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標題: 111高雄中學 [打印本頁]

作者: BambooLotus 時間: 2022-4-9 14:23 標題: 111高雄中學

去年朋友幫抄題目後來考上正式
今年他再幫大家抄一次

*感謝Superconan老師打成電子檔，幫忙置頂

附件: 111高雄中學試題(記憶版).pdf (2022-4-9 18:38, 209.52 KB) / 該附件被下載次數 9287
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作者: Arbesbe 時間: 2022-4-9 17:59

初試錄取分數42分

作者: Superconan 時間: 2022-4-9 18:07

謝謝 BambooLotus 老師提供試題，我將其打為電子檔，方便大家觀看。如有錯誤，可以再跟我說。

附件: 111高雄中學試題(記憶版).pdf (2022-4-9 18:07, 209.52 KB) / 該附件被下載次數 8028
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6221&k=2158021aecb37930a8e00123703ba60b&t=1769624229

作者: Superconan 時間: 2022-4-9 20:38

請問第 1 題、第 2 題

作者: Ellipse 時間: 2022-4-9 22:19

引用:

原帖由 Superconan 於 2022-4-9 20:38 發表
請問第 1 題、第 2 題

#1 題目有抄錯嗎?
用電腦算出來這麼醜.....

圖片附件: 1649512339877.jpg (2022-4-9 22:19, 28.16 KB) / 該附件被下載次數 6194
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6225&k=b4bdb2c86458becc036a76cca131c1e3&t=1769624229

作者: 5pn3gp6 時間: 2022-4-9 22:54

引用:

原帖由 Superconan 於 2022-4-9 20:38 發表
請問第 1 題、第 2 題

第二題硬解，乍看很可怕，但題目都有設計好
設四點依序為A,B,C,D
做A,B中垂線，得直線方程式\[x+2y=4\]
做C,D中垂線，看似很可怕，但最後可得直線方程式\[x+y=1\]
兩中垂線之交點為圓心(-2,3)，得半徑為5
再由C到圓心距離為5，解k的4次方程式，用一次因式檢驗法可得k只有2這個有理數解
故k=2

作者: BambooLotus 時間: 2022-4-9 22:54

2. \((-k+4,k^2+k),(-k^2-k+1,k-3)\)的斜率為\(1\)，中點為\(\displaystyle (\frac{-k^2-2k+5}{2},\frac{k^2+2k-3}{2})\)
中點恆滿足\(x+y=1\)，由斜率可知中垂線必為\(x+y=1\)
與\(x+2y-4=0\)解得圓心座標\((-2,3)\)，半徑為\(5\)
\((-k+6)^2+(k^2+k-3)^2=25\)，\(k^4+2k^3-4k^2-18k+20=0\)
\((k-2)(k^3+4k^2+4k-10)=0\)，\(k=2\)

上面剛好有人回到同一題，自己隨便挑一題補個做法
6. \(9603=99\times97\)，令\(x=100\)，所求即\(f(x)\)對\((x-1)(x-3)\)的餘式
令\(f(x)=(x-1)(x-3)Q(x)+a(x-1)+b\)，代入\(f(1)=12,f(3)=40\)即可

作者: Ellipse 時間: 2022-4-9 23:48

引用:

原帖由 BambooLotus 於 2022-4-9 14:23 發表
去年朋友幫抄題目後來考上正式
今年他再幫大家抄一次

*感謝Superconan老師打成電子檔，幫忙置頂

還有那個#14 不知道數據有沒有抄錯....
如果沒有錯的話,最後就是要解2^x+3^(1/x)=5
有一解為x=1,另一解大於1(用電腦算出估計值約1.58496.......)

作者: BambooLotus 時間: 2022-4-10 00:06 標題: 回復 8# Ellipse 的帖子

確定沒抄錯，雖然考試有點小計算錯誤
不過我是用堪根說明有一根在1~2之間
似乎沒給分就是了

作者: Ellipse 時間: 2022-4-10 00:13

引用:

原帖由 BambooLotus 於 2022-4-10 00:06 發表
確定沒抄錯，雖然考試有點小計算錯誤
不過我是用堪根說明有一根在1~2之間
似乎沒給分就是了

我很想知道出題老師是如何手算把這個答案算出來?
然後若要用近似值表示是要到小數點後第幾位?

作者: Ellipse 時間: 2022-4-10 00:29

引用:

原帖由 BambooLotus 於 2022-4-10 00:06 發表
確定沒抄錯，雖然考試有點小計算錯誤
不過我是用堪根說明有一根在1~2之間
似乎沒給分就是了

那#1確定題目沒有抄錯?

