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標題: 109中科實中國中部 [打印本頁]

作者: Superconan    時間: 2020-6-14 23:32     標題: 109中科實中國中部

國中部資優數學缺

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作者: bugmens    時間: 2020-6-15 09:56

2.
設\(\displaystyle f(x)=\frac{2^x-2}{2^x+2}\),求\(\displaystyle \sum_{n=1}^{2020}f(\frac{n}{1010})=\)   
[提示]
\(f(x)+f(2-x)=0\)

3.
求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^{n} \frac{7k+6}{k(k+1)(k+2)}\)之值為   
[提示]
待定係數法
設\(\displaystyle \frac{7k+6}{k(k+1)(k+2)}=\frac{ak+b}{k(k+1)}-\frac{a(k+1)+b}{(k+1)(k+2)}\),得\(a=7,b=3\)

\(\displaystyle \frac{7k+6}{k(k+1)(k+2)}=\frac{7k+3}{k(k+1)}-\frac{7k+10}{(k+1)(k+2)}\)

設\(\displaystyle \frac{7k+3}{k(k+1)}=\frac{a}{k}-\frac{b}{k+1}\),得\(a=3,b=-4\)

\(\displaystyle \frac{7k+3}{k(k+1)}=\frac{3}{k}+\frac{4}{k+1}\)

設\(\displaystyle \frac{7k+10}{(k+1)(k+2)}=\frac{a}{k+1}-\frac{b}{k+2}\),得\(a=3,b=-4\)

\(\displaystyle \frac{7k+10}{(k+1)(k+2)}=\frac{3}{k+1}+\frac{4}{k+2}\)

\(\displaystyle \frac{7k+6}{k(k+1)(k+2)}=\frac{7k+3}{k(k+1)}-\frac{7k+10}{(k+1)(k+2)}=\left(\frac{3}{k}+\frac{4}{k+1} \right)-
\left(\frac{3}{k+1}+\frac{4}{k+2}\right)=\left(\frac{3}{k}-\frac{3}{k+1}\right)+\left(\frac{4}{k+1}-\frac{4}{k+2}\right)\)
(我的教甄準備之路 裂項相消,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678)

求值:\( \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^3+8k^2+15k}= \)   
(106全國高中聯招,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2769&page=2#pid17282)

4.
設\(A\)表質因數為2或3或5的所有正整數所形成的集合。集合\(A\)中,所有元素的倒數之和為無窮級數
\(\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{12}+\frac{1}{15}+\frac{1}{16}+\frac{1}{18}+\frac{1}{20}+\ldots\),求此級數的總和為   
(請化至最簡分數,否則不予計分)


設\(A\)表質因數至多為2或3或5的所有正整數所形成的集合。\(A\)中所有元素的倒數之和為無窮級數
\(\displaystyle \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{12}+\frac{1}{15}+\frac{1}{16}+\frac{1}{18}+\frac{1}{20}+\ldots\)
若此總和可以表示為\(\displaystyle \frac{m}{n}\),其中\(m,n\)為互質的正整數,則\(m+n=\)?
(A) 16  (B) 17  (C) 19  (D) 23  (E) 36
(2018AMC12A,https://math.pro/db/thread-2917-1-1.html)

5.
☐☐☐☐☐☐☐☐☐☐
☐☐☐☐☐☐☐☐☐☐
  ☐☐☐☐
一個房間的地面是由24個正方形所組成,今想用長方形磁磚舖滿地面,已知每一塊長方形磁磚可以覆蓋兩個相鄰的正方形,即☐☐或\(\matrix{☐\cr ☐}\)。則用12塊磁磚舖滿房間地面的方法有   的舖法。

☐☐☐☐☐
☐☐☐☐☐
☐☐
一個房間的地面是由12個正方形所組成,今想用長方形磁磚舖滿地面,已知每一塊長方形磁磚可以覆蓋兩個相鄰的正方形,即☐☐或\(\matrix{☐\cr☐}\)。則用6塊磁磚撲滿房間地面的方法有   種。
(103學測,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1793&page=1#pid9544)

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☐☐☐☐☐☐
  ☐☐
  ☐☐
一個房間的地面是由16個正方形所組成,今想用長方形磁磚舖滿地面,已知每一塊長方形磁磚可以覆蓋兩個相鄰的正方形,即☐☐或\(\matrix{☐\cr☐}\)。則用8塊磁磚舖滿房間地面的方法有   種。
(臺中區國立高中104 學年度第二次學測模擬考,https://math.pro/db/redirect.php ... amp;goto=nextoldset)

