標題: 106高雄聯招簡略版 [打印本頁]

---

作者: Lingling02    時間: 2017-6-5 18:27     標題: 106高雄聯招簡略版

不確定有無漏掉之處。

附件: 106高雄聯招(簡略).pdf (2017-6-5 18:27, 274.01 KB) / 該附件被下載次數 9448
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4137&k=d73c3e2149f20e98abac441e386e4ca2&t=1714140158

---

作者: weni    時間: 2017-6-5 19:43

13(1) 應該是 \( tanA+tanB+tanC＝tanA tanB tanC \)

13(2) 應該是 \( \displaystyle \frac{abc}{xyz}=\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z} \)

---

作者: Lingling02    時間: 2017-6-5 20:09

3Q~另外還有第5是.. |loga-logb|<=1..不是等於1...寫錯了

引用:

原帖由 weni 於 2017-6-5 19:43 發表
13(1) 應該是 \( tanA+tanB+tanC＝tanA tanB tanC \)

13(2) 應該是 \( \frac{abc}{xyz}=\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z} \)

[ 本帖最後由 Lingling02 於 2017-6-5 20:11 編輯 ]

---

作者: eyeready    時間: 2017-6-5 21:09

6/6 試題星期二就會公佈了唷！
PS：這份90分鐘，真的寫不了幾題= = ！

---

作者: Ellipse    時間: 2017-6-5 22:14

引用:

原帖由 eyeready 於 2017-6-5 21:09 發表
6/6 試題星期二就會公佈了唷！
PS：這份90分鐘，真的寫不了幾題= = ！

一堆考古題~有練的人應該會的考不錯

---

作者: eyeready    時間: 2017-6-7 19:37     標題: 回復 5# Ellipse 的帖子

49分進複試，沒想到神手橢圓兄也來考了！
PS：『聯招』的考試居然都不公佈試題，身為考生的我們只能自力救濟？

[ 本帖最後由 eyeready 於 2017-6-7 23:52 編輯 ]

---

作者: Ellipse    時間: 2017-6-7 21:46

引用:

原帖由 eyeready 於 2017-6-7 19:37 發表
49分進複試，沒想到神手橢圓兄也來考了！
PS：『聯招』的考試居然都不公佈試題，身為考生的我們只能自力救濟？

小弟印象中有這幾題
第一題
\(
\displaystyle 設S = \frac{1}{{\sqrt 1 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 }} + \)...

小弟離上次考生身分已很多年了~
math pro這些年陸陸續續出現很多高手
覺得可以把解題任務讓給這些新生代了
所以都在潛水欣賞你們的解題~

回答您說的時間上的問題~假如我是考生
就我第一眼看到這張的題目,大約有一半是考古題(我曾看過類似題型)
而時間只有90分,我就先攻這一半有把握的考古題~
因為是考古題,所以必須要練到成反射動作,每題不加思索5分內就要解出,
其他題目大約還會有一半以上時間再臨場反應寫出~
所以考49分應該不是難事~但這只是複試門檻
進複試還是要靠豐富的教學經驗累積,成績才能再提升
成為前面那幾個才有希望~

---

作者: eyeready    時間: 2017-6-7 22:11     標題: 回復 7# Ellipse 的帖子

看來小弟還有要努力的空間啊～～!原本預期45進的....剩五分鐘就去驗算了...（哭哭）

[ 本帖最後由 eyeready 於 2017-6-7 22:13 編輯 ]

---

作者: Ellipse    時間: 2017-6-7 22:31

引用:

原帖由 eyeready 於 2017-6-7 22:11 發表
看來小弟還有要努力的空間啊～～!原本預期45進的....剩五分鐘就去驗算了...（哭哭）

依您的實力~假以時日
一定可以考上公立的
加油~~

---

作者: laylay    時間: 2017-6-8 00:23     標題: 1.

