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標題: 112高雄中學 [打印本頁]

作者: Arbesbe 時間: 2023-4-8 14:28 標題: 112高雄中學

附件為112雄中考題記憶版
今年考了18題，題目相對去年容易但題數較多。

敝人能力不足，走出考場無法將所有數據記住。
希望今日有到雄中考試的老師們協助補充題目與數據。
謝謝大家

*感謝版上老師提供題目，新增題目或更正數據。
*19:00再更新
*10樓有更完整的記憶版供參考，我也將其新增上來。謝謝Superconan老師提供較完整版的試題。
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3727&page=1#pid24680

[ 本帖最後由 Arbesbe 於 2023-4-9 21:51 編輯 ]

附件: [謝謝Superconan老師提供] 112高雄中學試題(記憶版).pdf (2023-4-9 17:50, 303.74 KB) / 該附件被下載次數 4852
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6547&k=91214b3a9a65b0f853c46bbcbb58a545&t=1732272050

作者: 5pn3gp6 時間: 2023-4-8 15:01

感謝樓主
貢獻一題

歪斜獻那題我只記得方向向量，點座標真的忘記了
附圖的點座標不要參考

再一題，係數忘了，但主要做題時需要的數據有記得

[ 本帖最後由 5pn3gp6 於 2023-4-8 15:57 編輯 ]

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=6540&k=9e66e565f90042ec6382b078acf67a8d&t=1732272050

作者: holylain 時間: 2023-4-8 15:54

轉貼群組有人提供的題目

[ 本帖最後由 holylain 於 2023-4-8 17:33 編輯 ]

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=6542&k=a38b98b13c21ae37450b9241f283cae6&t=1732272050

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=6543&k=786bbfeb8e4b656fb0bdf88e6f98b4be&t=1732272050

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=6544&k=d2bd9daa5fdd6f3cda19d763cd6967b4&t=1732272050

作者: yosong 時間: 2023-4-8 17:47 標題: 回覆 1# Arbesbe 的帖子

最後一題的題目是不是還有一個條件：f ' (0) > 0 ?
第8題敘述應該是存在m為正整數使得 a_m=k 對於所有的k為正整數

[ 本帖最後由 yosong 於 2023-4-8 19:24 編輯 ]

作者: labbg 時間: 2023-4-8 18:06

第6、16、18題

圖片附件: 123.png (2023-4-8 18:06, 11.95 KB) / 該附件被下載次數 2119
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6545&k=d59e13381880240b06052c372839e14c&t=1732272050

作者: labbg 時間: 2023-4-8 19:40 標題: 回覆 2# 5pn3gp6 的帖子

第11題. 印象中
f(x)-g(x)=(x-11)(x+2)(x+4)=x^3-5x^2-58x-88<0
f(x) 與 g(x) 就忘了

[ 本帖最後由 labbg 於 2023-4-8 19:42 編輯 ]

作者: anyway13 時間: 2023-4-8 20:43 標題: 第6題

第6題記得是有等號ㄟ

sin角ADC <= (2bc/(b^2+c^2))

作者: 5pn3gp6 時間: 2023-4-8 20:52 標題: 回覆 6# labbg 的帖子

這個就要看有沒有其他老師有印象了
我自己是解題中，沒找到怎麼把f(x)-g(x)在整數上因式分解，但是f(x)-g(x)的導函數倒是很順利的在整數上因式分解。

不過看起來我們這兩個印象中的式子，做出來的答案都是一樣的。

作者: cut6997 時間: 2023-4-9 10:46

求問17題
用數值逼近x(x+2)=(x+1)^2-1是1.5

[ 本帖最後由 cut6997 於 2023-4-10 03:07 編輯 ]

作者: Superconan 時間: 2023-4-9 10:56

謝謝老師們集思廣益分享題目，我將其彙整，分享給大家參考。
除了第 15 題網球比賽的題目以外，其它題目應該已經盡量還原了。

另外，想請教第 2, 7(2), 15, 17, 18 題，謝謝。

附件: 112高雄中學試題(記憶版).pdf (2023-4-9 10:56, 303.74 KB) / 該附件被下載次數 4931
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6546&k=0cca6f6295f3b6fe166e920dcf7c2153&t=1732272050

作者: Ellipse 時間: 2023-4-9 13:52

引用:

原帖由 cut6997 於 2023-4-9 10:46 發表
求問17題
用數值逼近x(x+2)-1=(x+1)^2是1.5
但用積分好像會跑出sinh^(-1)?
不知道是哪裡做錯了...

