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標題: 112師大附中 [打印本頁]
作者: Superconan    時間: 2023-4-25 13:53     標題: 112師大附中

請教填充第 2、7 題

112.04.26 補充數學科答案更正

填充第 8 題從 27 更正為 28
填充第 12 題從 X <= 13 更正為 0 <= X <= 13

備註：
1. 答案更正的公告不知道為何才過一個小時就下架了，還好有看到＠＠
2. 我發現學校第二次給的檔案，頁碼的字體跑掉，可能因為是不同電腦轉出來的。於是我編輯第一次的檔案，將這兩題答案改為更正後答案。
3. 當我編輯完，想要從校網重新下載檔案備份時，公告就被撤掉了，如果有老師有載到官網的檔案，希望可以分享上來，謝謝。
4. 謝謝 DavidGuo 老師發現試題答案有誤，若考生發現答案有誤，建議趕快打電話聯繫該校教務處，在這麼艱難的考試中，每一分都很重要！



附件: 112師大附中正式教師甄選初試試題及答案_高中數學0426re.pdf (2023-4-26 14:45, 1.23 MB) / 該附件被下載次數 2382
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6618&k=0225a22eb5f6039455c5e61abbeda228&t=1714137401

圖片附件: 112學年度第1次專任教師甄選初試數學科答案更正.png (2023-4-26 14:36, 104.71 KB) / 該附件被下載次數 1183
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6619&k=5d8770a0beb32a1f2ff53f64965800c8&t=1714137401

作者: bugmens    時間: 2023-4-25 13:58

1.
計算\(sin^2 41^{\circ}+sin^2 19^{\circ}+sin41^{\circ}sin19^{\circ}\)的值為　　　。

4.
有長方形紙板\(ABCD\)，\(\overline{AB}=6\)，\(\overline{BC}=2\sqrt{3}\)。若將沿對角線\(\overline{AC}\)摺起，使\(D\)至\(D'\)位置。由\(D'\)作平面\(ABC\)的垂線\(\overline{D'H}\)，其垂足\(H\)恰好在\(\overline{AB}\)邊上，此時平面\(ABC\)與平面\(ACD'\)所夾的銳角為\(\theta\)，試求\(tan\theta=\)　　　。
相關題目，https://math.pro/db/thread-567-1-1.html

5.
已知\(x\)、\(y\)、\(z\)為三個實數且滿足\(\cases{x^2+y^2=18 \cr y^2+\sqrt{3}yz+z^2=13\cr x^2+xz+z^2=19}\)，則\(2xy+yz+\sqrt{3}xz=\)　　　。

\( x,y,z>0 \)，\( \displaystyle \cases{ x^2+xy+\frac{y^2}{3}=17 \cr \frac{y^2}{3}+x^2=5 \cr z^2+xz+x^2=8} \)，求\( xy+2yz+3xz \)的值。
(102武陵高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1604&page=1#pid8139)
作者: thepiano    時間: 2023-4-25 14:24     標題: 回覆 1# Superconan 的帖子

第 2 題
已知\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=5,\overline{BC}=9\)，且\(\displaystyle \frac{1}{tanA},\frac{1}{tanB},\frac{1}{tanC}\)成等差數列，試求\(\displaystyle tan^2 \frac{B}{2}=\)　　　。
[提示]
BC^2、CA^2、AB^2 成等差
作者: fierthe    時間: 2023-4-25 15:43

第 7 題
已知複數\(z_1,z_2,z_3\)滿足\(\cases{\displaystyle |\;z_1|\;=|\;z_2|\;=|\;z_3|\;=1\cr \frac{z_1}{z_2}+\frac{z_2}{z_3}+\frac{z_3}{z_1}=1}\)，則\(|\;z_1+2z_+3z_3|\;\)最大可能的值為　　　。
[解答]
算兩兩相乘那邊，有使用到  \( z\cdot\overline{z}=|z|^2 \) 的性質。

圖片附件: [填充 7] 341432068_949109706366136_8107833074786277252_n.jpg (2023-4-25 15:43, 525.85 KB) / 該附件被下載次數 833
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6617&k=e94c91ecbf88850ebcf742a4ae27553d&t=1714137401

作者: 年獸    時間: 2023-4-25 17:09

想問填充8的例子
我只有找出28的例子
感謝
作者: Lopez    時間: 2023-4-25 20:53     標題: 回覆 5# 年獸 的帖子

填充8
已知有36位學生參加考試，其平均為60分，標準差為5分，試問至少有多少人的成績會介於\((50,70)\)區間？答：　　　人。
[解答]
該區間為±2σ
由 柴比雪夫(Chebyshev)定理 得:
P( μ-2σ < x < μ+2σ ) ≥ \(1 - \frac{1}{2^2} = \frac{3}{4}\)
\(36 \cdot \frac{3}{4} = 27\)
作者: 年獸    時間: 2023-4-25 20:57     標題: 回覆 6# Lopez 的帖子

可以真的找出一個例子嗎？因為只有不等式不代表等號一定會成立，感謝
作者: thepiano    時間: 2023-4-26 08:13     標題: 回覆 1# Superconan 的帖子

