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標題: 109桃園高中職聯招 [打印本頁]

作者: Superconan 時間: 2020-5-30 14:07 標題: 109桃園高中職聯招

蠻奇怪的，沒有答案

附件: 109試題-數學科.pdf (2020-5-30 14:07, 171.61 KB) / 該附件被下載次數 8989
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附件: 109試卷答案-數學科.pdf (2020-5-30 14:07, 59.29 KB) / 該附件被下載次數 8896
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作者: Almighty 時間: 2020-5-30 14:26 標題: 回復 1# Superconan 的帖子

初試收$1200
展現的誠意“參考答案”

作者: bugmens 時間: 2020-5-30 17:54

7.
已知$(1-\sqrt{3})^n=a_n+b_n\sqrt{3}$，其中$a_n$、$b_n$為整數。則$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{b_n}{a_n}$的值　　　。

設$(1+\sqrt{2})^n=a_n+b_n\sqrt{2}$，其中$n,a_n,b_n$皆為正整數，則$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n}=$　　　。
老王介紹快一點的方法
100成淵高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1128&page=1#pid3470

10.
平面上的$n$條直線，最多可以把這個平面劃分成　　　塊不同的區域。
[公式]
$C_0^n+C_1^n+C_2^n$
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid4597

12.
設$x$、$y$、$z$為不全為0的實數，則$\displaystyle \frac{xy+2yz}{x^2+y^2+z^2}$的最大值　　　。
奧數教程　高一　第6講　函數的最大值和最小值
100臺北市陽明高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1130&page=1#pid3505

計算2.
半圓$O$的半徑為1，$A$為直徑延長線上的一點，$OA=2$，$B$為半圓上的任一點，以$AB$為一邊做等邊三角形$ABC$，
(a)求$B$在何位置時，四邊形$OACB$的面積最大？
(b)求此面積的最大值。

$O$為半徑為1之半圓的圓心，$A$為直徑$\overline{PQ}$延長線上一點且$\overline{OA}=2$，$B$為半圓上之任一點，以$\overline{AB}$為一邊作正$\Delta ABC$，試求四邊形$OACB$面積的最大值。
104台南二中，https://math.pro/db/thread-2232-1-1.html

作者: thepiano 時間: 2020-5-30 21:09 標題: 回復 1# Superconan 的帖子

小弟隨意寫的答案，有 2 題待解，其餘請參考

http://www.shiner.idv.tw/teachers/download/file.php?id=3189

有錯請指正

作者: 小姑姑 時間: 2020-5-30 21:26 標題: 回復 4# thepiano 的帖子

填充1，
尚有需要注意的：m<=5
所以此題解應該為 -3<m<1

作者: Almighty 時間: 2020-5-30 21:38 標題: 回復 4# thepiano 的帖子

鋼琴大大，想與您確認一些答案
第1題，有大於13的範圍嗎？
考慮x^2=t，是否要先確保t有兩正根
而兩根之和 -(m-5)>0，而考慮m<5

第5題解法如下，答案算出來是1

圖片附件: S__102105130.jpg (2020-5-30 21:38, 140.55 KB) / 該附件被下載次數 4842
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5477&k=5af7ca5ade3b2021ad0aff199411568b&t=1713606101

作者: thepiano 時間: 2020-5-30 21:41 標題: 回復 5# 小姑姑的帖子

感謝指正，您是對的，我把那個條件寫成 m > 5 了
此題只有 -3 < m < 1

作者: thepiano 時間: 2020-5-30 21:44 標題: 回復 6# Almighty 的帖子

第 5 題
小弟想不到這麼漂亮的拆法，受教了

[ 本帖最後由 thepiano 於 2020-5-30 21:47 編輯 ]

作者: jasonmv6124 時間: 2020-5-30 22:06

請問填充第六題跟計算第三題

作者: thepiano 時間: 2020-5-30 22:55 標題: 回復 9# jasonmv6124 的帖子

填充第 6 題
$\begin{array}{l}
{E_2} = {E_1} + \frac{1}{2}*1 + \frac{1}{2}\left( {1 + {E_2}} \right) = 2 + 1 + \frac{1}{2}{E_2}\\
{E_2} = 6
\end{array}$
至於變異數就等高手來解了

計算第 3 題
恰有一個實根，很簡單，就不證了
唯一性證明，請參考 http://www.shiner.idv.tw/teachers/download/file.php?id=3190

[ 本帖最後由 thepiano 於 2020-5-30 23:11 編輯 ]

作者: Almighty 時間: 2020-5-30 23:17 標題: 回復 9# jasonmv6124 的帖子

第6題的期望值
同鋼琴老師的作法

但變異數也是卡著
然後有想試試看能不能循著
相同想法找E(X^2)
但很奇怪就是了

[ 本帖最後由 Almighty 於 2020-5-31 09:05 編輯 ]