由函數的圖形面積大小知
2(s-1)>1/\(\sqrt{x}\)由3到2019的積分=2(\(\sqrt{2019}\)-\(\sqrt{3}\))=2*43.2..
2(s-1)<1/\(\sqrt{x}\)由1到2017的積分=2(\(\sqrt{2017}\)-\(\sqrt{1}\))=2*43.9..
所以 [s-1]=43 => [s]=44
經由Excel算出 s=44.49442742...
其實2(s-1)<1/\(\sqrt{x}\)由2到2018的積分=2(\(\sqrt{2018}\)-\(\sqrt{2}\))=2*43.5079..
這是一道不錯的未來考題喔(請思考一下便知),而且左右兩邊差距只有2*0.013而已
建議上面第二個粗糙的不等式要被第三個精緻的不等式取代了,否則十年後的2027,2029,2031....，2061
就解不出答案喔 !
但是2063,2065.....2089連我提供的方法也行不通了，這時有人有辦法解決嗎？  即第一個粗糙的逼近有更好的逼近方式嗎？

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-6-8 09:16 編輯 ]

---

作者: dream10    時間: 2017-6-8 10:33

引用:

原帖由 laylay 於 2017-6-8 00:23 發表
由函數的圖形面積大小知
2(s-1)>1/\(\sqrt{x}\)由3到2019的積分=2(\(\sqrt{2019}\)-\(\sqrt{3}\))=2*43.2..
2(s-1) [s]=44
經由Excel算出 s=44.49442742...
其實2(s-1)

我的想法是直接1+1/根號2+1/根號3+....+1/根號2017
然後答案除以2
這樣不知道有沒有錯

---

作者: 王重鈞    時間: 2017-6-8 13:16     標題: #回覆一樓

第10題
令t=x^2
考慮
∫[0∞]e^-x^2 dx的瑕積分
可以用富比尼定理
答案應該是 √π

---

作者: cefepime    時間: 2017-6-8 14:05

第一題  求 1 + 1/√3 + 1/√5 +...+ 1/√2017 的整數部分。

印象中，這個問題站長 weiye 老師和版主 bugmens 老師都有介紹過。除了積分的方式，還可利用:

2 / [ √k + √(k+2) ] < 1/√k = 2/2√k  < 2 / [ √(k-2) + √k ]  (當 k > 1)

即 √(k+2) - √k < 1/√k < √k - √(k-2)

以下移位相消即可。又，"1" 的這項不要用上式去"估" (並不僅因為右式變虛數)，以免不必要的放大而無法判斷。本題即是一例。

進一步說，如果這樣還無法判斷，則考慮多取若干項直接計算之 (雖也是近似值，但更精確)。




[ 本帖最後由 cefepime 於 2017-6-8 14:22 編輯 ]

---

作者: laylay    時間: 2017-6-8 14:56     標題: 12.

設P C＝6r,則P D＝6（1-r）
x+y＝24r+24r（（1-r）/r)^2＝24（2r+1/r-2）
最小值＝48(\(\sqrt{2}-1\))

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-6-9 21:03 編輯 ]

---

作者: Lingling02    時間: 2017-6-8 17:27

想請教14. 利用數學歸納法證明
\(\sqrt[n]{n}>\sqrt[n+1]{n+1}   , \forall n >=3 \)

---

作者: thepiano    時間: 2017-6-8 18:58     標題: 回復 15# Lingling02 的帖子

第14題
就是證明\(n\ge 3,\quad {{n}^{n+1}}>{{\left( n+1 \right)}^{n}}\)，這是很常見的題目

---

作者: Lingling02    時間: 2017-6-8 20:35

對耶~哈哈~汗顏~~謝囉thepiano師

引用:

原帖由 thepiano 於 2017-6-8 18:58 發表
第14題
就是證明\(n\ge 3,\quad {{n}^{n+1}}>{{\left( n+1 \right)}^{n}}\)，這是很常見的題目

---

作者: laylay    時間: 2017-6-9 10:09     標題: 11.

11題

圖片附件: 20170609_095403.jpg (2017-6-9 10:09, 1.35 MB) / 該附件被下載次數 4861
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4148&k=0af642f5c42d677eca1200a25498ccc7&t=1714140158

---

作者: laylay    時間: 2017-6-9 13:59     標題: 9.

本題重點是要如何去找個三階方陣B使B*B=-B呢?

