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標題: 106全國高中聯招 [打印本頁]

作者: Sandy 時間: 2017-5-13 12:04 標題: 106全國高中聯招

如題

附件: 106全國聯招.pdf (2017-5-13 23:58, 232.64 KB) / 該附件被下載次數 14637
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4071&k=d3332b89bfc76977eaa14a48ec9e31d7&t=1713999651

作者: thepiano 時間: 2017-5-13 13:05

計算第1題
(1)若\((\sqrt{2}-1)^5=\sqrt{m+1}-\sqrt{m}\)，則正整數\(m\)之值為何？
(2)請證明存在某一正整數\(m\)滿足：\((\sqrt{2}-1)^{2017}=\sqrt{m+1}-\sqrt{m}\)。
[提示]
利用
\(\begin{align}
  & {{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{n}}=\sqrt{a+1}-\sqrt{a} \\
& {{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{n}}=\sqrt{a+1}+\sqrt{a} \\
\end{align}\)

可得\(m=1681\)及證出下一小題

110.11.16補充
證明對於任意自然數\(n\)，存在一個自然數\(k\)使得\((\sqrt{2}+1)^n=\sqrt{k}+\sqrt{k-1}\)。
(92高中數學能力競賽　中彰區)

111.2.5補充
給定正整數\(a>b\)，對任意正整數\(n\)皆存在正整數\(m\)，使得\((\sqrt{a}-\sqrt{b})^n=\sqrt{m+1}-\sqrt{m}\)
試問：
(1)找出並證明符合此條件的所有數對\((a,b)\)
(2)數對\((a,b)\)的方程式\((\sqrt{a}-\sqrt{b})^3=\sqrt{m+1}-\sqrt{m}\)，在\(m\)是哪些正整數時，沒有正整數對解？
(109大理高中代理，https://math.pro/db/thread-3360-1-1.html)

111.3.21補充
Prove that \((\sqrt{2}-1)^n \forall n\in Z^{+}\) can be represented as \(\sqrt{m}-\sqrt{m-1}\) for some \(m\in Z^{+}\).
(1994Canada National Olympiad，https://artofproblemsolving.com/ ... a_national_olympiad)

113.3.31補充
已知
\(\displaystyle{(\sqrt 2  - 1)^2} = \sqrt 9  - \sqrt 8 \)
\(\displaystyle{(\sqrt 2  - 1)^3} = \sqrt {50}  - \sqrt {49} \)
\(\displaystyle{(\sqrt 2  - 1)^4} = \sqrt {289}  - \sqrt {288} \)
試證明對於任意正整數\(n\)，皆存在正整數\(m\)使得\(\displaystyle{(\sqrt 2  - 1)^n} = \sqrt {m + 1}  - \sqrt m \)
(103大直高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1872&page=1#pid10132)

作者: thepiano 時間: 2017-5-13 13:23

計算第3題
(1) \({{a}^{2}}\ge 3b\)
(2) \(-5<c<27\)

作者: laylay 時間: 2017-5-13 14:31 標題: 填充6.

在空間中，設球體\(S_1\)：\((x-1)^2+(y-2)^2+z^2\le 4\)，球體\(S_2\)：\((x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2\le 9\)。若\(S_1\)和\(S_2\)的交集區域為\(T\)，則區域\(T\)的體積為　　　。
[解答]
Pi*(9-t^2)dt|7/3..3+Pi*(4-t^2)dt|2/3..2
=Pi*(9t-t^3/3)|7/3..3+Pi*(4t-t^3/3)|2/3..2
=4Pi

作者: eyeready 時間: 2017-5-13 17:34

明天拼新北，大家一起加油囉^_^
複選9
填充4、8
計算2

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作者: satsuki931000 時間: 2017-5-13 23:31

想問各位老師選擇第一題有沒有不硬幹的作法...

作者: weiye 時間: 2017-5-13 23:43 標題: 回復 6# satsuki931000 的帖子

選擇第一題：
設\(\displaystyle a=\root 3\of {\frac{3-\sqrt{5}}{2}}+\root 3 \of{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\)，則\(a^6-6a^4+9a^2+27\)之值為
(A)34　(B)36　(C)38　(D)40
[解答]
利用 \(\left(x+y\right)^3 = x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)\)，可得

\(\displaystyle \left(\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}\right)^3 = \frac{3+\sqrt{5}}{2}+\frac{3-\sqrt{5}}{2}+3\cdot\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\cdot \sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}\left(\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}\right)\)

\(\Rightarrow a^3 =3+3a\)

\(\Rightarrow a^3-3a=3\)

所以，\(\displaystyle a^6-6a^4+9a^2+27 = \left(a^3-3a\right)^2+27 = 36\)