第 7 題
已知複數\(z_1,z_2,z_3\)滿足\(\cases{\displaystyle |\;z_1|\;=|\;z_2|\;=|\;z_3|\;=1\cr \frac{z_1}{z_2}+\frac{z_2}{z_3}+\frac{z_3}{z_1}=1}\)，則\(|\;z_1+2z_+3z_3|\;\)最大可能的值為　　　。
[另解]
為打字方便，把 z_1、z_2、z_3 分別以 p、q、r 表示，其共軛複數分別是 p'、q'、r'

p/q + q/r + r/p = (p/q + q/r + r/p)' = (p/q)' + (q/r)' + (r/p)' = p'/q' + q'/r' + r'/p'

|p| = |q| = |r| = 1
p' = 1/p、q' = 1/q、r' = 1/r 代入上式可得
p/q + q/r + r/p = q/p + r/q + p/r
同乘以 pqr
p^2r + q^2p + r^2q = q^2r + r^2p + p^2q
(p - q)(q - r)(r - p) = 0
p = q 或 q = r 或 r = p

若 p = q
1 + p/r + r/p = 1
r/p = ±i
|p + 2q + 3r| = |p||1 + 2 ± 3i| = √[(1 + 2)^2 + 3^2] = √18

同理
若 q = r，|p + 2q + 3r| = √[(2 + 3)^2 + 1^2] = √26
若 r = p，|p + 2q + 3r| = √[(3 + 1)^2 + 2^2] = √20

|p + 2q + 3r| 的最大值為 √26
作者: DavidGuo    時間: 2023-4-26 10:05     標題: 第8題

引用:
原帖由 年獸 於 2023-4-25 20:57 發表
可以真的找出一個例子嗎？因為只有不等式不代表等號一定會成立，感謝
這題的確有你說的問題，題目出的不好，
第一，他問「至少」。答案寫至少1人，2人，邏輯上也沒有錯，反正至少嘛…

第二，不要吹毛求庛的話，假設我們知道這題在問「最少保證n人在介於(50,70)間，有例子存在，且可以說明n-1不滿足」。
用柴比雪夫算完，是大於等於27，若連續的話沒問題，但這是離散型的，所以邊界要check。
下面說明恰27是不可能的：
因為平均是60，假設27個人是60，剩9個人\(x_1,\dots,x_9\)跟60都要差10分以上，所以變異數在計算時就會多了\(10^2\times 9=900\)，
此時標準差恰為\(\sqrt{\frac{900}{36}}=5\)，只要27個人的分數偏離了60，或是這9人分數離60再遠一點，都會導致標準差變大，也就是這是最緊的情況。
也就是這9個人不是50就是70，但他們的平均又要60，9是奇數，所以不可能。
(或嚴僅一點，\(60=\frac{50n+70(9-n)}9\)解得\(n=4.5\)，如果可以4.5人是50分，4.5人是70，那就可以，但人數是整數，所以不可能。)
所以此題答案應該是28，
例子：28個60分，4個人\(60+\frac{15}{\sqrt{2}}\)，4個人\(60-\frac{15}{\sqrt{2}}\)，這樣剛好36人平均60，標準差5。
(註：解\(8(x-60)^2=900\)，得\(x=60\pm\frac{15}{\sqrt{2}}\))。

可以提疑議了…
但不要主張答案28，要主張28以下的數都對，才不會害到寫27的人…
作者: DavidGuo    時間: 2023-4-26 11:26     標題: 第6題

將3組小括弧、2組方括弧、1組角括弧排成一列，各種括弧之間沒有先後使用的規定，但是每一組括弧的左括弧必須排在右括弧的左邊，而且每一組括弧中間如果有其他括弧，則這些括弧必須是完整的一組括弧；舉例來說：(<>)[()[]]()是一種合格的排列法，而<)(>[([])]()與(<)>[([])]()都是不合格的排列法。
請問以上的6組括弧，共有幾種合格的排列法？ 答：　　　種。
[解答]
我們知道括號的問題跟Catalan Number有關，
但此題的括號數跟一般的括號不太一樣，
先所有的都看成小括號，
若
1組：()，1種
2組：()(), (())，2種
3組：()()(), (())(), ()(()), (()()), ((()))，5種
4組：()()()()，(()())(), ()(()()), (((()))), (()()()), ((()())), ((()))(), ()((())), (())(()), (())()(), ()()(()), ()(())(), ((())()), (()(()))，14種

可以視為Dick Path, 左括號就是往上走，右括號就往下走，不能低於水平線…
所以6組括號\(C_6=132\)，再乘\(\frac{6!}{3!2!1!}=60\)，所以是\(132\times60=7920\)。

我一開始列錯了，還以為答案錯了…
作者: 年獸    時間: 2023-4-26 12:28     標題: 回覆 9# DavidGuo 的帖子

感謝回覆，在考試時我就是走過這個流程才不寫27寫28，可能當時不要想這麼多直接寫27就沒事了。簡章好像沒有寫怎麼提疑義，所以只好等分數出來再看看...
作者: chu    時間: 2023-4-26 15:53     標題: 第2題

已知\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=5,\overline{BC}=9\)，且\(\displaystyle \frac{1}{tanA},\frac{1}{tanB},\frac{1}{tanC}\)成等差數列，試求\(\displaystyle tan^2 \frac{B}{2}=\)　　　。
[解答]
如附圖:

