Board logo

標題: 109桃園高中職聯招 [打印本頁]

作者: Superconan    時間: 2020-5-30 14:07     標題: 109桃園高中職聯招

蠻奇怪的,沒有答案

附件: 109試題-數學科.pdf (2020-5-30 14:07, 171.61 KB) / 該附件被下載次數 5277
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5475&k=531766a33c1aa069f647625955ef6041&t=1664598867

附件: 109試卷答案-數學科.pdf (2020-5-30 14:07, 59.29 KB) / 該附件被下載次數 5035
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5476&k=0095c31083a2a6930c76b797a1b71615&t=1664598867
作者: Almighty    時間: 2020-5-30 14:26     標題: 回復 1# Superconan 的帖子

初試收$1200
展現的誠意“參考答案”
作者: bugmens    時間: 2020-5-30 17:54

7.
已知\((1-\sqrt{3})^n=a_n+b_n\sqrt{3}\),其中\(a_n\)、\(b_n\)為整數。則\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{b_n}{a_n}\)的值   

設\((1+\sqrt{2})^n=a_n+b_n\sqrt{2}\),其中\(n,a_n,b_n\)皆為正整數,則\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n}=\)   
老王介紹快一點的方法
100成淵高中,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1128&page=1#pid3470

10.
平面上的\(n\)條直線,最多可以把這個平面劃分成   塊不同的區域。
[公式]
\(C_0^n+C_1^n+C_2^n\)
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid4597

12.
設\(x\)、\(y\)、\(z\)為不全為0的實數,則\(\displaystyle \frac{xy+2yz}{x^2+y^2+z^2}\)的最大值   
奧數教程 高一 第6講 函數的最大值和最小值
100臺北市陽明高中,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1130&page=1#pid3505

計算2.
半圓\(O\)的半徑為1,\(A\)為直徑延長線上的一點,\(OA=2\),\(B\)為半圓上的任一點,以\(AB\)為一邊做等邊三角形\(ABC\),
(a)求\(B\)在何位置時,四邊形\(OACB\)的面積最大?
(b)求此面積的最大值。

\(O\)為半徑為1之半圓的圓心,\(A\)為直徑\(\overline{PQ}\)延長線上一點且\(\overline{OA}=2\),\(B\)為半圓上之任一點,以\(\overline{AB}\)為一邊作正\(\Delta ABC\),試求四邊形\(OACB\)面積的最大值。
104台南二中,https://math.pro/db/thread-2232-1-1.html
作者: thepiano    時間: 2020-5-30 21:09     標題: 回復 1# Superconan 的帖子

小弟隨意寫的答案,有 2 題待解,其餘請參考

http://www.shiner.idv.tw/teachers/download/file.php?id=3189

有錯請指正
作者: 小姑姑    時間: 2020-5-30 21:26     標題: 回復 4# thepiano 的帖子

填充1,
尚有需要注意的:m<=5
所以此題解應該為 -3<m<1
作者: Almighty    時間: 2020-5-30 21:38     標題: 回復 4# thepiano 的帖子

鋼琴大大,想與您確認一些答案
第1題,有大於13的範圍嗎?
考慮x^2=t,是否要先確保t有兩正根
而兩根之和 -(m-5)>0,而考慮m<5

第5題解法如下,答案算出來是1

圖片附件: S__102105130.jpg (2020-5-30 21:38, 140.55 KB) / 該附件被下載次數 2912
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5477&k=c1df7ffd2c5e327bce7efcf531e9fbda&t=1664598867


作者: thepiano    時間: 2020-5-30 21:41     標題: 回復 5# 小姑姑 的帖子

感謝指正,您是對的,我把那個條件寫成 m > 5 了
此題只有 -3 < m < 1
作者: thepiano    時間: 2020-5-30 21:44     標題: 回復 6# Almighty 的帖子