作者: exin0955 時間: 2017-5-14 12:17

想請益單選 4 7
填充1 有比較快的方法嗎
我是用(1+2+...+2017)-2(2+4+6+....+2016)這樣三個都要算好辛苦
填充7 怎麼轉換成圖形上的意義呢

作者: thepiano 時間: 2017-5-14 18:38 標題: 回復 8# exin0955 的帖子

填充第1題
設級數\(f(n)=1^n-2^n+3^n-4^n+\ldots+2015^n-2016^n+2017^n\)，求\(\displaystyle \frac{f(1)f(2)}{f(3)}=\)　　　。
[解答]
\(\begin{align}
& f\left( 1 \right)=1+\left( -2+3 \right)+\left( -4+5 \right)+\cdots +\left( -2016+2017 \right)=1009 \\
& \\
& f\left( 2 \right)={{1}^{2}}+\left( -{{2}^{2}}+{{3}^{2}} \right)+\left( -{{4}^{2}}+{{5}^{2}} \right)\cdots +\left( -{{2016}^{2}}+{{2017}^{2}} \right) \\
& =1+5+9+\cdots +4033 \\
& =\frac{1009\times \left( 1+4033 \right)}{2} \\
& =1009\times 2017 \\
\end{align}\)

而\(f\left( 3 \right)\)的做法與您相同

填充第7題
這題是老梗題了，一般都用代數做，應該無法轉成幾何來做

作者: exin0955 時間: 2017-5-14 18:54 標題: 回復 9# thepiano 的帖子

非常感謝鋼琴老師的解惑

作者: thepiano 時間: 2017-5-14 20:32 標題: 回復 8# exin0955 的帖子

單選第4題
滿足\(\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{1899}\)的正整數數對\((x,y)\)共有多少組？
(A)5　(B)10　(C)15　(D)20
[解答]
\(\begin{align}
& \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{1899} \\
& 1899y+1899x=xy \\
& \left( x-1899 \right)\left( y-1899 \right)={{1899}^{2}}={{3}^{4}}\times {{211}^{2}} \\
\end{align}\)

\({{3}^{4}}\times {{211}^{2}}\)有15個正因數
所求為15組

單選第7題
試問\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(\sum_{k=n}^{2n-1}\frac{3}{\sqrt{nk}}\right)\)之值最接近下列哪一個選項？
(A)3　(B)2.7　(C)2.6　(D)2.5
[解答]
\(\begin{align}
& \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sum\limits_{k=n}^{2n-1}{\frac{3}{\sqrt{nk}}} \right) \\
& =\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{3}{\sqrt{{{n}^{2}}}}+\frac{3}{\sqrt{{{n}^{2}}+n}}+\frac{3}{\sqrt{{{n}^{2}}+2n}}+\cdots +\frac{3}{\sqrt{{{n}^{2}}+{{n}^{2}}-n}} \right) \\
& =3\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n}\left( \frac{1}{\sqrt{1+\frac{0}{n}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{1+\frac{n-1}{n}}} \right) \\
& =3\int_{0}^{1}{\frac{1}{\sqrt{1+x}}dx} \\
& =3\left( 2\sqrt{2}-2 \right) \\
& =6\sqrt{2}-6 \\
\end{align}\)

作者: arend 時間: 2017-5-15 23:07

請教複選 2 與 4

作者: Bra 時間: 2017-5-15 23:37

想請教一下填充5和填充7
麻煩各位老師了

複選4
我是把各選項的反方陣算出來
再拿去乘AB和AC
結果必須要是每一個元素都是整數才可以

作者: tuhunger 時間: 2017-5-15 23:37 標題: 複選2

迴歸線公式請見高中第二冊4-2

圖片附件: 2017-05-15 23.35.35.jpg (2017-5-15 23:37, 383.43 KB) / 該附件被下載次數 5721
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作者: arend 時間: 2017-5-16 00:56 標題: 回復 14# tuhunger 的帖子

謝謝tuhunger老師
這次考題變化比以前大,一時沒轉過來
當時只想到\(\displaystyle \frac{1}{2}=r x \frac{S_y}{S_x}\)，\(a+b=14\), 然後就....