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作者: anyway13 時間: 2020-5-31 00:20 標題: 回復 4# thepiano 的帖子

鋼琴老師好

第七題填充,答案是不是應該為-1/(根號三)

圖片附件: [第7題] 107966.jpg (2020-5-31 00:20, 216.12 KB) / 該附件被下載次數 2498
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作者: thepiano 時間: 2020-5-31 00:26 標題: 回復 12# anyway13 的帖子

抱歉，小弟老花，又一題看反了

作者: swallow7103 時間: 2020-5-31 08:57

Piano老師好~~~

計算第一題考慮二次函數 $ y=\frac{1}{2}(x-1)^2 + \frac{3}{2} $ 的疊代
$ a_1 $ 的取值範圍只要在0~2就可以了，
我畫了一張圖。

這樣的考慮有問題嗎？

[ 本帖最後由 swallow7103 於 2020-5-31 09:06 編輯 ]

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作者: yi4012 時間: 2020-5-31 11:32 標題: 回復 14# swallow7103 的帖子

採取遞減，因為知道an必為正數
考慮A1>=A2或AN為定植
A2=1/2*A1^2-A1+2<=A1
令A1=A
A^2/2-2A+2<=0
A^2-4A+4小於等於0
A=2

AN=A(N-1)=1/2*A(N-1)平方-A(N-1)+2
所以AN-1=2+>A2=2
A1=0或2

之後就不會了，不過從圖片可知道在0~2之間是收斂

[ 本帖最後由 yi4012 於 2020-5-31 11:46 編輯 ]

圖片附件: 02.JPG (2020-5-31 11:46, 114.14 KB) / 該附件被下載次數 2399
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作者: swallow7103 時間: 2020-5-31 11:53

回樓上

我用Excel做了一些實驗
在嘗試不同初始值 1, 0.6, 1.4, ...等都會收斂到2
初始值用2.1 大概到第二十幾項就破千惹...

大家再討論看看！

[ 本帖最後由 swallow7103 於 2020-5-31 18:03 編輯 ]

附件: 109桃聯計算一.rar (2020-5-31 18:03, 13.55 KB) / 該附件被下載次數 3421
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作者: Ellipse 時間: 2020-5-31 18:12

引用:

原帖由 jasonmv6124 於 2020-5-30 22:06 發表
請問填充第六題跟計算第三題

填充六:
第一小題也跟賭徒問題有關:
所求=2^(n+1)-2=8-2=6 (n表示連續兩次反面)

作者: thepiano 時間: 2020-5-31 21:03 標題: 回復 14# swallow7103 的帖子

您是對的，$0\le {{a}_{1}}\le 2$，感謝

作者: thepiano 時間: 2020-5-31 21:06 標題: 回復 19# anyway13 的帖子

填充第 11 題
g(x) = f(x) - 1 是奇函數

作者: anyway13 時間: 2020-5-31 21:08 標題: 謝謝鋼琴老師

po上去後才發現自己哪裡計算錯

鋼琴老師是對的

作者: jojowang 時間: 2020-5-31 21:11

分享一下

填充12 我定(x,y,z)是空間座標然後因為齊次所以使用極座標化
原式的y出現比較多所以定成
y=r*cosA
x=r*sinAcosB
z=r*sinAsinB

原式變成sinAcosBcosA+2cosAsinAsinB=cosAsinA*(cosB+2sinB) 小於等於(根號5)/2

ㄚㄚ我這題寫錯了

[ 本帖最後由 jojowang 於 2020-5-31 21:18 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2020-5-31 21:13 標題: 回復 11# Almighty 的帖子

第6題
變異數的部份，利用遞迴
$\begin{align}
& {{p}_{1}}=0,{{p}_{2}}=\frac{1}{4} \\
& {{p}_{n}}=\frac{1}{2}{{p}_{n-1}}+\frac{1}{4}{{p}_{n-2}} \\
\end{align}$
再加上”電腦”，可求出$E\left( {{X}^{2}} \right)=58$，進而求出$Var\left( X \right)$

作者: thepiano 時間: 2020-5-31 21:14

引用:

原帖由 anyway13 於 2020-5-31 21:08 發表
po上去後才發現自己哪裡計算錯

鋼琴老師是對的

感謝，終於對了 1 題

作者: thepiano 時間: 2020-5-31 21:16 標題: 回復 1# Superconan 的帖子

答案修正版如下，請參考
http://www.shiner.idv.tw/teachers/download/file.php?id=3198

作者: 王重鈞 時間: 2020-5-31 22:32 標題: #潛水路過回覆第六題

附註an代表第n次出現第一次連續兩個反面的機率

[ 本帖最後由王重鈞於 2020-5-31 22:34 編輯 ]