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-6-9 20:31 編輯 ]

圖片附件: 20170609_140752.jpg (2017-6-9 14:12, 1.32 MB) / 該附件被下載次數 4508
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4149&k=4d122447cc3f38a7a46be5c766bc62ca&t=1714140158

---

作者: BambooLotus    時間: 2017-6-9 20:27

幫補上第10題的過程

令 \( \displaystyle t = {x^2},dt = 2xdx \)，原式 \( \displaystyle = \int_0^\infty  {\frac{1}{x} \times {e^{ - {x^2}}} \times 2xdx}  = 2\int_0^\infty  {{e^{ - {x^2}}}dx} \)

\( \displaystyle {\left( {\int_0^\infty  {{e^{ - {x^2}}}dx} } \right)^2} = \int_0^\infty  {{e^{ - {x^2}}}dx}  \times \int_0^\infty  {{e^{ - {y^2}}}dy}  = \int_0^\infty  {\int_0^\infty  {{e^{ - \left( {{x^2} + {y^2}} \right)}}dxdy} } \)
\( \displaystyle = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\int_0^\infty  {{e^{ - {r^2}}} \times rdrd\theta } }  = \frac{\pi }{2}\int_0^\infty  {r{e^{ - {r^2}}}dr}  = \frac{\pi }{4} \)，故 \( \displaystyle \int_0^\infty  {{e^{ - {x^2}}}dx}  = \frac{{\sqrt \pi  }}{2} \)
原式 \( \displaystyle = 2\int_0^\infty  {{e^{ - {x^2}}}dx}  = \sqrt \pi  \)

然後想問一下laylay老師怎麼知道第9題要先拉出I而不是去找特徵根

[ 本帖最後由 BambooLotus 於 2017-6-12 00:40 編輯 ]

---

作者: laylay    時間: 2017-6-9 20:34     標題: 回復 20# BambooLotus 的帖子

因為之前做過A=I+B的題型,又觀察到A中只有主對角線上的數字不協調,另外求特徵根的過程太麻煩了!

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-6-10 09:05 編輯 ]

---

作者: laylay    時間: 2017-6-11 13:32     標題: 回復 20# BambooLotus 的帖子

9.
det(A-xI)=0 => 特徵根是x= 1,-1/3,-1/3 , AVi=xiVi => AP=PB ,當中P=[V1,V2,V3] , B=[1,  0 ,  0 ]
                                                                                                                                     [0,-1/3, 0 ]
                                                                                                                                     [0, 0 ,-1/3]
但是P中的第二，三兩行V2=V3,det(P)=0,P^(-1)不存在
以前的A^n=P*B^n*P^(-1)便無法使用,請問如何解決呢?
看了樓下,k重根便有k個特徵向量且湊成的P ,P^(-1)可以存在吧?
樓下的PDP^(-1) 應該改成PD^nP^(-1) 吧?

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-6-12 00:01 編輯 ]

---

作者: laylay    時間: 2017-6-11 17:04     標題: 3.

P1=3/8
Pn=P(n-1)*3/8+(1-P(n-1))*5/8=5/8-1/4*P(n-1)
設(Pn-k)=-1/4*(P(n-1)-k)=>k=1/2
Pn-1/2=(-1/4)^(n-1)(P1-1/2) => Pn=(1+(-1/4)^n)/2

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-6-11 19:05 編輯 ]

---

作者: BambooLotus    時間: 2017-6-11 19:36

特徵根算錯好多次，只好借助wolframalpha驗算一下
然後三階反方陣沒背公式又要用高斯消去法求，真的是好麻煩


對，最後一行打錯了...
很懶得再上傳一次圖片，剛學會latex而已也不是用得很順手就不編輯了

這題是因為很明顯要對角化才直接寫，如果要證明可對角化就要看代數重數跟幾何重數了
橢圓老師在101田中高中有寫到
https://math.pro/db/thread-1365-2-2.html
第3題以前看過寸絲老師的妙解，就算要求的不是偶數也可以處理
https://math.pro/db/thread-1890-3-1.html

[ 本帖最後由 BambooLotus 於 2017-7-20 20:30 編輯 ]

---

作者: laylay    時間: 2017-6-12 00:26     標題: 回復 24# BambooLotus 的帖子

3.
令f(x)=[(5x+3)/8]^n,所求=偶數次方係數和=[f(1)+f(-1)]/2=(1+(-1/4)^n)/2

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-6-13 08:37 編輯 ]

---

作者: yustarhunter    時間: 2017-7-11 02:39     標題: 回復 20# BambooLotus 的帖子

我可以請教一下第十題嗎？(是我自己看不懂)