作者: BambooLotus 時間: 2022-4-10 00:45 標題: 回復 12# Ellipse 的帖子

利用\(\displaystyle \frac{a^2}{a+1}=\frac{(a+1)^2}{a+1}-\frac{2(a+1)}{a+1}+\frac{1}{a+1}\)
利用等比級數+頭尾相加，不知是否可以求出正解
考試有點當機所以沒算出來

*試算一下頭尾相加部分似乎真的有問題

作者: Chen 時間: 2022-4-10 00:51 標題: 回復 5# Ellipse 的帖子

我印象中題目是 k = 1 到 2022

作者: Superconan 時間: 2022-4-10 01:09 標題: 回復 12# Ellipse 的帖子

BambooLotus 老師的數據應該都沒錯，我除了打下來以外，也有跟幾位朋友核對過。

作者: bugmens 時間: 2022-4-10 06:38

7.
試求\(\displaystyle \sum_{n=1}^{2022}(-1)^n \frac{n^2+n+1}{n!}=\)？
[提示]
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{2022}(-1)^n \frac{n^2+n+1}{n!}=\sum_{n=1}^{2022}(-1)^n\left(\frac{n}{(n-1)!}+\frac{n+1}{n!}\right)\)

Evaluate \( \displaystyle \sum_{n=1}^{1994} \Bigg(\; (-1)^n \cdot \Bigg(\; \frac{n^2+n+1}{n!} \Bigg)\; \Bigg)\; \).
(Canada National Olympiad 1994，https://artofproblemsolving.com/ ... a_national_olympiad)

試求出下列級數之值：\(\displaystyle \sum_{n=1}^{2021}(-1)^n \frac{n^2+n+1}{n!}\)
(110高中數學能力競賽第五區筆試二，https://math.pro/db/thread-3612-1-1.html)
我的教甄準備之路　裂項相消，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678

9.
有一矩形\(ABCD\)，\(\overline{AB}=2\)，\(\overline{BC}=1\)，將矩形沿\(\overline{BD}\)折起，使平面\(ABD\)與平面\(CBD\)的夾角為\(120^{\circ}\)，試求\(\overline{AC}=\)？

其他相關題目，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=567&page=1#pid846

在長方形\(ABCD\)中，\(\overline{AB}=3\)、\(\overline{BC}=4\)，今將此長方形沿對角線\(\overline{AC}\)折起。若折起後的半平面\(ACD\)與半平面\(ABC\)所夾的兩面角為\(\theta\)(\(0^{\circ}\le \theta \le 180^{\circ}\))，則\(\overline{BD}\)的長度為　　　(以\(\theta\)表示)。
(110台中一中，https://math.pro/db/thread-3506-3-1.html)

12.
設相異三平面\( E_1 \)：\( a_1 x+b_1 y+c_1 z=d_1 \)，\( E_2 \)：\( a_2 x+b_2 y+c_2 z=d_2 \)，\( E_3 \)：\( a_3 x+b_3 y+c_3 z=d_3 \)
兩兩相交於一直線且三交線互相平行，令
\( \Delta=\Bigg\vert\; \matrix{a_1 & a_1 & c_1 \cr a_2 & b_2 & c_2 \cr a_3 & b_3 & c_3} \Bigg\vert\; \)，\( \Delta_x=\Bigg\vert\; \matrix{d_1 & a_1 & c_1 \cr d_2 & b_2 & c_2 \cr d_3 & b_3 & c_3} \Bigg\vert\; \)，\( \Delta_y=\Bigg\vert\; \matrix{a_1 & d_1 & c_1 \cr a_2 & d_2 & c_2 \cr a_3 & d_3 & c_3} \Bigg\vert\; \)，\( \Delta_z=\Bigg\vert\; \matrix{a_1 & a_1 & d_1 \cr a_2 & b_2 & d_2 \cr a_3 & b_3 & d_3} \Bigg\vert\; \)，
請證明：\( \Delta=0\)且\(\Delta_x,\Delta_y,\Delta_z \)至少一個不為0

https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1116&page=3#pid4748

作者: satsuki931000 時間: 2022-4-10 10:29

這邊提供小弟在考場有寫的幾題答案
有些題目 bugmens老師已經貼出詳解和出處小弟就不寫上來了

3. \(\displaystyle \frac{2}{3}<m<\frac{5}{3}\)

5.\(8\)

8.\(\displaystyle \frac{5}{12}\)(約分約錯...沒救.)

