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標題: 112六家高中 [打印本頁]

作者: godofsong 時間: 2023-4-29 17:08 標題: 112六家高中

112六家高中

附件: 六家高中112年教甄試題.pdf (2023-4-29 17:08, 637.29 KB) / 該附件被下載次數 4143
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附件: 六家高中112年教甄試題解答.pdf (2023-4-29 17:08, 255.88 KB) / 該附件被下載次數 3668
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作者: bugmens 時間: 2023-4-29 17:37

一、填充題
6.
設\(a,b\)皆為實數，求當\((a-41b-33)^2+(a-42b-34)^2+(a-40b-35)^2+(a-39b-32)^2+(a-38b-31)^2\)為最小值時的\((a,b)=\)？

設\( \displaystyle f(a,b)=(61-a-28b)^2+(62-a-29b)^2+(60-a-30b)^2+(58-a-31b)^2+(59-a-32b)^2 \)，當\( f(a,b) \)有最小值時，求此時數對\( (a,b)= \)？
(102文華高中，連結有四種方法，https://math.pro/db/thread-1579-1-1.html)
相關問題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid7957

7.
有一球體地球儀，半徑為 20 公分，已知\(A,B\)兩點的座標分別為\(0^{\circ}N,15^{\circ}E\)與\(45^{\circ}S,120^{\circ}W\)，則\(A,B\)兩地的球面最短距離為何？

半徑\(R\)的球面，\(A\)點在東經120度、南緯45度，\(B\)點在西經60度，北緯30度，\(A,B\)兩點在球面上最短距離　　　。
(99建國中學市內甄選，https://math.pro/db/thread-1124-1-1.html)

9.
四面體\(ABCD\)中，底面\(\Delta BCD\)為邊長6的正三角形，而\(\overline{AB}=\overline{AC}=\overline{AD}=5\)。求直線\(AB\)與直線\(CD\)的距離。

\(O-ABC\)為一四面體，\(\Delta ABC\)是邊長為4之正三角形，\(\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}=a\)，兩歪斜稜\(\overline{OA}\)與\(\overline{BC}\)間的距離是\(\sqrt{3}\)，求\(a\)的值。
(98曉明女中，https://math.pro/db/thread-931-1-1.html)

10.
一袋中有 5 紅球、6 白球，自袋中每次取出一球，取出不放回，取完為止。若袋中每一球被取中的機會均等。計算在取球過程中已取出的紅球個數不大於已取出的白球個數的機率。
一路領先相關題目，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1710&page=2#pid11780

二、填充題
1.
已知數列中\(\langle\;a_n\rangle\;\)中，\(a_1=1\)，\(a_2=2\)，\(a_{n+2}=2a_{n+1}+a_n(n\in N)\)，則\(\displaystyle \sum_{k=1}^{2023}(a_{k+1}^2-a_k\cdot a_{k+2})=\)？

5.
\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{ln \left(\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right)\left(1+\frac{3}{n}\right)\ldots\left(1+\frac{n}{n}\right)\right)}{n}=\)？
我的教甄準備之路　黎曼和和夾擠定理，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615

求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\left[(n+1)(n+2)\ldots (n+n)\right]^{\frac{1}{n}}\)。
(104羅東高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2333&page=3#pid23673)

6.
已知\(y=x^3+kx^2-1\)恰有三相異切線過\((0,0)\)，求\(k\)的範圍。
類似問題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1644&page=2#pid8567

設過原點\((0,0)\)有三條相異直線與\(f(x)=x^3+kx^2+1\)相切，則實數\(k\)值的範圍為　　　。
(100楊梅高中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1162&page=1#pid4118)

三、計算與證明題
3.
已知兩數列\(\langle\;a_n\rangle\;,\langle\;b_n\rangle\;\)，當\(n\in N\)時恆存在下列關係：\(\cases{a_n=3a_{n-1}+5b_{n-1}\cr b_n=a_{n-1}+7b_{n-1}}\)，且\(a_0=2,b_0=1\)，求一般項\(a_n\)。
我的教甄準備之路　求數列一般項，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid9507

設有二個首項皆為1的數列\( \langle\; a_n \rangle\; \)、\( \langle\; b_n \rangle\; \)，且對於所有的自然數n，\( \displaystyle \cases{a_{n+1}=a_n-2 b_n \cr b_{n+1}=a_n+4 b_n} \)恆成立，則\( a_n= \)？
(99安樂高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1008&page=1#pid2451)

作者: peter0210 時間: 2023-5-1 11:04

二、填充3

圖片附件: 二、填充3.png (2023-5-1 11:04, 18.29 KB) / 該附件被下載次數 1885
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作者: CYC 時間: 2023-5-2 12:32

請問一、填充5
我算出來的答案是2<m<=8
請問為什麼2<m<4這個範圍不符

還有一、填充6做出來的答案b是-7/10

[ 本帖最後由 CYC 於 2023-5-2 12:34 編輯 ]

作者: g112 時間: 2023-5-2 13:06

引用:

原帖由 CYC 於 2023-5-2 12:32 發表
請問一、填充5
我算出來的答案是2

因為2<m<4時整個函數是遞減然後在m=4時有最小值

所以m不到4的話最小值不會是9

作者: CYC 時間: 2023-5-2 14:04

感謝老師回復，但是這樣不也會落在題目給的區間 [9,11] 內嗎

作者: g112 時間: 2023-5-2 14:14

引用:

原帖由 CYC 於 2023-5-2 14:04 發表
感謝老師回復，但是這樣不也會落在題目給的區間 [9,11] 內嗎

當2<=x<=m<4 時 f(x)是嚴格遞減  然後f(2)=11  ,  f(m)>9 ,  所以區間在 [f(m), 11]

當x>=4時  f(x)為嚴格遞增  所以當m>=4時  區間在[9, f(m) ]

然後又要滿足f(m)<=11,  所以m<=8

作者: thepiano 時間: 2023-5-2 14:19 標題: 回覆 4# CYC 的帖子

第一大題第 6 題
官方答案給錯了，b 應是 - 7/10

作者: enlighten0626 時間: 2023-5-2 15:50

請教第一部分第4題

作者: g112 時間: 2023-5-2 16:12

引用:

原帖由 enlighten0626 於 2023-5-2 15:50 發表
請教第一部分第4題

我是用三角不等式

令 2a+b=A , a-4b=B 可得 3a+5b=17A/9+ (-7B/9)

然後兩邊和大於第三邊兩邊差小於第三邊

------------------
想問計算一

[ 本帖最後由 g112 於 2023-5-2 17:05 編輯 ]

作者: Dragonup 時間: 2023-5-2 17:09

計算一.

作者: CYC 時間: 2023-5-2 22:56 標題: 回覆 7# g112 的帖子

謝謝老師回復，非常清楚

作者: CYC 時間: 2023-5-2 22:56 標題: 回覆 8# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師回復

作者: g112 時間: 2023-5-3 00:19

引用:

原帖由 Dragonup 於 2023-5-2 17:09 發表
計算一.

感謝老師幫忙
只是想說這題真的只有這種解法嗎?

作者: chu 時間: 2023-5-3 16:01 標題: 計算2

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作者: chu 時間: 2023-5-3 16:06 標題: 計算3

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作者: chu 時間: 2023-5-3 16:07 標題: 計算4

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作者: Dragonup 時間: 2023-5-3 18:27

填充二.
1.

作者: enlighten0626 時間: 2023-5-3 20:55 標題: 回覆 10# g112 的帖子

謝謝老師解惑

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