為什麼極座標代換後的範圍為什麼是0~無限大，跟0~pi/2呢？

謝謝

---

作者: BambooLotus    時間: 2017-7-11 03:03

因為我原本的範圍是x從0到無限大 y從0到無限大，那就是整個第一象限

換成極座標的話就是r從0到無限大，角度從0到pi/2

---

作者: yustarhunter    時間: 2017-7-11 15:47     標題: 回復 27# BambooLotus 的帖子

挖，真是謝謝這位老師，懂了！(我繼續完成別的題目)

-------
未來這一年好像該多多指教了，還有好多要補強的！(已經逃避跟難過好幾年，終於在筆試有點信心的我)

---

作者: floot363    時間: 2017-8-11 15:15     標題: 回復 1# Lingling02 的帖子

謝謝 「Lingling02」老師和「weni」老師的記錄整理
我把它打成PDF檔
若仍有錯誤，請老師們再提醒我，我再修改
謝謝你們

[ 本帖最後由 floot363 於 2017-8-11 15:39 編輯 ]

附件: 106-高雄聯招.pdf (2017-8-11 15:15, 82.53 KB) / 該附件被下載次數 5750
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4250&k=8a7b938f5154c035624f4a25be4dbfc9&t=1714140158

---

作者: beaglewu    時間: 2019-5-16 14:54

可以請教第2、7題嗎？

[ 本帖最後由 beaglewu 於 2019-5-16 14:55 編輯 ]

---

作者: thepiano    時間: 2019-5-16 16:49     標題: 回復 30# beaglewu 的帖子

第2題
\(\begin{align}
  & {{S}_{n}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{\left| {{Z}_{k+1}}-{{Z}_{k}} \right|} \\
& =\sum\limits_{k=1}^{n}{{{\left| \frac{1-i}{2} \right|}^{k}}\left| \frac{1-i}{2}-1 \right|} \\
& ={{\sum\limits_{k=1}^{n}{\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}^{k+1}} \\
& \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{S}_{n}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\sum\limits_{k=1}^{n}{\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}^{k+1}}=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{2+\sqrt{2}}{2} \\
\end{align}\)

---

作者: thepiano    時間: 2019-5-16 17:16     標題: 回復 30# beaglewu 的帖子

第7題
\(A={{\left( -5910 \right)}^{n}}\)為正整數，\(n\)為偶數
\(A={{5910}^{n}}\)可能是1000位數到9999位數
\(\begin{align}
  & 999<\log A<9999 \\
& 999<n\log 5910<9999 \\
& 249.75<\frac{999}{\log 10000}<\frac{999}{\log 5910}<n<\frac{9999}{\log 5910}<\frac{9999}{\log 1000}=3333 \\
& n=2000 \\
& A={{5910}^{2000}} \\
\end{align}\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2019-5-16 17:20 編輯 ]

---

作者: beaglewu    時間: 2019-5-17 10:05     標題: 回復 32# thepiano 的帖子

謝謝 the piano 老師!

---

作者: nanpolend    時間: 2020-5-16 20:28     標題: 回復 17# Lingling02 的帖子

https://web.math.sinica.edu.tw/math_media/d221/22120.pdf

---

作者: nanpolend    時間: 2020-5-16 22:38

請教13題（2）證明

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2020-5-17 13:24 編輯 ]

圖片附件: 15896396869701830759918.jpg (2020-5-16 22:38, 3.19 MB) / 該附件被下載次數 3852
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5465&k=372b238d390eee59590f5f4974732f1a&t=1714140158

---

作者: nanpolend    時間: 2020-5-19 03:09     標題: 回復 1# Lingling02 的帖子

請教第三題

---

作者: superlori    時間: 2020-5-19 09:50     標題: 回復 36# nanpolend 的帖子

P_n=P(偶)P_(n-1)+P(奇)(1-P_(n-1))
=>P_n=(3/8)*P_(n-1)+(5/8)*(1-P_(n-1))

[ 本帖最後由 superlori 於 2020-5-19 09:51 編輯 ]

---

作者: nanpolend    時間: 2020-5-19 23:23     標題: 回復 1# Lingling02 的帖子

請教第四題

---

作者: nanpolend    時間: 2020-5-20 08:39     標題: 回復 1# Lingling02 的帖子

請教第5題

---

作者: nanpolend    時間: 2020-5-20 16:03     標題: 回復 1# Lingling02 的帖子

感謝各位老師這份練習過一遍

---

歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/)

論壇程式使用 Discuz! 6.1.0