10(2). \(\displaystyle E(X)=\frac{1}{p}\ , \ Var(X)=\frac{1-p}{p^2}\)

11. 假設直線為\(\displaystyle y=mx+k\)，\(f(x)\)的首項係數為\(p\)
可以假設\(\displaystyle f(x)=p(x-a)(x-b)(x-c)+mx+k\)，二次微分解反曲點即可

13. \(\displaystyle \frac{7}{30}\)

另外想請問 15 16

作者: zerogil159 時間: 2022-4-10 12:00

第一題沒抄錯題目，我一直覺得我那題應該寫得出來，但我寫了20分鐘還是沒結果...

作者: zerogil159 時間: 2022-4-10 12:09

引用:

原帖由 Ellipse 於 2022-4-9 23:48 發表

還有那個#14 不知道數據有沒有抄錯....
如果沒有錯的話,最後就是要解2^x+3^(1/x)=5
有一解為x=1,另一解大於1(用電腦算出估計值約1.58496.......)
另一解是無法手算出來的...
難道可以允許考生在考試時按計算機?
喔 ...

我想另一根應該是log_2 3 考場寫得時候沒想到這件事，您說有另一根後想到可能是這個數

作者: Ellipse 時間: 2022-4-10 12:23

引用:

原帖由 zerogil159 於 2022-4-10 12:09 發表

我想另一根應該是log_2 3 考場寫得時候沒想到這件事，您說有另一根後想到可能是這個數

對喔~但變成是用湊的~ (2+3=5 ,3+2=5 這樣......)
那還要說明log_2 3這根是唯二的解

作者: thepiano 時間: 2022-4-10 12:27 標題: 回復 17# satsuki931000 的帖子

第 16 題
p(x) = 0 的二根為 - a ± √(a^2 + b + 1)
q(x) = 0 的二根為 - b ± √(b^2 + a + 4)

a^2 + b + 1 和 b^2 + a + 4 均為完全平方數
接下來分成
(1) a = b (2) a ＞ b (3) a ＜ b 去討論，用夾的

答案是 (a，b) = (0，0) 或 (1，2)

作者: yosong 時間: 2022-4-10 13:00 標題: 回復 20# thepiano 的帖子

抱歉原本的方法有問題，p(x)的常數項為-b-1所以不能直接用一次因式檢驗法做
可能還是參考30樓鋼琴老師的寫法分三個情況討論

[ 本帖最後由 yosong 於 2022-4-12 12:37 編輯 ]

作者: zerogil159 時間: 2022-4-10 13:06 標題: 回復 16# satsuki931000 的帖子

我第8題算是5/12
討論過程是
3同不可能
2同1異有(1,1,6) (2,2,5) (3,3,4) (4,4,3) (5,5,2) (6,6,1)排列後共18種
3異有1,6配上2∼5其中一個
      2,5配上1,3,4,6其中一個
      3,4配上1,2,5,6其中一個
      共3*4*6=72個
最後答案為90/216=5/12

作者: Ellipse 時間: 2022-4-10 13:33 標題: 回復 16# satsuki931000 的帖子

#15

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2022-4-10 15:10 編輯 ]

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作者: peter0210 時間: 2022-4-10 14:53

第四題，如誤請指正

圖片附件: 4.png (2022-4-10 14:53, 37.5 KB) / 該附件被下載次數 2650
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作者: PDEMAN 時間: 2022-4-10 15:22 標題: 第五題

參考

[ 本帖最後由 PDEMAN 於 2022-4-10 19:58 編輯 ]

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作者: peter0210 時間: 2022-4-10 15:23

第五題

圖片附件: 5.png (2022-4-10 15:23, 9.34 KB) / 該附件被下載次數 2728
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6235&k=430d04584a199d07a702d25d000fab92&t=1769624229

作者: thepiano 時間: 2022-4-10 15:28 標題: 回復 16# satsuki931000 的帖子

第15題
\(\begin{align}
& \frac{n{{H}_{n+1}}}{n{{H}_{n}}}<\frac{{{H}_{n+1}}+{{H}_{n+2}}+\cdots +{{H}_{2n}}}{n{{H}_{n}}}<\frac{n{{H}_{2n}}}{n{{H}_{n}}} \\
& 1+\frac{\frac{1}{n+1}}{{{H}_{n}}}<\frac{{{H}_{n+1}}+{{H}_{n+2}}+\cdots +{{H}_{2n}}}{n{{H}_{n}}}<1+\frac{\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n}}{{{H}_{n}}} \\
& \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 1+\frac{\frac{1}{n+1}}{{{H}_{n}}} \right)=1+\frac{0}{\infty }=1 \\
& \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 1+\frac{\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n}}{{{H}_{n}}} \right)=1+\frac{\ln 2}{\infty }=1 \\
& \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{H}_{n+1}}+{{H}_{n+2}}+\cdots +{{H}_{2n}}}{n{{H}_{n}}}=1 \\
\end{align}\)

