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標題: 108彰化女中 [打印本頁]

作者: zidanesquall 時間: 2019-4-27 22:05 標題: 108彰化女中

彰化女中試題及解答

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作者: bugmens 時間: 2019-4-27 22:15

填充題
2.
\(n\)為正整數，已知\(2^2+2^n+2^{10}\)為完全平方數，\(n\)的最大值與最小值之和為　　　。

試求所有的正整數\(n\)使得\( x=2^8+2^{11}+2^n \)為一完全平方數。
(2006TRML團體賽，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=968&page=1#pid2218)

3.
設有\(A\)、\(B\)兩支大瓶子，開始時，\(A\)瓶裝有\(\displaystyle \frac{2}{3}\)公升的純酒精，\(B\)瓶裝有\(\displaystyle \frac{1}{3}\)公升的礦泉水。每一輪操作都是先將\(A\)瓶的溶液倒出一半到\(B\)瓶，然後再將\(B\)瓶的溶液倒出一半回\(A\)瓶(不考慮酒精與水混合後體積的縮小)。在第三輪操作後，\(A\)瓶的溶液中有　　　%的酒精。

設有\(A\)、\(B\)兩支大瓶子，開始時，\(A\)瓶裝有\(a\)公升的純酒精，\(B\)瓶裝有\(b\)公升的礦泉水。每一輪操作都是先將\(A\)瓶的溶液倒出一半到\(B\)瓶，然後再將\(B\)瓶的溶液倒出一半回\(A\)瓶（不考慮酒精與水混合後體積的縮小）。設\(n\)輪操作後，\(A\)瓶有\(a_n\)公升的溶液，\(B\)瓶有\(b_n\)公升的溶液。已知二階方陣\(\left[ \matrix{a_{11}&a_{12} \cr a_{21}&a_{22}} \right]\)滿足\( \left[\matrix{a_n \cr b_n} \right]=\left[ \matrix{a_{11}&a_{12} \cr a_{21}&a_{22}} \right]^n \left[ \matrix{a \cr b} \right] \)。
(1)求二階方陣\(\left[ \matrix{a_{11}&a_{12} \cr a_{21}&a_{22}} \right]\)。
(2)當\(\displaystyle a=\frac{2}{3},b=\frac{1}{3}\)時，求\(a_{100}\)及\(b_{100}\)。
(3)當\(\displaystyle a=\frac{2}{3},b=\frac{1}{3}\)時，在第二輪操作後，\(A\)瓶的溶液中有百分之多少的酒精？
(98指考數學乙，https://www.google.com/search?q= ... chrome&ie=UTF-8)

5.
如圖所示，\(PQRS\)為一給定的矩形，長\(\overline{PQ}=14,\overline{QR}=6\)，而\(\Delta ABC\)為等腰三角形，其中\(\overline{AB}=\overline{AC}\)，\(P\)、\(Q\)在\(\overline{BC}\)邊上，\(R\)、\(S\)分別在\(\overline{CA}\)、\(\overline{AB}\)邊上，求\(\Delta ABC\)面積的最小值=　　　。

如圖所示，\(PQRS\)為一給定的矩形，長\(\overline{PQ}=12,\overline{QR}=5\)，而\(\Delta ABC\)為等腰三角形，其中\(\overline{AB}=\overline{AC}\)，\(P\)、\(Q\)在\(\overline{BC}\)邊上，\(R\)、\(S\)分別在\(\overline{CA}\)、\(\overline{AB}\)邊上，則當\(\Delta ABC\)中\(\overline{BC}\)邊上的高為　　　時，\(\Delta ABC\)的面積為最小。
(100指考數學甲，https://www.google.com/search?q= ... chrome&ie=UTF-8)

6.
將一枚均勻的硬幣丟擲\(n\)次，在丟擲過程中，正面第一次出現時可得獎金100元，正面第二次出現時可再得獎金200元，正面第三次出現時可再得獎金300元，以此類推。則丟擲\(n\)次的獎金期望值為　　　元。(以\(n\)表示)

