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標題: 110蘭陽女中(缺計算證明題) [打印本頁]

作者: bugmens 時間: 2021-8-2 16:20 標題: 110蘭陽女中(缺計算證明題)

2.
求\(C_{50}^{100}\)的質因數有幾個？
(1)15個　(2)16個　(3)17個　(4)18個　(5)19個

What is the largest 2-digit prime factor of the integer \(\left(\matrix{200\cr 100}\right)\)？
(1983AIME，https://artofproblemsolving.com/ ... _Problems/Problem_8)

B.
有9名小學生的年齡分別為\(x_1,x_2,\ldots,x_9\)，其中中位數7，算術平均數為10，標準差為5，則\(f(x)=(x_1-x)^2 +(x_2-x)^2 +\ldots+(x_9-x)^2\)的最小值為　　　。

已知\(\displaystyle f(x)=\sum_{k=1}^{11}(x-k)^2\)與\(\displaystyle g(x)=\sum_{k=1}^{n}k \cdot |\;x-k|\;\)的最小值都發生在相同的\(x\)，則\(n=\)　　　。
(100新北市高中聯招，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1114&page=2#pid3570)

D.
在坐標平面上，考慮二階方陣\(\displaystyle A=\frac{1}{5}\left[\matrix{4&-3\cr 3&4}\right]\)所定義的線性變換。對於平面上異於原點\(O\)的點\(P_1\)，設\(P_1\)經\(A\)變換成\(P_2\)，\(P_2\)經\(A\)變換成\(P_3\)。假設\(P_1\)是圖形\(\displaystyle y=\frac{1}{10}x^2-10\)上的動點，試求\(\Delta P_1P_2P_3\)面積的最小可能值。
(106指考數甲，108樟樹高中，https://math.pro/db/thread-3102-1-1.html)

G.
以\(O\)表坐標平面的原點，給定一點\(A(4,3)\)，而點\(B(x,0)\)在正\(x\)軸上變動。若\(l(x)\)表\(\overline{AB}\)長，則\(\Delta OAB\)中兩邊比值\(\displaystyle \frac{x}{l(x)}\)的最大值為　　　。(化成最簡分數)
(101彰化高中，weiye解題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1369&page=2#pid5743)

I.
下表中，各行與各列均成等差數列，則第20行第20列的數字為　　　。
\(\matrix{3&5&7&9&11&13&15&17&19&\ldots\cr
4&7&10&13&16&19&22&25&28&\ldots\cr
5&9&13&17&21&25&29&33&37&\ldots\cr
6&11&16&21&26&31&36&41&46&\ldots\cr
7&13&19&25&31&37&43&49&55&\ldots\cr
8&15&22&29&36&43&50&57&64&\ldots\cr
9&17&25&33&41&49&57&65&73&\ldots\cr
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&}\)
(我的教甄準備之路　找出圖形的規律，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid5274)
[解答]
\(\matrix{a_0&&a_1&&a_2&&a_3&&a_4&&a_5&&a_6&&a_7\cr
1&&3&&7&&13&&21&&31&&43&&57\cr
&2&&4&&6&&8&&10&&12&&14&\cr
&&2&&2&&2&&2&&2&&2&&}\)
\(a_n=1\times C_0^n+2\times C_1^n+2\times C_2^n=n^2+n+1\)
\(a_{20}=421\)

J.
求圓\(C\)：\(x^2+(y-3)^2=4\)繞\(x\)軸旋轉所得的旋轉體體積(這個旋轉體的形狀像輪胎或甜甜圈)為　　　\(\pi^2\)

已知\(0<r<b\)，則圓\(C\)：\(x^2+(y-b)^2=r^2\)內部繞\(x\)軸旋轉一周\(360^{\circ}\)所得旋轉體的體積為\(2br^2\pi^2\)
(102全國高中聯招，thepiano解題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1620&page=3#pid8278)

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作者: Superconan 時間: 2021-8-3 01:43

聽說計算證明題有三題，等待記得的人補充

附件: 蘭陽女中110_答案.pdf (2021-8-3 01:43, 93.89 KB) / 該附件被下載次數 7147
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作者: Almighty 時間: 2021-8-7 14:09 標題: 想確認題目/答案是否有誤

