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標題: 108全國高中聯招 [打印本頁]

作者: bugmens 時間: 2019-5-11 12:11 標題: 108全國高中聯招

　

附件: 108全國高中聯招.pdf (2019-5-11 12:11, 423.84 KB) / 該附件被下載次數 17834
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5033&k=e143656af13856ed7c41a9d20bf4d304&t=1732235339

作者: bugmens 時間: 2019-5-11 12:12

3.
矩形\(ABCD\)中，\(\overline{AB}=4\)，\(\overline{BC}=3\)，沿\(\overline{AC}\)將矩形\(ABCD\)折成一個直二面角\(B-\overline{AC}-D\)，則四面體\(ABCD\)的外接球的體積為？
(A)\(\displaystyle \frac{125}{12}\pi\)　(B)\(\displaystyle \frac{125}{9}\pi\)　(C)\(\displaystyle \frac{125}{6}\pi\)　(D)\(\displaystyle \frac{125}{3}\pi\)

4.
一圓周上有10個等分點，從這10個等分點中，選擇4個等分點為頂點構成一個四邊形，則此四邊形為梯形的機率為何？
(A)\(\displaystyle \frac{8}{21}\)　(B)\(\displaystyle \frac{4}{21}\)　(C)\(\displaystyle \frac{1}{3}\)　(D)\(\displaystyle \frac{2}{7}\)

已知一圓周上有12個等分點，從這12個等分點中，任意選4個等分點作為頂點構成一個四邊形，試問此四邊形為梯形的機率為何？
(1)\(\displaystyle \frac{21}{55}\)　(2)\(\displaystyle \frac{56}{165}\)　(3)\(\displaystyle \frac{14}{55}\)　(4)\(\displaystyle \frac{8}{33}\)　(5)\(\displaystyle \frac{12}{55}\)
http://mail2.cjhs.kh.edu.tw/Phys ... AD%B8%E7%A7%911.pdf

10.
職棒明星賽採5戰3勝制，當參賽紅、白兩隊中有一隊贏得3場比賽時，就由該隊獲勝而賽事結束。每場比賽皆須分出勝負，且每場比賽的勝負皆分出勝負，且每場比賽的勝負皆不受之前已賽結果影響。假設紅隊在任一場贏球的機率為定值\(p\)，以\(f(p)\)表實際比賽場數的期望值\((0\le p \le 1)\)，請選出正確的選項：
(A)\(f(p)\)的常數項等於3
(B)\(f(p)\)是\(p\)的5次多項式
(C)函數\(f(p)\)在\(\displaystyle p=\frac{1}{2}\)時有最大值
(D)若紅、白兩隊實力旗鼓相當，則最後比5場結束的機率大於比4場結束的機率

職業棒球季後賽第一輪採五戰三勝制，當參賽甲、乙兩隊中有一隊贏得三場比賽時，就由該隊晉級而賽事結束。每場比賽皆須分出勝負，且每場比賽的勝負皆不受之前已賽結果影響。假設甲隊在任一場贏球的機率為定值\(p\)，以\(f(p)\)表實際比賽場數的期望值(其中\(0\le p \le 1\))，請選出正確的選項：
(A)只須比賽 3 場就產生晉級球隊的機率為\(p^3+(1-p)^3\)
(B)\(f(p)\)是\(p\)的5次多項式
(C)\(f(p)\)的常數項等於3
(D)函數\(f(p)\)在\(\displaystyle p=\frac{1}{2}\)時有最大值
(E)\(\displaystyle f(\frac{1}{4})<f(\frac{4}{5})\)
(103指考數甲)

111.3.20補充
甲乙兩人舉行五戰三勝的比賽(任一人先勝三局比賽就結束)。每一局比賽必有勝負，其中甲勝的機率為\(\displaystyle \frac{2}{3}\)，乙勝的機率為\(\displaystyle \frac{1}{3}\)。問比賽結束時，乙獲勝場次的期望值為　　　。
(110高中數學能力競賽北二區筆試二，https://math.pro/db/thread-3612-1-1.html)

7.
小明在森林中迷了路，若繼續往前走則經過5分鐘後會回到原地，若返回走則有一半的機會於5分鐘後回到原地，另一半的機會於10分鐘後走出森林；假設小明向前走的機率為0.6，問小明能夠走出森林所花費的期望值為？
(A)25　(B)30　(C)40　(D)45　分鐘
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=784&page=1#pid1475

