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標題: 93台南女中 [打印本頁]
作者: chihming    時間: 2021-4-8 11:28     標題: 93台南女中

第一次來這裡發文，試試看，想請教第6題

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=5816&k=5011511e1e4ee0c8ded939bae827365b&t=1732279210
作者: thepiano    時間: 2021-4-8 12:36     標題: 回復 1# chihming 的帖子

第 6 題
將一等差數列\(1,4,7,10,13,\ldots \ldots,997,1000\)，全部乘起來得\(S\)，則\(S\)末尾共有連續多少個0？(如20040000末尾共有連續4個0)
[解答]
不大於 1000 的自然數中

除以 3 餘 1，且為 5 的倍數：10、25、40、......、1000，有 67 個

除以 3 餘 1，且為 25 的倍數：25、100、175、......、1000，有 14 個

除以 3 餘 1，且為 125 的倍數：250、625、1000，有 3 個

除以 3 餘 1，且為 625 的倍數：625，有 1 個

所求 = 67 + 14 + 3 + 1
作者: chihming    時間: 2021-4-8 13:34     標題: 93年台南女中

謝謝喔，這套系統，果然快又好用。
想請教第四題，lagrange multiplier 的解法 ~~
感恩 ~~
作者: thepiano    時間: 2021-4-8 15:46     標題: 回復 3# chihming 的帖子

這種題目都是先移軸再轉軸成標準式
最近幾年教甄幾乎都不考這種題目了
作者: czk0622    時間: 2021-4-8 17:17     標題: 回復 3# chihming 的帖子

第四題
設\(x\)、\(y \in R\)，\(4x^2-24xy+11y^2+40x+30y-145=0\)，求\((x-4)^2+(y-3)^2\)的最小值=　　　。
[解答]
非 lagrange multiplier 的解法
設 \( (x,y)=(4+r\cos\theta,3+r\sin\theta), r \geq 0\)
代入 \(4x^{2}-24xy+11y^{2}+40x+30y-145=4(x-4)^{2}-24(x-4)(y-3)+11(y-3)^{2}-20=0\)
整理可得 \(\displaystyle 7\cos2\theta+24\sin2\theta=15-\frac{40}{r^2}\)
因此 \(r^2 \geq 1\)  (疊合)
得 \( r\geq 1\)

lagrange multiplier 的解法
設 \(f(x,y)=4x^{2}-24xy+11y^{2}+40x+30y-145\)
，\(g(x,y)=(x-4)^{2}+(y-3)^{2}\)
則 \(\nabla f(x,y)=[8x-24y+40,-24x+22y+30]\)
，\(\nabla g(x,y)=[2(x-4),2(y-3)]\)
若 \(g(x,y)\) 在條件 \(f(x,y)=0\) 上有極值，則 \(\nabla g(x,y)=\lambda \nabla f(x,y)\)
即 \(\displaystyle \frac{8x-24y+40}{2(x-4)}=\frac{-24x+22y+30}{2(y-3)}\)
\(\displaystyle \Rightarrow \frac{4x-12y+20}{x-4}=\frac{-12x+11y+15}{y-3}\)
\(\displaystyle \Rightarrow \frac{4(x-4)-12(y-3)}{x-4}=\frac{-12(x-4)+11(y-3)}{y-3}\)
\(\displaystyle \Rightarrow 4-12\frac{y-3}{x-4}=11-12\frac{x-4}{y-3}\)
設 \(\displaystyle \frac{x-4}{y-3}=t\)，得 \(12t^{2}-7t-12=0\) 即 \(\displaystyle t=\frac{4}{3} \vee -\frac{3}{4}\)
若 \(\displaystyle \frac{x-4}{y-3}=t=\frac{4}{3}\)，設 \((x,y)=(4+4s,3+3s)\) 代回 \(f(x,y)=0\) 得 \(\displaystyle s^{2}=-\frac{4}{65}\) 矛盾
若 \(\displaystyle \frac{x-4}{y-3}=t=-\frac{3}{4}\)，設 \((x,y)=(4-3s,3+4s)\) 代回 \(f(x,y)=0\) 得 \(\displaystyle s^{2}=\frac{1}{25}\)
因此 \(g(x,y)\) 有極值 \(25s^{2}=1\)
作者: chihming    時間: 2021-4-8 21:03     標題: 93年台南女中

