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標題: 108板橋高中 [打印本頁]
作者: Superconan    時間: 2019-4-28 14:34     標題: 108板橋高中

題目努力回想完，才發現今天晚上10點會公告試題與答案
先po上來給各位參考

P.S. 感謝一起在路邊回想題目的三位朋友

官方公告題目與答案了
108學年教甄數學試題(公告).pdf (193.8 KB)

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作者: pgcci7339    時間: 2019-4-28 15:23

計算題
出處：IMO 1976-4
sorry   鋼琴是對的，我打反了...
答案為 \(\displaystyle2\cdot3^{672}\)

[ 本帖最後由 pgcci7339 於 2019-4-28 20:15 編輯 ]
作者: thepiano    時間: 2019-4-28 15:39     標題: 回復 2# pgcci7339 的帖子

101 年，中一中和中二中都考過這題計算題
答案應是\(2\times {{3}^{672}}\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2019-4-28 15:43 編輯 ]
作者: bugmens    時間: 2019-4-28 15:50

2.
若拋物線\(y=mx^2-1\)上必存在著相異兩點會對稱於直線\(x+y=0\)，試求\(m\)的範圍。

已知拋物線\(y=x^2+3x-1\)上有兩相異點對直線\(x+y=0\)成對稱，則此兩相異點的坐標為　　　。
(92高中數學能力競賽，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9514)

已知拋物線\(y=x^2+7x+11\)上有兩相異點對直線\(x+y=0\)成對稱，則此兩相異點的坐標為　　　。
(103高中數學能力競賽　，https://math.pro/db/thread-2125-1-1.html)

10.
\(6^{108}+8^{108}\)除以343的餘數為　　　。

試求49除\(6^{98}+8^{98}\)的餘數。
(94高中數學能力競賽 高雄屏東區，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9514)

設\(a_n=8^n+9^n+10^n\)，\(n=1,2,\ldots\)，試求\(a_{99}\)除以729的餘數。
(98高中數學能力競賽 台北市筆試一試題，https://math.pro/db/thread-911-1-1.html)

12.
若實數\(x,y,z\)滿足\(\cases{x+y+z=4 \cr x^2+y^2+z^2=10 \cr x^3+y^3+z^3=22}\)，則\(xyz=\)　　　。
(98高中數學能力競賽 第四區(新竹高中)，https://math.pro/db/thread-911-1-1.html)

13.
在一正方形球枱中，一球從底邊中點\(A\)處出發，往右邊界\(\displaystyle \frac{3}{4}\)處碰撞後反射(如圖)，假設在完全彈性碰撞下，球在第一次回到\(A\)點之前共反射　　　次。

在一正方形球枱中，一球從底邊中點\(A\)處出發，往右邊界\(\displaystyle \frac{3}{8}\)處碰撞後反射(如圖)，假設在完全彈性碰撞下，球在第一次回到\(A\)點之前共反射　　　次。
(98高中數學能力競賽 第二區(新店高中)，https://math.pro/db/thread-911-1-1.html)

14.
設函數\(f\)：\((0,1)\to R\)定義為\(f(x)=\cases{x,x \notin Q \cr \frac{p+1}{q},x=\frac{q}{p}}\),其中\(p,q \in N\)且\(p,q\)互質。則\(f(x)\)在區間\(\left(\frac{3}{7},\frac{9}{10} \right)\)上的最大值為　　　。

設函數\(f\)：\((0,1)\to R\)定義為
\(f(x)=\cases{\displaystyle x,x \notin Q \cr \frac{2p+1}{2q},x=\frac{p}{q},(p,q)=1,0<p<q,p,q \in N}\)
求\(f(x)\)在區間\( \displaystyle \left(\frac{1}{3},\frac{3}{7}\right) \)上的最大值？
(98高中數學能力競賽 第八區(高屏區)，https://math.pro/db/thread-911-1-1.html)

計算題
分解的最大乘積解法看這裡
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=919&page=1#pid1945
作者: satsuki931000    時間: 2019-4-28 16:53

想請問7 14 15
作者: thepiano    時間: 2019-4-28 17:18     標題: 回復 5# satsuki931000 的帖子

第 7 題
\(\begin{align}
  & \alpha +\beta =1 \\
& \alpha \beta =-1 \\
&  \\
& {{\alpha }^{n+1}}-{{\beta }^{n+1}}=\left( {{\alpha }^{n}}-{{\beta }^{n}} \right)\left( \alpha +\beta  \right)-\alpha \beta \left( {{\alpha }^{n-1}}-{{\beta }^{n-1}} \right)=\left( {{\alpha }^{n}}-{{\beta }^{n}} \right)+\left( {{\alpha }^{n-1}}-{{\beta }^{n-1}} \right) \\
& {{\alpha }^{2019}}-{{\beta }^{2019}}=\frac{3m+n}{2} \\
\end{align}\)
作者: Superconan    時間: 2019-4-28 17:36