填充題
2.
設\(f(x)=x^3-2x^2+3x-4\)，\(g(x)=x^4-3x^3+5x^2-8x+1\)，且\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\)為\(f(x)=0\)之三根，試求\(g(\alpha)\cdot g(\beta)\cdot g(\gamma)\)之值　　　。

設\( f(x)=x^3+2x^2-3x-1 \)，\( g(x)=x^4+3x^3-x^2-5x+2 \)，且α、β、γ為\( f(x)=0 \)之三根。
(1)試求\( g(\alpha) \cdot g(\beta) \cdot g(\gamma) \)之值。
(2)試求\( \displaystyle \frac{1}{g(\alpha)}+\frac{1}{g(\beta)}+\frac{1}{g(\gamma)} \)之值。
(高雄女中雙週一題，96師大附中，98中崙高中，https://math.pro/db/thread-807-1-1.html)

3.
曲線\(y=-x^2+2x\)與直線\(x+y=0\)圍成封閉區域\(\Gamma\)，求\(\Gamma\)繞\(x\)軸旋轉所成的旋轉體體積=　　　。

求拋物線\(y=-x^2+2x\)與直線\(y=-x\)的圖形所圍成之封閉區域繞\(x\)軸旋轉一圈所得之旋轉體的體積為　　　。
(100桃園高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1144&page=1#pid3652)

4.
已知\(n\in N\)，且\(n<\sqrt{108+\sqrt{108+\sqrt{108+\sqrt{108+\sqrt{108+\sqrt{108+\ldots}}}}}}<n+1\)，則\(n=\)　　　。
http://www.mathchina.net/dvbbs/d ... Id=12561&page=7

設\( [\; x ]\; \)表示不大於x最大整數，例如：\( [\; 3 ]\;=3 \)，\( [\; 2.3 ]\;=2 \)，\( [\; -2.5 ]\;=-3 \)，則
\( \displaystyle \Bigg[\; \sqrt{2010+\sqrt{2010+\sqrt{2010+\sqrt{2010+...+2010}}}} \Bigg]\; \)之值為何？
(其中共有2010個2010)
(建中通訊解題第82期，http://web2.ck.tp.edu.tw/~mathwe ... 30-15&Itemid=37)

證明\(1<\sqrt{2+\root 3 \of{3+\root 4 \of{4+\ldots+\root 1120 \of{1120}}}}<2\)
(104高中數學能力競賽　南區(高雄區)筆試一試題，https://math.pro/db/thread-2466-1-1.html)

5.
已知\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)、\(E\)五人各有一頂不同之帽子﹐除\(A\)外另四人皆記得自己的帽子；重新混合後，依序由\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)、\(E\)去取回一頂帽子。\(A\)任取一頂帽子，另四人若自己的帽子已被取走方可任取其餘帽子中之一頂，則五人取帽子之方法共有　　　種。
(104台中一中期中考，http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/tcfsh/T104122.pdf)

6.
設有5個二維數據，其統計資料如下：\(\displaystyle \sum_{i=1}^5 x_i=10\)，\(\displaystyle \sum_{i=1}^5 y_i=400\)，\(\displaystyle \sum_{i=1}^5 x_i^2=30\)如果小小兵求\(y\)對\(x\)的迴歸直線方程式時，不慎將斜率公式誤植為\(\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^5 (x_i+\mu_x)(y_i+\mu_y)}{\displaystyle \sum_{i=1}^5 (x_i+\mu_x)^2}\)求得斜率\(\displaystyle \frac{311}{9}\)，其餘計算沒有錯誤，則正確的迴歸直線方程式應為　　　。
(104台中一中期中考，http://acad.tcfsh.tc.edu.tw/zh_tw/experiment/PreviousExams)

計算證明題
2.
設\((1+x+x^2)^n=a_0+a_1x+\ldots+a_{2n}x^{2n}\)，其中\(a_0,a_1,\ldots\)為係數。證\(a_0+a_3+a_6+\ldots=a_1+a_4+a_7+\ldots=a_2+a_5+a_8+\ldots=3^{n-1}\)
(95台灣大學學士班甄選入學，http://www.math.ntu.edu.tw/sites ... /exams/h_app_95.pdf)

