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標題: 110臺中女中 [打印本頁]

作者: Superconan    時間: 2021-5-3 14:33     標題: 110臺中女中

我太愛臺中女中人事室了
打電話去問怎麼還沒公告試題與答案
考生很需要檢討題目
人事室15分鐘內馬上幫忙處理好~

以下是考生成績分布的直方圖,供各位參考


[ 本帖最後由 Superconan 於 2021-5-3 14:39 編輯 ]

附件: 110教師甄選數學考題.pdf (2021-5-3 14:33, 181.06 KB) / 該附件被下載次數 1494
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附件: 110教師甄選數學科答案卷─參考答案(公告用).pdf (2021-5-3 14:33, 159.32 KB) / 該附件被下載次數 1245
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5965&k=5736e6df731c70d46b658addb6241a79&t=1638161257

附件: 02數學科初試公告.pdf (2021-5-3 14:39, 61.21 KB) / 該附件被下載次數 916
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5966&k=598f4845eef80757fceb808a20aa1f9f&t=1638161257

圖片附件: 4考生初試成績直方圖.png (2021-5-3 14:39, 78.47 KB) / 該附件被下載次數 606
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作者: bugmens    時間: 2021-5-3 14:42

1.
有一個三位數滿足數字重新排列後所得之最大數與最小數的差值為原三位數,則此三位數為   

有一個各位數字都不相同且都不為0的四位數,將這四位數的各位數字重新排列,可得一個最大數和一個最小數(例如:2793經重排後,最大數為9732,最小數為2379),如果如得的最大數與最小數的差恰好就是此四位數,試求所有這種四位數。
(100第一區筆試一試題,https://math.pro/db/thread-1349-1-1.html)
6174妙題巧解,https://web.math.sinica.edu.tw/math_media/d32/3206.pdf

3.
函數\(f(x)=\sqrt{x^2-2x+12-6\sqrt{2}}+\sqrt{x^2-12x+39-2\sqrt{2}}\),其中\(x\)為實數,則\(f(x)\)的最大值為   
[提示]
\(f(x)=\sqrt{(x-1)^2+(3-\sqrt{2})^2}+\sqrt{(x-6)^2+(1-\sqrt{2})^2}\)

4.
將1、2、3、4、5、6、7、8、9這9個數字隨機填入\(3\times 3\)的方格表中,每個小方格恰填寫一個數字,且所填的數各不相同,則使每行、每列之和都是奇數的機率為   

將\(1,2,3,\ldots,9\)共9個數字任意填入\(3\times 3\)的方格中,每一格填一個數字,且數字不重覆。欲使每一直行和每一橫列(不含對角線)的數字和皆為奇數,如圖(三)是一種填法,則共有   種填法。(答案要乘開。)
124
368
579
圖(三)
(105嘉義高中資優甄選複選,https://math.pro/db/thread-2628-1-1.html)

7.
下圖為一八面體,頂部與頂部與底部均為正三角形,邊長分別為15、27單位,側面均為等腰三角形且腰長為\(a\)單位,若此四面體的高,即頂部平面與底部平面的垂直距離為\(\sqrt{141}\),則\(a=\)   

[解答]
設大正三角形重心\(G_1(0,0,0)\),\(\displaystyle A(\frac{9\sqrt{3}}{2},\frac{27}{2},0)\)
設小正三角形重心\(G_2(0,0,\sqrt{141})\),\(\displaystyle B(5\sqrt{3},0,\sqrt{141})\)
\(\displaystyle a=\overline{AB}=\sqrt{(\frac{9\sqrt{3}}{2}-5\sqrt{3})^2+(\frac{27}{2}-0)^2+(0-\sqrt{141})^2}=18\)

18.
若將\(m\)個互不相同的正偶數和\(n\)互不相同的正奇數全部相加,得總和為2025,所有滿足上述的自然數\(m,n\)中,\(3m+4n\)的最大值為   