第 5 題
小弟想不到這麼漂亮的拆法,受教了

[ 本帖最後由 thepiano 於 2020-5-30 21:47 編輯 ]
作者: jasonmv6124    時間: 2020-5-30 22:06

請問填充第六題跟計算第三題
作者: thepiano    時間: 2020-5-30 22:55     標題: 回復 9# jasonmv6124 的帖子

填充第 6 題
\(\begin{array}{l}
{E_2} = {E_1} + \frac{1}{2}*1 + \frac{1}{2}\left( {1 + {E_2}} \right) = 2 + 1 + \frac{1}{2}{E_2}\\
{E_2} = 6
\end{array}\)
至於變異數就等高手來解了

計算第 3 題
恰有一個實根,很簡單,就不證了
唯一性證明,請參考 http://www.shiner.idv.tw/teachers/download/file.php?id=3190

[ 本帖最後由 thepiano 於 2020-5-30 23:11 編輯 ]
作者: Almighty    時間: 2020-5-30 23:17     標題: 回復 9# jasonmv6124 的帖子

第6題的期望值
同鋼琴老師的作法

但變異數也是卡著
然後有想試試看能不能循著
相同想法找E(X^2)
但很奇怪就是了

[ 本帖最後由 Almighty 於 2020-5-31 09:05 編輯 ]

圖片附件: FD00E5A8-6692-491A-9EC4-36A42757E7F7.jpeg (2020-5-30 23:18, 111.03 KB) / 該附件被下載次數 1459
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5478&k=0f334a57443331ab8370e2146dbbcd02&t=1664598867


作者: anyway13    時間: 2020-5-31 00:20     標題: 回復 4# thepiano 的帖子

鋼琴老師好

第七題填充,答案是不是應該為-1/(根號三)

圖片附件: [第7題] 107966.jpg (2020-5-31 00:20, 216.12 KB) / 該附件被下載次數 1395
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5480&k=0989b608f57bb8e2d892f89109895357&t=1664598867


作者: thepiano    時間: 2020-5-31 00:26     標題: 回復 12# anyway13 的帖子

抱歉,小弟老花,又一題看反了
作者: swallow7103    時間: 2020-5-31 08:57

Piano老師好~~~

計算第一題  考慮二次函數 \( y=\frac{1}{2}(x-1)^2 + \frac{3}{2} \) 的疊代
\( a_1  \) 的取值範圍只要在0~2就可以了,
我畫了一張圖。

這樣的考慮有問題嗎?

[ 本帖最後由 swallow7103 於 2020-5-31 09:06 編輯 ]

圖片附件: geogebra-export.png (2020-5-31 08:57, 685.02 KB) / 該附件被下載次數 1507
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5481&k=2e697592219a53ef1610a34492435e95&t=1664598867


作者: yi4012    時間: 2020-5-31 11:32     標題: 回復 14# swallow7103 的帖子

採取遞減,因為知道an必為正數
考慮A1>=A2或AN為定植
A2=1/2*A1^2-A1+2<=A1
令A1=A
A^2/2-2A+2<=0
A^2-4A+4小於等於0
A=2

AN=A(N-1)=1/2*A(N-1)平方-A(N-1)+2
所以AN-1=2+>A2=2
A1=0或2

之後就不會了,不過從圖片可知道在0~2之間是收斂

[ 本帖最後由 yi4012 於 2020-5-31 11:46 編輯 ]

圖片附件: 02.JPG (2020-5-31 11:46, 114.14 KB) / 該附件被下載次數 1364
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5483&k=bbb1500ec7fed59dfeec6e2b70325a5f&t=1664598867


作者: swallow7103    時間: 2020-5-31 11:53

回樓上  

我用Excel做了一些實驗
在嘗試不同初始值 1, 0.6, 1.4, ...等 都會收斂到2
初始值用2.1 大概到第二十幾項就破千惹...

大家再討論看看!