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=5134&k=c563936cb7bffb531d6a1785279f47ce&t=1732235339

附件: 長方形對角線折起的外接圓SketcuUp檔.zip (2019-6-8 20:32, 78.53 KB) / 該附件被下載次數 11256
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5135&k=32a6c5ae655c0412556a0ff12c03ed17&t=1732235339

附件: 104台中一中高一期中考.pdf (2019-6-9 12:53, 414.11 KB) / 該附件被下載次數 14910
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5139&k=97796621445f6fca82d58d022ae00ce7&t=1732235339

附件: 104台中一中高一期末考.pdf (2019-6-9 12:53, 587.1 KB) / 該附件被下載次數 17315
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5140&k=6f8407b54c42105885d973362b5f72fb&t=1732235339

作者: AshsNutn 時間: 2019-5-11 13:03

謝謝老師即時發文，今年不少排列組合跟微積分

作者: Almighty 時間: 2019-5-11 13:08

多選12題的....(D)
AP向量與平面法向量
有銳角、鈍角疑慮
cos 應該有正負兩個答案
選項(D)應該有誤！！！

[ 本帖最後由 Almighty 於 2019-5-11 13:28 編輯 ]

作者: Ellipse 時間: 2019-5-12 00:18

選擇4:
之前我有拿出來討論,請參考下列連結~
https://m.facebook.com/groups/54 ... id=1058211724337067

選擇6:
"蒙提霍爾問題選門問題" (山羊與汽車問題)
https://hk.thenewslens.com/article/80344
https://www.shs.edu.tw/works/essay/2013/11/2013111418352920.pdf

填充2:
與"100全國聯招:綜合4"雷同(改數據而已)

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2019-5-12 00:56 編輯 ]

作者: Uukuokuo 時間: 2019-5-12 09:04

請教計算2

作者: czk0622 時間: 2019-5-12 09:40 標題: 回復 6# Uukuokuo 的帖子

計算2
設 \(f(x)=(1+x+x^{2})^{n}\)，且 \(w\)，\(w^{2}\) 為 \(1+x+x^{2}\) 的解
\(\begin{align}
& a_{0}+a_{3}+a_{6}+\cdots=\frac{f(1)+f(w)+f(w^{2})}{3}=3^{n-1} \\
& a_{1}+a_{4}+a_{7}+\cdots=\frac{f(1)+w^{2}\cdot f(w)+w\cdot f(w^{2})}{3}=3^{n-1} \\
& a_{2}+a_{5}+a_{8}+\cdots=\frac{f(1)+w\cdot f(w)+w^{2}\cdot f(w^{2})}{3}=3^{n-1}
\end{align}\)

[ 本帖最後由 czk0622 於 2019-5-13 21:25 編輯 ]

作者: jasonmv6124 時間: 2019-5-12 10:29

請問選擇5 填充5

作者: czk0622 時間: 2019-5-12 10:35 標題: 回復 8# jasonmv6124 的帖子

選擇5
設 \(t=x^{4}\)，則 \(t^{3}+at^{2}+bt+c=0\)
\(t=16i\)，\(t=-1\)，\(t=81\)
\(x^{4}=16i\)，\(x^{4}=-1\)，\(x^{4}=81\)
其中 \(x^{4}=16i\)，\(x^{4}=-1\) 皆為虛根，有 \(8\) 個
\(x^{4}=81\) 有 \(2\) 個實根、\(2\) 個虛根
所以實根有 \(2\) 個，虛根有 \(10\) 個

填充5
全列-等待其他老師更好的解法
---A抽到A情況---
ABCDE
---B抽到A情況---
BACDE
---C抽到A情況---
BCADE
CBADE
---D抽到A情況---
BCDAE、BDCAE
CBDAE
DBCAE
---E抽到A情況---
BCDEA、BCEDA、BDCEA、BECDA
CBDEA、CBEDA
DBCEA
EBCDA

[ 本帖最後由 czk0622 於 2019-5-12 11:25 編輯 ]

作者: Ellipse 時間: 2019-5-12 12:28

引用:

原帖由 czk0622 於 2019-5-12 10:35 發表
選擇5
設 \(t=x^{4}\)，則 \(t^{3}+at^{2}+bt+c=0\)
\(t=16i\)，\(t=-1\)，\(t=81\)
\(x^{4}=16i\)，\(x^{4}=-1\)，\(x^{4}=81\)
其中 \(x^{4}=16i\)，\(x^{4}=-1\) 皆為虛根，有 \(8\) 個
\(x^{4}=81\) 有 \(2\) 個實根、\(2\) 個 ...