想請問第 5 題怎麼解？
作者: thepiano    時間: 2019-4-28 18:15     標題: 回復 5# satsuki931000 的帖子

第 14 題
A(6，13)、B(12，11)
設兩切線交於 C(t，0)
利用 AC = BC，可得 t = 5，C(5，0)

AB 中點 M(9，12)，圓心 W 在直線 MC：y = 3x - 15 上
令 W(k，3k - 15)
利用 WA = WB，可得 k = 37/4
WA^2 = 85/8

所求 = (85/8)π

[ 本帖最後由 thepiano 於 2019-4-28 21:46 編輯 ]
作者: Starvilo    時間: 2019-4-28 18:41

5.40度 用畢氏定理作高即可解


附件不會上傳XD

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作者: satsuki931000    時間: 2019-4-28 19:18

5另解


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作者: satsuki931000    時間: 2019-4-28 19:20     標題: 回復 8# thepiano 的帖子

感謝鋼琴老師
看起來兩題都是應該要算出來的題目
受教了
作者: jasonmv6124    時間: 2019-4-28 19:28

請教第二題
作者: satsuki931000    時間: 2019-4-28 20:00

第二題
不確定是不是這樣算
有錯還請指教

感謝鋼琴老師更正 附上更正後的答案


[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2019-4-28 20:58 編輯 ]

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作者: thepiano    時間: 2019-4-28 20:30     標題: 回復 13# satsuki931000 的帖子

第 2 題
設兩交點 A、B 在 y = x + k 上
mx^2 - 1 = x + k 之判別式 > 0，再配合 AB 中點在 y = -x 上，知 k = -1/m
解不等式可得 m > 3/4

[ 本帖最後由 thepiano 於 2019-4-28 20:31 編輯 ]
作者: d3054487667    時間: 2019-4-28 21:11

想請教公告試卷的14題(f在區間上的最大值)，
想不到該怎麼分析，只知道是有理數發生最大值。

先謝謝!!
作者: thepiano    時間: 2019-4-28 23:32     標題: 回復 15# d3054487667 的帖子

第 14 題
題意為 \(\left( p,q \right)=1\quad ,\quad \frac{3}{7}<\frac{q}{p}<\frac{9}{19}\) 時，求 \(\frac{p+1}{q}\) 的最大值
要看清楚，兩者分母不同
此題最大值產生於 \(p=9\ ,\ q=4\)
作者: jasonmv6124    時間: 2019-4-29 10:27

謝謝你們解答
作者: hulixin123    時間: 2019-4-29 13:20

只有我覺得兩題送分很扯嗎...
作者: peter0210    時間: 2019-4-29 14:44

填充16

[ 本帖最後由 peter0210 於 2019-4-29 14:47 編輯 ]

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作者: czk0622    時間: 2019-4-29 20:49     標題: 回復 15# d3054487667 的帖子

第 14 題
由 \(\frac{3}{7}<\frac{q}{p}<\frac{9}{19}\) 可得  \(\frac{19}{9}q<p<\frac{7}{3}q\)...(1)
整式同加 \(1\) 除 \(q\) 後得  \(\frac{19}{9}+\frac{1}{q}<\frac{p+1}{q}<\frac{7}{3}+\frac{1}{q}\)...(2)
由(2)可知:若存在 \(q\) 為最小之整數使得(1)中範圍之整數 \(p\)  亦存在，此時  \(\frac{p+1}{q}\) 有最大值
\(q=1 \Rightarrow 2.1<p<2.3\)，此時 \(p\) 無解
\(q=2 \Rightarrow 4.2<p<4.6\)，此時 \(p\) 無解
\(q=3 \Rightarrow 6.3<p<7\)，此時 \(p\) 無解
\(q=4 \Rightarrow 8.4<p<9.3\)，此時 \(p=9\) ，即 \(\frac{p+1}{q}\) 有最大值 \(\frac{10}{4}=\frac{5}{2}\)

