標題: 109西松高中(新增官方版試題) [打印本頁]

---

作者: Superconan    時間: 2020-7-5 18:00     標題: 109西松高中(新增官方版試題)

請問填充第 1, 3, 7 題

附件: 109-教甄試題-數學科.pdf (2020-7-25 00:41, 505.97 KB) / 該附件被下載次數 10481
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5580&k=c95c62286258ce2e150663e69d592ea9&t=1732311580

附件: 109-教甄試題-數學科(解答).pdf (2020-7-25 00:41, 591.75 KB) / 該附件被下載次數 9670
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5596&k=9faecd7cd7598ba7ef4468b52c439f10&t=1732311580

---

作者: bugmens    時間: 2020-7-5 19:54

6.
設\(x\)為實數，則函數\(f(x)=\sqrt{x^4-x^2-4x+5}-\sqrt{x^4-3x^2+4}\)的最大值為　　　。
[提示]
\(\sqrt{(x-2)^2+(x^2-1)^2}-\sqrt{(x-0)^2+(x^2-2)^2}\)

8.
求從等差數列\(5,7,9,11,\ldots,23\)中任取二個數相乘後所得之數的總和為　　　。
[提示]
\((5+7+9+11+\ldots+23)^2=(5^2+7^2+9^2+11^2+\ldots+23^2)+2(兩兩相乘)\)

設方程式\( x^8+a_7 x^7+a_6 x^6+...+a_1 x+a_0=0 \)之解集合為{1,2,3,4,5,6,7,8}，求\( a_6= \)？
[提示]
\( (1+2+3+4+5+6+7+8)^2=(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2)+2(兩兩相乘) \)
98桃園高中聯招，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=826&page=1#pid1580

二、計算證明題
設數列\(\langle\;a_n \rangle\;\)，\(a_1=1\),\(a_{n+1} = 2 a_n + n - 1\) ，\(n=1,2,3 \ldots\) ，求數列的一般項\(a_n\)(以\(n\)表示)。
[提示]
\(a_{n+1}+a(n+1)+b=2(a_n+an+b)\)，得\(a=1,b=0\)
(我的教甄準備之路　數列一般項，https://math.pro/db/thread-661-3-1.html)

---

作者: royan0837    時間: 2020-7-5 21:11

填充1.
設拋物線\(x^2=4y\)上取兩點\(A,B\)，使\(\overline{AB}=2\)，在\(A,B\)處分別作拋物線的切線，則此兩切線交點的軌跡方程式為　　　。

\(\displaystyle y=\frac{1}{4}x^2\)，\(\displaystyle y'=\frac{1}{2}x\)
設 \(A(2a, a^2),~B(2b, b^2)\)，
則過 A 點的切線斜率為 a，切線為 \(ax-y=a^2\)，同理，過 B 點的切線為 \(bx-y=b^2\)
兩直線解聯立可得交點 \(P(a+b, ab)\)，即 \(x=a+b,~y=ab\)
則可推知 \(a^2+b^2=x^2-2y\)，且 \((a-b)^2=x^2-4y\)
由 \(\overline{AB}^2=(2a-2b)^2+(a^2-b^2)^2=4\)，可得 \((x^2-4y)(x^2+4)=4\)

---

作者: royan0837    時間: 2020-7-5 21:22

填充2. 橢圓方程式 \(\displaystyle \frac{(x-2)^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1\)，拋物線方程式 \(\displaystyle y^2=\frac{1}{2}x\)

填充3.  當 \(\overline{AB}\) 有最小值時，切線為 \(y=ax+b\)，試求數對 \((a,b)\)

填充6. \(\sqrt{x^4-x^2-4x+5}-\sqrt{x^4-3x^2+4}\)    (不確定係數)

計算三(2).
設橢圓方程式 \(\displaystyle \frac{(x-1)^2}{25}+\frac{(y+2)^2}{16}=1\)，證明 \(\displaystyle e=\frac{c}{a}=\frac{\overline{PF}}{d(P,L)}\)，並求出兩條準線方程式。(不確定橢圓的中心點)

--
想請教計算二

---

作者: Almighty    時間: 2020-7-5 21:54     標題: 回復 1# Superconan 的帖子

手寫稿（等待官方版釋出）

附件: 109西松高中填充手寫稿.pdf (2020-7-5 22:52, 241.3 KB) / 該附件被下載次數 8145
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5575&k=efc6f3d19362d58758fe2359611f8b65&t=1732311580

---

作者: satsuki931000    時間: 2020-7-6 08:25     標題: 回復 4# royan0837 的帖子

計算2.
\(\Delta ABC\)之內切圓與三邊切於\(P,Q,R\)三點。
(1)試證：面積比\(\displaystyle \frac{\Delta PQR}{\Delta ABC}=\frac{r}{2R}\)。(其中\(\Delta ABC\)之內切圓半徑\(r\)，外接圓半徑\(R\)。)
(2)試證：面積比\(\displaystyle \frac{\Delta PQR}{\Delta ABC}\le \frac{1}{4}\)，可得任意三角形之\(2r\le R\)。

計算2(1)
設I為ABC的內心，可知IP=IQ=IR=r
以下的角度單位為度度量

PQR面積=1/2*r^2*sin(180-A)+1/2*r^2*sin(180-B)+1/2*r^2*sin(180-C)
=1/2*r^2*sinA+1/2*r^2*sinB+1/2*r^2*sinC
=1/2*r^2*(a/2R)+1/2*r^2*(b/2R)+1/2*r^2*(c/2R)