[ 本帖最後由 swallow7103 於 2020-5-31 18:03 編輯 ]

附件: 109桃聯 計算一.rar (2020-5-31 18:03, 13.55 KB) / 該附件被下載次數 1616
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5485&k=f567254e3117aa0f404d476bfd57b766&t=1664598867
作者: Ellipse    時間: 2020-5-31 18:12

引用:
原帖由 jasonmv6124 於 2020-5-30 22:06 發表
請問填充第六題跟計算第三題
填充六:
第一小題也跟賭徒問題有關:
所求=2^(n+1)-2=8-2=6 (n表示連續兩次反面)
作者: thepiano    時間: 2020-5-31 21:03     標題: 回復 14# swallow7103 的帖子

您是對的,\(0\le {{a}_{1}}\le 2\),感謝
作者: thepiano    時間: 2020-5-31 21:06     標題: 回復 19# anyway13 的帖子

填充第 11 題
g(x) = f(x) - 1 是奇函數
作者: anyway13    時間: 2020-5-31 21:08     標題: 謝謝鋼琴老師

po上去後才發現自己哪裡計算錯

鋼琴老師是對的
作者: jojowang    時間: 2020-5-31 21:11

分享一下

填充12 我定(x,y,z)是空間座標 然後因為齊次所以使用極座標化
原式的y出現比較多 所以定成
y=r*cosA
x=r*sinAcosB
z=r*sinAsinB

原式變成sinAcosBcosA+2cosAsinAsinB=cosAsinA*(cosB+2sinB) 小於等於(根號5)/2

ㄚㄚ 我這題寫錯了

[ 本帖最後由 jojowang 於 2020-5-31 21:18 編輯 ]
作者: thepiano    時間: 2020-5-31 21:13     標題: 回復 11# Almighty 的帖子

第6題
變異數的部份,利用遞迴
\(\begin{align}
  & {{p}_{1}}=0,{{p}_{2}}=\frac{1}{4} \\
& {{p}_{n}}=\frac{1}{2}{{p}_{n-1}}+\frac{1}{4}{{p}_{n-2}} \\
\end{align}\)
再加上”電腦”,可求出\(E\left( {{X}^{2}} \right)=58\),進而求出\(Var\left( X \right)\)
作者: thepiano    時間: 2020-5-31 21:14

引用:
原帖由 anyway13 於 2020-5-31 21:08 發表
po上去後才發現自己哪裡計算錯

鋼琴老師是對的
感謝,終於對了 1 題
作者: thepiano    時間: 2020-5-31 21:16     標題: 回復 1# Superconan 的帖子

答案修正版如下,請參考
http://www.shiner.idv.tw/teachers/download/file.php?id=3198
作者: 王重鈞    時間: 2020-5-31 22:32     標題: #潛水路過 回覆第六題

附註an代表第n次出現第一次連續兩個反面的機率

[ 本帖最後由 王重鈞 於 2020-5-31 22:34 編輯 ]

圖片附件: 47ED3B3D-4DFF-4DD1-A741-0C5D213823B0.jpeg (2020-5-31 22:32, 153.82 KB) / 該附件被下載次數 1279
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5487&k=616c9bc4e78957fa3ae6fbe294d61bee&t=1664598867



圖片附件: CA52207C-A81C-4DE9-93F5-AA5EF7CEABAC.jpeg (2020-5-31 22:32, 204.84 KB) / 該附件被下載次數 1723
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5488&k=0ff91c4af16bddd33135d6b6dc0f250b&t=1664598867



圖片附件: D17FE549-3CD2-4E3E-B14A-FD3DE9C2DD4F.jpeg (2020-5-31 22:32, 153.82 KB) / 該附件被下載次數 1320
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5489&k=24e23a17bdac9dcd7e42e08da34db85e&t=1664598867


作者: jasonmv6124    時間: 2020-5-31 23:08     標題: 回復 22# thepiano 的帖子

請問這個遞迴要怎麼解讀呢?
作者: yi4012    時間: 2020-6-1 09:04     標題: 回復 15# yi4012 的帖子

補充一下
AN=1/2*(A(N-1)-1)^2+3/2
可以知道考慮0~2
所以0<A1<2,1.5<A2<2,13/8<A3<2............
3/2=1+1/2,13/8=1+1/2+1/8,217/128=1+1/2+1/8+1/16+1/128
所以知道AN>1+1/2+1/8+1/16+1/128+.........>1+1/2+1/16+1/128=11/7
(扣除最開頭的1,後面公比為1/8)
可知道AN有上下限,接著考慮遞增或遞減,很容易
2AN-2A(N-1)=[A(n-1)-2]^2遞增
所以遞增又有上限,所以此範圍收斂
考慮比0小或比2大可以歸納出AN>2
可是因為屬於遞增又沒有上限,所以發散
以上為理解方面,分享一下
作者: z78569    時間: 2020-6-1 10:05     標題: 想請教填充7的答案是哪個