圖片附件: Screenshot from 2023-04-26 15-50-45.png (2023-4-26 15:53, 68.25 KB) / 該附件被下載次數 709
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6620&k=a716d44c29c8a03098911c3b676abf48&t=1714137401

作者: chu    時間: 2023-4-26 15:55     標題: 第5題

已知\(x\)、\(y\)、\(z\)為三個實數且滿足\(\cases{x^2+y^2=18 \cr y^2+\sqrt{3}yz+z^2=13\cr x^2+xz+z^2=19}\)，則\(2xy+yz+\sqrt{3}xz=\)　　　。
[解答]


圖片附件: Screenshot from 2023-04-26 15-54-38.png (2023-4-26 15:55, 111.93 KB) / 該附件被下載次數 763
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作者: chu    時間: 2023-4-26 15:57     標題: 第3題

已知\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=25,\overline{AC}=30\)，\(\angle B=2\angle C\)，且\(\angle B\)的內角平分線交\(\Delta ABC\)的外接圓於\(D\)點，且\(B\)、\(D\)為相異點。試求\(\Delta BCD\)的面積為　　　。
[解答]


圖片附件: Screenshot from 2023-04-26 15-57-28.png (2023-4-26 15:57, 92.02 KB) / 該附件被下載次數 706
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作者: Superman    時間: 2023-4-26 16:50     標題: 回覆 13# chu 的帖子

這種建構的方法邏輯上是如果x,y,z是圖中的邊長，則他會滿足題意的方程式，
但是反過來就有問題了。
若x,y,z滿足題意的方程式，就算x,y,z限制在實數的條件下，邏輯上也不能推論x,y,z是圖中的邊長。

https://www.wolframalpha.com/inp ... Bz%5E2%3D19+%2F%2FN

https://www.wolframalpha.com/inp ... rt%283%29xz+%2F%2FN
作者: Superman    時間: 2023-4-26 17:39

請問拒絕域的定義，是否有一個統一、有公信力的說法的文獻？
圖片左上角是之前我在朱式幸福看111年彰化女中教甄考古題時遇到的問題。
我自己查教師手冊，感覺拒絕域只是模模糊糊的用例子提到，
但是沒有說怎麼對任給一個隨機變數X的一般情形，定義拒絕域。
圖片右上角是翰林版的教師手冊。
右下角是我查到比較合理定義拒絕域的方式（維基百科），
就是要先對題目給的隨機變數 X 給統計量T(X)，用 sup ... （見圖片右下角）來定義什麼是拒絕域。
圖片左下方是我自己打出來的想法。
我個人的淺見是，課本、教師手冊都沒有清楚定義什麼是拒絕域，出題者應該要想清楚定義的問題。
包括原本111年彰化女中教甄題目，我認為題目也應該要給用來定義拒絕域的統計量T(X)，
還有題目要問的拒絕域應該是最大拒絕域，不然答案不唯一。

圖片附件: LINE_ALBUM_202333_230426.jpg (2023-4-26 17:39, 241.33 KB) / 該附件被下載次數 643
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6623&k=57cbee122281f3bf3f2ec55876bf64d5&t=1714137401

作者: Ellipse    時間: 2023-4-26 23:24

引用:
原帖由 Superman 於 2023-4-26 16:50 發表
這種建構的方法邏輯上是如果x,y,z是圖中的邊長，則他會滿足題意的方程式，
但是反過來就有問題了。
若x,y,z滿足題意的方程式，就算x,y,z限制在實數的條件下，邏輯上也不能推論x,y,z是圖中的邊長。

https://www.wolframalpha ...
題目條件可能打錯了 (應該要讓x,y,z>0)
這題本來就是考餘弦定理的構造法
如果x,y,z是實數,還需要討論到x,y,z負的情形
例如x<0 ,可令X= -x ,還是可以用構造法試看看

但這題依題目條算出來答案還會另外有-6√ (22)這個答案
但官方只給一個答案...
作者: DavidGuo    時間: 2023-4-27 08:27

引用:
原帖由 Ellipse 於 2023-4-26 23:24 發表
題目條件可能打錯了 (應該要讓x,y,z>0)
這題本來就是考餘弦定理的構造法
x,y,z都負的話，答案還是正吧…
作者: Ellipse    時間: 2023-4-27 08:48

引用:
原帖由 DavidGuo 於 2023-4-27 08:27 發表

x,y,z都負的話，答案還是正吧…
用電腦算x，y，z  有同時正負号的解
導致所求是負的
作者: DavidGuo    時間: 2023-4-27 08:52

引用:
原帖由 Ellipse 於 2023-4-27 08:48 發表
用電腦算x，y，z  有同時正負号的解
導致所求是負的
x,y,z可以全負，但因為最後要算的是xy,yz,xz，所以還是變為正的。

我算只有數值解，沒有symbolic的解
{x = 3.520435185, y = 2.367812516, z = 1.355051591}
{x = -3.520435185, y = -2.367812516, z = -1.355051591}
作者: Ellipse    時間: 2023-4-27 09:03

引用:
原帖由 DavidGuo 於 2023-4-27 08:52 發表

x,y,z可以全負，但因為最後要算的是xy,yz,xz，所以還是變為正的。

我算只有數值解，沒有symbolic的解
{x = 3.520435185, y = 2.367812516, z = 1.355051591}
{x = -3.520435185, y = -2.367812516, z = -1.355051591} ...


