標題: 110高中數學能力競賽 [打印本頁]

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作者: bugmens    時間: 2022-3-19 22:35     標題: 110高中數學能力競賽

題目https://cantor.math.ntnu.edu.tw/ ... index.php?menu=Exam

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作者: bugmens    時間: 2022-3-19 22:38

已知\(|\;z|\;=1\)(\(z\)為複數)，求\(|\;z^3-z+2|\;\)的最大值。
(110高中數學能力競賽北一區筆試一)
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設動點\(P\)每一次自正四面體\(ABCD\)的一個頂點移至另一頂點的機率都是\(\displaystyle \frac{1}{3}\)。現在\(P\)自\(A\)出發，移動4次又回到\(A\)且恰好經過一次\(B\)的機率為　　　。
(110高中數學能力競賽北一區筆試二)
連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1318&page=4#pid5071
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方程式\(\displaystyle \frac{xy}{x+y}=11979\)的正整數解\((x,y)\)有　　　個。
(110高中數學能力競賽北一區筆試二)
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若\(m,n\)為整數且\(mn\ge 0\)，則滿足\(m^3+n^3+93mn=31^3\)的整數數對\((m,n)\)有　　　組。
(110高中數學能力競賽北一區筆試二)

試問滿足\( m^3+n^3+99mn=33^3 \)且\( m \cdot n \ge 0 \)之序對\( (m,n) \)有幾組整數解？(A)2　(B)3　(C)33　(D)35　(E)99
(102玉里高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1730&page=1#pid9847)

試問滿足\(m^3+n^3+99mn=33^3\)且\(m \cdot n\ge 0\)的序對\((m,n)\)有　　　組整數解。
(110臺南女中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3503&page=1#pid22511)
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設\([x]\)表示不大於實數\(x\)的最大整數，則滿足方程式\(\displaystyle \left[\frac{x}{2}\right]+\left[\frac{x}{3}\right]+\left[\frac{x}{4}\right]+\left[\frac{x}{5}\right]=69\)的所有正整數\(n\)之和為　　　。
(110高中數學能力競賽北二區筆試二)
類似問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1892&page=3#pid10524
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甲乙兩人舉行五戰三勝的比賽(任一人先勝三局比賽就結束)。每一局比賽必有勝負，其中甲勝的機率為\(\displaystyle \frac{2}{3}\)，乙勝的機率為\(\displaystyle \frac{1}{3}\)。問比賽結束時，乙獲勝場次的期望值為　　　。
(110高中數學能力競賽北二區筆試二)

職業棒球季後賽第一輪採五戰三勝制，當參賽甲、乙兩隊中有一隊贏得三場比賽時，就由該隊晉級而賽事結束。每場比賽皆須分出勝負，且每場比賽的勝負皆不受之前已賽結果影響。假設甲隊在任一場贏球的機率為定值\(p\)，以\(f(p)\)表實際比賽場數的期望值(其中\(0\le p \le 1\))，請選出正確的選項：
(A)只須比賽 3 場就產生晉級球隊的機率為\(p^3+(1-p)^3\)
(B)\(f(p)\)是\(p\)的5次多項式
(C)\(f(p)\)的常數項等於3
(D)函數\(f(p)\)在\(\displaystyle p=\frac{1}{2}\)時有最大值
(E)\(\displaystyle f(\frac{1}{4})<f(\frac{4}{5})\)
(103指考數甲)
(108全國高中聯招，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3132&page=1#pid19867)
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設\(a,b,c\)皆為整數，試求滿足方程組\(\cases{ab+5=c \cr bc+1=a \cr ca+b=1}\)的所有解\((a,b,c)=\)　　　。
(110高中數學能力競賽第四區筆試二)
類似問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2020&page=1#pid11798
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試證明：\(\displaystyle \frac{1}{2021}<\frac{1}{2}\times \frac{3}{4}\times \frac{5}{6}\times\ldots \times \frac{2019}{2020}<\frac{1}{44} \)。
(110高中數學能力競賽第五區筆試一)

求證：\(\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{5}{6}\cdot \ldots \cdot \frac{99}{100}<\frac{1}{10}\)。
(高中數學競賽教程P131)
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設\(a\)與\(b\)皆為正實數，且\(a+b=s\)。
(1)試求出\(ab\)的最大值(以\(s\)表示)。
(2)若\(s=2\)，試求出\(\displaystyle \left(a+\frac{1}{a}\right)\left(b+\frac{1}{b}\right)\)的最小值。
(3)若\(s=2\sqrt{6}\)，試求出\(\displaystyle \left(a+\frac{1}{a}\right)\left(b+\frac{1}{b}\right)\)的最小值。
(110高中數學能力競賽第五區筆試一)
我的教甄準備之路　a+b=1求極值，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1079
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試求出下列級數之值：\(\displaystyle \sum_{n=1}^{2021}(-1)^n \frac{n^2+n+1}{n!}\)
(110高中數學能力競賽第五區筆試二)
[提示]
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{2021}(-1)^n \frac{n^2+n+1}{n!}=\sum_{n=1}^{2021}(-1)^n\left(\frac{n}{(n-1)!}+\frac{n+1}{n!}\right)\)