圖片附件: 47ED3B3D-4DFF-4DD1-A741-0C5D213823B0.jpeg (2020-5-31 22:32, 153.82 KB) / 該附件被下載次數 2418
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圖片附件: CA52207C-A81C-4DE9-93F5-AA5EF7CEABAC.jpeg (2020-5-31 22:32, 204.84 KB) / 該附件被下載次數 3138
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5488&k=0b5d8882f1f02faf7cea33bf04ac09b2&t=1713606101

圖片附件: D17FE549-3CD2-4E3E-B14A-FD3DE9C2DD4F.jpeg (2020-5-31 22:32, 153.82 KB) / 該附件被下載次數 2443
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5489&k=5c35923f19b36d2cfe65cdf8b90cb278&t=1713606101

作者: jasonmv6124 時間: 2020-5-31 23:08 標題: 回復 22# thepiano 的帖子

請問這個遞迴要怎麼解讀呢?

作者: yi4012 時間: 2020-6-1 09:04 標題: 回復 15# yi4012 的帖子

補充一下
AN=1/2*(A(N-1)-1)^2+3/2
可以知道考慮0~2
所以0<A1<2，1.5<A2<2，13/8<A3<2............
3/2=1+1/2，13/8=1+1/2+1/8，217/128=1+1/2+1/8+1/16+1/128
所以知道AN>1+1/2+1/8+1/16+1/128+.........>1+1/2+1/16+1/128=11/7
(扣除最開頭的1，後面公比為1/8)
可知道AN有上下限，接著考慮遞增或遞減，很容易
2AN-2A(N-1)=[A(n-1)-2]^2遞增
所以遞增又有上限，所以此範圍收斂
考慮比0小或比2大可以歸納出AN>2
可是因為屬於遞增又沒有上限，所以發散
以上為理解方面，分享一下

作者: z78569 時間: 2020-6-1 10:05 標題: 想請教填充7的答案是哪個

請問是-根號3還是-(根號3/3)

作者: thepiano 時間: 2020-6-1 10:15 標題: 回復 28# z78569 的帖子

填充第7題
答案是$-\frac{\sqrt{3}}{3}$

作者: thepiano 時間: 2020-6-1 10:26 標題: 回復 26# jasonmv6124 的帖子

${{p}_{n}}$代表擲$n$次，才出現連續兩次反面的機率
分成以下兩種情形
(1) 第一次正面，之後再擲$n-1$次，才出現連續兩次反面，機率是$\frac{1}{2}\times {{p}_{n-1}}$
(2) 第一次反面，第二次正面，之後再擲$n-2$次，才出現連續兩次反面，機率是$\frac{1}{4}\times {{p}_{n-2}}$
故${{p}_{n}}=\frac{1}{2}\times {{p}_{n-1}}+\frac{1}{4}\times {{p}_{n-2}}\ \left( n\ge 3 \right)$

作者: firzenf04 時間: 2020-6-1 11:49

算法不知道對不對，不過答案對了XD

圖片附件: 第六題.jpg (2020-6-1 11:49, 82.99 KB) / 該附件被下載次數 2518
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5490&k=ae729353bb57cd854c306ea1c204f9ac&t=1713606101

作者: 王重鈞 時間: 2020-6-1 11:56 標題: #重新寫成一張完整的第六題詳解分享

淺見供參考（我重新寫了一張更完整的）
另外有老師提供一個很特殊的萬用公式分享給各位老師
https://www.facebook.com/groups/ ... k/1580795985411969/

圖片附件: 60122814-8EE8-4D57-8F7E-79B6CE011267.jpeg (2020-6-1 11:56, 363.01 KB) / 該附件被下載次數 2503
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5491&k=56bdae7ea5365f10add97d4d9b1a8d30&t=1713606101

作者: 王重鈞 時間: 2020-6-1 13:22 標題: 回覆31#

老師解的很棒我早上也寫成另一個方程式分享上來

圖片附件: 05D645E3-4C5A-401B-9E06-8CB445FAB3FC.jpeg (2020-6-1 13:22, 166.41 KB) / 該附件被下載次數 2415
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5492&k=c80ca079e0c405b49c84f3a57e45a181&t=1713606101

作者: Almighty 時間: 2020-6-2 00:31 標題: 回復 31# firzenf04 的帖子

感謝老師的想法提供
搭配統計計算推導概念
很方便處理“連續n次相同面停止”
很喜歡這個步驟處理“類似綜合除法多項式變形"

[ 本帖最後由 Almighty 於 2020-6-2 00:32 編輯 ]

作者: laylay 時間: 2020-6-3 10:28 標題: 填充6.