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作者: chu    時間: 2023-4-27 10:03     標題: 第12題

統計推論
A plant germination method is successful on average 4 times out of every 10. A horticulturist develops
a new technique which she believes will improve the number of plants that successfully germinate. She takes
a random sample of 50 seeds and attempts to germinate them. Suppose random variable X is defined as the
number of plants that successfully germinate. Using a 5% level of significance, find the rejection region for a
test to check her belief.
Ans：the rejection region is 　　　。
[解答]


圖片附件: Screenshot from 2023-04-27 10-02-22.png (2023-4-27 10:03, 33.74 KB) / 該附件被下載次數 648
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作者: Superman    時間: 2023-4-27 10:16

引用:
原帖由 Ellipse 於 2023-4-26 23:24 發表

題目條件可能打錯了 (應該要讓x,y,z>0)
這題本來就是考餘弦定理的構造法
如果x,y,z是實數,還需要討論到x,y,z負的情形
例如x
我前面留言的重點是「邏輯上」箭頭的方向，
並不是用計算機算完知道結果，再回頭解釋論證合不合理。
請問要如何證明
「若x,y,z滿足題意的方程式，且x,y,z>0，則x,y,z一定會滿足圖中的樣子」
？
作者: Ellipse    時間: 2023-4-27 10:37

引用:
原帖由 Superman 於 2023-4-27 10:16 發表


我前面留言的重點是「邏輯上」箭頭的方向，
並不是用計算機算完知道結果，再回頭解釋論證合不合理。
請問要如何證明
「若x,y,z滿足題意的方程式，且x,y,z>0，則x,y,z一定會滿足圖中的樣子」
？ ...
因為考試有時間限制,又是填充題,當然是用過去的經驗迅速解出

您講的是學術上的嚴謹,這大概可以花一些時間研究,寫一篇小論文
作者: Superman    時間: 2023-4-27 10:38

引用:
原帖由 chu 於 2023-4-27 10:03 發表
6625
請問這裡的H0、H1為什麼是這樣寫？
作者: Superman    時間: 2023-4-27 10:46

引用:
原帖由 Ellipse 於 2023-4-27 10:37 發表

因為考試有時間限制,又是填充題,當然是用過去的經驗迅速解出

您講的是學術上的嚴謹,這大概可以花一些時間研究,寫一篇小論文
請問這樣子的話，考這種題目不會有失公平性嗎？
變成有看過題型，有預設想法的人可以拿到比較多的分數？
作者: Ellipse    時間: 2023-4-27 10:51

引用:
原帖由 Superman 於 2023-4-27 10:46 發表


請問這樣子的話，考這種題目不會有失公平性嗎？
變成有看過題型，有預設想法的人可以拿到比較多的分數？
教甄題本來就是比誰看得廣
更何況這個題型已經是很古老考古題
很多學校都考過，且一些競赛訓練書也都有提及做法，相信老手一定都做得出來
作者: Superman    時間: 2023-4-27 11:40

請問統計的那題，為什麼都沒有人有異議？
reject region是region，我認為region是集合，不是不等式。
而且因為P({0<=X<=13})=P({X<=13})，
所以如果說拒絕域寫{X<=13}是錯的，
那題目本身的敘述出現P(X<=x)，是不是應該也要被視為錯誤，
必須更正為P(0<=X<=x)？
如果說非負的限制必須寫出來，那整數的條件為什麼又不用規定要寫出來？
就算沒有以上這些問題，我上面提出拒絕域的定義問題，
尚未有人能提出想法贊同或反駁。
感覺又是一道需要有預設想法在考場上才能拿分的題目。
作者: DavidGuo    時間: 2023-4-27 13:16

引用:
原帖由 Ellipse 於 2023-4-27 09:03 發表
高維度的，數值解會跟初始值有關，Matlab還是比較強。

不過應該是有8組，可以自訂一下initial point看看。
作者: DavidGuo    時間: 2023-4-27 13:21

引用:
原帖由 Superman 於 2023-4-27 10:16 發表
我前面留言的重點是「邏輯上」箭頭的方向，
並不是用計算機算完知道結果，再回頭解釋論證合不合理。
請問要如何證明
「若x,y,z滿足題意的方程式，且x,y,z>0，則x,y,z一定會滿足圖中的樣子」
？ ...
ellipse只是用計算機驗證而已，
證明也很容易，因為餘弦定理就可以得到了，而且，即使「有向長度」，也是可以用同樣的方法。
chu的解法沒有錯，只是要再討論x,y,z有可能負的情況，依ellipse所列，會有四種情況要討論。
作者: Superman    時間: 2023-4-27 13:37

引用:
原帖由 DavidGuo 於 2023-4-27 13:21 發表


ellipse只是用計算機驗證而已，
證明也很容易，因為餘弦定理就可以得到了，而且，即使「有向長度」，也是可以用同樣的方法。
chu的解法沒有錯，只是要再討論x,y,z有可能負的情況，依ellipse所列，會有四種情況要討論。 ...
請問您能實際寫出
「若x,y,z滿足題意的方程式，且x,y,z>0，則x,y,z一定會滿足圖中的樣子」
的每一個步驟嗎？
作者: DavidGuo    時間: 2023-4-27 20:58