ABC面積=rs=r*(a+b+c)*1/2

兩者下去相除，即可得題目所求 r/2R

---

作者: thepiano    時間: 2020-7-6 11:39     標題: 回復 4# royan0837 的帖子

計算證明二 (2)
用尤拉定理，\(\Delta ABC\)的內心為\(I\)，外心為\(O\)，則\({{\overline{OI}}^{2}}={{R}^{2}}-2Rr\)
\(\begin{align}
  & {{\overline{OI}}^{2}}={{R}^{2}}-2Rr\ge 0 \\
& R\ge 2r \\
& \frac{r}{2R}\le \frac{1}{4} \\
\end{align}\)
等號成立於正三角形時

---

作者: thepiano    時間: 2020-7-6 12:08     標題: 回復 1# Superconan 的帖子

填充第7題
已知實數\(\alpha,\beta\)分別滿足\(\alpha^3+3\alpha^2+6\alpha-8=0\)及\(\beta^3-6\beta^2+15\beta-2=0\)，則\(\alpha+\beta\)之值為　　　。

易知\({{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+6x-8=0\)和\({{y}^{3}}-6{{y}^{2}}+15y-2=0\)都恰有一實根
令兩實根和\(x+y=a\)
展開\({{\left( a-x \right)}^{3}}-6{{\left( a-x \right)}^{2}}+15\left( a-x \right)-2=0\)，比較係數，可知\(a=1\)

---

作者: peter0210    時間: 2020-7-6 12:41

計算2.（2）

圖片附件: 1594004985695.jpg (2020-7-6 12:41, 130.84 KB) / 該附件被下載次數 5912
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5576&k=95f89cf10ddb3190632da8ce8634e5a2&t=1732311580

---

作者: thepiano    時間: 2020-7-6 12:57     標題: 回復 1# Superconan 的帖子

填充第3題
設橢圓：\(\displaystyle \frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{4^2}=1\)，點\(P(x_0,y_0)\)為橢圓上第一象限中的一點，過點\(P\)作切線交\(x\)軸交於點\(A\)，交\(y\)軸於點\(B\)，當\(\overline{AB}\)有最小值時的切線方程式為\(y=ax+b\)，則數對\((a,b)=\)　　　。

\(P\left( 5\cos \theta ,4\sin \theta  \right)\)
直線\(AB\)之方程式為\(\frac{\cos \theta }{5}x+\frac{\sin \theta }{4}y=1\)
\(\begin{align}
  & A\left( \frac{5}{\cos \theta },0 \right),B\left( 0,\frac{4}{\sin \theta } \right) \\
& \overline{AB}=\sqrt{{{\left( \frac{5}{\cos \theta } \right)}^{2}}+{{\left( \frac{4}{\sin \theta } \right)}^{2}}} \\
& \left[ {{\left( \frac{5}{\cos \theta } \right)}^{2}}+{{\left( \frac{4}{\sin \theta } \right)}^{2}} \right]\left( {{\cos }^{2}}\theta +{{\sin }^{2}}\theta  \right)\ge {{\left( 5+4 \right)}^{2}}=81 \\
\end{align}\)
等號成立於\(\cos \theta =\frac{\sqrt{5}}{3},\sin \theta =\frac{2}{3}\)
直線\(AB\)之方程式為\(y=-\frac{2\sqrt{5}}{5}x+6\)

---

作者: royan0837    時間: 2020-7-8 16:50

複試最低錄取66

109.7.8版主補充
刪除附件檔案，請到第一篇下載官方版題目

---

作者: royan0837    時間: 2020-7-8 16:53

複試最低錄取66分

---

作者: Christina    時間: 2020-7-19 14:36     標題: 回復 8# thepiano 的帖子

請教鋼琴老師。為什麼可以直接用比較係數法呢？謝謝老師。

---

作者: thepiano    時間: 2020-7-20 07:27     標題: 回復 13# Christina 的帖子

填充第7題
已知實數\(\alpha,\beta\)分別滿足\(\alpha^3+3\alpha^2+6\alpha-8=0\)及\(\beta^3-6\beta^2+15\beta-2=0\)，則\(\alpha+\beta\)之值為　　　。

寫清楚一些好了
\({{\alpha }^{3}}+3{{\alpha }^{2}}+6\alpha -8=0\)，\(\alpha \)是\({{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+6x-8=0\)的唯一實根
\({{\beta }^{3}}-6{{\beta }^{2}}+15\beta -2=0\)，\(\beta \)是\({{y}^{3}}-6{{y}^{2}}+15y-2=0\)的唯一實根
令\(\alpha +\beta =a\)
\(\beta =a-\alpha \)代入\({{\beta }^{3}}-6{{\beta }^{2}}+15\beta -2=0\)
整理可得\({{\alpha }^{3}}-\left( 3a-6 \right)\alpha +\left( 3{{a}^{2}}-12a+15 \right)\alpha -\left( {{a}^{3}}-6{{a}^{2}}+15a-2 \right)=0\)
由於\(a\)為定值，故與\({{\alpha }^{3}}+3{{\alpha }^{2}}+6\alpha -8=0\)比較係數後可得\(a=1\)

---

作者: satsuki931000    時間: 2020-7-20 15:17

請問第9題
空間中兩單位向量\(\vec{a},\vec{b}\)，其夾角\(\displaystyle \frac{\pi}{3}\)。若存在一個向量\(\vec{p}\)與三個向量\(\vec{a},\vec{b},\vec{a}\times \vec{b}\)的夾角皆為\(\theta\)度，則\(cos 2 \theta=\)　　　

p向量到和其他三個向量夾角皆相同
這個條件要怎麼用

---

作者: thepiano    時間: 2020-7-20 17:39     標題: 回復 15# satsuki931000 的帖子

填充第 9 題
請參考 http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=29326#p29326

---

歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/)

論壇程式使用 Discuz! 6.1.0