太讚了!! 謝謝! 樓上那位!!
想再請教 第3題
(1) 為啥 不是   C(4,4)*C(6,3)/C(10,7)  =1/6
作者: thepiano    時間: 2021-4-9 07:23     標題: 回復 6# chihming 的帖子

因爲取後不放回
作者: chihming    時間: 2021-4-9 09:21     標題: 93年台南女中

那正確應該怎麼算呢?
作者: thepiano    時間: 2021-4-9 12:09     標題: 回復 8# chihming 的帖子

第 3 題 (1)
設袋中有大小相同紅球4個、白球6個，今從袋中一次取一球，取後不放回，直到所有紅球皆取到時才停止。設\(X\)表示停止時，所取球的次數，求(1)\(X=7\)的機率=　　　；(2)\(X\)的期望值=　　　。
[解答]
前 6 次 3 紅 3 白，第 7 次紅

前 6 次有 C(6，3) = 20 種情形
每一種的機率都等於 (4 * 3 * 2 * 6 * 5 * 4) / (10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5)
第 7 次的機率是 1/4

所求 = 20 * [(4 * 3 * 2 * 6 * 5 * 4) / (10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5)] * (1/4)
作者: L.Y.    時間: 2021-5-20 09:47

不好意思想借這裡問一下第一題跟第七題
第一題我硬除爆開來的確是可以找到規律，不過有沒有更好的方法呢
第七題我看了答案然後把微分的結果代答案的確是沒錯，但就只是印證答案而已
謝謝！
作者: tsusy    時間: 2021-5-20 10:29     標題: 回復 10# L.Y. 的帖子

填充 1.
求\(x^{30}\)除以\((x+1)^2(x^2+1)\)的餘式=　　　。
[解答]
令 \(f(x) = {x^{30}}\)
依除法原理有 \(f(x) = {(x + 1)^2}({x^2} + 1)q(x) + r(x)\)，其中 \(q(x)\) , \(r(x)\) 皆為實係數多項式且 \(r(x)\) 的次數不超過3次或 \(r(x) = 0\)。
可令  \(r(x) = (ax + b)({x^2} + 1) + cx + d\)，其中 \(a,b,c,d\)  皆為實數
解聯立 \(\left\{ \begin{array}{l}f(i) = r(i)\\f( - 1) = r( - 1)\\f'( - 1) = r'( - 1)\end{array} \right.\)，可得 \(a,b,c,d\) 之值

113.4.21補充
\(x^{2024}\)除以\((x^2+1)(x-1)^2\)所得的餘式為　　　。
(113文華高中，https://math.pro/db/thread-3836-1-1.html)
作者: L.Y.    時間: 2021-5-20 12:15     標題: 回復 11# tsusy 的帖子

寸絲老師好，
完全沒有想到微分的結果也可以拿來用，\((x+1)^2\)是關鍵，學到了！
非常謝謝您！
作者: thepiano    時間: 2021-5-20 12:27     標題: 回復 10# L.Y. 的帖子

第 7 題
函數\(f(x)=x^2+1+\sqrt{x^4-8x+8}\)在\(x=\)　　　時有最小值　　　。
[解答]
f(x) = x^2 + 1 + √(x^4 - 8x + 8)
= √[(2x)^2 + (x^2 - 1)^2] + √(2x - 2)^2 + (x^2 - 2)^2]
視為拋物線 y = (1/4)x^2 上一點 (2x，x^2) 到 焦點(0，1) 與到 (2，2) 距離和的最小值
即拋物線 y = (1/4)x^2 上一點 (2x，x^2) 到準線 y = -1 與到 (2，2) 距離和的最小值
此點為 (2，1)，此時 x = 1
作者: L.Y.    時間: 2021-5-20 16:28     標題: 回復 13# thepiano 的帖子

thepiano老師好，原來是這樣配！
我一直想辦法令 t=x^2+c 讓x消失變一次式都無法，想錯方向了
非常謝謝您！



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