設有\(m\)個互不相同的正偶數和\(n\)個互不相同的正奇數之和為2012,則\(5m+12n\)的最大值為   
(101台中女中,cplee8tcfsh解題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1327&page=2#pid5463)

\(m\)個相異正偶數與\(n\)個相異正奇數總和為1987,求\(3m+4n\)的最大值。
(108基隆女中,thepiano解題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3186&page=3#pid20433)

計算證明題
1.
設\(a,b,c>0\),試證明:\(\displaystyle \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge \frac{3}{2}\)。

3.
已知一數列\(\langle\;a_n\rangle\;\),\(a_1=4\),\(a_2=5\),若\(\displaystyle a_n=\frac{a_{n-1}^2-1}{a_{n-2}}\),\(n\ge 3\),\(n\in N\),
(1)求此數列的一般項\(a_n\)
(2)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{2021}\frac{1}{\sqrt{a_n}}\)的整數部分為何?
[提示]
計算\(a_1=4,a_2=5,a_3=6,a_4=7,\ldots\),猜測\(a_n=n+3\),驗證\(\displaystyle n+3=\frac{(n+2)^2-1}{n+1}\)
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{2021}\frac{1}{\sqrt{n+3}}\),https://math.pro/db/viewthread.php?tid=156&page=1#pid3048

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作者: satsuki931000    時間: 2021-5-3 15:54

19題
假設期望值為\(x\)
列式得\(\displaystyle x=2\times \frac{3}{5}\times \frac{2}{5}\times2 +\frac{9}{25}(x+2)+\frac{4}{25}(x+2)\)
解出\(\displaystyle x=\frac{25}{6}\)

是否哪邊考慮錯誤 得不到公布的答案

補充 這題和109台中一中基本上是一樣的題目,換個敘述法而已
本題答案應該改為\(\displaystyle x=\frac{25}{6}\) ??

是說現在提疑義不知道有沒有用....



[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2021-5-3 16:03 編輯 ]

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作者: Superconan    時間: 2021-5-3 16:04

請教第 11 題
算不出學校公告的答案 -8 ,不知道觀念是否有誤?



[ 本帖最後由 Superconan 於 2021-5-3 17:15 編輯 ]

圖片附件: 0AA71108-EF8D-4FF3-A387-1767197909AB.jpeg (2021-5-3 17:03, 811.59 KB) / 該附件被下載次數 601
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作者: Superconan    時間: 2021-5-3 16:10     標題: 回復 3# satsuki931000 的帖子

可以趕快打電話過去問問
作者: BambooLotus    時間: 2021-5-3 16:14

deuce會重來,這題不會
在某人利用\(\displaystyle \frac{3}{5}\)贏後,遊戲結束的期望值為\(\displaystyle E_1=\frac{2}{5}\times1+\frac{3}{5}(E_1+1)\),\(\displaystyle E_1=\frac{5}{2}\)
在某人利用\(\displaystyle \frac{2}{5}\)贏後,遊戲結束的期望值為\(\displaystyle E_2=\frac{3}{5}\times1+\frac{2}{5}(E_2+1)\),\(\displaystyle E_2=\frac{5}{3}\)
所求為\(\displaystyle E=\frac{3}{5}(E_1+1)+\frac{2}{5}(E_2+1)\)
唉,看到正確答案才發現,最後要加1,難怪我考場寫\(\displaystyle \frac{13}{6}\)

感謝鋼琴老師糾正筆誤

[ 本帖最後由 BambooLotus 於 2021-5-3 17:39 編輯 ]
作者: satsuki931000    時間: 2021-5-3 16:22     標題: 回復 6# BambooLotus 的帖子

一語驚醒夢中人 謝謝您....
作者: PDEMAN    時間: 2021-5-3 18:41     標題: 計算一

計算一

圖片附件: 6C1011C9-2EAE-4E80-9A6E-1191C38DDEA0.jpeg (2021-5-3 18:41, 285.73 KB) / 該附件被下載次數 499
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作者: Ellipse    時間: 2021-5-3 19:52