填充5:
上面bugmens提供的連結有好幾種作法~

作者: czk0622 時間: 2019-5-12 12:43 標題: 回復 10# Ellipse 的帖子

真的耶，沒點開來看
感謝橢圓老師

作者: Ellipse 時間: 2019-5-12 13:04

計算證明(1)
請參考:
https://www.facebook.com/groups/chetingmath/

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2019-5-12 13:10 編輯 ]

作者: weiye 時間: 2019-5-12 14:43 標題: 回復 9# czk0622 的帖子

填充5，
取帽順序：A→B→C→D→E

若 A 取到自己的帽子，則後續 BCDE 只有一種取法，就是都正確的拿到自己的帽子。這五人如果最後是取到自己帽子畫 O，非自己帽子畫 X，則這個情況就記作 (A,B,C,D,E) = (O,O,O,O,O) 。

若 A 沒有取到自己的帽子，則需往 BCDE 其中一人的帽子中任取，例如取到 C帽，則B必然拿正確的自己的帽子，然後 C 需往後任取，例如取到 D帽，則 D 需往後任取，例如取到 A 帽，則錯誤到此結束，因為 E 就會拿到自己的帽子了，像這個情況就記作 (A,B,C,D,E) = (X,O,X,X,O)。因為 A 一定是X，而B,C,D,E 之中至少有一個 X，所以共有 2^4-1 種。

合併以上兩種，共有 2^4 = 16 種情況。

作者: jasonmv6124 時間: 2019-5-12 14:53

謝謝老師們的回覆非常感謝

作者: jasonmv6124 時間: 2019-5-12 15:05 標題: 回復 12# Ellipse 的帖子

不好意思點過去看不到討論可以再麻煩老師嗎？

作者: arend 時間: 2019-5-12 15:43

請教填充8，9

作者: Ellipse 時間: 2019-5-12 16:15

引用:

原帖由 arend 於 2019-5-12 15:43 發表
請教填充8，9

填9
法1:一個個代入找規律
法2:利用特徵方程式(如下圖)

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2019-5-12 16:17 編輯 ]

圖片附件: 20190512_161045.png (2019-5-12 16:17, 718.77 KB) / 該附件被下載次數 4523
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5036&k=346617fcd714de87302392fd8b48bce6&t=1732235339

作者: czk0622 時間: 2019-5-12 16:29 標題: 回復 16# arend 的帖子

瑋岳老師的解法真漂亮
填充8
所求為 \((x-3)^{2}+(y-1)^{2}\leq 4\) 在第一象限的面積的4倍

[ 本帖最後由 czk0622 於 2019-5-12 17:06 編輯 ]

圖片附件: 未命名.png (2019-5-12 17:06, 13.6 KB) / 該附件被下載次數 4071
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5038&k=a1ef7e0cf78e77ec43e2600fc71d2467&t=1732235339

作者: thepiano 時間: 2019-5-12 17:57 標題: 回復 16# arend 的帖子

填充第9題
\(\begin{align}
& {{a}_{n+1}}=2{{a}_{n}}+{{4}^{n}} \\
& \frac{{{a}_{n+1}}}{{{2}^{n}}}=\frac{{{a}_{n}}}{{{2}^{n-1}}}+{{2}^{n}} \\
& \frac{{{a}_{2}}}{{{2}^{1}}}=\frac{{{a}_{1}}}{{{2}^{0}}}+{{2}^{1}} \\
& \frac{{{a}_{3}}}{{{2}^{2}}}=\frac{{{a}_{2}}}{{{2}^{1}}}+{{2}^{2}} \\
& : \\
& : \\
& \frac{{{a}_{n}}}{{{2}^{n-1}}}=\frac{{{a}_{n-1}}}{{{2}^{n-2}}}+{{2}^{n-1}} \\
& \frac{{{a}_{n}}}{{{2}^{n-1}}}=3+\left( {{2}^{1}}+{{2}^{2}}+\cdots +{{2}^{n-1}} \right)={{2}^{n}}+1 \\
& {{a}_{n}}=\frac{{{2}^{n}}\left( {{2}^{n}}+1 \right)}{2}=\frac{{{4}^{n}}+{{2}^{n}}}{2} \\
\end{align}\)