多選2、選項(2)
三角形OAN非等腰三角形
故中點M與N連線段MN和OA非垂直
則非公垂線

選填F、角度40度是否有誤?應更正為60度
(自己看錯)

選填G、最大值找出只有5/3

作者: thepiano 時間: 2021-8-7 17:06 標題: 回復 3# Almighty 的帖子

多選 5 和選填 G，如您說的，的確有問題

選填 F，角 A 是幾度不影響答案，因為是求 AD，不是 DE

作者: Almighty 時間: 2021-8-7 19:26 標題: 回復 4# thepiano 的帖子

感謝鋼琴老師幫忙解惑
選填F，沒注意最小值的DE和問的AD是不同
誤認為是問DE的最小值

好像學校端也沒有後續處理
甚至聽說其他老師尚未得知初試成績

作者: peter0210 時間: 2021-8-7 21:54

選填A
\((7242409)^{10}\)除以\(101\times 102\)的餘數為　　　。

112.7.7補充
112羅東高工考相同題目，https://math.pro/db/thread-3772-1-1.html

選填E
已知四邊形\(ABCD\)中，\(\overline{AB}=\overline{BC}=\overline{CD}\)，\(\angle A=54^{\circ}\)，\(\angle B=108^{\circ}\)，\(\angle C\)為鈍角，問：\(\angle C=\)　　　度。

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=6100&k=8c1ad1e53ca8b9f8fa5ad05d3855c795&t=1732254102

作者: thepiano 時間: 2021-8-7 22:28

引用:

原帖由 Almighty 於 2021-8-7 19:26 發表
好像學校端也沒有後續處理
甚至聽說其他老師尚未得知初試成績 ...

不會吧？
錄取名單都公佈了，數學科是一位何老師上榜

作者: Almighty 時間: 2021-8-8 00:13 標題: 回復 7# thepiano 的帖子

我沒有親自報考也沒有很清楚
但看了學校公告日期時間的內容如下
「7/31公告初試錄取名單
8/2開放查詢初試成績」
8/4複試報名並進行複試
8/4同時公布複試錄取名單

題目、答案有誤的部分~也沒有相關公告

作者: numzero 時間: 2022-11-11 13:03

請問老師們，選填c是否分段後，再用立方及平方級數和算出?或是有更好的作法嗎?

作者: thepiano 時間: 2022-11-11 13:32 標題: 回覆 9# numzero 的帖子

C.
已知一數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)，其中\(a_n=n^3+2n^2-200n\)，\(n\)為正整數，則\(\displaystyle \sum_{n=1}^{20}|\;a_n|\;=\)　　　。
[解答]
應該就是那樣做

n^3 + 2n^2 - 200n
= n[n(n + 2) - 200]
易知
1 <= n <= 13，a_n < 0
n >= 14，a_n > 0

作者: Harris 時間: 2023-2-2 14:18

想詢問一下填充H
目前的想法只有逐項討論
個位數、十位數、...、依此類推
但似乎有些勞民傷財，是否有其他作法呢？

作者: weiye 時間: 2023-2-2 16:13 標題: 回覆 11# Harris 的帖子

H.
若\(1,2,3,4,\ldots,99998,99999,100000\)這十萬個正整數中，各位數字和不大於10的正整數有\(k\)個，例如：3211就是其中一個，因為\(3+2+1+1=7\le 10\)。試求\(k\)的值=　　　。
[解答]
把 \(100000\) 視同為 \(00000\)，則這十萬個數為 \(00000, 00001, 00002, ...., 99999 \) 。

題目相當於求有多少個數字，其個位數為\(a_5\)、十位數為 \(a_4\)、百位數為 \(a_3\)、千位數為 \(a_2\)、萬位數為 \(a_1\)，

且滿足 \(a_1+a_2+a_2+a_3+a_4+a_5\leq 10\)，

故非負整數解共有 \(H^6_{10} - 5 = C^{15}_{10}-5 = 2998\) 組。

112.7,7補充
112羅東高中考相同題目，https://math.pro/db/thread-3772-1-1.html

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