引用:
原帖由 Superman 於 2023-4-27 13:37 發表
請問您能實際寫出
「若x,y,z滿足題意的方程式，且x,y,z>0，則x,y,z一定會滿足圖中的樣子」
的每一個步驟嗎？
這要打不少字…我截chu的圖吧
先看第一個式子

因為\(x, y, \sqrt{18}>0\)所以可以視為三角形的三邊，而且x, y的夾角90度，可以畫成下面的樣子

另兩個式子亦同，然後把三個三角形一樣長的邊組合起來，就變成chu那個圖…
接下來就一樣了…

我猜你的疑問是餘弦定理的(條件)跟(結果的式子)是不是若且唯若的吧？

其實這方法我是第一次看到，覺得很神奇，
跟在教書的學生分享，他卻跟我說，這是基本的，他的講議有…

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作者: Superman    時間: 2023-4-27 21:26

要拼得起來需要剛好角度和是整數圈，
考慮負數時不一定能拼起來吧？

另外不管能不能拼起來，
都還是要知道兩邊和大於第三邊，
三角形才真的存在吧？
作者: DavidGuo    時間: 2023-4-27 22:11

引用:
原帖由 Superman 於 2023-4-27 21:26 發表
要拼得起來需要剛好角度和是整數圈，
考慮負數時不一定能拼起來吧？
不一定會剛好360度喔，但這題它就是設計剛好是(不然做不下去)。
負數可以視為有向邊，或是往反向畫長度|x|，然後角度變成\(\pi-\theta\)。
引用:
另外不管能不能拼起來，
都還是要知道兩邊和大於第三邊，
三角形才真的存在吧？ ...
若x,y,z正，是會滿足的，從式子上直接可以看出來。
因為c^2=a^2+b^2-2abcost>=(a-b)^2=(b-a)^2
且c^2=a^2+b^2-2abcost<=(a+b)^2
所以由c>=a-b, c>=b-a, c<=a+b，可以知任兩邊和大於第三邊。
這應該教餘弦的時候會說明。

負的話也可以，只是往反向畫長度|x|，然後角度變成\(\pi-\theta\)，一樣任兩邊和大於第三邊。
作者: Superman    時間: 2023-4-27 23:08

引用:
原帖由 DavidGuo 於 2023-4-27 22:11 發表

不一定會剛好360度喔，但這題它就是設計剛好是(不然做不下去)。
負數可以視為有向邊，或是往反向畫長度|x|，然後角度變成\(\pi-\theta\)。


若有x,y,z正，是會滿足的，從式子上直接可以看出來。
因為c^2=a^2+b^2-2abcost>=(a ...
請問出現部分負數的情形，應該有拼不起來的吧？
不然2^3=8，應該有8組解，但軟體算實際是4組。
作者: DavidGuo    時間: 2023-4-27 23:18

引用:
原帖由 Superman 於 2023-4-27 23:08 發表

請問出現部分負數的情形，應該有拼不起來的吧？
不然2^3=8，應該有8組解，但軟體算實際是4組。
不會拼不起來，因為角度就設計好剛好360度。

應該8組，但
正正正跟負負負一樣，圖形對原點對稱
正正負跟負負正一樣，圖形對原點對稱
正負正跟負正負一樣，圖形對原點對稱
正負負跟負正正一樣，圖形對原點對稱
所以可以只看四組…

晚點、或明天我重新寫個完整的答案好了…
有點懶的畫圖…
作者: DavidGuo    時間: 2023-4-27 23:25     標題: 第五題(分正負)

借用chu的圖

(1) 若x>0, y>0, z>0圖形為

於是\(\triangle OAB+\triangle OBC+\triangle OCA=3\sqrt{\frac{11}2}=\frac12(xy+\frac{yz}2+\frac{\sqrt{3}xz}2)\)
推得\(2xy+yz+\sqrt{3}xz=6\sqrt{22}\)
(2) 若x<0, y>0, z>0圖形為

於是\(\triangle OAB-\triangle OBC+\triangle OCA=3\sqrt{\frac{11}2}=\frac12(|x|y-\frac{yz}2+\frac{\sqrt{3}|x|z}2)=\frac12(-xy-\frac{yz}2-\frac{\sqrt{3}xz}2)\)
推得\(2xy+yz+\sqrt{3}xz=-6\sqrt{22}\)
(3) 若x>0,y<0,z>0圖形為

於是\(\triangle OAB+\triangle OBC-\triangle OCA=3\sqrt{\frac{11}2}=\frac12(x|y|+\frac{|y|z}2-\frac{\sqrt{3}xz}2)=\frac12(-xy-\frac{yz}2-\frac{\sqrt{3}xz}2)\)
推得\(2xy+yz+\sqrt{3}xz=-6\sqrt{22}\)
(4) 若x<0, y<0, z>0圖形為

