: 第10題

引用:

原帖由 ingibitor0606 於 2024-5-6 00:32 發表
請問4，9，10謝謝

也是柯西
\(1=[p^2+(1-p^2)]\times[q^2+(1-q^2)]\geq(\sqrt{p^2}\sqrt{q^2}+\sqrt{1-p^2}\sqrt{1-q^2})^2\)
等號成立在\(p=q=\frac12\)。

[ 本帖最後由 DavidGuo 於 2024-5-6 01:40 編輯 ]

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作者: DavidGuo    時間: 2024-5-6 10:31     標題: 第8題

法一、取log後，看成黎曼和，
原式=\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1n \left(\sum_{k=n+1}^{2n} \ln k-n\ln n\right) = \lim_{n\to\infty}\frac1n \left(\sum_{k=1}^{n} \ln(k+n)-\sum_{k=1}^{n} \ln n\right)=  \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac1n\ln\left(1+\frac kn\right)=\int_0^1\ln(1+x)\,dx=2\ln 2-1=\ln \frac4e \)
所以答案為\(\frac4e\)。

法二、
其實上面這個我湊很久，考試時，比較無惱的應該是用Stirling Approximation
當\(n\to\infty\)時，用\(\ln(n!)=n\ln n-n\)或用\(n!=\sqrt{2\pi n}\left(\frac ne\right)^n\)代入即可。
用\(\ln(n!)=n\ln n-n\)的話，分子所有的\(n\)都會跟分母的\(n\)消掉，這種題目一定都這樣，所以改寫成\(\frac{\ln(n!)}n=\ln n-1\)，下面我就直接\(n\)跟分母除掉，
一樣先取log
原式=\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \left(2(\ln(2n)-1)-(\ln n-1)-\ln n\right)=\frac4e\)。
所以答案為\(\frac4e\)

用\(n!=\sqrt{2\pi n}\left(\frac ne\right)^n\)代也可以，而且不用先取log，
原式=\(\dots=\displaystyle\lim_{n\to\infty} \left(\sqrt{2}\cdot\left(\frac4e\right)^n\right)^\frac1n=\lim_{n\to\infty} \left(\left(\frac4e\right)^n\right)^\frac1n=\frac4e\)。

[ 本帖最後由 DavidGuo 於 2024-5-6 11:04 編輯 ]

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作者: Ellipse    時間: 2024-5-6 10:55     標題: 回覆 24# DavidGuo 的帖子

我猜出題者應該是怕根號裡面會有負的
所以才設定a,b,c>0
但都沒去做檢驗:等號成立時
a,b,c會不會出現負號

順便給出題老師忠告(應該會看的到):
小弟我在出月考考卷,每題一定是至少算過三遍以上
如果題型可以,會再用Mathematica+Geogebra軟體驗證過
而如此重要的教師甄選考試,應該要更加謹慎才對

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2024-5-6 11:09 編輯 ]

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作者: HC3064    時間: 2024-5-6 10:59     標題: 回覆 16# DavidGuo 的帖子

老師好，沒有不敬的意思只是想知道。我翻了一下龍騰課本對於循環小數的寫法，由於是整數的除法所以的確是0-9之間的整數。但是遮起來沒有特別敘明0<=A,B<=9（抱歉手機輸入），即A,B為一個位數。而考生做了二位數的思考得到別的答案，而不是思考A,B為個位數的情況。這樣子看來只要題目把循環小數遮起來，就表示是個位數對吧老師。

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作者: tsusy    時間: 2024-5-8 16:41     標題: 回覆 1# bugmens 的帖子

5/8
有疑義回覆的公告了
主旨：公告「新北市公立高級中等學校113學年度教師聯合甄選初試試題疑義回覆」更正及相關處理事項，請查照

https://career.ntpc.edu.tw/

填充 2, 5, 7 都有修正答案。

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作者: Ellipse    時間: 2024-5-8 16:53

引用:

原帖由 DavidGuo 於 2024-5-5 23:24 發表
若看成合成，就是在\(x\neq-1\)時，\(f^{(4)}(x)=x\)，所以\(f^{(113)}(2024)=f(2024)=\frac{2023}{2025}\)。
若看成微分，就是\(f^{(n)}(x)=-2\times(-1)^nn!(x+1)^{-(n+1)}\)，所以\(f^{(113)}(2024)=\frac{2\times113!}{202 ...

很巧,新北試題疑義回覆跟教授寫得一模一樣

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作者: DavidGuo    時間: 2024-5-8 17:21

引用:

原帖由 Ellipse 於 2024-5-8 16:53 發表
很巧,新北試題疑義回覆跟教授寫得一模一樣

這也太扯，直接把這裡的截圖…
連重打都沒有沒

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作者: Ellipse    時間: 2024-5-8 17:53

引用:

原帖由 DavidGuo 於 2024-5-8 17:21 發表


這也太扯，直接把這裡的截圖…
連重打都沒有沒

所以我就說出題老師會來這裡看

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