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標題: 110蘭陽女中(缺計算證明題) [打印本頁]

作者: bugmens    時間: 2021-8-2 16:20     標題: 110蘭陽女中(缺計算證明題)

2.
求\(C_{50}^{100}\)的質因數有幾個?
(1)15個 (2)16個 (3)17個 (4)18個 (5)19個

What is the largest 2-digit prime factor of the integer \(\left(\matrix{200\cr 100}\right)\)?
(1983AIME,https://artofproblemsolving.com/ ... _Problems/Problem_8)

B.
有9名小學生的年齡分別為\(x_1,x_2,\ldots,x_9\),其中中位數7,算術平均數為10,標準差為5,則\(f(x)=(x_1-x)^2 +(x_2-x)^2 +\ldots+(x_9-x)^2\)的最小值為   

已知\(\displaystyle f(x)=\sum_{k=1}^{11}(x-k)^2\)與\(\displaystyle g(x)=\sum_{k=1}^{n}k \cdot |\;x-k|\;\)的最小值都發生在相同的\(x\),則\(n=\)   
(100新北市高中聯招,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1114&page=2#pid3570)

D.
在坐標平面上,考慮二階方陣\(\displaystyle A=\frac{1}{5}\left[\matrix{4&-3\cr 3&4}\right]\)所定義的線性變換。對於平面上異於原點\(O\)的點\(P_1\),設\(P_1\)經\(A\)變換成\(P_2\),\(P_2\)經\(A\)變換成\(P_3\)。假設\(P_1\)是圖形\(\displaystyle y=\frac{1}{10}x^2-10\)上的動點,試求\(\Delta P_1P_2P_3\)面積的最小可能值。
(106指考數甲,108樟樹高中,https://math.pro/db/thread-3102-1-1.html)

G.
以\(O\)表坐標平面的原點,給定一點\(A(4,3)\),而點\(B(x,0)\)在正\(x\)軸上變動。若\(l(x)\)表\(\overline{AB}\)長,則\(\Delta OAB\)中兩邊比值\(\displaystyle \frac{x}{l(x)}\)的最大值為   。(化成最簡分數)
(101彰化高中,weiye解題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1369&page=2#pid5743)

I.
下表中,各行與各列均成等差數列,則第20行第20列的數字為   
\(\matrix{3&5&7&9&11&13&15&17&19&\ldots\cr
4&7&10&13&16&19&22&25&28&\ldots\cr
5&9&13&17&21&25&29&33&37&\ldots\cr
6&11&16&21&26&31&36&41&46&\ldots\cr
7&13&19&25&31&37&43&49&55&\ldots\cr
8&15&22&29&36&43&50&57&64&\ldots\cr
9&17&25&33&41&49&57&65&73&\ldots\cr
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&}\)
(我的教甄準備之路 找出圖形的規律,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid5274)
[解答]
\(\matrix{a_0&&a_1&&a_2&&a_3&&a_4&&a_5&&a_6&&a_7\cr
1&&3&&7&&13&&21&&31&&43&&57\cr
&2&&4&&6&&8&&10&&12&&14&\cr
&&2&&2&&2&&2&&2&&2&&}\)
\(a_n=1\times C_0^n+2\times C_1^n+2\times C_2^n=n^2+n+1\)
\(a_{20}=421\)

J.
求圓\(C\):\(x^2+(y-3)^2=4\)繞\(x\)軸旋轉所得的旋轉體體積(這個旋轉體的形狀像輪胎或甜甜圈)為   \(\pi^2\)

已知\(0<r<b\),則圓\(C\):\(x^2+(y-b)^2=r^2\)內部繞\(x\)軸旋轉一周\(360^{\circ}\)所得旋轉體的體積為\(2br^2\pi^2\)
(102全國高中聯招,thepiano解題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1620&page=3#pid8278)

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=6086&k=619a1055da66456e2056f3dfcf2f458b&t=1718469501
作者: Superconan    時間: 2021-8-3 01:43

聽說計算證明題有三題,等待記得的人補充

附件: 蘭陽女中110_答案.pdf (2021-8-3 01:43, 93.89 KB) / 該附件被下載次數 5733
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6088&k=18aa549282ca093fdcb95d1e722e44aa&t=1718469501
作者: Almighty    時間: 2021-8-7 14:09     標題: 想確認題目/答案是否有誤