應該是1.5喔

作者: 5pn3gp6 時間: 2023-4-9 14:11

引用:

原帖由 Superconan 於 2023-4-9 10:56 發表
謝謝老師們集思廣益分享題目，我將其彙整，分享給大家參考。
除了第 15 題網球比賽的題目以外，其它題目應該已經盡量還原了。

另外，想請教第 2, 7(2), 15, 17, 18 題，謝謝。 ...

7(2)
因為sin(x)是週期函數，所以cos(sin(x))也是週期函數

若\(\cos(\sin(x+T))=\cos(\sin(x))\)
則有兩種可能

①\(\sin(x+T)=\sin(x)\)
\(T=2kπ\text{  or  }x+T=2kπ+π-x\)
後者顯然不是我們要的
故\(T=2kπ\)

②由\(\cos(x)=\cos(-x)\)
可推得\(\sin(x+T)=-\sin(x)\text{ or  }\sin(x+T)=\sin(x)+2kπ\)
後者顯然不合

由\(\sin(x+T)=-\sin(x)\)
可推得\(T=2kπ+π\text{  or  }x+T=-x\)
後者顯然不是我們要的
故\(T=2kπ+π\)

由這兩者，可推得\(T=kπ\)
取週期為π即可

第2題
用GGB跑出來不是定值
最多利用內積得到\((p+q)(r+q)=-1\)
推得\(r=-q-\frac{1}{p+q}\)
\(p+2q+r=p+q-\frac{1}{p+q}\)

[ 本帖最後由 5pn3gp6 於 2023-4-9 14:29 編輯 ]

作者: anyway13 時間: 2023-4-9 16:05 標題: 請問第5題和第6題

版上老師好

請問第五題和第六題的做法?
第六題用中線定理得知AD現段的長度後在ADE三角形求出cosADE
接者算出sinADE,硬減(2bc/(b^2+c^2) 計算上有卡

第五題求解

作者: satsuki931000 時間: 2023-4-9 16:12 標題: 部分題目參考解答

有錯還請不吝指教
1. \(\displaystyle 2\sqrt{3}\)

4.\(\displaystyle f(x)=x^3+6x^2+10x+4\)(感謝yosong老師指正)

5.\(\displaystyle \sqrt{23}\ or\ \sqrt{47}\)(感謝leilei老師指正)

7(1).\(\displaystyle ,\sqrt{3}-2,\sqrt{3}-1,\sqrt{3},\sqrt{3}+1,\sqrt{3}+2\) (感謝yosong老師指正)

8.由題目得\(\displaystyle (2k-1)^2=8m-7 \Rightarrow\ 4k^2-4k+8=8m\)
可得\(\displaystyle m=\frac{k^2-k+2}{2}\)
簡單討論一下k的奇偶情形，易知無論哪個k都能滿足存在一個\(\displaystyle m\in \mathbb{N}\)

9.設矩陣A的行向量分別為\(\displaystyle a_1,a_2 \cdots ,a_n\)，且\(a_k\)的分量分別為\(p_{k1},p_{k2},\cdots,p_{kn}\)
矩陣B的行向量分別為\(\displaystyle b_1,b_2 \cdots ,b_n\),且\(b_k\)的分量分別為\(q_{k1},q_{k2},\cdots,q_{kn}\)
若\(c_k\)為矩陣C的第k行向量，且\(c_k\)的分量分別為\(r_{k1},r_{k2},\cdots,r_{kn}\)
有\(\displaystyle c_k=q_{k1}(a_1)+q_{k2}(a_2)+\cdots +q_{kn}(a_n)\)
可知\(\displaystyle \Sigma_{i=1}^n\ r_{ki} =q_{k1}\times \displaystyle\Sigma_{i=1}^n\ p_{1i}+q_{k2}\times \displaystyle\Sigma_{i=1}^n\ p_{2i}+\cdots +q_{kn}\times \displaystyle\Sigma_{i=1}^n\ p_{ni}\)
因為AB皆為轉移矩陣，故\(\displaystyle \Sigma_{i=1}^n\ p_{ki}=1, \displaystyle\Sigma_{i=1}^n\ q_{ki}=1\)
所以\(\displaystyle \Sigma_{i=1}^n\ r_{ki}=1\)，C為轉移矩陣