作者: zerogil159 時間: 2022-4-10 15:41 標題: 回復 20# thepiano 的帖子

想請問老師您這題怎麼討論出解的

作者: satsuki931000 時間: 2022-4-10 15:43 標題: 回復 27# thepiano 的帖子

考場上一直認為要用黎曼何，沒想到是夾擠....
謝謝鋼琴老師

作者: thepiano 時間: 2022-4-10 16:05 標題: 回復 28# zerogil159 的帖子

\(\begin{align}
  & {{a}^{2}}+b+1={{m}^{2}} \\
& {{b}^{2}}+a+4={{n}^{2}} \\
&  \\
& \left( 1 \right)a=b \\
& {{n}^{2}}-{{m}^{2}}=3 \\
& \left( n+m \right)\left( n-m \right)=3\times 1 \\
& n=2,m=1 \\
& {{a}^{2}}+a=0 \\
& a=b=0 \\
&  \\
& \left( 2 \right)a>b \\
& {{a}^{2}}<{{a}^{2}}+b+1<{{a}^{2}}+2a+1={{\left( a+1 \right)}^{2}} \\
\end{align}\)
無解

\(\begin{align}
  & \left( 3 \right)a<b \\
& {{b}^{2}}<{{b}^{2}}+a+4<{{b}^{2}}+4b+4={{\left( b+2 \right)}^{2}} \\
& {{b}^{2}}+a+4={{\left( b+1 \right)}^{2}} \\
& a=2b-3<b \\
& a<b<3 \\
\end{align}\)
再檢驗\(\left( a,b \right)=\left( 0,1 \right),\left( 0,2 \right),\left( 1,2 \right)\)即可

[ 本帖最後由 thepiano 於 2022-4-12 13:21 編輯 ]

作者: Ellipse 時間: 2022-4-10 16:21

引用:

原帖由 satsuki931000 於 2022-4-10 15:43 發表
考場上一直認為要用黎曼何，沒想到是夾擠....
謝謝鋼琴老師

不好意思，插話一下
過程還是會用到黎曼和(那個收斂值In2)，考計算題寫清楚比較好

作者: zerogil159 時間: 2022-4-10 21:20

引用:

原帖由 Ellipse 於 2022-4-10 12:23 發表

對喔~但變成是用湊的~ (2+3=5 ,3+2=5 這樣......)
那還要說明log_2 3這根是唯二的解

那就必須說明x>0時的增減性及x<0時的最大值不會達到5了

作者: zerogil159 時間: 2022-4-10 21:21 標題: 回復 30# thepiano 的帖子

感謝鋼琴老師的回覆

作者: three0124 時間: 2022-4-10 22:10 標題: 回復 15# bugmens 的帖子

想請教填充題第9題
平面 ABD 與平面 CBD 的夾角為120度
是否代表平面 CBD可向上折60度或120度
所以答案是否應該是兩個呢??
謝謝

作者: mojary 時間: 2022-4-11 11:48 標題: 持續整理各路好手的答案，請指正。

1、BambooLotus老師在12樓有說明。
2、K=2
3、\(\frac{2}{3}<m<\frac{5}{3} \)
4、6
5、8
6、1398。
7、\( \frac{2023}{2022!}-1  \)
bugmens老師在15樓有說明。
8、\( \frac{5}{12}\)
9、\(  \frac{\sqrt{65} }{5}\).....所謂的兩面夾角120度
或者\(  \frac{\sqrt{105} }{5}\).....所謂的兩面夾角60度
10、數甲下：二項分佈與幾何分佈
11、satsuki老師在16樓有說明。
12、bugmens老師在15樓有說明。
13、\( \frac{7}{30}\)
14、Ellipse老師在8樓有說明。
15、1
16、(0，0)或(1，2)
17、czk0622老師在43樓有討論。

謝謝提供資訊的老師。

[ 本帖最後由 mojary 於 2022-4-18 08:08 編輯 ]