多選2、選項(2)
三角形OAN非等腰三角形
故中點M與N連線段MN和OA非垂直
則非公垂線

選填F、角度40度是否有誤?應更正為60度
(自己看錯)

選填G、最大值找出只有5/3
作者: thepiano    時間: 2021-8-7 17:06     標題: 回復 3# Almighty 的帖子

多選 5 和選填 G,如您說的,的確有問題

選填 F,角 A 是幾度不影響答案,因為是求 AD,不是 DE
作者: Almighty    時間: 2021-8-7 19:26     標題: 回復 4# thepiano 的帖子

感謝鋼琴老師幫忙解惑
選填F,沒注意最小值的DE和問的AD是不同
誤認為是問DE的最小值

好像學校端也沒有後續處理
甚至聽說其他老師尚未得知初試成績
作者: peter0210    時間: 2021-8-7 21:54

選填A
\((7242409)^{10}\)除以\(101\times 102\)的餘數為   

112.7.7補充
112羅東高工考相同題目,https://math.pro/db/thread-3772-1-1.html

選填E
已知四邊形\(ABCD\)中,\(\overline{AB}=\overline{BC}=\overline{CD}\),\(\angle A=54^{\circ}\),\(\angle B=108^{\circ}\),\(\angle C\)為鈍角,問:\(\angle C=\)   度。

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=6099&k=a4a36af5091b10be9accbf2b38fb2023&t=1718469501



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https://math.pro/db/attachment.php?aid=6100&k=51ec90b8d14fe1177854f4d6f0d78c16&t=1718469501


作者: thepiano    時間: 2021-8-7 22:28

引用:
原帖由 Almighty 於 2021-8-7 19:26 發表
好像學校端也沒有後續處理
甚至聽說其他老師尚未得知初試成績 ...
不會吧?
錄取名單都公佈了,數學科是一位何老師上榜
作者: Almighty    時間: 2021-8-8 00:13     標題: 回復 7# thepiano 的帖子

我沒有親自報考也沒有很清楚
但看了學校公告日期時間的內容如下
「7/31公告初試錄取名單
8/2開放查詢初試成績」
8/4複試報名並進行複試
8/4同時公布複試錄取名單

題目、答案有誤的部分~也沒有相關公告
作者: numzero    時間: 2022-11-11 13:03

請問老師們,選填c是否分段後,再用立方及平方級數和算出?或是有更好的作法嗎?
作者: thepiano    時間: 2022-11-11 13:32     標題: 回覆 9# numzero 的帖子

C.
已知一數列\(\langle\;a_n\rangle\;\),其中\(a_n=n^3+2n^2-200n\),\(n\)為正整數,則\(\displaystyle \sum_{n=1}^{20}|\;a_n|\;=\)   
[解答]
應該就是那樣做

n^3 + 2n^2 - 200n
= n[n(n + 2) - 200]
易知
1 <= n <= 13,a_n < 0
n >= 14,a_n > 0
作者: Harris    時間: 2023-2-2 14:18

想詢問一下填充H
目前的想法只有逐項討論
個位數、十位數、...、依此類推
但似乎有些勞民傷財,是否有其他作法呢?
作者: weiye    時間: 2023-2-2 16:13     標題: 回覆 11# Harris 的帖子

H.
若\(1,2,3,4,\ldots,99998,99999,100000\)這十萬個正整數中,各位數字和不大於10的正整數有\(k\)個,例如:3211就是其中一個,因為\(3+2+1+1=7\le 10\)。試求\(k\)的值=   
[解答]
把 \(100000\) 視同為 \(00000\),則這十萬個數為 \(00000, 00001, 00002, ...., 99999 \) 。

題目相當於求有多少個數字,其個位數為\(a_5\)、十位數為 \(a_4\)、百位數為 \(a_3\)、千位數為 \(a_2\)、萬位數為 \(a_1\),

且滿足 \(a_1+a_2+a_2+a_3+a_4+a_5\leq 10\),

故非負整數解共有 \(H^6_{10} - 5 = C^{15}_{10}-5 = 2998\) 組。

112.7,7補充
112羅東高中考相同題目,https://math.pro/db/thread-3772-1-1.html




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