標題: 111臺南女中 [打印本頁]

---

作者: thepiano    時間: 2022-4-17 14:19     標題: 111臺南女中

這張應該要 60 以上才能進複試了

附件: 111 臺南女中.pdf (2022-4-17 14:19, 586.35 KB) / 該附件被下載次數 4987
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6258&k=fa41ccde3a961297c9bb67d0d0c2d384&t=1732299638

---

作者: thepiano    時間: 2022-4-17 14:29

填充第 9 題
謙卑謙卑再謙卑，哈哈哈
真有素養和創意的題目

---

作者: PDEMAN    時間: 2022-4-17 15:17

第九題:    \(\displaystyle 4 \frac{H^{2}_{3}}{\frac{7!}{3!3!}} \)

---

作者: Ellipse    時間: 2022-4-17 17:50

引用:

原帖由 thepiano 於 2022-4-17 14:19 發表
這張應該要 60 以上才能進複試了

好多熟面孔阿~~
那些題目都是老朋友了

---

作者: 5pn3gp6    時間: 2022-4-17 18:08

引用:

原帖由 Ellipse 於 2022-4-17 17:50 發表

好多熟面孔阿~~
那些題目都是老朋友了

寫完後的第一個感覺就是
去年平均12不到，所以今年出題出得很溫柔

拚速度跟穩定度的題目

---

作者: nnkuokuo    時間: 2022-4-18 11:47

請問填充2,填充3

---

作者: satsuki931000    時間: 2022-4-18 12:02

2. 多寫幾項對照一下，所求為2022的因數個數


3.假設\(\displaystyle P(2t,3t,4t) , Q(2+4s,3+3s,1+2s)\)
其中\(\displaystyle P ,Q \in L_1\)
解方程式\(\displaystyle \frac{2t-2}{4s}=\frac{3t-5}{-2+3s}=\frac{4t-7}{2s-6}\)
可得\(\displaystyle s=-2 , t=3 \) 代回去求長度

---

作者: 5pn3gp6    時間: 2022-4-18 12:36

引用:

原帖由 nnkuokuo 於 2022-4-18 11:47 發表
請問填充2,填充3

填充2
設k為大於1的正整數，由除法原理\(2021=k*q_k+r_k,\,\,\,2022=k*q_k+r_k+1\)

若\(r_k+1<k\)，則\(\displaystyle[\frac{2022}{k}]-[\frac{2021}{k}]=q_k-q_k=0\)

若\(r_k+1=k\)，則\(2022=k*(q_k+1)\)，此時\(\displaystyle[\frac{2022}{k}]-[\frac{2021}{k}]=(q_k+1)-q_k=1\)
且k為2022之因數
尋找除了1和2022，2022之正因數，共有6個

所以所求為\(\displaystyle[\frac{2022}{1}]-[\frac{2021}{1}]+\sum^{2021}_{k=2}\left([\frac{2022}{k}]-[\frac{2022}{k}]\right)+[\frac{2022}{2022}]=1+6+1=8\)

即如樓上所說，為2022的正因數個數

---

作者: nnkuokuo    時間: 2022-4-18 13:59     標題: 回復 8# 5pn3gp6 的帖子

謝謝老師，了解!另外想問填充4

---

作者: 5pn3gp6    時間: 2022-4-18 14:59

引用:

原帖由 nnkuokuo 於 2022-4-18 13:59 發表
謝謝老師，了解!另外想問填充4

要三個子集合兩兩交集後，仍為空集合，
則1,2,3,4,5,6這六個元素，最多只能屬於其中一次的集合

每個元素都有 只屬於第一次的集合、只屬於第二次的集合、只屬於第三次的集合、都不屬於　四種選擇
所以所求為\(4^6=4096\)

考試時沒想太多，我是用類似窮舉去做的
第一次從6個中挑p個，第二次從剩下的6-p個中挑q個，第三次剩下的(6-p-q)個可選可不選
\(\displaystyle \sum^6_{p=0} C^6_p \left(\sum^{6-p}_{q=0} C^{6-p}_q 2^{6-p-q}\right)\)
註：\(C^0_0=1\)



但這張我兩題排列組合/機率的題目，都犯蠢在一個小地方
不夠熟練阿

---

作者: peter0210    時間: 2022-4-18 20:47

計算1另解 抱歉右下角最後一個等式應為(1+110)*110/2

圖片附件: 20220418_204457.jpg (2022-4-18 20:47, 79.55 KB) / 該附件被下載次數 1628
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6266&k=cf8163b32db9bf503eb1be9e4cb7eff0&t=1732299638

---

作者: satsuki931000    時間: 2022-4-19 00:48

13和去年全國聯招相同，忘記加負號....
1.移項一下，得到\(\displaystyle |z-1|=1 , |z|=1\)，去解\(z\)即可
以上兩題送分題居然寫錯....