引用:
原帖由 Superconan 於 2021-5-3 14:33 發表
我太愛臺中女中人事室了
打電話去問怎麼還沒公告試題與答案
考生很需要檢討題目
人事室15分鐘內馬上幫忙處理好~
優質學校就是不一樣
作者: farmer    時間: 2021-5-3 20:25     標題: 回復 4# Superconan 的帖子

cos2b是負的
作者: Ellipse    時間: 2021-5-3 20:46

引用:
原帖由 Superconan 於 2021-5-3 16:04 發表
請教第 11 題
算不出學校公告的答案 -8 ,不知道觀念是否有誤?

5973
用您的符號  令t=tanβ=5
sin(2β)= 2t/(1+t² )=5/13
cos(2β)= (1-t² )/(1+t² )= -12/13
代入您列的矩陣求出cos(2θ)= -63/65 , sin(2θ)= -16/25
可知θ在第二象限, 2(cosθ)^2=cos(2θ)+1 ,得cosθ= -1/√ 65
所求=tanθ= -8
作者: Ellipse    時間: 2021-5-3 21:44     標題: 回復 1# Superconan 的帖子

填充6
令z/w=|z|/|w|(cosα +i*sinα)=2(cosα +i*sinα )
則4w/z=|4w|/|z|[cos(-α) +i*sin(-α)] =2(cosα -i*sinα)
所求=|z||w||(z/w) - 4(w/z)+ 7| =2| 7+4sinα* i |
=2√ [49+16 (sinα)² ]  ,因為0≦(sinα)² ≦1
最大值=2√ (49+16)=2√ 63
最小值=2√ 49=14

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2021-5-5 21:45 編輯 ]
作者: farmer    時間: 2021-5-3 23:38     標題: 回復 1# Superconan 的帖子

第12題題目出錯,這樣的PQ不存在

這份考題能考50分以上實在厲害(100分鐘而已對嗎?),
題目都有難度,根本沒辦法看完整份題目而能精準挑題,
選錯題就會耗盡時間了。

[ 本帖最後由 farmer 於 2021-5-3 23:48 編輯 ]
作者: Superconan    時間: 2021-5-4 00:34     標題: 回復 13# farmer 的帖子

請問如何得知這樣的 P、Q 不存在?
作者: thepiano    時間: 2021-5-4 00:46     標題: 回復 14# Superconan 的帖子

AP = a,AQ = b
cos∠PAQ = - 1/4,sin∠PAQ = √15 / 4
由面積可得 ab = 2

由周長可得 PQ = 9 - 3(a + b)

利用 PQ^2 = a^2 + b^2 - 2abcos∠PAQ = [9 - 3(a + b)]^2
可得 a + b = (27 + √57) / 8 或 (27 - √57) / 8
前者大於 4,不合於 9 - 3(a + b)
後者小於 2.5,會導致以 a、b 為兩根的方程無實根,也不合

[ 本帖最後由 thepiano 於 2021-5-4 00:49 編輯 ]
作者: farmer    時間: 2021-5-4 07:39     標題: 回復 1# Superconan 的帖子

(此篇為錯誤,內容保留在下方,另於下一帖釐清更正,若造成困擾在此致歉)
——————————
第九題答案不唯一,事實上有個範圍。

學校肯公布題目跟答案,作法很棒,許多題目出得很好也值得肯定,
但審題是不是應該再嚴謹一些?
否則現場考生辛苦作答,得不出答案心很慌,
事後才發現是題目出錯,
心裡應該不是滋味。
(如果是答案錯或者題目出不好導致答案不是出題者想要的都還好(當然仍應盡量避免))

[ 本帖最後由 farmer 於 2021-5-4 11:09 編輯 ]
作者: farmer    時間: 2021-5-4 10:59     標題: 回復 16# farmer 的帖子

經驗算發現第九題是自己算錯,答案沒錯,
錯怪出題者了。

[ 本帖最後由 farmer 於 2021-5-4 11:05 編輯 ]
作者: laylay    時間: 2021-5-4 12:25     標題: 填充11.