10.給\(\displaystyle \overline{BC},\angle{ABC},\angle{ACB},\angle{ABO}\)或是\(\displaystyle \overline{BC},\angle{ABC},\angle{ACB},\angle{ACO}\)

11. p=6時，有f(p)有min 40

12.\(n(S)=6\)

13.幾何分布老梗題目 : \(\displaystyle E(X)= \frac{1}{p} , Var(X)=\frac{1-p}{p^2}\)

15.\(\displaystyle \frac{27}{65}\)

16.我算\(\displaystyle E(X)=500\times (\frac{4}{3})^{998}\times \frac{3005}{6}\)，醜到懷疑人生，不知道是否有誤
17.感覺分母應該是\(n^2\) ?

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2023-4-9 21:49 編輯 ]

作者: yosong 時間: 2023-4-9 16:48 標題: 回覆 14# satsuki931000 的帖子

我跟老師您算的有幾題不太一樣
第4題我是算 x^3+6x^2+10x+4 (-2那個根應該是第二大在中間,而且恰為對稱中心的位置)
第7題 (1) √3-2,√3-1,√3,√3+1,√3+2
第15題我是化簡到是500(4/3)^999
順便想請教第5題大概要用甚麼方向下手呢?
我算出了公垂線,但不太知道怎麼利用題目那個距離的條件往下做

作者: leilei 時間: 2023-4-9 18:06 標題: 回覆 15# yosong

我的想法

圖片附件: 127820.jpg (2023-4-9 18:06, 67.38 KB) / 該附件被下載次數 971
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6548&k=1210be20e492b5db74c7a2d37d46d61e&t=1732272050

作者: satsuki931000 時間: 2023-4-9 18:19 標題: 回覆 15# yosong 的帖子

第四題您是對的
我正負號寫錯

然後第五題從一開始的a就寫錯..難怪後面這麼醜

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2023-4-9 18:24 編輯 ]

作者: peter0210 時間: 2023-4-9 18:55

第四題

圖片附件: 4.png (2023-4-9 18:55, 20.29 KB) / 該附件被下載次數 880
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6549&k=bb1f02922f8f78ef445159b8801dc174&t=1732272050

作者: yosong 時間: 2023-4-9 19:12 標題: 回覆 16# leilei 的帖子

原來是投影!
空間概念不夠好沒想到
感謝老師分享作法

作者: Jimmy92888 時間: 2023-4-9 21:36 標題: 回覆 19# yosong 的帖子

第5題，請參考

圖片附件: IMG_5212.png (2023-4-9 21:36, 1.63 MB) / 該附件被下載次數 1194
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6553&k=2c6a8ac59f721ea75927f32dc8d7085e&t=1732272050

作者: anyway13 時間: 2023-4-9 21:47 標題: 回覆 21# Jimmy92888 的帖子

感謝Jimmy92888老師的解法小弟亂七八糟的解法就先撤下來了

[ 本帖最後由 anyway13 於 2023-4-9 22:10 編輯 ]

作者: peter0210 時間: 2023-4-9 21:57

第15題

圖片附件: 15.png (2023-4-9 21:57, 15.82 KB) / 該附件被下載次數 980
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6554&k=9bf1d781c5db730e74b709d724906636&t=1732272050

作者: yosong 時間: 2023-4-9 22:08 標題: 回覆 20# Jimmy92888 的帖子

謝謝老師!
沿用老師您的數據
我再提供一個寫法

[ 本帖最後由 yosong 於 2023-4-9 22:13 編輯 ]

圖片附件: 雄中112填充五.jpg (2023-4-9 22:11, 54.97 KB) / 該附件被下載次數 1064
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6558&k=393ebcc3cabf17c6805c57d3837a89b1&t=1732272050