---

作者: satsuki931000    時間: 2022-4-19 00:54

6. 原式整理成\(\displaystyle  |z_3-z_1|=(4+4i)|z_3-z_2|\)
令\(\displaystyle A(z_1) ,B(z_2),C(z_3)\)
畫圖得到\(\displaystyle \Delta{ABC}, \overline{BC}=x,\overline{AC}=4\sqrt{2}x,\overline{AB}=5\)
\(\displaystyle C=45^{\circ}\)，餘弦定理求出\(x=1 \Rightarrow \overline{AC}=4\sqrt{2}\)

---

作者: 5pn3gp6    時間: 2022-4-19 09:35

引用:

原帖由 satsuki931000 於 2022-4-19 00:54 發表
6. 原式整理成\(\displaystyle  |z_3-z_1|=(4+4i)|z_3-z_2|\)
令\(\displaystyle A(z_1) ,B(z_2),C(z_3)\)
畫圖得到\(\displaystyle \Delta{ABC}, \overline{BC}=x,\overline{AC}=4\sqrt{2}x,\overline{AB}=5\)
\(\d ...

感謝提供
這題我是用湊的，因為也還蠻好湊的
原式：\(z_1-(4+4i)z_2+(3+4i)z_3=0\)

\(\left((4+4i)-(3+4i)\right)z_1-(4+4i)z_2+(3+4i)z_3=0\)

\((4+4i)(z_1-z_2)+(3+4i)(z_3-z_1)=0\)

\(|4+4i|·|z_1-z_2|=|3+4i|·|z_3-z_1|\)

所以\(\displaystyle |z_3-z_1|=\frac{4\sqrt{2}}{5}·|z_1-z_2|=4\sqrt{2}\)

---

作者: laylay    時間: 2022-4-19 09:40     標題: 填充5.

令 g(x)=(x+1)f(x)-x (11次多項式)
則 g(0)=g(1)....=g(10)=0
令  g(x)=ax(x-1)(x-2)...(x-10) , 由 g(-1)=1= -11!*a 得 a= -1/11!
g(11)=12f(11)-11=11!*a= -1 => f(11)=5/6

---

作者: laylay    時間: 2022-4-19 09:51     標題: 填充12.

所有的L會形成平面 (x+1)/1=(z+4)/3 , 即 平面 E : 3x-z=1
故所求 =d(p,E)=|-3+3-1|/ㄏ10=1/ㄏ10

---

作者: r91    時間: 2022-4-19 09:59

請問一下第13、14題

---

作者: laylay    時間: 2022-4-19 11:34

14.設f(x)=(ax+b)(x+1),再由兩個判別式<=0
可得 (a-b)^2=0,2a+2b=1 => a=b=1/4 => f(4)=5(4a+b)=25/4
不過本題是填充題 x<=(x+1)^2/4<=(x^2+1)/2(柯西)若能快速看出,就能馬上寫出25/4 的答案

---

作者: thepiano    時間: 2022-4-19 11:40     標題: 回復 17# r91 的帖子

第 13 題
要恰有 3 個交點
那兩直線 x + ay = 1 和 ax + y = 1 的交點 (1/(a + 1)，1/(a + 1)) 要在圓 x^2 + y^2 = 1 上

---

作者: laylay    時間: 2022-4-19 11:50     標題: 填充13.

A(過(1,0)),B(過(0,1))對稱於x=y,依題意易知A再過(1/ㄏ2,1/ㄏ2)=>a=ㄏ2-1
或A再過(-1/ㄏ2,-1/ㄏ2)=>a=-ㄏ2-1

---

作者: 5pn3gp6    時間: 2022-4-19 12:04

引用:

原帖由 r91 於 2022-4-19 09:59 發表
請問一下第13、14題

13.
（兩直線）與圓共有三個交點

Case1 兩直線一者為圓之切線，一者為割線，且兩直線不交於圓上
但圓心到兩直線的距離相等，所以此情形不合

Case2 兩直線皆為圓之割線，且兩直線交於圓上
以此即可解a

----
14. 提供另一個比較沒技術但簡單的想法
題目沒設計這麼剛好的話，第一時間我也沒想法

設\(f(x)=(ax+b)(x+1)=(ax^2+(a+b)x+b)\)
注意到\(y=x\)和\(y=(x^2+1)/2\) 交於(1,1)
所以\(y=f(x)\)必過(1,1)，解得\(a+b=1/2\)

再處理不等式，解判別式，得\(a=1/4\)

---

作者: r91    時間: 2022-4-19 15:05

謝謝老師的解答，再請問一下填充第一題

---

作者: 5pn3gp6    時間: 2022-4-19 15:22

引用:

原帖由 r91 於 2022-4-19 15:05 發表
謝謝老師的解答，再請問一下填充第一題

設\(z=\cosθ+i\sinθ\)，則\(\cos11θ+\cosθ=1\)且\((\sin11θ+\sinθ)=0\)
所以\(\sin11θ=-\sinθ\)，則\(\cos11θ=±\cosθ\)(負不合)，所以\(\cosθ=1/2\)
所以\(\sinθ=±\sqrt{3}/2\)

