標題: 111高中數學能力競賽 [打印本頁]

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作者: tian    時間: 2022-12-27 15:37     標題: 111高中數學能力競賽

已知\(a,b,c\)皆為正數，且以\(b+c\)、\(\sqrt{abc}\)、\(\sqrt{b^2+7bc+c^2}\)為長度的線段恆能構成三角形，則\(a\)的範圍為　　　。
請教各位老師，非常感謝

113.3.31補充
所問題目出自111高中數學能力競賽，故將文章標題改為"111高中數學能力競賽"
官方網頁https://sites.google.com/mail.nk ... /%E9%A6%96%E9%A0%81
題目以決賽總報告公布
連結已失效h ttps://drive.google.com/file/d/1n-g-i6hhKU_emnwOhB608u3hZeRWbnl2/view?usp=share_link

114.11.05補充
111高中數學能力競賽的決賽總報告（內含試題與解析），
請見 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3782&page=2#pid27789

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作者: thepiano    時間: 2022-12-28 18:47     標題: 回覆 1# tian 的帖子

\(\begin{align}
  & \sqrt{{{b}^{2}}+7bc+{{c}^{2}}}-(b+c)<\sqrt{abc}<\sqrt{{{b}^{2}}+7bc+{{c}^{2}}}+(b+c) \\
& \sqrt{\frac{b}{c}+7+\frac{c}{b}}-\sqrt{\frac{b}{c}+2+\frac{c}{b}}<\sqrt{a}<\sqrt{\frac{b}{c}+7+\frac{c}{b}}+\sqrt{\frac{b}{c}+2+\frac{c}{b}} \\
& \frac{5}{\sqrt{\frac{b}{c}+7+\frac{c}{b}}+\sqrt{\frac{b}{c}+2+\frac{c}{b}}}<\sqrt{a}<\sqrt{\frac{b}{c}+7+\frac{c}{b}}+\sqrt{\frac{b}{c}+2+\frac{c}{b}} \\
& 1=\frac{5}{\sqrt{2+7}+\sqrt{2+2}}<\sqrt{a}<\sqrt{2+7}+\sqrt{2+2}=5 \\
& 1<a<25 \\
\end{align}\)

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作者: tian    時間: 2022-12-29 14:50     標題: 回覆 2# thepiano 的帖子

感謝老師

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作者: bugmens    時間: 2023-8-22 13:08

求所有整數\(x,y,z\)滿足\(\cases{x+y+z=4\cr x^3+y^3+z^3=88}\)
彰雲嘉區複賽試題一

設\(x,y,z\)均為整數且滿足\(\cases{x^3+y^3+z^3=132\cr x+y+z=6}\)，求\(|\;x|\;+2|\;y|\;+|\;z|\;\)的所有可能值為何？
(105師大附中代理，https://math.pro/db/thread-2543-1-1.html)

若正實數\(a,b\)滿足\(log_9 a=log_{12}b=log_{16}(a+b)\)，則\(\displaystyle \frac{b}{a}=\)　　　。
第一區(花蓮高中)筆試二試題

若\(0\le x \le 2\pi\)，則滿足\(tan^2 x-9tanx+1=0\)的所有\(x\)值之和為　　　。
第一區(花蓮高中)筆試二試題
(1989AHSME，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1880&page=1#pid10245)

已知實數\(x\)滿足拉馬努金等式\(\displaystyle \root 3 \of{\root 3\of 2-1}=\frac{1-\root 3\of 2+\root 3 \of 4}{x}\)，求實數\(x\)的值。(須以最簡單形式表示)
第一區(花蓮高中)口試試題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1041&page=1#pid2840

113.1.27補充
設四邊形有一外接圓且有一內切圓，其四邊邊長分別為\(42,54,78,66\)。若最長邊被內切圓的切點分成長度為\(x,y\)兩線段，則數對\((x,y)=\)　　　。
第一區(花蓮高中)筆試二試題