11.
若\(x>y>z\),解\(\cases{x+y+z=10 \cr x^2+y^2+z^2=38 \cr x^3+y^3+z^3=154}\),求數對\((x,y,z)=\)   
(我的教甄準備之路 利用根與係數的關係解聯立方程式,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1076)

12.
設數列\(\displaystyle a_n=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n}}\),求\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{\sqrt{n}}=\)   
https://math.pro/db/thread-156-1-1.html

計算證明題
1.
數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)滿足\(a_1=1\)、\(\displaystyle a_{n+1}=\frac{1}{16}(1+4a_n+\sqrt{1+24a_n})\),求此數列的一般項\(a_n\)。
[解答]
令\(b_n=\sqrt{1+24a_n}\),則\(\displaystyle a_n=\frac{1}{24}(b_n^2-1)\)
故\(\displaystyle a_{n+1}=\frac{1}{24}(b_{n+1}^2-1)\),代入\(\displaystyle a_{n+1}=\frac{1}{16}(1+4a_n+\sqrt{1+24a_n})\)得
\(\displaystyle \frac{1}{24}(b_{n+1}^2-1)=\frac{1}{16}[1+4\cdot \frac{1}{24}(b_n^2-1)+b_n]\)即\(4b_{n+1}^2=(b_n+3)^2\)
因為\(b_n=\sqrt{1+24a_n}\ge 0\),故\(b_{n+1}=\sqrt{1+24a_{n+1}}\ge 0\)則\(2b_{n+1}=b_n+3\),即\(\displaystyle b_{n+1}=\frac{1}{2}b_n+\frac{3}{2}\)
可化為\(\displaystyle b_{n+1}-3=\frac{1}{2}(b_n-3)\),
所以\(\{\;b_n-3 \}\;\)是以\(b_1-3=\sqrt{1+24a_1}-3=\sqrt{1+24 \cdot 1}-3=2\)為首項,以\(\displaystyle \frac{1}{2}\)為公比的等比數列,
因此\(\displaystyle b_n-3=2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-2}\),則\(\displaystyle b_n=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-2}+3\),即\(\displaystyle \sqrt{1+24a_n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-2}+3\),
得\(\displaystyle a_n=\frac{2}{3}\left(\frac{1}{4}\right)^n+\left(\frac{1}{2}\right)^n+\frac{1}{3}\)。
其他方法請見
求遞推數列通項公式的十種策略例析,https://math.pro/db/attachment.p ... 34&t=1593040418

類似題
數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)滿足\(a_1=1,a_{n+1}=1+a_n+\sqrt{1+4a_n}(n\ge 1)\),
而數列\(\langle\;b_n\rangle\;\)定義為\(b_n=\sqrt{1+4a_n}\)。
(1)問:數列\(\langle\;b_n\rangle\;\)為何種數列?
(2)求數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)的一般項公式。
(105高中數學能力競賽 北一區(花蓮高中)筆試一試題,https://math.pro/db/thread-2608-1-1.html)

3.
投擲兩粒公正的骰子,當點數和為7時,可得100元獎金,並取得繼續投擲的權利,若第二回又擲出點數和為7,可再得100元並可繼續投擲,如此繼續進行,設\(X\) 表示此人所得獎金數,試求:
(1)\(E(X)=\)?
(2)\(Var(X)=\)?

雅妮參加擲骰子比賽,遊戲規則如下:每次投擲二顆相同的公正骰子,
(1)若擲出點數和為7點,可得獎金100元,並可以繼續投擲;若再擲出點數和為7點,則再得100元,並可以繼續投擲,以此類推,
(2)若擲出點數和不是7點,則得30元,並結束比賽。
則雅妮參賽的獎金期望值為   
thepiano解題,http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=3012
(102文華高中,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1579&page=5#pid7975)
作者: thepiano    時間: 2020-6-15 15:55     標題: 回復 1# Superconan 的帖子

填充第 5 題,等高手來解
其餘答案請參考 http://www.shiner.idv.tw/teachers/download/file.php?id=3210
有錯請指正
作者: thepiano    時間: 2020-6-15 22:42     標題: 回復 1# Superconan 的帖子