令a=阿爾法角 ( tan(a)=3/4 ), A(OP)表OP方向角
則A(L)=((A(OP)+a)+A(OQ))/2=(A(OP)+A(OQ))/2+a/2=A(L')+a/2
(1) 當a 為銳角時 , tan(a/2)=3/(5+4)=1/3(畫半角圖馬上知道),
      所求=tan(A(L))=tan(A(L')+a/2)=(5+1/3)/(1-5*(1/3))=-8
(2) 當 a 比(1)中的a多加180度時(tan(a)一樣=3/4), a/2 要再多出90度,
      此時A(L)也跟著多出90度,所以所求=1/8 ,
      
       故 填充11. 答案 應該改成 -8 或 1/8 才對

[ 本帖最後由 laylay 於 2021-5-4 12:41 編輯 ]
作者: peter0210    時間: 2021-5-4 13:12

填15

圖片附件: 未命名.png (2021-5-4 13:12, 12.64 KB) / 該附件被下載次數 243
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5978&k=ac0e10d6f441ab69810bed9c99cdc2bf&t=1638161257


作者: peter0210    時間: 2021-5-4 13:35

計算2 有誤請指正,謝謝

圖片附件: 未命名.png (2021-5-4 13:35, 14.39 KB) / 該附件被下載次數 250
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5979&k=3beec591b7fad72745ffdb72070ba9a1&t=1638161257


作者: laylay    時間: 2021-5-4 16:11     標題: 填充2.

t>0,t+16>16,
故存在正數a使 t+16=(ㄏa+1)^3=(a+3)ㄏa +(3a+1) ,
再由原式易知   t-16=(ㄏa -1)^3=(a+3)ㄏa - (3a+1)
    解得 a=5   ,     t=8ㄏ5

[ 本帖最後由 laylay 於 2021-5-5 09:18 編輯 ]
作者: Ellipse    時間: 2021-5-4 20:26

引用:
原帖由 farmer 於 2021-5-3 23:38 發表
第12題題目出錯,這樣的PQ不存在

這份考題能考50分以上實在厲害(100分鐘而已對嗎?),
題目都有難度,根本沒辦法看完整份題目而能精準挑題,
選錯題就會耗盡時間了。 ...
這張44分就進複試了(取前八名)
裡面也有一些考古題,慎選題目再加上臨場反應
就有機會,中女中好像沒有設總成績門檻
進複試的考生請加油!!!(應該不會有"從缺"情況吧?)

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2021-5-4 20:33 編輯 ]
作者: peter0210    時間: 2021-5-4 20:51

填充17 有誤請指正,抱歉,其中(x,y)=(6,9)而非(6,8)

[ 本帖最後由 peter0210 於 2021-5-4 20:55 編輯 ]

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作者: farmer    時間: 2021-5-4 21:40     標題: 回復 18# laylay 的帖子

的確,11題答案應該要改
作者: laylay    時間: 2021-5-5 09:50     標題: 填充5.

設該直線L斜率m,則 L: y-2=m(x-1) => y=mx+(2-m) 代入 xy=1
得 mx^2+(2-m)x-1=0 , 設兩根為p,q
則 PQ=| p-q |*ㄏ(m^2+1)=ㄏ((p+q)^2-4pq)*ㄏ(m^2+1)=ㄏ(((2-m)/m)^2+4/m)*ㄏ(m^2+1)
          =ㄏ(m^2+4/m^2+5)>=ㄏ(2*ㄏ(m^2*4/m^2)+5)=3
故 最小值=3 , 此時 直線L斜率m=+-ㄏ2
作者: laylay    時間: 2021-5-5 10:10     標題: 填充7.

