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標題: 109竹科實中 [打印本頁]

作者: Almighty 時間: 2020-4-18 17:08 標題: 109竹科實中

提供給老師們參考
若有誤再請指教更正
===============
感謝其他老師的協助編輯
也把手稿圖片刪除，方便觀看
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複試階段錄取分數：63

[ 本帖最後由 Almighty 於 2020-4-25 12:11 編輯 ]

附件: 高中數學科填充題試題(公告版).pdf (2020-4-20 11:39, 589.21 KB) / 該附件被下載次數 11483
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附件: 高中數學科填充題解答(公告版).pdf (2020-4-20 11:39, 273.21 KB) / 該附件被下載次數 9671
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作者: Almighty 時間: 2020-4-18 19:35 標題: 回復 2# czk0622 的帖子

計算第二題，題目沒有特別明說Ｐ點在哪裡唷！！！
（應該需要老師們自行判斷，然後結論就是．．．）
感謝 #czk0622 老師的電子版本
能否借我放在第一個介面
方便其他老師點進來即可看到（參考）

[ 本帖最後由 Almighty 於 2020-4-18 19:39 編輯 ]

作者: Ellipse 時間: 2020-4-18 20:59

引用:

原帖由 Almighty 於 2020-4-18 19:35 發表
計算第二題，題目沒有特別明說Ｐ點在哪裡唷！！！
（應該需要老師們自行判斷，然後結論就是．．．）
感謝 #czk0622 老師的電子版本
能否借我放在第一個介面
方便其他老師點進來即可看到（參考） ...

計算二:
這樣就要分P點在三角形的
(1)內部 (2)外部討論

作者: czk0622 時間: 2020-4-18 21:24

確實有兩個狀況

圖片附件: 1.png (2020-4-18 21:24, 52.41 KB) / 該附件被下載次數 6651
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作者: Ellipse 時間: 2020-4-18 23:12

引用:

原帖由 czk0622 於 2020-4-18 19:12 發表
整理後的 pdf 版

填7:
如果記憶版沒有抄錯的話,就是一題有爭議的考古題(106南二中)
畫出兩圖形後,有4個交點.....AB到底是哪兩點連線?

這樣有問題的考古題,為什麼又要再出現?

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2020-4-18 23:16 編輯 ]

作者: Almighty 時間: 2020-4-19 01:28 標題: 回復 7# Ellipse 的帖子

但會不會因為透過給定的長度而限制A、B兩點的選擇
當然或許可以產生其他數據滿足所限定的長度

作者: Ellipse 時間: 2020-4-19 07:45

引用:

原帖由 Almighty 於 2020-4-19 01:28 發表
但會不會因為透過給定的長度而限制A、B兩點的選擇
當然或許可以產生其他數據滿足所限定的長度

其他數據恐怕用手算是算不出來的~

作者: bugmens 時間: 2020-4-19 14:08

3.
已知方程式\(x^5-x^4-x^3-x^2-x-3=0\)的五個根分別為 \(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)、\(e\)，求\(a^5+b^5+c^5+d^5+e^5\)的值為。
[速解法]
令\(f(x)=x^5-x^4-x^3-x^2-x-3\)，\(f'(x)=5x^4-4x^3-3x^2-2x-1\)
用長除法算\(\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}\)

數學傳播第七卷第四期，林文東,一元n次方程式根的同次冪之和的求法
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=2#pid2434可下載文章

4.
在1781 年，日本藤田貞資於《精要算法》中提出所謂「蟲蝕算」這種填字遊戲。顧名思義，蟲蝕算遊戲就是將算式中打□被蟲損傷的地方，根據算術或代數推理手段恢復原來的數字使等式成立。下圖是一道稱為〈一個8〉的蟲蝕算遊戲：
試問：這道遊戲的最後四個數字為　　　。
(108新北市高中聯招，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3133&page=6#pid19979)

設\(p,q\)為實數使得\(x^3+3x^2+px-q=0\)的三根成等差數列，且同時使得\(x^3+(2-p)x^2-(q+3)x-8=0\)的三根成等比數列，則數對\((p,q)\)為　　　。
(108新北市高中聯招，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3133&page=1#pid19889)

6.
設\( \displaystyle p=\sqrt{1^2+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1^2+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\sqrt{1^2+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}+...+\sqrt{1^2+\frac{1}{2019^2}+\frac{1}{2020^2}} \)，則與\(p\)最接近之正整數為　　　。
[提示]
看題目寫答案\(\displaystyle 2020-\frac{1}{2020}\)，最接近整數2020
(我的教甄準備之路　裂項相消，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678)

10.
已知空間中有一個四面體的四個頂點分別為\(A(0,0,1),B(2,4,0),C(0,0,0),D(4,2,0)\)，平面\(E\)通過\(A\)點與\(\overline{BD}\)中點且與\(\overline{BC}\)有交點。若平面\(E\)將此四面體分成兩塊，其中一塊的體積為原四面體的\(\displaystyle \frac{1}{3}\)，求\(E\)的方程式為　　　。
(98高中數學能力競賽　台中區複試試題，weiye解題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=911&page=1#pid1943)
(99全國高中聯招，https://math.pro/db/thread-978-1-1.html)

作者: jasonmv6124 時間: 2020-4-19 21:27

請問計算第四題的答案是x^2/2+y^2=1嗎?
另外計算第三題是單純考計算嗎?