Evaluate \( \displaystyle \sum_{n=1}^{1994} \Bigg(\; (-1)^n \cdot \Bigg(\; \frac{n^2+n+1}{n!} \Bigg)\; \Bigg)\; \).
(Canada National Olympiad 1994，https://artofproblemsolving.com/ ... a_national_olympiad)

我的教甄準備之路　裂項相消，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678
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設\(\displaystyle 0\le \theta \le \frac{\pi}{2}\)，求\(sin^3 \theta cos \theta\)的最大值。
(110高中數學能力競賽中投區筆試二)
我的教甄準備之路　用算幾不等式解三角函數的極值，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1077
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化簡\(\displaystyle \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^kC_k^n}{(k+2)(k+3)(k+4)}\)。
(110高中數學能力競賽中投區筆試二)
我的教甄準備之路　裂項相消，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678
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已知數列\(a_1=1\)且\(3a_{n+1}=5a_n+\sqrt{9+16a_n^2}\)
(a)求\(a_n\)的一般式。
(b)試證對於所有的正整數\(n\)，滿足\(\displaystyle \sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i}<\frac{3}{2}\)。
(110高中數學能力競賽新北市筆試一)
我的教甄準備之路　求數列一般項，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid9507
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如下圖，第一個圖是由12根火柴棒組成的一個正立方體，第二個圖是在第一個圖的下方增加3個正立方體；第三個圖是在第二個圖的下方增加5個正立方體，依此類推，其中銜接處的火柴棒都是共用的，例如：第二個圖是由36根火柴棒所組成。若\(n\)為正整數，則第\(n\)個圖是由______根火柴棒所組成。(以\(n\)的數學式表示)
(110高中數學能力競賽臺北市筆試二)
我的教甄準備之路　找出圖形的規律，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid5274
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若\(x>0\)且滿足\(\root 3 \of{3x+14}-\root 3 \of{3x-14}=1\)，則\(x=\)　　　。
(110高中數學能力競賽臺北市筆試二)

設\(x>0\)，求方程式\(\root 3 \of{x+18}-\root 3 \of{x-18}=3\)的解？
100文華高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1095&page=3#pid3019
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試求\(\displaystyle \sum_{n=1}^{2021}\frac{1}{\sqrt{n(n+2)^2}+\sqrt{n^2(n+2)}}\)的值。
(110高中數學能力競賽嘉義區筆試二)
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設\(n\)為大於16之整數，試證\(n^2-31n+241\)不可能為完全平方數。
(110高中數學能力競賽高雄市筆試一)
[提示]
\((n-16)^2<n^2-31n+241<(n-15)^2\)

使\(m^2+m+7\)為完全平方數的正整數\(m\)有　　　個。
(97師大附中二招，https://math.pro/db/thread-743-1-1.html)
[提示]
\(m^2<m^2+m+7<(m+3)^2\)

已知\(\sqrt{m^2+101m+2012}\)為一整數，則整數\(m\)為何。
(101桃園縣高中聯招，https://math.pro/db/thread-1416-1-1.html)
[提示]
\((m+44)^2<m^2+101m+2012<(m+51)^2\)
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設\(x,y\)為實數，且為下式的解。求\(x+y\)的值為何？
\(\cases{(x-2)^3+2021(x-2)=2 \cr (y-2)^3+2021(y-2)=-2}\)
(110高中數學能力競賽高雄市筆試二)
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設\(x\)是實數，函數\(f(x)\)滿足\(f(x)-f(x-1)=x^3\)。已知\(f(10)=30\)，求\(f(200)\)除以10000之餘數為何？
(110高中數學能力競賽高雄市筆試二)
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112.4.29感謝thepiano發文告知
在\(\Delta ABC\)的邊\(\overline{AB}\)與\(\overline{AC}\)的外側分別作正三角形\(\Delta ABD\)與\(\Delta ACE\)，已知\(\overline{AC}=1\)且\(\overline{DE}=2\)，則\(\Delta ABC\)面積的最大值為　　　。
110高中數學能力競賽　決賽口試試題
(112師大附中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3735&page=5#pid24929)

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