題目中 "若此四面體的高" 是不是應該改成 "若此八面體的高" 嗎?
而且也應該說頂部跟底部平行吧?

[ 本帖最後由 laylay 於 2021-5-5 11:05 編輯 ]
作者: thepiano    時間: 2021-5-5 11:08     標題: 回復 26# laylay 的帖子

再找下去會不會愈錯愈多?

中女中又要重演幾年前的戲嗎?
雖然當年演得比較好
作者: laylay    時間: 2021-5-5 11:38     標題: 填充8.

設切線 y=mx 代入 y=f(x)=F'(x)=x^2/4-4x+p
可得 x^2/4-(m+4)x+p=0 , 因為相切, 所以 D=(m+4)^2-p=m^2+8m+(16-p)=0
兩切線垂直=> m的兩根乘積=16-p=-1 => p=17
原式中令 x=1 得 1/12-2+p+q=0 => q=-181/12

[ 本帖最後由 laylay 於 2021-5-5 11:40 編輯 ]
作者: laylay    時間: 2021-5-5 12:14     標題: 填充9.

由孟氏定理  AE/EB*BC/CD*DO/OA=1/2*2/1*DO/OA=1 => AO=OD
原式=> AB*AC=6*(AB+AC)/2/2*(-1/3*AB+AC) =>AB*AB=3AC*AC (*表內積)=>所求=ㄏ3

填充13.
由過A,平行(過B中線: 3x+2y=7)的直線為3x+2y=1
知過C,平行(過B中線)的直線為3x+2y=13
再與過C中線:x-2y=13解聯立,可得C(13/2,-13/4)

填充7.
a^2-(27/2)^2=(ㄏ141)^2+((ㄏ3)/2*15*2/3-(ㄏ3)/2*27*1/3)^2 => a=18

填充12.
設 a=AP,c=AC,由面積關係易知 ac=2*3/3=2, 令 a+c=x,
cosA=-1/4,PQ=ㄏ(a^2+c^2-2ac*(-1/4))=ㄏ(x^2-3)
由周長關係知 4+(2-a)+(3-c)+ㄏ(x^2-3)=2(ㄏ(x^2-3)+a+c)
         ㄏ(x^2-3)=9-3x >=0  => x<=3 , x=(27-ㄏ57)/8=2.4312.. 但 x=a+c>=2ㄏ(ac)=2.828.....
         矛盾,故本題無解

[ 本帖最後由 laylay 於 2021-5-5 15:44 編輯 ]
作者: laylay    時間: 2021-5-5 20:20     標題: 填充14.

AI平分角A ,
顯然MN垂直AI時AMN面積最小(你若把此MN再另畫斜一個角度馬上發現下方多 出來的面積會比上方少掉的多
故所求=AI*(AI*tan(A/2))=[  (9AB+6AC)/(6+9+12)內積(9AB+6AC)/(6+9+12) ] * (sinA/(1+cosA))
           =[  (3AB+2AC)/9內積(3AB+2AC)/9 ] * ((ㄏ15)/4)/(1-1/4)
           =(9*36+4*81+12*(6^2+9^2-12^2)/2)/81*(ㄏ15)/3
           =(4+4-2)*(ㄏ15)/3=2ㄏ15

填充15.
取BD為單位長,設a>0,D(0,0) , B(-1,0) ,  C(1,0)  , I(0,a)=>A(0 , 2a/(1-a^2) ) (tan 兩倍角公式)
H(0,2a) , BH垂直AC=>  BH內積AC=(1,2a)內積(1,-2a/(1-a^2))=1-4a^2/(1-a^2)=0 =>a^2=1/5
故所求=[2a/(1-a^2) ]/(2a)=1/(1-a^2)=5/4