於是\(-\triangle OAB+\triangle OBC+\triangle OCA=3\sqrt{\frac{11}2}=\frac12(-|x||y|+\frac{|y|z}2+\frac{\sqrt{3}|x|z}2)=\frac12(-xy-\frac{yz}2-\frac{\sqrt{3}xz}2)\)
推得\(2xy+yz+\sqrt{3}xz=-6\sqrt{22}\)
(5) 若x<0,y<0,z<0，圖形跟(1)的一樣，但點對稱於原點，就不再畫了。
於是\(\triangle OAB+\triangle OBC+\triangle OCA=3\sqrt{\frac{11}2}=\frac12(|x||y|+\frac{|y||z|}2+\frac{\sqrt{3}|x||z|}2)=\frac12(xy+\frac{yz}2+\frac{\sqrt{3}xz}2)\)
推得\(2xy+yz+\sqrt{3}xz=6\sqrt{22}\)
(6)若x>0, y<0, z<0，圖形跟(2)的一樣，但點對稱於原點，就不再畫了。
於是\(\triangle OAB-\triangle OBC+\triangle OCA=3\sqrt{\frac{11}2}=\frac12(x|y|-\frac{|y||z|}2+\frac{\sqrt{3}x|z|}2)=\frac12(-xy-\frac{yz}2-\frac{\sqrt{3}xz}2)\)
推得\(2xy+yz+\sqrt{3}xz=-6\sqrt{22}\)
(7)若x<0,y>0,z<0，圖形跟(3)的一樣，但點對稱於原點，就不再畫了。
於是\(\triangle OAB+\triangle OBC-\triangle OCA=3\sqrt{\frac{11}2}=\frac12(|x|y+\frac{y|z|}2-\frac{\sqrt{3}|x||z|}2)=\frac12(-xy-\frac{yz}2-\frac{\sqrt{3}xz}2)\)
推得\(2xy+yz+\sqrt{3}xz=-6\sqrt{22}\)
(8)若x>0, y>0, z<0，圖形跟(4)的一樣，但點對稱於原點，就不再畫了。
於是\(-\triangle OAB+\triangle OBC+\triangle OCA=3\sqrt{\frac{11}2}=\frac12(-xy+\frac{y|z|}2+\frac{\sqrt{3}x|z|}2)=\frac12(-xy-\frac{yz}2-\frac{\sqrt{3}xz}2)\)
推得\(2xy+yz+\sqrt{3}xz=-6\sqrt{22}\)

其實只要O點在三角形ABC外，就會是\(-6\sqrt{22}\)，在三角形ABC內，就會是\(6\sqrt{22}\)。

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作者: Superman    時間: 2023-4-27 23:38

引用:
原帖由 DavidGuo 於 2023-4-27 23:18 發表


不會拼不起來，因為角度就設計好剛好360度。

應該8組，但
正正正跟負負負一樣，圖形轉180度
正正負跟負負正一樣，圖形轉180度
正負正跟負正負一樣，圖形轉180度
正負負跟負正正一樣，圖形轉180度
所以只有四組…

晚點、或明 ...
軟體的四組，沒有將正正正跟負負負合併為一組。
作者: DavidGuo    時間: 2023-4-28 00:32

引用:
原帖由 Superman 於 2023-4-27 23:38 發表
軟體的四組，沒有將正正正跟負負負合併為一組。
應該8組，因為沒有給初始值，所以電腦會自己亂找。
ellipse用mathlab跑，找出4組，已經算好的了。
我用maple跑，只找出2組。
但初始值給的好，跑出比較多，這題應該可以全跑出來。
別的就不一定了，要看解是不是stable，這扯太遠了，詳細要看一下數值分析。
作者: DavidGuo    時間: 2023-4-28 00:41     標題: 第5題(用有向面積)

原題可化為\(\begin{cases} x^2+y^2-2xy\cos 90^\circ=(3\sqrt{2})^2\\
y^2+z^2-2yz\cos 150^\circ=(\sqrt{13})^2\\
x^2+z^2-2xz\cos 120^\circ=(\sqrt{19})^2\end{cases}\)
建構\(\overline{OA}=x, \overline{OB}=y, \overline{OC}=z\)皆為有向長度(可正可負)。
且\(\angle AOB=90^\circ, \angle BOC=150^\circ, \angle AOC=120^\circ\)。
而\(\triangle OAB, \triangle OBC, \triangle OCA\)也是有向面積。
於是\(|\triangle OAB+\triangle OBC+\triangle OCA|=3\sqrt{\frac{11}2}\)
所以\(\frac12|xy\sin 90^\circ+yz\sin150^\circ+xz\sin120^\circ|=\frac12|xy+\frac{yz}2+\frac{\sqrt{3}xz}2|=3\sqrt{\frac{11}2}\)
推得\(2xy+yz+\sqrt{3}xz=\pm 6\sqrt{22}\)
作者: Ellipse    時間: 2023-4-28 08:49

引用:
原帖由 DavidGuo 於 2023-4-28 00:32 發表

應該8組，因為沒有給初始值，所以電腦會自己亂找。
ellipse用mathlab跑，找出4組，已經算好的了。
我用maple跑，只找出2組。
但初始值給的好，跑出比較多，這題應該可以全跑出來。
別的就不一定了，要看解是不是stable，這扯太遠了，詳 ...
上面看到DavidGuo教授這麼詳細的回答~要推一下.很有耐心的一位老師
要跟教授講一下,我是用Mathematica跑數值解,
不跑數值解算出來是一堆根號加減很醜的數據
然後剛剛又去檢驗一下,應該就只有那四組解喔
我唸書時系上應數的教授他們大致都用maple或mathlab軟體
印象中這兩套也很強,應該都可以跑出正確有幾組數值解
沒全部跑出來我很意外,是不是maple下指令的問題?