作者: Ellipse 時間: 2020-4-19 21:53

引用:

原帖由 jasonmv6124 於 2020-4-19 21:27 發表
請問計算第四題的答案是x^2/2+y^2=1嗎?
另外計算第三題是單純考計算嗎?

計三:考"微積分基本定理"

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2020-4-20 08:55 編輯 ]

作者: jasonmv6124 時間: 2020-4-19 22:39 標題: 回復 12# Ellipse 的帖子

請問第四題是怎麼算的呢?

作者: Ellipse 時間: 2020-4-19 23:05

引用:

原帖由 jasonmv6124 於 2020-4-19 22:39 發表
請問第四題是怎麼算的呢?

假設P(x,y), A( x, [(4-x²)/2 ]^0.5 )  , B( x, -[(4-x²)/2 ]^0.5 )
PA*PB=| y- [(4-x²)/2 ]^0.5 |*|y+ [(4-x²)/2 ]^0.5| =1 ,
y²- (4-x²)/2 =1  ,得x²/6 +y²/3=1 (-2<x<2)
或y²- (4-x²)/2 = -1 ,得x²/2 +y²/1=1
(註:漏了一個答案,感謝年獸的提醒)

補圖一下~~

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2020-4-20 08:57 編輯 ]

圖片附件: 109竹科實中計算4c.gif (2020-4-19 23:11, 1.39 MB) / 該附件被下載次數 3568
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5406&k=0b3acfc0282a9777e5bb8eeae6053226&t=1732275371

作者: jasonmv6124 時間: 2020-4-19 23:11 標題: 回復 14# Ellipse 的帖子

謝謝你我計算錯了
範圍要限制住這點我倒是沒注意到

作者: Almighty 時間: 2020-4-19 23:53 標題: 回復 14# Ellipse 的帖子

想請問老師，有什麼方法可以知道
P點會落在橢圓內部，或是外部？
用了算幾檢測～但好像也不能確定說
P點應在外部之類的

[ 本帖最後由 Almighty 於 2020-4-19 23:55 編輯 ]

圖片附件: S__99278851.jpg (2020-4-19 23:55, 173.26 KB) / 該附件被下載次數 3220
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作者: 年獸 時間: 2020-4-20 07:24 標題: 回復 15# jasonmv6124 的帖子

也回 16#
你沒算錯，答案有兩組
14# 直接把絕對值拆掉忘了加正負
加上正負號之後答案就是
x^2+2y^2=6 v 2
根據算幾會發現的確 P 點可以在橢圓內

作者: royan0837 時間: 2020-4-20 09:08

請教計算1

作者: czk0622 時間: 2020-4-20 09:21 標題: 回復 18# royan0837 的帖子

計算1
\((\sqrt{3}+i)^{m}=2^{m}(\cos{\pi/6}+i\sin(\pi/6))^{m}=2^{m}(\cos{m\pi/6}+i\sin(m\pi/6))\)
\((1+i)^{n}=2^{n/2}(\cos{\pi/4}+i\sin(\pi/4))^{n}=2^{n/2}(\cos{n\pi/4}+i\sin(n\pi/4))\)
因此 \( 2^{m}=2^{n/2}，\frac{n\pi}{4}+2k\pi=\frac{m\pi}{6} ,k \in N\)
整理得到 \(n=2m,m=6k,n=12k,k \in N\)

[ 本帖最後由 czk0622 於 2020-4-20 09:23 編輯 ]

作者: Ellipse 時間: 2020-4-20 11:39

引用:

原帖由 Almighty 於 2020-4-19 01:28 發表
但會不會因為透過給定的長度而限制A、B兩點的選擇
當然或許可以產生其他數據滿足所限定的長度

學校已經公告填7答案:4096
但很明顯的正確答案不只有一個
所以請考生去寫"試題疑義申請表"
請學校回覆結果

作者: son249 時間: 2020-4-20 17:52 標題: 請回推106南二中試題

laylay當時就寫的很好，我也去南二中反應過，但最後學校不送分。不過錯就是錯，看實驗高中如何決定了。

作者: kyle12312 時間: 2020-4-22 14:17

填充二他給的答案是不是有把0討論進去
答案一直算98652

[ 本帖最後由 kyle12312 於 2020-4-23 14:33 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2020-4-22 15:21 標題: 回復 20# kyle12312 的帖子