[ 本帖最後由 laylay 於 2021-5-5 21:12 編輯 ]
作者: peter0210    時間: 2021-5-5 20:46

填充19 另解...有點繁雜

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作者: Ellipse    時間: 2021-5-5 21:37

填充8.(速算法)
y=f(x)=(1/4)x² -4x+p=(1/4)(x-8)² +p-16---------(*)
依題意知(0,0)必在(*)的準線(y=0)上
則p-16=c=1 (令c為(*)的焦距)
p=17 再帶回積分式子算出q= -181/12

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2021-5-6 08:10 編輯 ]
作者: PDEMAN    時間: 2021-5-6 15:05     標題: 計算三

另解

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作者: farmer    時間: 2021-5-6 15:52     標題: 填充7

引用:
原帖由 laylay 於 2021-5-5 10:10 發表
題目中 "若此四面體的高" 是不是應該改成 "若此八面體的高" 嗎?
而且也應該說頂部跟底部平行吧?
的確題目應該要說清楚比較好,不然考生已經時間不够了現場還要判斷題意、猜測情境……。

不過有點好奇在題目設定的條件下(上下都是正三角形、側面都是同樣腰長的等腰三角形),是否能保證上下底平行?
作者: HC3064    時間: 2021-5-6 21:32     標題: 請教填充10

想請教老師填充10
只能看出x1+x2=-2且x3*x4=1
帶回去原式為-2x3+1/x3的最大值 但微分找不到最大值
請問這題該怎麼做,謝謝老師們。
作者: czk0622    時間: 2021-5-6 22:12     標題: 回復 35# HC3064 的帖子

填充10
四根為 \(x_1=-1-a,x_2=-1+a,x_3=10^{-a},x_4=10^{a}\),其中 \(0<a\leq 1\)
設 \(t=10^{a}\),則所求為 \(\displaystyle \frac{t^2-2}{t}\),其中 \(1<t\leq 10\)
一次微分檢驗法得 \(1<t\leq\sqrt{2}\) 遞減, \(\sqrt{2}\leq t\leq 10\) 遞增
所以所求在 \(t=10\) 有最大值  \(\displaystyle \frac{100-2}{10}=\frac{49}{5}\)
作者: tsusy    時間: 2021-5-6 22:13     標題: 回復 35# HC3064 的帖子

四個不相同的實數解,
\( a \) 有範圍,\( x_1 = -1-a, x_2 =  -1 +a, x_3 = 10^{-a}, x_4 = 10^a \) 也都有範圍

沒有 critical point 的話,剩下來可能的極值,就在邊界
或者直接由微分可知遞增、遞減,也能判定最大值
作者: HC3064    時間: 2021-5-6 22:22

謝謝czk 老師、寸絲老師,理解了。
作者: laylay    時間: 2021-5-7 14:09     標題: 填充4.

由題意知五個奇數必定恰好在某一行跟某一列的五個位置上.
所以所求=3^2/C(9,5)=1/14
作者: PDEMAN    時間: 2021-5-20 11:15     標題: 回復 30# laylay 的帖子

補填充14,證明 AI=高時有最小面積

[ 本帖最後由 PDEMAN 於 2021-10-2 00:09 編輯 ]

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作者: ibvtys    時間: 2021-6-28 22:32     標題: 回復 6# BambooLotus 的帖子

想請教一下 會重來的意思是?
還是不太懂這題跟一中那題的差別
作者: satsuki931000    時間: 2021-6-29 09:49     標題: 回復 41# ibvtys 的帖子

我是這樣理解的

台中一中那題 平手的狀況下 必須要在連贏兩球才會結束
本題只規定連勝兩局比賽即結束

如果是第一種情形: 考慮甲的勝敗情形,以下是一種過程 XOXOOO
但是第二種情形: XOXOO 就已經結束比賽了  
所以用第一種算法會多算一場比賽 最後要減1
作者: ibvtys    時間: 2021-6-29 15:05     標題: 回復 42# satsuki931000 的帖子

理解了~感謝




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