然後可以推一下Mathematica,早在20年前它就可以視覺化(跟手寫一樣)輸入指令
它還可以幫你預判多個未知數的不等式是否成立
求多個變數條件限制之下的極大,極小值,是它拿手的....
但比較麻煩的是,若要寫比較大的程式,後面要花心思去處理數據list的括號{ } 問題
這個需要有人教,最好是去上一學期的課程,不知道現DavidGuo教授您們系上有在開這種課程?
(當時教我的教授,是一位美國波音公司退休的工程師,非常的厲害)
題外話,Mathematica雖然很強大,但是遇到一些教甄題,還是會有算不出來的時候(但比例不高,機率大約1%~10%內)
例如特殊求極限,黎曼和等(早期版本求黎曼和極值有點弱,現在版本改善很多)
需要經過化簡才有辦法算出來,這顯示人腦還是比較聰明~~
作者: DavidGuo    時間: 2023-4-28 09:44

引用:
原帖由 Ellipse 於 2023-4-28 08:49 發表
上面看到DavidGuo教授這麼詳細的回答~要推一下.很有耐心的一位老師
頭已經洗了，只好把它洗完。
與大家討論，我自己也學了不少。
引用:
要跟教授講一下,我是用Mathematica跑數值解,
不跑數值解算出來是一堆根號加減很醜的數據
然後剛剛又去檢驗一下,應該就只有那四組解喔
是喔，這就有點怪了，要再想想，
因為從解的8種分類，答案應該都不同。
引用:
我唸書時系上應數的教授他們大致都用maple或mathlab軟體
印象中這兩套也很強,應該都可以跑出正確有幾組數值解
沒全部跑出來我很意外,是不是maple下指令的問題?
可能我只下fsolve，要再找別的指令…
引用:
但比較麻煩的是,若要寫比較大的程式,後面要花心思去處理數據list的括號{ } 問題
這個需要有人教,最好是去上一學期的課程,不知道現DavidGuo教授您們系上有在開這種課程?
我們系是沒有，只有單純數值分析的課而已。
一個數學軟體裡，除了基本指令外，每個package都用到超多論文的…
除非很熟，不然很難上這種課。
作者: Ellipse    時間: 2023-4-28 10:08

引用:
原帖由 DavidGuo 於 2023-4-28 09:44 發表

我們系是沒有，只有單純數值分析的課而已。
一個數學 ...
現在都在推GGB軟體,您們系上應該會開課吧?
還有好奇問您們會開這種 教甄解題課程 嗎?
作者: DavidGuo    時間: 2023-4-28 13:26

引用:
原帖由 Ellipse 於 2023-4-28 10:08 發表
現在都在推GGB軟體,您們系上應該會開課吧?
還有好奇問您們會開這種 教甄解題課程 嗎?
GGB沒有，但幾何的老師會使用。
另有教學解題的課程，但主要是資優學程的，不是專為教甄。
教甄的話主要是教試教的部份，這部份比較難，很多成績很好的學生，不會教人，講什麼都覺得trvial。
筆試題目，靠學生自己練習即可，他們會自組小組練習、分享、討論。
作者: chu    時間: 2023-4-28 16:18     標題: 回覆 28# Superman 的帖子

對! 嚴格來說{0<= X<= 13, X 為整數}, 只是X本來就是整數,也一定>=0
作者: DavidGuo    時間: 2023-4-28 21:13     標題: 第五題的問題

引用:
原帖由 Ellipse 於 2023-4-28 08:49 發表
要跟教授講一下,我是用Mathematica跑數值解,
不跑數值解算出來是一堆根號加減很醜的數據
然後剛剛又去檢驗一下,應該就只有那四組解喔
我知道問題出在哪裡了…
35樓的解法，也有漏洞，
第一、
不只8個Cases，其中(2)(3)(4)(6)(7)(8)應該都還有另外的Case
以Case (2)來說
還會有|x|比較短一點的情況，亦即A點在三角形OBC中的情況，
此時\(-\triangle OAB+\triangle OBC-\triangle OCA=3\sqrt{\frac{11}2}=\frac12(-|x|y+\frac{yz}2-\frac{\sqrt{3}|x|z}2)=\frac12(xy+\frac{yz}2+\frac{\sqrt{3}xz}2)\)
推得\(2xy+yz+\sqrt{3}xz=6\sqrt{22}\)
Case(3)(4)(6)(7)(8)也都一樣，恰好正負相反，所以答案還是\(\pm 6\sqrt{22}\)
這樣實在太多Cases了，還是像40樓一樣，用有向面積一次解決比較快。

第二、
問題出在題目說x,y,z是實數，但這14個cases我們都沒把x,y,z真的解出來，他們其實有可能是複數解，所以\(+6\sqrt{22}\)與\(-6\sqrt{22}\)，還須要各至再找出一組實數解才行。
當x,y,z都正時，可以確定解都是實數，且答案是\(+6\sqrt{22}\)，至於\(-6\sqrt{22}\)這個答案，還要真的找一組「實數」解出來才行，這就不容易了…