填充第 5 題
☐☐☐☐☐☐☐☐☐☐
☐☐☐☐☐☐☐☐☐☐
  ☐☐☐☐
一個房間的地面是由24個正方形所組成,今想用長方形磁磚舖滿地面,已知每一塊長方形磁磚可以覆蓋兩個相鄰的正方形,即☐☐或\(\matrix{☐\cr ☐}\)。則用12塊磁磚舖滿房間地面的方法有   的舖法。
[解答]
圖 A,有 89 種排法
圖 B,有 5 * 5 = 25 種排法
圖 C,有 2 * 5 = 10 種排法
圖 D,有 2 * 13 = 26 種排法
圖 E,有 2 * 5 = 10 種排法
合計 89 + 25 + 10 + 26 + 10 = 160 種排法
不知有無遺漏 ......

圖片附件: 20200615_2.jpg (2020-6-15 22:42, 37.85 KB) / 該附件被下載次數 1110
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作者: jasonmv6124    時間: 2020-6-16 23:14

請教6.7.10
作者: thepiano    時間: 2020-6-17 15:09     標題: 回復 5# jasonmv6124 的帖子

第 6 題
\(\cases{109(x-1)^3+2020x=4149 \cr 109(x^2-2x-1)^3+2020(x^2-2x)=-109}\)之實數解為   
[解答]
從第一條式子,可看出一實根 2,代入第二式也符合
函數\(f\left( x \right)=109{{\left( x-1 \right)}^{3}}+2020x-4149\)嚴格遞增
故僅有一實根2


第 7 題
\(\Delta ABC\)中,若\(\overline{AB}=\overline{AC}\),\(∠A=40^{\circ}\),且\(P\)為\(\overline{AB}\)
邊上的一點使得\(∠APC=120^{\circ}\),求\(\displaystyle \frac{\overline{AP}}{\overline{BC}}=\)   
[解答]
令\(\overline{BC}=1\),所求為\(\overline{AP}\)
\(\begin{align}
  & \frac{\overline{AP}}{\sin \angle ACP}=\frac{\overline{AC}}{\sin \angle APC} \\
& \frac{\overline{AP}}{\sin 20{}^\circ }=\frac{\overline{AC}}{\sin 120{}^\circ } \\
&  \\
& \frac{\overline{AC}}{\sin \angle ABC}=\frac{\overline{BC}}{\sin \angle BAC} \\
& \frac{\overline{AC}}{\sin 70{}^\circ }=\frac{1}{\sin 40{}^\circ } \\
&  \\
& \overline{AP}=\frac{\sin 70{}^\circ \sin 20{}^\circ }{\sin 120{}^\circ \sin 40{}^\circ }=\frac{\cos 20{}^\circ \sin 20{}^\circ }{\sin 120{}^\circ \times 2\cos 20{}^\circ \sin 20{}^\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3} \\
\end{align}\)
作者: thepiano    時間: 2020-6-17 15:33     標題: 回復 5# jasonmv6124 的帖子

第 10 題
給定坐標平面上四點\(A(0,0)\)、\(B(3,-2)\)、\(C(6,0)\)、\(D(5,2)\)及直線\(L\)。若直線\(L\)剛好同時將兩個三角形\(\Delta ABC\)、\(\Delta ADC\)面積平分,且與\(\overline{AC}\)相交於\(E\)點,求\(E\)點坐標為   
[解答]
直線L和\(\overline{AD}\)交於\(F\left( a,\frac{2}{5}a \right)\),和\(\overline{AB}\)交於\(G\left( b,-\frac{2}{3}b \right)\)
\(\begin{align}
  & \Delta ACD=\Delta ACB=6,\Delta AEF=\Delta AEG=3 \\
& \frac{2}{5}a=\left| -\frac{2}{3}b \right| \\
& b=\frac{3}{5}a \\
& \overline{AE}=\frac{a+b}{2}=\frac{4}{5}a \\
&  \\
& \Delta AEF=\frac{4}{5}a\times \frac{2}{5}a\times \frac{1}{2}=3 \\
& a=\frac{5}{2}\sqrt{3} \\
& E\left( 2\sqrt{3},0 \right) \\
\end{align}\)
作者: 有魚魚    時間: 2020-6-17 16:53     標題: 回復 3# thepiano 的帖子

請問填充4是否還需要減1,想法是題目不包含加1,所以我是算11/4
作者: thepiano    時間: 2020-6-17 18:21     標題: 回復 8# 有魚魚 的帖子