12樓的satsuki老師也有提供想法


門檻出來了
門檻62分

---

作者: bugmens    時間: 2022-4-19 16:55

1.
設\(|\;z|\;=1\)且\(z^{11}+z-1=0\)，試求複數\(z\)之值。

計算證明題
1.
令\(\displaystyle \omega=cos\frac{2\pi}{111}+i sin\frac{2\pi}{111}\)，其中\(i=\sqrt{-1}\)。試求\(\displaystyle \sum_{k=1}^{110}\frac{\omega^{2k}}{\omega^k-1}\)的值。
[提示]
這裡考計算證明當然要會寫全部過程，若只問答案有現成公式
公式\(\displaystyle \sum_{k=1}^{110}\frac{\omega^{2k}}{\omega^k-1}=\frac{1}{2}(110-2)=54\)

3.
已知\(n\)個相異的正奇數與\(m\)個相異的正偶數的和為1000，求\(6n+8m\)的最大值。
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1327&page=1#pid5182

7.
設\(\displaystyle -\frac{\pi}{4}\le \theta \le \frac{\pi}{4}\)，若下列\(x,y,z\)的方程組
\(\cases{(\sqrt{2}(sin\theta+cos\theta)-2)x-3y-3z=0 \cr 3x+y-z=0 \cr 13x+7y-\sqrt{2}(sin\theta+cos\theta)z=0}\)
有異於\(x=y=z=0\)之解，求\(\theta\)的值=　　　

設有一奇整數n及一角θ使得聯立方程式
\( \cases{3^n y+(sin 2 \theta)^n z=0 \cr
(1+sec \theta)^n x+z=0 \cr
-x+(1+csc \theta)^n y=0} \)
中的x,y與z不只一組解，試求\( sin \theta+cos \theta+tan \theta+cot \theta+sec \theta+csc \theta \)之值。
(98台灣師大大學甄選入學指定項目甄試試題)
(99基隆高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=972&page=1#pid2248)

---

作者: BambooLotus    時間: 2022-4-20 09:50

計算1其實就雄中第一題的原型，一樣使用頭尾相加跟等比級數就可以求解

https://math.pro/db/thread-3619-2-1.html

7. 令\(\sin\theta+\cos\theta=t\)，把第一列第二行跟第三列第二行變0直接降階就可以求出\(t=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\)
所求一定是特殊角不難猜答案

---

作者: enlighten0626    時間: 2022-4-20 20:12

請教填充10

---

作者: Ellipse    時間: 2022-4-20 20:56

引用:

原帖由 enlighten0626 於 2022-4-20 20:12 發表
請教填充10

向量OP=sinα*(1,1,2)+cosβ*(-1,2,1)
∵ 0≦α≦π/6 ,0≦β≦π/3  ∴ 0≦sinα≦1/2, 1/2≦cosβ≦1
令向量a=(1,1,2),向量b=(-1,2,1)
由向量a與向量b所張成的(空間中)平行四邊形面積
=√ [(1²+1²+2²)((-1)²+2²+1²)-3²] =3√ 3
所求=(1/2)*(1-1/2)*3√ 3=(3√ 3)/4

---

作者: enlighten0626    時間: 2022-4-20 21:39     標題: 回復 27# Ellipse 的帖子

感謝老師解惑

---

作者: son249    時間: 2022-4-29 20:29     標題: 請教填充8

請問除了用向量分點公式硬算外，有無更快的方法？

---

作者: thepiano    時間: 2022-4-29 22:17     標題: 回復 29# son249 的帖子

105 全國聯招計算第 2 題
http://www.shiner.idv.tw/teachers/download/file.php?id=2623

---

作者: sda966101    時間: 2022-4-30 10:07     標題: 填充第九

想請問為什麼那題的分子會是H2取3

---

作者: thepiano    時間: 2022-4-30 10:48     標題: 回復 31# sda966101 的帖子

第 9 題
先排 卑、卑、卑、再
有 4 種排法

再插入 謙、謙、謙，不能排在卑的前面
前面 4 種，每一種都有 H(2，3) = 4 種排法

---

作者: sda966101    時間: 2022-4-30 11:42

感謝鋼琴老師

---

作者: ChuCH    時間: 2022-5-2 09:03

請教填充15

---

作者: PDEMAN    時間: 2022-5-2 09:25     標題: 回復 34# ChuCH 的帖子

\(\displaystyle -\frac{1}{2}\int^{2}_{0}\sqrt{4-x^2}d(4-x^2)=-\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}(4-x^2)^{\frac{3}{2}}|^{2}_{0}\)

---

歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/)

論壇程式使用 Discuz! 6.1.0