作者: arend 時間: 2019-5-12 18:00

謝謝橢圓老師，第八題我搞錯了，我以為要求兩圓想交面積

作者: thepiano 時間: 2019-5-12 18:01 標題: 回復 7# czk0622 的帖子

您把 f(1) 打成 f(0) 了

作者: arend 時間: 2019-5-12 18:01

謝謝鋼琴老師

作者: czk0622 時間: 2019-5-12 18:42 標題: 回復 21# thepiano 的帖子

感謝提醒，打太快了沒注意到

作者: pad1214 時間: 2019-5-12 21:09

請問第四題這樣算錯在哪？
所有可能性為C(10,4)=210
梯形可能性為[C(5,2)-2]*5=40
(五條互相平行的對角線隨便取2條，扣掉長度一樣的2種，再乘上5個方向)
因此答案為4/21

作者: Ellipse 時間: 2019-5-12 22:03

引用:

原帖由 jasonmv6124 於 2019-5-12 15:05 發表
不好意思點過去看不到討論可以再麻煩老師嗎？

https://www.facebook.com/photo.p ... p;theater&ifg=1

作者: Ellipse 時間: 2019-5-12 23:37

引用:

原帖由 pad1214 於 2019-5-12 21:09 發表
請問第四題這樣算錯在哪？
所有可能性為C(10,4)=210
梯形可能性為[C(5,2)-2]*5=40
(五條互相平行的對角線隨便取2條，扣掉長度一樣的2種，再乘上5個方向)
因此答案為4/21 ...

要分兩種情況討論(如下圖所示)

圖片附件: 1557675293008.jpg (2019-5-12 23:37, 56.71 KB) / 該附件被下載次數 4269
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5049&k=dd26c070fb1a4278678c9d270079aae8&t=1732235339

作者: pad1214 時間: 2019-5-13 09:28

引用:

原帖由 Ellipse 於 2019-5-12 23:37 發表

要分兩種情況討論(如下圖所示)

謝謝橢圓老師，我少算了4*5。

作者: andy2361336 時間: 2019-5-14 01:00

圖片附件: 60079011_2355917347987483_3212729597191782400_n.jpg (2019-5-14 01:00, 328.12 KB) / 該附件被下載次數 5161
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5058&k=d7b6d0264696ca95b5e9eded4ae088ad&t=1732235339

圖片附件: 60290173_423420141789285_2305626203559559168_n.jpg (2019-5-14 01:00, 934.97 KB) / 該附件被下載次數 5868
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5059&k=456e26c1f6ca4d269bbb42a97ad5a17b&t=1732235339

作者: d3054487667 時間: 2019-5-14 17:21

想請教計算3的答案是 (pi)/8、5(pi)/8、5(pi)/4、7(pi)/4 嗎?

作者: Ellipse 時間: 2019-5-14 19:56

引用:

原帖由 d3054487667 於 2019-5-14 17:21 發表
想請教計算3的答案是 (pi)/8、5(pi)/8、5(pi)/4、7(pi)/4 嗎?

對喔～

圖片附件: 1557636670860.jpg (2019-5-14 19:56, 77.84 KB) / 該附件被下載次數 4373
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5063&k=e5cd8c8aefed2fbb1f9ce32ebca39d23&t=1732235339

作者: d3054487667 時間: 2019-5-14 22:07 標題: 回復 30# Ellipse 的帖子

謝謝橢圓老師！

這樣表示我這題計算題完全沒有部份給分⋯⋯
我用分段討論，忘記扣除討論範圍外的解，
只有最後的小瑕疵，但一分都沒有

作者: anyway13 時間: 2019-5-15 19:35 標題: 請教選擇第一題

請問版上老師第一題為什麼選項是A阿算出來B的主幅角更大

是不是哪裡算錯了請指點迷津

圖片附件: 58566.jpg (2019-5-15 19:35, 65.34 KB) / 該附件被下載次數 3439
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5066&k=c422a96daffad4f974f789a29a6c7766&t=1732235339