作者: three0124 時間: 2022-4-11 12:01 標題: 回復 35# mojary 的帖子

第六題我寫1398
第八題我寫5/12
第九題我寫兩個答案 (根號105)/5 與 (根號65)/5 不知是一個還是兩個
第13題我寫7/30

作者: farmer 時間: 2022-4-11 21:51 標題: 回復 21# yosong 的帖子

p(x)的一次因式可能性不只有x+1及x-1

作者: yosong 時間: 2022-4-12 13:04 標題: 回復 37# farmer 的帖子

對，我那個寫法不正確，我直接把常數項看成-1（鬼遮眼），已刪除
所以還是公式解後分類討論才正確

作者: firzenf04 時間: 2022-4-12 19:47 標題: 回復 32# zerogil159 的帖子

這邊提供一個想法~
但感覺最後也是用湊的
不知道有沒有方法可以直接解
ln t ln(5-t) = ln2 ln3
這個方程式

[ 本帖最後由 firzenf04 於 2022-4-12 19:49 編輯 ]

圖片附件: 14.jpg (2022-4-12 19:49, 63.81 KB) / 該附件被下載次數 2655
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作者: anyway13 時間: 2022-4-14 13:44 標題: 請教第三提

版上老師好

第三題題目有一個條件是x1,x2為相異實根

方程式經過整理  : (m^2+1)x^2+(6m^2-7m+4)x+(9m^2-21m+10)=0
判別式大於0得到  (-14-10根號7)/21<m<(-14+10根號7)/21......(1)
利用已知x1x2<0  得到2/3<m<5/3......(2)

想請問老師說答案為什麼不能取交集  除了利用知道m=0時的入原式得到x^2+4x+10=0 二根積大於0 第一式不合

作者: thepiano 時間: 2022-4-14 14:14 標題: 回復 40# anyway13 的帖子

m < (-14 - 10√7) / 21 或 m > (-14 + 10√7) / 21

作者: anyway13 時間: 2022-4-14 15:09 標題: 回復 41# thepiano

範圍取錯了謝謝鋼琴老師

作者: czk0622 時間: 2022-4-14 21:25 標題: 17

\(
\left[ \begin{array}{ccc}
1&1&1\\
1&2&3\\
1&3&6\\
\end{array} \right]
=\left[ \begin{array}{ccc}
1&0&0\\
1&1&0\\
1&2&1\\
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{ccc}
1&1&1\\
0&1&2\\
0&0&1\\
\end{array} \right]\)
\(
\left[ \begin{array}{cccc}
1&1&1&1\\
1&2&3&4\\
1&3&6&10\\
1&4&10&20\\
\end{array} \right]
=
\left[ \begin{array}{cccc}
1&0&0&0\\
1&1&0&0\\
1&2&1&0\\
1&3&3&1\\
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{cccc}
1&1&1&1\\
0&1&2&3\\
0&0&1&3\\
0&0&0&1\\
\end{array} \right]\)
原則上將其拆成兩個行列式不為零的矩陣相乘
一般形式寫法等高手補上

[ 本帖最後由 czk0622 於 2022-4-14 21:29 編輯 ]

作者: firzenf04 時間: 2022-4-15 00:31 標題: 回復 43# czk0622 的帖子

17. 我是用列運算去算的，不知道這樣可不可以算證明
5. 分享一個利用三次函數對稱中心的解法。

圖片附件: 17and5.jpg (2022-4-15 00:31, 158.21 KB) / 該附件被下載次數 3291
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6240&k=bee973c5b2456890015399947551686d&t=1769624229

作者: enlighten0626 時間: 2022-4-15 09:55 標題: 回復 40# anyway13 的帖子

因為兩根乘積<0，就可以確定判別式會>0

作者: anyway13 時間: 2022-4-15 21:37 標題: 回復#ˋ45enlighten0626

謝謝老師果然省一步

作者: farmer 時間: 2022-4-16 11:23 標題: 回復 40# anyway13 的帖子

判斷出開口朝上，因此題目條件等價於f(0)<0，這樣的聯想在考試中可能比較適合，否則時間不夠用。

[ 本帖最後由 farmer 於 2022-4-16 11:28 編輯 ]

作者: farmer 時間: 2022-4-16 11:32 標題: 回復 44# firzenf04 的帖子

17題您的列運算方式第二步改為行運算，搭配數學歸納法，可以嚴謹證明。

[ 本帖最後由 farmer 於 2022-4-16 11:34 編輯 ]

作者: no40508888 時間: 2022-5-1 12:56

第三題提供另一個想法

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