[ 本帖最後由 czk0622 於 2019-4-29 20:58 編輯 ]
作者: czk0622    時間: 2019-4-29 22:00

填充15
設 \(S_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{k(k+1)}{2^{k}}}\)，\(S=\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{k(k+1)}{2^{k}}}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{S_{n}}\)
\(S_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{k(k+1)}{2^{k}}}\)
\( \ \ \ \ =\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{C^{k+1}_{2}}{2^{k-1}}}\)
\( \ \ \ \ =\frac{C^{2}_{2}}{2^{0}}+\sum\limits_{k=2}^{n}{\frac{C^{k+1}_{2}}{2^{k-1}}}\)
\( \ \ \ \ =\frac{C^{1}_{1}}{2^{0}}+\sum\limits_{k=2}^{n}{\frac{C^{k}_{1}+C^{k}_{2}}{2^{k-1}}}\)
\( \ \ \ \ =\frac{C^{1}_{1}}{2^{0}}+\sum\limits_{k=2}^{n}{\frac{C^{k}_{1}}{2^{k-1}}}+\sum\limits_{k=2}^{n}{\frac{C^{k}_{2}}{2^{k-1}}}\)
\( \ \ \ \ =\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{C^{k}_{1}}{2^{k-1}}}+\sum\limits_{k=1}^{n-1}{\frac{C^{k+1}_{2}}{2^{k}}}\)
\( \ \ \ \ =\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{k}{2^{k-1}}}+\frac{1}{2}S_{n-1}\)
\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{S_{n}}=\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{k}{2^{k-1}}}+\frac{1}{2}\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{S_{n-1}}\)
\(S=\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{k}{2^{k-1}}}+\frac{1}{2}S\)
因此 \(S=2\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{k}{2^{k-1}}}\)
設 \(\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{k}{2^{k-1}}}=L\)
\(\ \ L=1\cdot(\frac{1}{2})^{0}+2\cdot(\frac{1}{2})^{1}+3\cdot(\frac{1}{2})^{2}+\cdots\)
\(\frac{1}{2}L= \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1\cdot(\frac{1}{2})^{1}+2\cdot(\frac{1}{2})^{2}+3\cdot(\frac{1}{3})^{2}+\cdots\)
上下相減得
\(\frac{1}{2}L=1+(\frac{1}{2})^{1}+(\frac{1}{2})^{2}+(\frac{1}{2})^{3}+\cdots\)
\( \ \ \ \ \ =\frac{1}{1-0.5}\)
\( \ \ \ \ \ =2\)
\(L=4\)
\(S=2L=8\)

[ 本帖最後由 czk0622 於 2019-4-30 05:58 編輯 ]
作者: Ellipse    時間: 2019-4-29 22:46

#15另解~

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2019-4-29 23:01 編輯 ]

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作者: jasonmv6124    時間: 2019-4-30 10:05

請問公告版的第4題
這題當初列出的式子 Pn=2/3-(1/3)Pn-1
作者: czk0622    時間: 2019-4-30 10:19     標題: 回復 23# jasonmv6124 的帖子

第4題
用馬可夫矩陣的方法

\(\frac{5}{32}+\frac{5}{32}=\frac{5}{16}\)

[ 本帖最後由 czk0622 於 2019-4-30 10:20 編輯 ]

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作者: zidanesquall    時間: 2019-4-30 11:49     標題: 回復 23# jasonmv6124 的帖子

我是這麼算的，用轉移矩陣

圖片附件: 44997EC2-6258-4A13-A5B8-9D9E1D1F5C1F.jpeg (2019-4-30 11:49, 455.81 KB) / 該附件被下載次數 2687
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作者: jasonmv6124    時間: 2019-4-30 12:12

謝謝兩位老師
可以請問你們要怎麼分辨要用矩陣還是數列呢?
這題如果用數列來做可行嗎?
作者: thepiano    時間: 2019-4-30 12:37     標題: 回復 26# jasonmv6124 的帖子

第 4 題
設交換\(n\)次後，甲袋內兩顆球的和為偶數的機率為\({{p}_{n}}\)
\(\begin{align}
  & {{p}_{n}}\text{=}{{p}_{n-1}}\times 0+\left( 1-{{p}_{n-1}} \right)\times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}{{p}_{n-1}} \\
& {{p}_{0}}=1 \\
& {{p}_{1}}=0 \\
& {{p}_{2}}=\frac{1}{2} \\
& {{p}_{3}}=\frac{1}{4} \\
& {{p}_{4}}=\frac{3}{8} \\
& {{p}_{5}}=\frac{5}{16} \\
\end{align}\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2019-4-30 12:38 編輯 ]
作者: laylay    時間: 2019-4-30 15:50     標題: 填充 15.