您是對的,這題是 2018 AMC 12 的題目,原題有 1,這題沒有
作者: 有魚魚    時間: 2020-6-17 18:34     標題: 回復 9# thepiano 的帖子

感謝
作者: jasonmv6124    時間: 2020-6-17 21:05     標題: 回復 6# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴大
作者: abc409212000    時間: 2020-6-18 18:32

想請教一下填充13、計算證明2
(填充13僅想到要偏微分找切線斜率為0的切點,但總覺得有更好的方法)
作者: thepiano    時間: 2020-6-19 12:02     標題: 回復 12# abc409212000 的帖子

計算證明第 2 題
設\(x\)、\(y\)、\(z\)皆為正實數,試證:\(\displaystyle \sqrt{xy(x+y)}+\sqrt{yz(y+z)}+\sqrt{zx(x+z)}\le \frac{3}{2}\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}\)。

107 台中女中考過,請參考 cefepime 老師的妙解
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2950&page=3#pid18481

小弟的解法如下:
http://www.shiner.idv.tw/teachers/download/file.php?id=2853
作者: abc409212000    時間: 2020-6-19 16:36     標題: 回復 13# thepiano 的帖子

謝謝thepiano老師,做過又忘記,計算2已清楚了!
作者: enlighten    時間: 2020-8-4 00:29

想請問填充第1題
作者: thepiano    時間: 2020-8-4 10:12     標題: 回復 15# enlighten 的帖子

第1題
求\(17^5+18\)的所有正質因數總和為   
[解答]
\(\begin{align}
  & {{x}^{5}}+x+1 \\
& ={{x}^{5}}-{{x}^{2}}+{{x}^{2}}+x+1 \\
& ={{x}^{2}}\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)+\left( {{x}^{2}}+x+1 \right) \\
& =\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\left( {{x}^{3}}-{{x}^{2}}+1 \right) \\
\end{align}\)
作者: enlighten    時間: 2020-8-4 23:12     標題: 回復 16# thepiano 的帖子

謝謝,想再請問第13題
作者: thepiano    時間: 2020-8-5 10:44     標題: 回復 17# enlighten 的帖子

第13題
複數平面上,若複數\(z\)滿足\(|\;z+1-2i|\;-|\;z-5-10i|\;=8\),則\(z\)為到實軸的最近距離為   
[解答]
複數平面上到 (-1,2) 和到 (5,10) 的距離差為 8
圖形為雙曲線\(\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}}-\sqrt{{{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{\left( y-10 \right)}^{2}}}=8\)的右支
上式可化簡為\(7{{x}^{2}}-24xy+116x+48y-116=0\)
它的右支會與\(y=6+\sqrt{7}\)相切
作者: koeagle    時間: 2021-2-2 17:11

想請問計算證明3(2),謝謝。
作者: satsuki931000    時間: 2021-2-2 18:38     標題: 回復 19# koeagle 的帖子

投擲兩粒公正的骰子,當點數和為7時,可得100元獎金,並取得繼續投擲的權利,若第二回又擲出點數和為7,可再得100元並可繼續投擲,如此繼續進行,設\(X\)表示此人所得獎金數,試求:
(1)\(E(x)=\)?
(2)\(Var(x)=\)?
[解答]
使用\(Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2 \)
\(E(X^2) \)用兩次差比級數應該能做得出來

算了一下
\(\displaystyle E(X^2)=100^2\times \frac{1}{6}\times \frac{5}{6}+200^2\times (\frac{1}{6})^2\times \frac{5}{6}+300^2\times (\frac{1}{6})^3\times \frac{5}{6}+\cdots \)
\(\displaystyle\frac{1}{6}E(X^2)=100^2\times (\frac{1}{6})^2\times \frac{5}{6}+200^2\times (\frac{1}{6})^3\times \frac{5}{6}+300^2\times (\frac{1}{6})^4\times \frac{5}{6}+\cdots \)
相減得\(E(X^2)=100(100\times \frac{1}{6}+300(\frac{1}{6})^2+500\times (\frac{1}{6})^3+...)\)

再用一次差比可求出\(S=100\times \frac{1}{6}+300(\frac{1}{6})^2+500\times (\frac{1}{6})^3+...)=28\)
因此\(E(X^2)=2800\)

又\(E(X)=20 \)
所求\(Var(X)=2800-20^2=2400 \)
作者: koeagle    時間: 2021-2-2 18:56     標題: 回復 20# satsuki931000 的帖子

謝謝 satsuki931000 老師。




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