作者: BambooLotus 時間: 2023-4-9 22:46

14是很有趣的一題
所求\(=[\vec{c}\times(-10\vec{a})+\vec{c}\times(7\vec{b})+\vec{c}\times(3\vec{c})]\cdot\vec{a}\) \([\vec{c}\times(-10\vec{a})]\perp\vec{a}\)
\(=0+7(\vec{c}\times\vec{b})\cdot\vec{a}+\vec{0}\cdot\vec{a}=7(\vec{c}\times\vec{b})\cdot\vec{a}=7(\vec{b}\times\vec{a})\cdot\vec{c}=7(\vec{b}\times\vec{a})\cdot(\vec{a}\times\vec{b})=-7|\vec{a}\times\vec{b}|^2=-7\times289=-2023\)，剛好變成年份

[ 本帖最後由 BambooLotus 於 2023-4-9 23:13 編輯 ]

作者: peter0210 時間: 2023-4-10 18:56

第三題如誤請指正

圖片附件: 3.png (2023-4-10 18:56, 16.95 KB) / 該附件被下載次數 984
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6559&k=b6fe66ebc7cd957a5e23ee9c6dce2380&t=1732272050

作者: jim1130lc 時間: 2023-4-10 21:18

紀錄一下，進複試標準：44分

作者: 5pn3gp6 時間: 2023-4-10 22:18

18題
沒有習慣的電腦可用，思緒有點亂，先丟上來拋磚引玉。

不過考場上還沒寫到這題，今天想了一個小時多忽然迸出的想法。
再看看有沒有老師有其他做法
－－
4/11　13:10 修正錯字與敘述
4/11　17:11 補上pdf

[ 本帖最後由 5pn3gp6 於 2023-4-11 17:12 編輯 ]

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=6563&k=69c8c041c39f434a9187bbc96695acbe&t=1732272050

附件: 040818.pdf (2023-4-11 17:12, 533.32 KB) / 該附件被下載次數 1531
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6567&k=5266add5db6407606a4dae7d6c7ef6c5&t=1732272050

作者: Ellipse 時間: 2023-4-11 14:15

引用:

原帖由 5pn3gp6 於 2023-4-10 22:18 發表
18題
沒有習慣的電腦可用，思緒有點亂，先丟上來拋磚引玉。

不過考場上還沒寫到這題，今天想了一個小時多忽然迸出的想法。
再看看有沒有老師有其他做法
－－
4/11　13:10 修正錯字與敘述 ...

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2023-4-11 14:23 編輯 ]

作者: q1214951 時間: 2023-4-11 15:19

各位老師好，這是朋友提供的第18提做法，
他說花了五個小時想的...再請指教有無錯誤。

[ 本帖最後由 q1214951 於 2023-4-11 15:20 編輯 ]

圖片附件: 26402.jpg (2023-4-11 15:19, 129.34 KB) / 該附件被下載次數 1224
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6566&k=e051750e8a8be23d64a1f3a6e66b04a6&t=1732272050

作者: lovejade 時間: 2023-4-11 16:11

想請教一下第6題應該從哪個方向切入呢?