推廣

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=5500&k=4d5b7a7f41bea88809e2ab7275cff70d&t=1713606101

作者: laylay 時間: 2020-6-3 10:29 標題: 填充6.

推廣

圖片附件: DSC_1704.JPG (2020-6-3 10:29, 5.34 MB) / 該附件被下載次數 2834
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5501&k=f12ada063dfef5224a5de3c499c77b75&t=1713606101

作者: thepiano 時間: 2020-6-3 12:01 標題: 回復 1# Superconan 的帖子

59 分進複試

作者: firzenf04 時間: 2020-6-3 14:13 標題: 回復 11# Almighty 的帖子

想法上不知道有沒有問題

圖片附件: 第六題1.jpg (2020-6-3 14:13, 64.87 KB) / 該附件被下載次數 2340
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5502&k=67c2300e0c5ccb73413bd3dd922ab830&t=1713606101

作者: anyway13 時間: 2020-6-4 16:06 標題: 請問計算一的第二小題

雖然後天就要考全國，可是這題困擾好多天了，麻煩請版上老師指點一下。

[ 本帖最後由 anyway13 於 2020-6-4 16:51 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2020-6-4 17:53 標題: 回復 39# anyway13 的帖子

計算第 1 題
參考一下，http://www.shiner.idv.tw/teachers/download/file.php?id=3196

作者: anyway13 時間: 2020-6-4 19:00 標題: 回復 40# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師

乾淨俐落!

作者: laylay 時間: 2020-6-5 09:53 標題: 計算

3.

圖片附件: DSC_1722~2.JPG (2021-3-3 22:03, 982.88 KB) / 該附件被下載次數 2611
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5777&k=d2cdc1dc592a7d1574fb05cadf37bde3&t=1713606101

作者: plpl69541 時間: 2021-3-1 14:52

引用:

原帖由 anyway13 於 2020-6-4 19:00 發表
謝謝鋼琴老師

乾淨俐落!

想請問各位老師

怎麼知道如果要收斂，則an就得在正負1之間呢? 謝謝

圖片附件: 未命名1.png (2021-3-1 14:52, 32.9 KB) / 該附件被下載次數 2976
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5775&k=84480b6afc02bde1ce83d8f50ec089bf&t=1713606101

作者: thepiano 時間: 2021-3-1 21:45 標題: 回復 43# plpl69541 的帖子

一個數要介於 -1 和 1 之間，它平方後才會愈來愈小

作者: plpl69541 時間: 2021-3-3 02:23

謝謝鋼琴老師
原本糾結是後面有3/2
所以是不會影響的嗎？
感謝各位老師幫忙，謝謝。

作者: tsusy 時間: 2021-3-3 17:59

計算1(a)
令 $ f(x)=\frac{1}{2}x^{2}-x+2 $，則 $ a_{n+1}=f(a_{n}) $

我們先分析三點數列的行為

(1) $ \{a_{n}\} $ 為遞增數列(單調遞增)：$ f(x)-x=\frac{1}{2}(x-2)^{2}\geq0 \Rightarrow x\leq f(x) $ 恆成立，且等號僅在 $ x=2 $ 時發生。

(2)若 $ 0\leq x\leq2 $，$ f(x)-2=\frac{1}{2}x(x-2)\leq0 \Rightarrow0\leq x\leq f(x)\leq2 $。

(3)若 $ \{a_{n}\} $ 收斂於 $ a $，則 $ a=f(a) \Rightarrow a=2 $。

當 $ a_{1}>2 $ 時，則 $ a_{n}\geq a_{1}>2 $，故 $ \{a_{n}\} $ 發散(不能收斂於2，再由(3)得發散) 。

當 $ a_{1}<0 $ 時，則 $ a_{2}=f(a_{1})=f(2-a_{1})\geq2-a_{1}>2 \Rightarrow a_{n+1}\geq a_{2}>2 $，故 $ \{a_{n}\} $ 發散。

當 $ 0\leq a_{1}\leq2 $ 時，$ \{a_{n}\} $ 為遞增數列且有上界 2，故 $ \{a_{n}\} $ 收斂於 2。

作者: plpl69541 時間: 2021-3-5 00:11

引用:

原帖由 tsusy 於 2021-3-3 17:59 發表
計算1(a)
令 $ f(x)=\frac{1}{2}x^{2}-x+2 $，則 $ a_{n+1}=f(a_{n}) $

我們先分析三點數列的行為

(1) $ \{a_{n}\} $ 為遞增數列(單調遞增)：$ f(x)-x=\frac{1}{2}(x-2)^{2}\geq0 \Rightarrow x\leq f(x) $ 恆 ...

謝謝寸絲老師及鋼琴老師！感恩

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