另解:
    n(n+1)/2^n=(1+2+3+.......+n)/2^(n-1)  ,  n=1,2,3,4,........
所求=[(1/2^0+1/2^1+1/2^2+.....)+(1/2^1+1/2^2+.....)+(1/2^2+.....)+.......]/(1-1/2)
                                      (  [............ ]為各取一個的第一回合,而第二回合所取之值是第一回合的一半,公比=1/2,取無限多回合 )
       =[2+1+1/2+.....]*2=4*2=8

[ 本帖最後由 laylay 於 2019-4-30 15:58 編輯 ]
作者: laylay    時間: 2019-4-30 18:29

填充 15.
另解 :   所求/4=1+[(1+x)/2]+[(1+x)/2]^2+[(1+x)/2]^3+.......中 x^2 的係數
                       =1/[1-(1+x)/2]=2/(1-x)=2(1+x+x^2+....)中 x^2 的係數
                       =2  , 故所求=8

若原題中分子改為n(n+1)(n+2) ,分母不變
則  所求/(2*3*2^2)=1+[(1+x)/2]+[(1+x)/2]^2+[(1+x)/2]^3+[(1+x)/2]^4+.......中 x^3 的係數
                         =1/[1-(1+x)/2]=2/(1-x)=2(1+x+x^2+....)中 x^3 的係數
                         =2  , 故所求=48
若原題中分子改為n(n+1)(n+2)(n+3) ,分母不變 , 則所求=2*3*4*2^3*2=384
若原題中分子改為n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) ,分母不變 , 則所求=5!*2^5 ,  即分子有k個數時 , 所求=k!*2^k   (此結論經由Excel 驗證，無誤)

[ 本帖最後由 laylay 於 2019-4-30 21:35 編輯 ]
作者: mojary    時間: 2019-5-1 13:43

請問填7

真的有五的點！

謝謝鋼琴老師。

[ 本帖最後由 mojary 於 2019-5-6 15:48 編輯 ]

圖片附件: 未命名.png (2019-5-6 15:48, 26.89 KB) / 該附件被下載次數 2532
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作者: satsuki931000    時間: 2019-5-1 15:11     標題: 回復 30# mojary 的帖子

(0，1)?
作者: thepiano    時間: 2019-5-1 16:06     標題: 回復 30# mojary 的帖子

填充第 7 題
有\(\left( \frac{1}{5},1 \right),\left( \frac{1}{5},-1 \right),\left( 1,0 \right),\left( 5,1 \right),\left( 5,-1 \right)\)這五個沒錯
您有二個函數畫成指數函數了
作者: anyway13    時間: 2019-5-1 16:50     標題: 第13題請教

版上老師好，請問除了一步步用暴力硬解，有沒有比較文明的作法阿 謝謝
作者: Ellipse    時間: 2019-5-1 17:33

引用:
原帖由 anyway13 於 2019-5-1 16:50 發表
版上老師好，請問除了一步步用暴力硬解，有沒有比較文明的作法阿 謝謝
如下圖假設A(2,0)    (2為0與4的中點)
第一次碰到邊界點B(4,3)
可得直線AB: 2y=3x-6
由入射角=反射角及對稱觀念
由圖形可知當y=24時,x=(2*24+6)/3=18 (20與24的中點)
也就是第九次反射後回到A

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2019-5-1 21:07 編輯 ]

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作者: anyway13    時間: 2019-5-1 23:13     標題: 回復 34# Ellipse 的帖子

謝謝Ellipse 老師,太清楚了
作者: zidanesquall    時間: 2019-5-2 11:13     標題: 回復 20# czk0622 的帖子

除了一個一個試以外，我想說是不是可以這麼做？

由(2)可以得到
\( \displaystyle\frac{19}{9}+\frac{1}{q}<\frac{p}{q}+\frac{1}{q}<\frac{7}{3}+\frac{1}{q}\)
\( \rightarrow\displaystyle 2+\frac{1}{9}<\frac{p}{q}<2+\frac{1}{3} \)
要讓\(q\)最小且找到限制的整數\( p \)
\( \rightarrow\displaystyle\frac{1}{9}+\frac{1}{9}q-\frac{1}{3}q\geq 1\rightarrow q=4 \)

[ 本帖最後由 zidanesquall 於 2019-5-2 11:19 編輯 ]
作者: jasonmv6124    時間: 2019-5-2 23:11     標題: 回復 27# thepiano 的帖子

謝謝 看來是我理解錯誤
作者: jasonmv6124    時間: 2019-5-2 23:17     標題: 回復 29# laylay 的帖子

請問為甚麼可以看成x^2係數呢?
作者: Ellipse    時間: 2019-5-2 23:51

#13 補動畫~

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2019-5-3 08:38 編輯 ]

圖片附件: 反射動畫7.gif (2019-5-3 08:38, 1.01 MB) / 該附件被下載次數 3786
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5010&k=8d26644d7fcad9b19d698dba12a8a121&t=1732279942

作者: laylay    時間: 2019-5-3 11:17     標題: 回復 33# anyway13 的帖子

把撞球檯直的分六行,橫的分四列,共24 空格,球必走空格的對角線,如此很快就可看出反射九次到達A點,構成一週期.

[ 本帖最後由 laylay 於 2019-5-3 11:20 編輯 ]



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