作者: thepiano 時間: 2019-5-15 20:00 標題: 回復 32# anyway13 的帖子

左邊倒數第三行到倒數第二行的後面錯了，應是 -sin80度

其實這題不用算，判斷那四個複數平面上的點在第幾象限就可以寫答案了

[ 本帖最後由 thepiano 於 2019-5-15 20:02 編輯 ]

作者: anyway13 時間: 2019-5-15 20:15 標題: 回復 33# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師,知道錯哪了

作者: shia41059 時間: 2019-5-15 22:57

請問多選11的(B)選項

作者: czk0622 時間: 2019-5-15 23:50 標題: 回復 35# shia41059 的帖子

多選11(B)
換成幾何角度來想
複數平面下 \(|z_{k}-1|\) 可以看成 \(z_{k}\) 到 \(1\) 的距離
剩下就是樞紐定理了

[ 本帖最後由 czk0622 於 2019-5-15 23:51 編輯 ]

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作者: shia41059 時間: 2019-5-16 16:13 標題: 回復 36# czk0622 的帖子

謝謝

作者: anyway13 時間: 2019-5-17 17:00 標題: 請教選擇第三題

版上老師好，請問第三題該怎麼做呢？
已經訂完座標，可是算出來很醜且算錯，
請賜教。

作者: czk0622 時間: 2019-5-17 17:53 標題: 回復 38# anyway13 的帖子

選擇3
球半徑\(r\)是斜邊\(5\)的一半
球體積是\(\frac{4}{3}\pi r^{3}\)

[ 本帖最後由 czk0622 於 2019-5-17 17:59 編輯 ]

作者: Lopez 時間: 2019-5-17 18:44 標題: 回復 38# anyway13 的帖子

作者: anyway13 時間: 2019-5-17 19:02 標題: 回復 39,40# czk0622, Lopez 的帖子

感謝czk0622, Lopez兩位老師謝謝你們

作者: arend 時間: 2019-5-19 22:21

請教複選10，與12，
單選2，謝謝

作者: thepiano 時間: 2019-5-20 07:43 標題: 回復 42# arend 的帖子

第2題
設\(\frac{1}{{{x}^{2}}}\)項之係數為\(C_{a}^{n}{{\left( -2 \right)}^{a}}\)，則\(\frac{1}{{{x}^{4}}}\)項之係數為\(C_{a+1}^{n}{{\left( -2 \right)}^{a+1}}\)
\(\begin{align}
& C_{a}^{n}{{\left( -2 \right)}^{a}}=-C_{a+1}^{n}{{\left( -2 \right)}^{a+1}}=2C_{a+1}^{n} \\
& n=\frac{3a+1}{2} \\
\end{align}\)
選項中僅\(n=8\)符合，此時\(a=5\)

第10題
僅最後一個選項與103數甲不同，而這個選項兩者機率都是\(\frac{3}{8}\)

作者: thepiano 時間: 2019-5-20 12:04 標題: 回復 42# arend 的帖子

選擇第 12 題
向量 b = (1，0，0)、向量 d = (0，1，0)、向量 e = (0，0，1)

AD = 1、AF = √2、DF = √3
AP 和 DF 垂直
AP = (1 * √2)/√3 = √6/3、DP = √3/3、PF = (2/3)√3
DP/PF = 1/2

向量 AP = (1/3)向量 AF + (2/3)向量 AD
= (1/3)(向量 b + 向量 e) + (2/3)向量 d
= (1/3)(向量 b + 2向量 d + 向量 e)
= (1/3，2/3，1/3)

直線 AP 和平面 CDHG (y = 1) 交於 R(1/2，1，1/2)
向量 AR = (1/2)(向量 b + 2向量 d + 向量 e)

平面 CDHG 之法向量為 (0，1，0)
cosθ = ±(2/3)/√[(1/3)^2 + (2/3)^2 + (1/3)^2] = ±√6/3

作者: arend 時間: 2019-5-20 16:56 標題: 回復 43# thepiano 的帖子

謝piano老師，第10題，我的理解是，既然可能比五場，為何f(p)不是p的5次多項式？
謝謝

作者: thepiano 時間: 2019-5-20 18:05 標題: 回復 45# arend 的帖子

您可以寫ㄧ下 f(p)，p^5 會被消掉

作者: yi4012 時間: 2019-5-20 19:57 標題: 回復 45# arend 的帖子

第五場的機率是：
4C2[(1-p)^2*p^3+(1-p)^3*p^2]
=12(1-p)^2*p^2(1-p+p)
=12(1-p)^2*p^2
三場、四場最高4次
整個整理後應該是4次