當然要包含數字 0
題目中的正整數是指整個五位數

[ 本帖最後由 thepiano 於 2020-4-22 15:23 編輯 ]

作者: kyle12312 時間: 2020-4-22 16:15 標題: 回復 21# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師指教!
想請問一下填充9 有沒有其他算法
填充10 解出兩個答案
第九題圖上更正a-c=-1 b-d=-2

[ 本帖最後由 kyle12312 於 2020-4-22 16:22 編輯 ]

圖片附件: 5343.jpg (2020-4-22 16:15, 93.42 KB) / 該附件被下載次數 3779
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5422&k=4245a13b4a868e144fa909c3b620020d&t=1732275371

作者: thepiano 時間: 2020-4-22 18:11 標題: 回復 22# kyle12312 的帖子

第 9 題
另解 http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=29100#p29100

作者: thepiano 時間: 2020-4-22 21:03 標題: 回復 22# kyle12312 的帖子

填充第 10 題
原四面體體積應是 2

作者: kyle12312 時間: 2020-4-22 23:29 標題: 回復 24# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師指教，大感謝

作者: 5pn3gp6 時間: 2020-4-24 14:49 標題: 回復 12# Ellipse 的帖子

不好意思，想請問一下這一題，
題目是否有要求 P點在 L 上？
看了大家的解法，好像大家都直接把P當作是L上的一點
可是我看釋出的試題，好像沒有說這個條件？

作者: Ellipse 時間: 2020-4-24 16:50

引用:

原帖由 5pn3gp6 於 2020-4-24 14:49 發表
不好意思，想請問一下這一題，
題目是否有要求 P點在 L 上？
看了大家的解法，好像大家都直接把P當作是L上的一點
可是我看釋出的試題，好像沒有說這個條件？ ...

官方沒釋出計算題題目,目前所看到的計算題是考生記憶版
一開始用手寫時有寫P點在L上,後來改成電子檔就沒有寫到這句話
之前討論都是依據當初手寫給的資訊來解題
至於 "P點有沒有在 L上" 那就要問有去考的考生了~

作者: 5pn3gp6 時間: 2020-4-24 17:40 標題: 回復 27# Ellipse 的帖子

非常感謝! 想說怎麼算不出來
　
如果Ｐ點沒在Ｌ上，那應該是算不出來，
用GGB跑出來是這種圖形...... 才想說怎麼跟我看到的不一樣

[ 本帖最後由 5pn3gp6 於 2020-4-24 17:41 編輯 ]

圖片附件: 軌跡.png (2020-4-24 17:41, 467.79 KB) / 該附件被下載次數 4506
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5426&k=cde841921389b1a82374ce7f135679e8&t=1732275371

作者: 小姑姑 時間: 2020-4-25 07:00 標題: 請教計算2的詳解過程

請教計算2的詳解過程，謝謝。

作者: thepiano 時間: 2020-4-25 08:41 標題: 回復 29# 小姑姑的帖子

計算第 2 題
一般是用旋轉來做
這題的 P 點在邊上時，邊長是 8
在正三角形外時，答案是 √19

[ 本帖最後由 thepiano 於 2020-4-25 08:48 編輯 ]

作者: martinofncku 時間: 2020-4-25 11:33

請問老師填充題 5. & 7.

作者: Almighty 時間: 2020-4-25 12:13

計算4的P點有說在直線Ｌ上
編輯電子檔的時候有疏失
（檔案已經更正補上條件）

作者: Almighty 時間: 2020-4-25 12:16 標題: 回復 31# martinofncku 的帖子

第5題
可知對稱軸x=-2
y軸上的點
再利用根與係數即可

第7題題目有誤，但就沒有提出疑慮爭取送分了
但一般常見題形是給定的函數會是偶函數
則可知交點x座標再代入即可
（這題問題就是．．．他的交點不只兩個

作者: Uukuokuo 時間: 2020-5-11 11:40 標題: 回復 17# czk0622 的帖子

請問k的條件為什麼是正整數，
可否為0或負整數??