四邊形面積之旅
陳敏晧(國立蘭陽女中)
本文從數學學科能力競賽試題出發，研究最著名的四邊形面積公式－布雷特施奈德公式，比較其與婆羅摩笈多公式的差異，討論柯尼茲公式及道格拉斯．米契爾的文章，引入三角函數討論給定兩對角線長度及夾角的四邊形面積及給定兩對邊中點連線長度及其夾角的四邊形面積，再從三角形面積延伸到四邊形面積，推廣鞋帶公式及皮克公式，文中省略特定形狀的四邊形(如正方形、長方形、平行四邊形、梯形等)。四邊形面積公式雖然不若三角形面積公式的多元呈現，但是，數學成份的融入卻是毫不遜色，絕對值得用心研究。
數學學科中心第191期電子報，https://ghresource.k12ea.gov.tw/ ... a2c69182112d75b514b

附件: 四邊形面積之旅.pdf (2024-1-27 09:28, 1.38 MB) / 該附件被下載次數 6913
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作者: sarandy    時間: 2023-9-22 22:45     標題: 請教一題111學年度新北市數學能力競賽的題目

已知函數序列\(f_1(x)=\sqrt{x}\)、\(f_2(x)=\sqrt{x+\sqrt{x}}\)、\(f_3(x)=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}\)、\(\ldots\)，依此類推。試求方程式\(f_{10}(x)=2022\)的所有實數解(四捨五入取到整數)。

謝謝

圖片附件: 1.png (2023-9-22 22:45, 17.65 KB) / 該附件被下載次數 3862
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6815&k=305c5bdd2b817a9d3be4e50948cdeb2c&t=1769629215

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作者: tsusy    時間: 2023-9-24 09:17     標題: 回覆 1# sarandy 的帖子

偷懶我就不寫證明，寫一些想法供參考

1. 推(猜)測 \( f_{10} (x) \)，的 \( 10 \) 是一個不重要的數，換成 \( 100 \), \( 999 \) 亦無妨

2. 也就是改成 \( f_{999} (x) =2022 \) 的答案及作法，應該也沒什麼變化

3. 故猜測固定正實數 \( x \) 時， \( < f_n(x)> \) 應該是一個「看起來」很快收斂的數列

4. 例：若 \( x=100 \), \( f_1(x) = 10 \), \( f_2(x) \approx 10.488 \), \( f_3(x) \approx 10.511 \), \( f_4(x) \approx 10.512 \)...

也可以再試其他數字例如若 \( x=10000 \)，不難發現，只有 \( f_1(x) \) 到 \( f_2(x) \) 增加約 \( 0.5 \)，之後數列以極微小的幅度再增加

5. 延續上可的猜測，可推(猜)得 \( f_1(x) = \sqrt{x} \approx 2022 -0.5 \Rightarrow x \approx 2022^2 -2022 +0.25 \)

6. 上面的估計可能是對的，但有點討厭，在平方(去根號) 時，會讓誤差放大，降低對答案是 \( 2022^2 -2022 \) 的信心

所以寫證明的時候，想用 5. 的估計的話，應該不太容易。回到原方程式，整理可得以下：

\( f_{10}(x) = 2022 \Rightarrow x + f_9(x) =2022^2 \Rightarrow x = 2022^2 - f_9(x) \approx 2022^2 -2022 \)

剩下的就是認真估計 \( f_9(x) \)

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作者: 王重鈞    時間: 2023-10-10 13:33

請問一下各位大神,111學科能力競賽是否還沒有各複賽的解答,謝謝

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作者: hong    時間: 2024-10-31 12:44     標題: 請教幾題--111數學學科能力競賽

請教班上高手幾題111學科競賽題目

3.
已知\(f(x)\)滿足\(\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)=1\)，且\(\displaystyle f(x)+f(y)=f\left(\frac{x+y}{1+xy}\right)\)。設\(b_n=n^2+3n+1\)，求\(\displaystyle f\left(\frac{1}{b_1}\right)+f\left(\frac{1}{b_2}\right)+\ldots+f\left(\frac{1}{b_{2020}}\right)\)

其中第3題:  若令x=1/2, y=1, 則會得到f(1/2)=0. 是我誤解題意嗎??
謝謝。

附件: 111學科能力競賽問題.pdf (2024-10-31 12:44, 349.08 KB) / 該附件被下載次數 3498
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7269&k=c7d6f579b31f1ff89a964ab51f9fb031&t=1769629215