要不就是題目不要說x,y,z是實數，允許複數，那答案是\(\pm 6\sqrt{22}\)，
要不就是題目改成x,y,z都正，那答案是\(+6\sqrt{22}\)
不然原題「x,y,z是實數」，用21樓電腦跑出的結果說明，答案是\(\pm 6\sqrt{22}\)沒錯，但\(-6\sqrt{22}\)這個用人工不好確定。
作者: Ellipse    時間: 2023-4-28 22:46     標題: 回覆 46# DavidGuo 的帖子

我這次沒用數值解去跑
直接讓它算出精準的答案

剛上網看,學校並沒有更正這題答案

圖片附件: 1682693130593.jpg (2023-4-28 22:47, 520.82 KB) / 該附件被下載次數 436
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作者: a5385928    時間: 2023-4-29 09:50

想請問第10題
作者: thepiano    時間: 2023-4-29 11:48     標題: 回覆 48# a5385928 的帖子

第 10 題
在\(\Delta ABC\)的邊\(\overline{AB}\)與\(\overline{AC}\)的外側分別作正三角形\(\Delta ABD\)與\(\Delta ACE\)，已知\(\overline{AC}=1\)且\(\overline{DE}=2\)，則\(\Delta ABC\)面積的最大值為　　　。
[提示]
110 高中數學能力競賽決賽 口試題
https://math.pro/db/thread-3612-1-2.html
作者: peter0210    時間: 2023-4-30 11:15

請教第9題
如何處理mod 125
作者: Dragonup    時間: 2023-4-30 12:23     標題: 回覆 50# peter0210 的帖子

\(|\;2023^{112}-112^{2023}|\;\)的末三位數字為　　　。(若該位數字為0也要寫出，如001或023)
[解答]


圖片附件: 112師大附中第9題.png (2023-12-31 18:15, 25.68 KB) / 該附件被下載次數 246
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6832&k=e8556dcf0032e1c236a71fea039c084c&t=1714137401

作者: thepiano    時間: 2023-5-1 00:04     標題: 回覆 51# Dragonup 的帖子

112^23 - 2023^12 除以 125 的餘數
相當求 (-13)^23 - 23^12 除以 125 的餘數
這計算量有點大啊
作者: DavidGuo    時間: 2023-5-4 14:05

引用:
原帖由 thepiano 於 2023-5-1 00:04 發表
112^23 - 2023^12 除以 125 的餘數
相當求 (-13)^23 - 23^12 除以 125 的餘數
這計算量有點大啊
這題，好像也只能這樣慢慢算…
作者: na2204    時間: 2023-5-17 15:22

第5題
餘弦定理的所有邊長都是正的。
若x,y,z之中有負數，角度就不會剛好是90度、150度、120度了啊～
作者: KenJ    時間: 2023-5-22 14:05

想請問第11題
目前把兩邊微分後，有得到f(x) 令為0
解出的a 不堪入目！  有請各位老師指點
謝謝
作者: thepiano    時間: 2023-5-22 14:49     標題: 回覆 55# KenJ 的帖子

第 11 題
若多項式\(f(x)\)滿足\(\displaystyle x^2 f(x)=\frac{36}{5}x^5+6ax^4-4x^3+2\int_a^x t f(t)dt\)，其中\(a\)為實數；且\(f(0)=0\)。試求出\(f(x)\)與\(x\)軸之間所圍面積的最小值為　　　。
[解答]
f(x) = 12x(x^2 + ax - 1)
f(x) = 0 之三根為 0、p、q
pq = -1
分成 p 到 0 和 0 到 q 這兩部分積分
利用根與係數，可得所圍面積 = a^4 + 6a^2 + 6
可知 a = 0 時有最小值 6

不過由於 f(1) = f(-1) = 12a
我會猜 a = 0 時，所圍面積有最小值
作者: KenJ    時間: 2023-5-22 16:33

謝謝鋼琴老師的提點！
作者: three0124    時間: 2023-12-27 13:50     標題: 回覆 49# thepiano 的帖子

請教各位關於第十題
我使用lagrange乘子法
算出兩個答案
1±(√3)/4
請教為何加的不合呢 謝謝各位
作者: thepiano    時間: 2023-12-28 06:16     標題: 回覆 58# three0124 的帖子

當面積 = 1 + √3/4 時，反推回去，可發現 AB * cos角BAC 非實數，換句話說，畫不出這樣的圖形
作者: three0124    時間: 2023-12-30 22:04     標題: 回覆 59# thepiano 的帖子

我知道問題點了 謝謝老師
作者: jerryborg123    時間: 2024-2-5 15:42     標題: 回覆 56# thepiano 的帖子 jam

請問如何確定f(x)沒有常數項?

[ 本帖最後由 jerryborg123 於 2024-2-5 15:56 編輯 ]

圖片附件: 112師大附中.png (2024-2-5 15:56, 288.15 KB) / 該附件被下載次數 175
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6868&k=c33a6544cd702af19fbf4153eff25380&t=1714137401

作者: thepiano    時間: 2024-2-5 16:30     標題: 回覆 61# jerryborg123 的帖子

題目有說 f(0) = 0
作者: Superman    時間: 2024-2-19 08:35

引用:
原帖由 DavidGuo 於 2023-5-4 14:05 發表

這題，好像也只能這樣慢慢算…
https://www.youtube.com/watch?v=Hu7F7A5lG8E
請問這樣算如何？



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