作者: Uukuokuo 時間: 2020-5-11 12:41

想請教填充8

作者: tsusy 時間: 2020-5-11 14:47 標題: 回復 35# Uukuokuo 的帖子

填充8：先弄微積分，有沒有純中學方法再想想

令 \( x=3\tan\theta, 0\leq\theta<\frac{\pi}{2} \)

則 \( f(x)=7\sec\theta-2\tan\theta \)

\( \frac{d}{d\theta}(7\sec\theta-2\tan\theta)=7\tan\theta\sec\theta-2\sec^{2}\theta=\frac{7\sin\theta-2}{\cos^{2}\theta} \)

當 \( 0\leq\theta<\sin^{-1}\frac{2}{7} \) 時，\( \frac{7\sin\theta-2}{\cos^{2}\theta}<0 \)；

當 \( \sin^{-1}\frac{2}{7}\leq\theta<\frac{\pi}{2} \) 時，\( \frac{7\sin\theta-2}{\cos^{2}\theta}>0 \)，

故 \( 7\sec\theta-2\tan\theta \) 在 \( 0\leq\theta<\frac{\pi}{2} \) 中，以 \( \theta=\sin^{-1}\frac{2}{7} \) 時，有最小值，

此時 \( x=3\tan\left(\sin^{-1}\frac{2}{7}\right)=3\cdot\frac{2}{\sqrt{7^{2}-2^{2}}}=\frac{2}{\sqrt{5}} \)

作者: XINHAN 時間: 2020-5-11 19:04 標題: 回復 36# tsusy 的帖子

寸絲老師好
剛剛我用了別的方式有得出正解，想說丟出來讓大家檢視看看。
-
使\(7\sqrt{9+x^2}-2x=a\) (a為最小值，且存在)
將\(2x\)移至等號右邊，再兩邊平方，因要有解，所以判別式要 \geq 0
可得\(a \geq 9\sqrt{5}\)
再把\(a=9\sqrt{5}\)帶回去解\(x\)得出\(\displaystyle \frac{2\sqrt{5}}{5}\)
-
還不會怎麼在論壇打方程式，故先以我平常打latex的方式代替，還請見諒 > <
有覺得怪怪的地方，所以想說丟出來問問看。

109.5.11版主補充
latex數學式子再加上\(和\)

作者: Ellipse 時間: 2020-5-11 22:13

引用:

原帖由 Uukuokuo 於 2020-5-11 12:41 發表
想請教填充8

試了幾個方法,發現微分還是比較快
法1:微分法
令g(x)=7√ (9+x²) /3 , h(x)=(2/3)x
解g '(x)=(7x)/ [3√ (9+x²) ] =2/3 ,得x=2/(√ 5) ( -2/(√ 5) 不合）
當x=2/(√ 5)時,所求有最小值
註:必須要說明當x>0時,g(x)為凹口向上函數

法2:橢圓切線(斜率）

法3:判別式

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2020-5-11 22:31 編輯 ]

作者: enlighten 時間: 2020-7-15 22:13 標題: 回復 30# thepiano 的帖子

請問有詳細一點的過程嗎?

作者: thepiano 時間: 2020-7-16 00:07 標題: 回復 39# enlighten 的帖子

計算第 2 題
參考 102 基隆高中的第 8 題
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=3058

作者: nanpolend 時間: 2020-7-26 21:55 標題: 回復 8# bugmens 的帖子

請教一下填充第3題
林文東那篇數學傳播找不到
還有長除法怎求得41?

作者: tsusy 時間: 2020-7-28 21:30 標題: 回復 41# nanpolend 的帖子

bugmens 的連結帖子裡有檔案

數學傳播那篇我也找了一下，沒有放電子檔

Google 一下關鍵字，又有一篇

多項式根冪次和的新解法 https://web.math.sinica.edu.tw/math_media/d233/23309.pdf

看這網址，應該也是數學傳播吧 (啊~~~發現其實 bugmens 大也有提到這一篇)

方法是很漂亮可以看看，但證明或原理的部分應該要自己好好做一做、想清楚

[ 本帖最後由 tsusy 於 2020-7-28 21:41 編輯 ]

作者: nanpolend 時間: 2020-7-30 21:55 標題: 回復 42# tsusy 的帖子

感謝寸絲老師

圖片附件: 15961172674192079782390~2.jpg (2020-8-2 22:05, 1.6 MB) / 該附件被下載次數 3584
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5602&k=b5e7ef2f4df8dd25f56b00240a1320d0&t=1732275371

作者: nanpolend 時間: 2020-8-2 14:47 標題: 回復 1# Almighty 的帖子

請教一下填充第2題遞降數

作者: koeagle 時間: 2020-8-3 23:18 標題: 回復 44# nanpolend 的帖子

4_ _ _ _ ：\( C^{4}_{4} = 1 \) 5 _ _ _ _ ：\( C^{5}_{4} = 5 \)
6_ _ _ _ ：\( C^{6}_{4} = 15 \) 7 _ _ _ _ ：\( C^{7}_{4} = 35 \)
8_ _ _ _ ：\( C^{8}_{4} = 70 \) 8 7 6 _ _ ：\( C^{6}_{2} = 15 (126 - 15 = 111) \)
第111個數：87543 , 第110個數：87542 , 第109個數：87541

作者: nanpolend 時間: 2020-8-4 15:57 標題: 回復 45# koeagle 的帖子

感謝解答

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