將一枚均勻的硬幣丟擲10次，在丟擲過程中，正面第一次出現時可得獎金100元，正面第二次出現時可再得獎金200元，正面第三次出現時可再得獎金300元，以此類推。則：
(1)得到獎金2800元的機率為　　　。
(2)丟擲10次的獎金的期望值為　　　元。
(103彰化女中段考試題)

已知丟某枚銅板，其出現正面的機率為\(p\)，出現反面的機率為\((1-p)\)，將此枚銅板丟擲\(n\)次，在丟擲過程中，正面第一次出現時，可得獎金1元﹐正面第二次出現時﹐可再得獎金2元，正面第三次出現時，可再得獎金 3 元，以此類推。試問下列哪些選項是正確的？
(1)若\(n\)次丟擲中出現正面\(k\)次，總共得到獎金\(\displaystyle \frac{1}{2}(k^2-k)\)元
(2) 丟擲銅板第二次之後，累計得獎金1元的機率為\(2(p-p^2)\)
(3) 總共得到獎金2元的機率為\(\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}p^2(1-p)^{n-2}\)
(4) 總共得到獎金\(\displaystyle \frac{1}{2}(n^2-n)\)元的機率為\(n(p^{n-1}-p^n)\)
(98指考數學甲，https://www.google.com/search?q= ... chrome&ie=UTF-8)

7.
在空間直角坐標系中有一點\(A(5,2\sqrt{6},7)\)。\(xy\)平面上有一圓\(C\)，其圓心為原點\(O\)、半徑為\(\sqrt{2}\)，\(P\)為圓\(C\)上的點且向量\(\vec{OA}\)與向量\(\vec{OP}\)所圍三角形面積為整數，則這樣的\(P\)點有　　　個。

在空間直角坐標系中有一點\(A(3,4,5)\)。\(xy\)平面上有一圓\(C\)，其圓心為原點\(O\)、半徑為\(\sqrt{2}\)，\(P\)為圓\(C\)上的點且向量\(\vec{OA}\)與向量\(\vec{OP}\)所圍三角形面積為整數，則這樣的\(P\)點有　　　個。
(1)4　(2)6　(3)8　(4)10　(5)12
(105模擬考數學甲，http://affairs.ymhs.tyc.edu.tw/m ... E7%94%B21060405.pdf)

8.
函數\(f(x)=x^2-\sqrt{2}x\)與\(g(x)=-x^2-1\)的圖形有兩條公切線且可得到四個切點，則此四個切點組成的四邊形周長為　　　。

函數\(f(x)=x^2-2ax\)與\(g(x)=-x^2-1\)的圖形有兩條公切線且可得到四個切點，若此四個切點組成的四邊形周長為6，求實數\(a\)的值。
(103高中數學能力競賽，http://pisa.math.ntnu.edu.tw/fil ... s_writtenexam_1.pdf)

計算證明題
2.
設相異三平面\( E_1 \)：\( a_1 x+b_1 y+c_1 z=d_1 \)，\( E_2 \)：\( a_2 x+b_2 y+c_2 z=d_2 \)，\( E_3 \)：\( a_3 x+b_3 y+c_3 z=d_3 \)
兩兩相交於一直線且三交線互相平行，令
\( \Delta=\Bigg\vert\; \matrix{a_1 & a_1 & c_1 \cr a_2 & b_2 & c_2 \cr a_3 & b_3 & c_3} \Bigg\vert\; \)，\( \Delta_x=\Bigg\vert\; \matrix{d_1 & a_1 & c_1 \cr d_2 & b_2 & c_2 \cr d_3 & b_3 & c_3} \Bigg\vert\; \)，\( \Delta_y=\Bigg\vert\; \matrix{a_1 & d_1 & c_1 \cr a_2 & d_2 & c_2 \cr a_3 & d_3 & c_3} \Bigg\vert\; \)，\( \Delta_z=\Bigg\vert\; \matrix{a_1 & a_1 & d_1 \cr a_2 & b_2 & d_2 \cr a_3 & b_3 & d_3} \Bigg\vert\; \)，
請證明：\( \Delta=0\)且\(\Delta_x,\Delta_y,\Delta_z \)至少一個不為0

三平面兩兩相交一直線，且三直線平行，證明\(\Delta=0\)，\(\Delta x,\Delta y,\Delta z\)至少有一個不為0
(102武陵高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1604&page=1#pid8139)