作者: kk1032 時間: 2023-4-11 17:26

也想請教各位老師，關於17題除了估計，是否有嚴謹的做法說明是1.5

作者: thepiano 時間: 2023-4-11 18:04 標題: 回覆 30# lovejade 的帖子

第 6 題
\(\begin{align}
  & {{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc\cos A \\
&  \\
& \overline{AD}=d \\
& {{b}^{2}}+{{c}^{2}}=2{{\left( \frac{1}{2}a \right)}^{2}}+2{{d}^{2}} \\
& {{d}^{2}}=\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-\frac{1}{2}{{a}^{2}}}{2} \\
& =\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-\frac{1}{2}\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc\cos A \right)}{2} \\
& =\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2bc\cos A}{4} \\
&  \\
& {{\left( \Delta ABC \right)}^{2}}=4{{\left( \Delta ADC \right)}^{2}} \\
& \frac{1}{4}{{b}^{2}}{{c}^{2}}{{\sin }^{2}}A=4{{\left( \frac{1}{4}ad\sin \angle ADC \right)}^{2}}=\frac{1}{4}{{a}^{2}}{{d}^{2}}{{\sin }^{2}}\angle ADC \\
& {{\sin }^{2}}\angle ADC=\frac{{{b}^{2}}{{c}^{2}}{{\sin }^{2}}A}{{{a}^{2}}{{d}^{2}}} \\
& =\frac{{{b}^{2}}{{c}^{2}}{{\sin }^{2}}A}{\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc\cos A \right)\left( \frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2bc\cos A}{4} \right)} \\
& =\frac{4{{b}^{2}}{{c}^{2}}{{\sin }^{2}}A}{{{\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}^{2}}-4{{b}^{2}}{{c}^{2}}{{\cos }^{2}}A} \\
& =\frac{4{{b}^{2}}{{c}^{2}}-4{{b}^{2}}{{c}^{2}}{{\cos }^{2}}A}{{{\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}^{2}}-4{{b}^{2}}{{c}^{2}}{{\cos }^{2}}A}\quad \left( 0\le {{\cos }^{2}}A<1\ ,\ {{\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}^{2}}\ge 4{{b}^{2}}{{c}^{2}} \right) \\
& \le \frac{4{{b}^{2}}{{c}^{2}}}{{{\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}^{2}}} \\
&  \\
& \sin \angle ADC\le \frac{2bc}{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}} \\
&  \\
\end{align}\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2023-4-11 18:13 編輯 ]

作者: lovejade 時間: 2023-4-11 20:37 標題: 回覆 32# thepiano 的帖子

謝謝老師指點!

作者: 5pn3gp6 時間: 2023-4-12 01:14

第15題提供另一個作法

當年被105武陵慘虐之後，看到Math Pro的高手用這招，就一直熟記在心。

圖片附件: 040815.PNG (2023-4-12 01:14, 35.69 KB) / 該附件被下載次數 1024
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6568&k=ba75ce26a5d44348419eeab9353a63e1&t=1732272050

作者: ouchbgb 時間: 2023-4-12 15:33

17. 令 \[S = \sum\limits_{k = 1}^n {\sqrt {k\left( {k + 2} \right)} }  = \sum\limits_{k = 1}^n {\sqrt {{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 1} }  < \sum\limits_{k = 1}^n {\left( {k + 1} \right)}  = \frac{{n\left( {n + 3} \right)}}{2}\]
又由 GM \(\geq\) HM
\[S = \sum\limits_{k = 1}^n {\sqrt {k\left( {k + 2} \right)} }  \ge \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{k\left( {k + 2} \right)}}{{\left( {k + 1} \right)}}}  = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 1}}{{\left( {k + 1} \right)}}}  = \sum\limits_{k = 1}^n {\left( {k + 1} \right)}  - \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{k + 1}}} \]
因此  \[\frac{3}{2} - \frac{{\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{k + 1}}} }}{n} < \frac{S}{n} - \frac{n}{2} < \frac{3}{2}\]

令 \[{H_n} = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{k + 1}}} \] ，由Stolz-Cesaro Theorem，
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{H_{n + 1}} - {H_n}}}{{\left( {n + 1} \right) - n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{n + 2}} = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{H_n}}}{n} = 0\]

所以\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{3}{2} - \frac{{\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{k + 1}}} }}{n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{3}{2} = \frac{3}{2}\] ，由夾擠定理，
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{S}{n} - \frac{n}{2} = \frac{3}{2}\]

[ 本帖最後由 ouchbgb 於 2023-4-14 13:21 編輯 ]

作者: Ellipse 時間: 2023-4-12 20:58

引用:

原帖由 ouchbgb 於 2023-4-12 15:33 發表
17. 令 \[S = \sum\limits_{k = 1}^n {\sqrt {k\left( {k + 2} \right)} } = \sum\limits_{k = 1}^n {\sqrt {{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 1} } < \sum\limits_{k = 1}^n {\left( {k + 1} \right)} = \frac{{n ...

紅色處的不等式方向應是相反

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作者: ouchbgb 時間: 2023-4-12 22:55

謝謝指正, 抱歉.