請問是-根號3還是-(根號3/3)
作者: thepiano    時間: 2020-6-1 10:15     標題: 回復 28# z78569 的帖子

填充第7題
答案是\(-\frac{\sqrt{3}}{3}\)
作者: thepiano    時間: 2020-6-1 10:26     標題: 回復 26# jasonmv6124 的帖子

\({{p}_{n}}\)代表擲\(n\)次,才出現連續兩次反面的機率
分成以下兩種情形
(1) 第一次正面,之後再擲\(n-1\)次,才出現連續兩次反面,機率是\(\frac{1}{2}\times {{p}_{n-1}}\)
(2) 第一次反面,第二次正面,之後再擲\(n-2\)次,才出現連續兩次反面,機率是\(\frac{1}{4}\times {{p}_{n-2}}\)
故\({{p}_{n}}=\frac{1}{2}\times {{p}_{n-1}}+\frac{1}{4}\times {{p}_{n-2}}\ \left( n\ge 3 \right)\)
作者: firzenf04    時間: 2020-6-1 11:49

算法不知道對不對,不過答案對了XD

圖片附件: 第六題.jpg (2020-6-1 11:49, 82.99 KB) / 該附件被下載次數 1374
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5490&k=c674e906089f06856c7e330e7adc2c73&t=1664598867


作者: 王重鈞    時間: 2020-6-1 11:56     標題: #重新寫成一張完整的第六題詳解分享

淺見供參考(我重新寫了一張更完整的)
另外有老師提供一個很特殊的萬用公式分享給各位老師
https://www.facebook.com/groups/ ... k/1580795985411969/

圖片附件: 60122814-8EE8-4D57-8F7E-79B6CE011267.jpeg (2020-6-1 11:56, 363.01 KB) / 該附件被下載次數 1316
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5491&k=fabccbaa055c00d5b8a4fecfadd231fb&t=1664598867


作者: 王重鈞    時間: 2020-6-1 13:22     標題: 回覆31#

老師解的很棒 我早上也寫成另一個方程式 分享上來

圖片附件: 05D645E3-4C5A-401B-9E06-8CB445FAB3FC.jpeg (2020-6-1 13:22, 166.41 KB) / 該附件被下載次數 1273
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5492&k=fee3d1f06ae2426de03092c7d1420457&t=1664598867


作者: Almighty    時間: 2020-6-2 00:31     標題: 回復 31# firzenf04 的帖子

感謝老師的想法提供
搭配統計計算推導概念
很方便處理“連續n次相同面停止”
很喜歡這個步驟處理“類似綜合除法多項式變形"

[ 本帖最後由 Almighty 於 2020-6-2 00:32 編輯 ]
作者: laylay    時間: 2020-6-3 10:28     標題: 填充6.

推廣

圖片附件: DSC_1703.JPG (2020-6-3 10:28, 5.24 MB) / 該附件被下載次數 1591
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5500&k=79bc54ec2e2aee13e3f97dde6df5a215&t=1664598867


作者: laylay    時間: 2020-6-3 10:29     標題: 填充6.