4.
證明：\(\displaystyle 87<\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{2019}}<89\)
https://math.pro/db/thread-156-1-1.html

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作者: peter0210 時間: 2019-4-28 15:31

填充10

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作者: q1214951 時間: 2019-4-29 17:59 標題: 想請教第六題的題目

想請教各位老師第六題，
看了指考題後還是不知道期望值應該怎麼算，
希望老師們給一點方向，感謝！

作者: peter0210 時間: 2019-4-29 19:38

填充6

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作者: arend 時間: 2019-5-3 01:00

請教填充第二題，用TRML2006做法，應該做不出來，請高手指教，謝謝

作者: czk0622 時間: 2019-5-3 14:52 標題: 回復 6# arend 的帖子

若 \(n=1\)，\(2^{2}+2+2^{10}=1030\) 非完全平方
若 \(n=2\)，\(2^{2}+2^{2}+2^{10}=1032\) 非完全平方
若 \(n=3\)，\(2^{2}+2^{3}+2^{10}=1036\) 非完全平方
若 \(n\geq 4\)，\(2^{2}+2^{n}+2^{10}=2^{2}(1+2^{n-2}+2^{8})\)
因此 \(1+2^{n-2}+2^{8}\) 為完全平方數，且為奇數
設 \(1+2^{n-2}+2^{8}=(1+2k)^{2}\)，展開得 \(2^{n-2}+2^{8}=4k+4k^{2}\)
因為 \(n\geq 4\)，所以 \(2^{n-4}+2^{6}=k+k^{2}=k(k+1)\)
即 \(2^{n-4}+2^{6}\) 為兩相鄰整數相乘
1. 若 \(n-4 \geq 6\)，\(2^{n-4}+2^{6}=2^{6}(2^{n-10}+1)\)，得 \(n-10=6\)，\(n=16\)
2.若 \(n-4 < 6\)，\(2^{n-4}+2^{6}=2^{n-4}(1+2^{10-n})\)，得 \(n-4=10-n\)，\(n=7\)
所以最大值為 \(16\)，最小值為 \(7\)

作者: arend 時間: 2019-5-4 02:47

謝謝你，感激

作者: yi4012 時間: 2019-5-4 09:48 標題: 回復 7# czk0622 的帖子

我倒是沒考慮到n=1~3
方法類似，但是因為數字都是2的次方
我分成
1：
\(2^{10}+2^n+4=(2^5+2)^2=2^{10}+2^7+4\)
\(n=7\)
2：
令\(2^n=b^2\)
\(b^2+2^{10}+4=(b+2)^2=b^2+4b+4\)
\(\displaystyle \frac{n}{2}=10-2=8\)
\(n=16\)

所以得到\(n=16；7\)兩根

作者: royan0837 時間: 2019-5-4 15:23 標題: 回復 3# peter0210 的帖子

請問算式中的 \(x\) 是指什麼?

作者: czk0622 時間: 2019-5-4 18:29 標題: 回復 9# yi4012 的帖子

這方法我也想過，但如何解釋此兩解分別是最大最小值，且保證無其他解?

作者: royan0837 時間: 2019-5-4 21:23

想請教填充第4題

設 \(0<\theta<\phi,~\theta+\phi=45^\circ\)，若 \(\cot{\theta},~\cot{\phi}\) 都是正整數，求 \(\cot{\theta}+\cot{\phi}\) 之值。

作者: thepiano 時間: 2019-5-4 22:14 標題: 回復 12# royan0837 的帖子

填充第 4 題
\(\begin{align}
& \cot \left( \theta +\phi \right)=1 \\
& \frac{\cot \theta \cot \phi -1}{\cot \theta +\cot \phi }=1 \\
& \left( \cot \theta -1 \right)\left( \cot \phi -1 \right)=2 \\
& \cot \theta =3,\cot \phi =2 \\
\end{align}\)

作者: Christina 時間: 2019-5-5 21:02

想請教老師們第七題跟第八題^_^謝謝～～

作者: satsuki931000 時間: 2019-5-5 21:06

第八題算出兩條直線斜率
把四點都求出直接硬算周長得6
想請問有沒有比較快的方法

作者: weiye 時間: 2019-5-6 08:51

填充7.