作者: thepiano 時間: 2019-5-20 20:05 標題: 回復 47# yi4012 的帖子

C(4，2) = 6

作者: czk0622 時間: 2019-5-20 21:00 標題: 回復 46# thepiano 的帖子

\(\begin{align}
& f(p)=3\times\left[ p^{3}+(1-p)^{3}\right]+4\times \left[ \frac{3!}{2!}p^{3}(1-p)+\frac{3!}{2!}p(1-p)^{3}\right]+5\times\left[ \frac{4!}{2!2!}p^{3}(1-p)^{2}+\frac{4!}{2!2!}p^{2}(1-p)^{3}\right] \\
& \ \ \ \ \ \ =6p^{4}-12p^{3}+3p^{2}+3p+3
\end{align}\)

[ 本帖最後由 czk0622 於 2019-5-20 21:02 編輯 ]

作者: arend 時間: 2019-5-20 22:44

謝謝大家不吝指教
這計算很煩雜
100分鐘內要做這麼多題
不過還是謝謝大家

作者: thepiano 時間: 2019-5-20 23:46 標題: 回復 49# czk0622 的帖子

不用乘開，確認 p^5 會被消掉，而 p^4 還在即可

作者: cefepime 時間: 2019-5-21 23:59

回復 50# arend 的帖子

複選題 10   或許命題者沒有要讓應試者經歷冗長計算的想法

(A) 常數項 = f(0) ⇒ 紅隊每戰必敗，必定恰比 3 場 ...(Ο)

(B) 最多恰比 5 場 ⇔ 前 4 場 2勝 2負 ⇒ f(p) 至多是 p 的 4 次多項式 ...(Χ)

(C) 直觀: p = 1/2 時最容易形成拉鋸戰，f(p) 最大 ...(Ο)

不放心的話，由:  p = 1/2 時，(比較其他 p 值) 恰比 3 場的機率最低，恰比 5 場的機率最高。(由算幾不等式易知)

(D)  3 場即結束的情況不需考慮，則前 3 場為某隊 2 勝 1 負:

比 4 場結束 ⇔ 第 4 場領先隊勝 ; 比 5 場結束 ⇔ 第 4 場領先隊負，故知兩者機率相等 ...(Χ)

作者: yi4012 時間: 2019-5-23 16:30 標題: 回復 1# bugmens 的帖子

成績公布，最低複試成績為58分

作者: tsaochun 時間: 2019-5-24 16:55 標題: 回復 53# yi4012 的帖子

不好意思，請問有人知道第二部份綜合題的"填充題"，在答案本上需要寫算式嗎？我認知是填充題應該不需要寫算式，但朋友說要寫比較好，因為在題目本上算完要再騰一遍到答案本上會花掉不少時間，懇請版上有參與過全國教甄閱卷的老師或確定知道的人方便告知嗎？謝謝您

作者: yi4012 時間: 2019-5-24 18:10 標題: 回復 54# tsaochun 的帖子

應該只要標明題號跟答案就夠了
計算題才要寫過程
答案本後面幾頁應該可以當計算紙來用((畢竟也是跟考試有關的))

作者: tsaochun 時間: 2019-5-24 22:54 標題: 回復 55# yi4012 的帖子

謝謝您的回覆，感恩^^

作者: zanlinphon 時間: 2019-6-2 07:01

最後錄取分數58分，存參

作者: nanpolend 時間: 2020-4-3 23:23 標題: 回復 1# bugmens 的帖子

選擇第七題請教解法

作者: Lopez 時間: 2020-4-4 13:59 標題: 回復 58# nanpolend 的帖子

選擇7
E(x) = 0.6*[ 5 + E(x) ] + 0.4*0.5*[ 5 + E(x) ] + 0.4*0.5*10
解得 E(x) = 30

作者: nanpolend 時間: 2020-4-5 14:25 標題: 回復 1# bugmens 的帖子

補充複選第9題圖形
GeoGeobra手機繪圖

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作者: nanpolend 時間: 2020-4-5 20:32 標題: 回復 1# bugmens 的帖子