推廣

圖片附件: DSC_1704.JPG (2020-6-3 10:29, 5.34 MB) / 該附件被下載次數 1601
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5501&k=906cd56da98b909180e3e605e87ff53f&t=1664598867


作者: thepiano    時間: 2020-6-3 12:01     標題: 回復 1# Superconan 的帖子

59 分進複試
作者: firzenf04    時間: 2020-6-3 14:13     標題: 回復 11# Almighty 的帖子

想法上不知道有沒有問題

圖片附件: 第六題1.jpg (2020-6-3 14:13, 64.87 KB) / 該附件被下載次數 1253
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5502&k=b8de6fb4c99e6567a1d7bfdb3106c3c2&t=1664598867


作者: anyway13    時間: 2020-6-4 16:06     標題: 請問計算一的第二小題

雖然後天就要考全國,可是這題困擾好多天了,麻煩請版上老師指點一下。

[ 本帖最後由 anyway13 於 2020-6-4 16:51 編輯 ]
作者: thepiano    時間: 2020-6-4 17:53     標題: 回復 39# anyway13 的帖子

計算第 1 題
參考一下,http://www.shiner.idv.tw/teachers/download/file.php?id=3196
作者: anyway13    時間: 2020-6-4 19:00     標題: 回復 40# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師

乾淨俐落!
作者: laylay    時間: 2020-6-5 09:53     標題: 計算

3.

圖片附件: DSC_1722~2.JPG (2021-3-3 22:03, 982.88 KB) / 該附件被下載次數 1290
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5777&k=27270171095013e7a8deae347babd737&t=1664598867


作者: plpl69541    時間: 2021-3-1 14:52

引用:
原帖由 anyway13 於 2020-6-4 19:00 發表
謝謝鋼琴老師

乾淨俐落!
想請問各位老師

怎麼知道如果要收斂,則an就得在正負1之間呢? 謝謝

圖片附件: 未命名1.png (2021-3-1 14:52, 32.9 KB) / 該附件被下載次數 1464
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5775&k=a78870107f45366d9c283066bc99420d&t=1664598867


作者: thepiano    時間: 2021-3-1 21:45     標題: 回復 43# plpl69541 的帖子

一個數要介於 -1 和 1 之間,它平方後才會愈來愈小
作者: plpl69541    時間: 2021-3-3 02:23

謝謝鋼琴老師
原本糾結是後面有3/2
所以是不會影響的嗎?
感謝各位老師幫忙,謝謝。
作者: tsusy    時間: 2021-3-3 17:59

計算1(a)
令 \( f(x)=\frac{1}{2}x^{2}-x+2 \),則 \( a_{n+1}=f(a_{n}) \)

我們先分析三點數列的行為

(1) \( \{a_{n}\} \) 為遞增數列(單調遞增):\( f(x)-x=\frac{1}{2}(x-2)^{2}\geq0 \Rightarrow x\leq f(x) \) 恆成立,且等號僅在 \( x=2 \) 時發生。

(2)若 \( 0\leq x\leq2 \),\( f(x)-2=\frac{1}{2}x(x-2)\leq0 \Rightarrow0\leq x\leq f(x)\leq2 \)。

(3)若 \( \{a_{n}\} \) 收斂於 \( a \),則 \( a=f(a) \Rightarrow a=2 \)。

當 \( a_{1}>2 \) 時,則 \( a_{n}\geq a_{1}>2 \),故 \( \{a_{n}\} \) 發散(不能收斂於2,再由(3)得發散) 。

當 \( a_{1}<0 \) 時,則 \( a_{2}=f(a_{1})=f(2-a_{1})\geq2-a_{1}>2 \Rightarrow a_{n+1}\geq a_{2}>2 \),故 \( \{a_{n}\}  \) 發散。

當 \( 0\leq a_{1}\leq2 \) 時,\( \{a_{n}\} \) 為遞增數列且有上界 2,故 \( \{a_{n}\} \) 收斂於 2。
作者: plpl69541    時間: 2021-3-5 00:11

引用:
原帖由 tsusy 於 2021-3-3 17:59 發表
計算1(a)
令 \( f(x)=\frac{1}{2}x^{2}-x+2 \),則 \( a_{n+1}=f(a_{n}) \)

我們先分析三點數列的行為

(1) \( \{a_{n}\} \) 為遞增數列(單調遞增):\( f(x)-x=\frac{1}{2}(x-2)^{2}\geq0 \Rightarrow x\leq f(x) \) 恆 ...
謝謝寸絲老師及鋼琴老師!感恩




歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/) 論壇程式使用 Discuz! 6.1.0