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作者: satsuki931000 時間: 2019-5-6 10:39

六類似作法XD

圖片附件: 804C83BF-0AB5-4828-81B4-7C9021EC64C7.png (2019-5-6 10:39, 213.9 KB) / 該附件被下載次數 4049
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作者: Christina 時間: 2019-5-6 11:45

圖畫得好清楚^_^謝謝老師們幫忙～～！

作者: fionalee 時間: 2019-5-6 14:48 標題: 填充9

應該是黎曼和,對嗎?
但我解不出正確答案...
請教老師們過程

作者: satsuki931000 時間: 2019-5-6 15:03

9是黎曼和沒錯

圖片附件: 08407E44-E631-46D7-AAA2-D1F8499FEFB5.png (2019-5-6 15:03, 250 KB) / 該附件被下載次數 4048
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作者: fionalee 時間: 2019-5-6 21:18 標題: 回復 20# satsuki931000 的帖子

謝謝老師！非常清楚的解題過程

作者: milkylavenders 時間: 2019-5-30 21:20

引用:

原帖由 royan0837 於 2019-5-4 21:23 發表
想請教填充第4題

設 \(0

高中有一個幾何的問題，可以來解釋這個問題。

圖片附件: 61717.jpg (2019-5-30 21:20, 47.46 KB) / 該附件被下載次數 3615
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作者: anyway13 時間: 2019-7-31 09:23 標題: 請教第12題

請問版上老師弟十二題要怎麼做阿

座標盯完後就卡了 ...

作者: Ellipse 時間: 2019-7-31 11:09

引用:

原帖由 anyway13 於 2019-7-31 09:23 發表
請問版上老師弟十二題要怎麼做阿

座標盯完後就卡了 ...

假設w_k=cos(36度*k)+i*sin(36度*k) (k=1,2,3,.....10) 為x^10=1的十個相異複數根
則x^10-1=(x-w_1)(x-w_2)............(x-w_10) -------------(*1)
將(*1)兩邊對x微分,10x^9 =(x-w_2)(x-w_3)*............*(x-w_10) + ...................+(x-w_1)(x-w_2)*...........*(x-w_9)--------(*2)
所求=[ |10(w_1)^9|*|10(w_2)^9|*|10(w_3)^9|*.................*|10(w_10)^9| ]^0.5
=(10^10)^0.5=10^5=100000

有看不懂的地方再問

作者: weiye 時間: 2019-7-31 12:13 標題: 回復 23# anyway13 的帖子

填充第12題：

設在複數平面上這十個等分點分別是 \(A_1\left(1\right),A_2\left(\omega\right), A_3\left(\omega^2\right),\cdots, A_{10}\left(\omega^9\right)\)，

其中 \(\omega= \cos \frac{2\pi}{10}+i \sin\frac{2\pi}{10}\)，且易得 \(\left(x-\omega\right)\left(x-\omega^2\right)\cdots\left(x-\omega^9\right)=1+x+x^2+\cdots+x^9\)

先算 \(A_1\) 到其餘九點的距離乘積 \(\left|\left(1-\omega\right)\left(1-\omega^2\right)\cdots\left(1-\omega^9\right)\right|=\left|1+1^1+1^2+\cdots+1^9\right|=10\)

所以，[相對位置旋轉一圈，可知]
這十個點中的任一點，到其餘九點的距離乘積都是 \(10\)。

[因為 \(A_i\) 連到 \(A_j\) 的線段長 = \(A_j\) 連到 \(A_i\) 的線段長]
故，所求 \(=\sqrt{10^{10}}=100000\)。

作者: anyway13 時間: 2019-8-1 22:26 標題: 回復 24 25# Ellipse , weiye 的帖子

謝謝Ellipse 老師以及weiye老師的細心講解
受益良多

作者: Chen 時間: 2019-10-27 18:31 標題: 回復 7# czk0622 的帖子

您波的最後這裡
若 n−4大於等於6，2^(n−4)+2^6=2^6(2^(n−10)+1)，得 n−10=6，n=16
有個問題：

如何證明16是最大值？

用奇偶性分析即可證出。

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