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作者: thepiano    時間: 2024-11-1 12:13     標題: 回覆 1# hong 的帖子

有 bug

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作者: hong    時間: 2024-11-1 12:58     標題: 回覆 2# thepiano 的帖子

請問老師:
其他題部分是否也可指導想法。

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作者: thepiano    時間: 2024-11-1 21:46     標題: 回覆 3# hong 的帖子

第 1 題
將7個黑點，13個白點排成一列，已知每一種排法出現的機率相同。今任一選一種排法，令隨機變數\(X\)為黑點與白點相鄰的次數。例如若選出的排法為○●●○○○●○●○○○●○●○○●○○，則\(X=12\). 試求出\(X\)的期望值為______
[解答]
黑點與白點相鄰的的情形有 "●○" 和 "○●"
"●○" 可放的位置有 19 個

其餘的 6 個 ● 和 12 個 ○ 有 C(18，6) 種排法
同理，"○●" 亦同

所求 = [C(18，6) * 19 * 2] / C(20，7) = 91/10

第 2 題
設\(a,b\)為互質的正整數且都不小於10，若\(7a+11b\)為13的倍數，求\(a+b\)的最小值
[解答]
7a + 11b 是 13 的倍數
14a + 22b 是 13 的倍數
a + 9b 是 13 的倍數

b = 10，a 最小 27
b = 11，a 最小 18，這組應是 a + b 最小
b = 12，a 最小 35
b = 13，不用試，a 必為 13 的倍數，兩者不互質
b = 14，a 最小 17
b = 15，a 最小 34
b = 16，a 最小 25
b = 17，a 最小 16
b = 18，a 最小 59
b = 19，a 最小 11
b 檢驗到此即可

a 檢驗 a = 10、12、14、15、19 即可

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作者: floot363    時間: 2025-10-10 10:17     標題: 回覆 1# tian 的帖子

提供111高中數學能力競賽的題目給老師們

附件: 111高中數學能力競賽.pdf (2025-10-10 10:17, 1.45 MB) / 該附件被下載次數 1305
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7691&k=d68fe3f2feb6b45e2bcbe24066f0fcbe&t=1769629215

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作者: 3s4s5s    時間: 2025-11-5 10:50     標題: 回覆 12# floot363 的帖子

有些字有些不清楚 請問有清楚一點的嗎

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作者: weiye    時間: 2025-11-5 12:37     標題: 回覆 13# 3s4s5s 的帖子

111高中數學能力競賽的決賽總報告（內含試題與解析），

請見附檔。

附件: 111高中學科能力競賽數學科決賽總報告.part1.rar (2025-11-5 12:37, 1.95 MB) / 該附件被下載次數 848
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7705&k=72f6e6f86f74277372e58393de4d146b&t=1769629215

附件: 111高中學科能力競賽數學科決賽總報告.part2.rar (2025-11-5 12:37, 1.7 MB) / 該附件被下載次數 821
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7706&k=9aa785ee935c77f5c5dac3f2d0333dc6&t=1769629215

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作者: 3s4s5s    時間: 2025-11-6 00:06     標題: 回覆 14# weiye 的帖子

真的很感謝 那請問您有110學年度數學科的決賽總報告嗎

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作者: 3s4s5s    時間: 2025-11-6 00:09     標題: 回覆 14# weiye 的帖子

可是檔案打不開

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作者: weiye    時間: 2025-11-6 08:46     標題: 回覆 16# 3s4s5s 的帖子

我剛剛換台電腦下載，再解壓縮與開啟內含的 pdf 檔案都正常，可能您沒有下載完整？

檔案有兩個都要下載，放在同一個資料夾，再用 WinRAR 解壓縮就可以了。

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作者: weiye    時間: 2025-11-6 08:51     標題: 回覆 15# 3s4s5s 的帖子

110年的決賽試題及參考答案在 https://math.pro/db/thread-3612-1-1.html

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作者: 3s4s5s    時間: 2025-11-6 09:15     標題: 回覆 17# weiye 的帖子

他說無法開啟檔案 請問有沒有辦法直接傳pdf呢

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作者: 3s4s5s    時間: 2025-11-6 09:20     標題: 回覆 18# weiye 的帖子

更 打開了 謝謝您

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