請教複選11.的(C)(D)

作者: thepiano 時間: 2020-4-5 22:00 標題: 回復 61# nanpolend 的帖子

第 11 題
(C) z 代 -1 進去
(D) 分別展開合併，再用根與係數

作者: martinofncku 時間: 2020-4-5 22:25

請問老師
填充題 3, 要算封閉區域繞 x 軸旋轉所成的旋轉體積, 封閉區域在 x 軸上下都有面積, 繞 x 軸旋轉時, 便有部分面積會交疊, 請問此種旋轉體積應如何計算？
還有單選題 8

作者: Ellipse 時間: 2020-4-5 22:46

引用:

原帖由 martinofncku 於 2020-4-5 22:25 發表
請問老師
填充題 3, 要算封閉區域繞 x 軸旋轉所成的旋轉體積, 封閉區域在 x 軸上下都有面積, 繞 x 軸旋轉時, 便有部分面積會交疊, 請問此種旋轉體積應如何計算？
還有單選題 8 ...

單選題 8
1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+x^4.......................-----(1)
將(1) 左右兩邊對x微分可得
1/(1-x)^2 =x+2x+3x^2+4x^3....................------(2)
(1)x(2) 整理可得所求=1/(1-x)^3

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2020-4-5 22:49 編輯 ]

作者: satsuki931000 時間: 2020-4-6 10:49 標題: 回復 63# martinofncku 的帖子

圖形畫出來
X軸上下都有面積時，取選轉半徑長的那一個函數作積分
在x=0~1的範圍，積(-x^2+2x)之旋轉體積分
在x=1~2的範圍，積-x之旋轉體積分
在x=2~3的範圍，積(-x^2+2x)，-x所夾面積之旋轉體積分

作者: nanpolend 時間: 2020-4-11 10:43 標題: 回復 1# bugmens 的帖子

感謝各位老師整份練習過一遍

作者: rotch 時間: 2020-7-28 16:05 標題: 回復 65# satsuki931000 的帖子

末學三段算出來的答案分別為
8π/15、7π/3、17π/10
請教哪裡算錯了

作者: koeagle 時間: 2020-7-28 17:58 標題: 回復 67# rotch 的帖子

第三段：\( \displaystyle \int_{2}^{3} \pi \left[ (-x)^2 - (-x^2 + 2x)^2 \right] \, dx = \frac{19}{5} \pi \)

作者: rotch 時間: 2020-8-10 19:55 標題: 回復 30# Ellipse 的帖子

這圖要怎麼用手畫出來呢？

作者: Ellipse 時間: 2020-8-11 22:09

引用:

原帖由 rotch 於 2020-8-10 19:55 發表
這圖要怎麼用手畫出來呢？

綠色圖形:y=cosx(sinx+|sinx|)
(1)當0≦x≦π時
y=cosx(sinx+sinx)=2(cosx)(sinx)=sin(2x)
(2)當π≦x≦2π時
y=cosx(sinx-sinx)=0

作者: tenlong1000 時間: 2020-8-27 14:11 標題: 108-全國高中教師聯招(詳解整理)

108-全國高中教師聯招(詳解整理)

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作者: tuhunger 時間: 2021-7-15 23:11 標題: 單選1

用向量角度去看這題秒殺!

圖片附件: 166005.jpg (2021-7-15 23:11, 155.35 KB) / 該附件被下載次數 2673
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6060&k=7d1081616eace896911af702acea38fe&t=1732235339

作者: ChuCH 時間: 2021-10-8 13:39

請問多選11的D選項答案是多少展開後是Z1^2+Z2^2+Z3^2+Z4^2-4(Z1+Z2+Z3+Z4)+16
算起來是24

作者: PDEMAN 時間: 2021-10-8 14:06 標題: 回復 73# ChuCH 的帖子

(z1+z2+z3+z4)^2=(-1)^2
z1z2+z1z3+z1z4+z2z3+z2z4+z3z4=1
z1^2+z2^2+z3^2+z4^2=1-2
Z1^2+Z2^2+Z3^2+Z4^2-4(Z1+Z2+Z3+Z4)+16=19

作者: ChuCH 時間: 2021-10-8 17:40

謝謝! 找到盲點了

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