作者: koeagle 時間: 2023-4-13 02:53 標題: 18題

想了很久，不知道這樣的寫法對不對

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作者: no40508888 時間: 2023-4-13 11:41

8題
代入幾項觀察可發現a1=1,a2=2,a4=3,a11=5....
數列1,2,4,7,11...猜測第k項為1+(1+2+...+k-1)=1+k(k-1)/2
令m=1+k(k-1)/2代入am可得am=k故得證

考試我是這樣寫，不確定有沒有給分

15題
設duece時最後假獲勝機率為P
則P=0.6*0.6+0.6*0.4P+0.4*0.6P (接下來兩局的所有可能情形)
可得P=9/13
所求為0.6P=27/65

[ 本帖最後由 no40508888 於 2023-4-13 11:50 編輯 ]

作者: ㄨㄅㄒ 時間: 2023-4-15 18:13

想請問第16題
我算出來x＝500*(4/3)^1000
不知是否正確

作者: thepiano 時間: 2023-4-15 18:28 標題: 回覆 40# ㄨㄅㄒ的帖子

應是 x = 500 * (4/3)^999

作者: s7908155 時間: 2023-4-18 09:03 標題: 回覆 34# 5pn3gp6 的帖子

好猛的做法，完全一目了然。

作者: lovejade 時間: 2023-4-24 18:57

想請教一下第16題的作法，謝謝

作者: tsusy 時間: 2023-4-24 21:10 標題: 回覆 43# lovejade 的帖子

第 16 題，就直接硬算吧?
不過剛才算了一下，小地方都計算錯誤，
重做一下，用點小性質：
\( \begin{aligned}x & =\sum\limits _{k=0}^{1000}\left[C_{k}^{1000}\cdot(\frac{3}{6})^{k}\cdot(\frac{5}{6})^{1000-k}\cdot k\right]\\
& =(\frac{8}{6})^{1000}\sum\limits _{k=0}^{1000}\left[C_{k}^{1000}\cdot(\frac{3}{8})^{k}\cdot(\frac{5}{8})^{1000-k}\cdot k\right]\\
& =(\frac{4}{3})^{1000}\cdot1000\cdot\frac{3}{8}\\
& =375\cdot(\frac{4}{3})^{1000}=500\cdot(\frac{4}{3})^{999}
\end{aligned} \)
其中第三個等號，使用了二項分布的期望值 \( = np \)

作者: lovejade 時間: 2023-4-25 10:47 標題: 回覆 44# tsusy 的帖子

謝謝老師指點

作者: bugmens 時間: 2023-4-27 12:34

1.
已知\(\vec{OA}=(1,2,3)\)、\(\vec{OB}=(1,-1,0)\)、\(\vec{OC}=(1,-2,1)\)，當\(|\;\vec{OA}-x\vec{OB}-y\vec{OC}|\;\)有最小值m時，數對\((x,y,m)=\)？
相關問題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid7957

5.
坐標空間中有兩不相交直線\(L_1\)：\(\displaystyle \frac{x+1}{2}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z}
{1}\)，\(L_2\)：\(\displaystyle \frac{x-2}{1}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-2}{-1}\)。另一直線\(L_3\)與\(L_1\)、\(L_2\)皆相交且垂直。若\(P\)、\(Q\)兩點分別在\(L_1\)、\(L_2\)上且與\(L_3\)之距離分別為\(3\sqrt{2}\)及\(2\sqrt{3}\)，則\(\overline{PQ}=\)　　　。

坐標空間中有兩不相交直線\(L_1\)：\(\displaystyle \frac{x+1}{2}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z}
{1}\)，\(L_2\)：\(\displaystyle \frac{x-2}{1}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-2}{-1}\)。另一直線\(L_3\)與\(L_1\)、\(L_2\)皆相交且垂直。若\(P\)、\(Q\)兩點分別在\(L_1\)、\(L_2\)上且與\(L_3\)之距離分別為\(4\sqrt{3}\)及\(5\sqrt{2}\)，則\(\overline{PQ}=\)　　　。
(112竹北高中，https://math.pro/db/thread-3733-1-1.html)

17.
\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(\frac{\sqrt{1\times 3}+\sqrt{2\times 4}+\ldots+\sqrt{n\times(n+2)}}{n}-\frac{n}{2}\right)=\)？
我的教甄準備之路　黎曼和和夾擠定理，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615

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