作者: arend 時間: 2017-5-16 01:59

請教填充2與3
謝謝

作者: yinchou 時間: 2017-5-16 07:54 標題: 回復 16# arend 的帖子

填充3
空間中，\(A(4,-4,4)\)、\(B(2,0,0)\)、\(C(-1,0,-3)\)、\(D\)四點同在一平面\(E\)上，若\(ABCD\)為一等腰梯形且\(\overline{AB}\)//\(\overline{CD}\)，求\(D\)點坐標　　　。
[解答]
\(\overline{AB}\)//\(\overline{CD}\)可設\(D(-1+t,-2t,-3+2t)\)
且\(\overline{AD}^2=\overline{BC}^2=18 \Rightarrow t^2-6t+8=0 \Rightarrow t=4 or 2\)
\(t=2\)時\(\overline{AD}\)//\(\overline{BC}\)不合，故\(t=4\)，\(D(3,-8,5)\)

作者: weiye 時間: 2017-5-16 08:01 標題: 回復 16# arend 的帖子

填充第二題：
四邊形\(ABCD\)，已知\(\angle A=120^{\circ}\)，\(B\)和\(D\)都是直角，\(\overline{AB}=13\)，\(\overline{AD}=46\)，試求\(\overline{AC}=\)　　　。
[解答]
觀察：

   因為 \(\angle ABC = \angle ADC = 90^\circ\)，

   所以四邊形 \(ABCD\) 內接於「以\(\overline{AC}\) 為直徑的圓」。

解：

在 \(\triangle ABD\) 中，由餘弦定理，\(\overline{BD}=\sqrt{13^2+46^2-2\cdot 13\cdot 46 \cos120^\circ}=31\sqrt{3}\)

在 \(\triangle CBD\) 中，由正弦定理，\(\displaystyle\frac{\overline{BD}}{\sin60^\circ}=2 \times\mbox{四邊形}ABCD\mbox{的外接圓半徑}\)

   \(\Rightarrow \overline{AC}=2\times\mbox{四邊形}ABCD\mbox{的外接圓半徑}=62\)

作者: thepiano 時間: 2017-5-16 08:02 標題: 回復 13# Bra 的帖子

填充第5題
求值：\(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^3+8k^2+15k}=\)　　　。
[解答]
\(\begin{align}
& \frac{1}{{{k}^{3}}+8{{k}^{2}}+15k} \\
& =\frac{1}{k\left( k+3 \right)\left( k+5 \right)} \\
& =\frac{1}{5}\left[ \frac{1}{k\left( k+3 \right)}-\frac{1}{\left( k+3 \right)\left( k+5 \right)} \right] \\
& =\frac{1}{15}\left( \frac{1}{k}-\frac{1}{k+3} \right)-\frac{1}{10}\left( \frac{1}{k+3}-\frac{1}{k+5} \right) \\
\end{align}\)

作者: laylay 時間: 2017-5-16 10:55 標題: 回復 16# arend 的帖子

填充2另解
四邊形\(ABCD\)，已知\(\angle A=120^{\circ}\)，\(B\)和\(D\)都是直角，\(\overline{AB}=13\)，\(\overline{AD}=46\)，試求\(\overline{AC}=\)　　　。
[解答]
（現在流行寫兩解，每解只能得一半分數）
cos120＝cc-ss,（cc+1/2）^2＝（ss）^2＝（1-c^2）（1-c^2）
c^2+c^2+cc＝3/4,兩邊同乘A C^2得13^2+46^2+13*46＝3/4*A C^2
得A C＝62
這裡頭令人好奇的是AC為整數難道純屬巧合嗎？

作者: thepiano 時間: 2017-5-16 11:29 標題: 回復 13# Bra 的帖子

填充第7題
設\(z\)為複數，若\(|\;z|\;=2\)，則\(|\;z^2-2z+8|\;\)的最小值為　　　。
[解答]
令\(z=2\left( \cos \theta +i\sin \theta  \right)\)

\(\begin{align}
  & \left| {{z}^{2}}-2z+8 \right| \\
& =\left| z \right|\left| z-2+\frac{8}{z} \right| \\
& =2\left| 2\cos \theta +2i\sin \theta -2+8\left( \frac{\cos \left( -\theta  \right)+i\sin \left( -\theta  \right)}{2} \right) \right| \\
& =2\left| 6\cos \theta -2-2i\sin \theta  \right| \\
& =2\sqrt{{{\left( 6\cos \theta -2 \right)}^{2}}+{{\left( -2\sin \theta  \right)}^{2}}} \\
& =2\sqrt{32{{\cos }^{2}}\theta -24\cos \theta +8} \\
& =2\sqrt{32{{\left( \cos \theta -\frac{3}{8} \right)}^{2}}+\frac{7}{2}} \\
& \ge \sqrt{14} \\
\end{align}\)

作者: windsemi 時間: 2017-5-16 12:35

想請教填充4的圖形要如何確定只有這種畫法~

又或者是因為不管怎麼畫面積都一樣所以才取這種特殊畫法

麻煩大家了~

作者: eyeready 時間: 2017-5-16 13:00 標題: 回復 22# windsemi 的帖子

主要是方便運算才這樣安排每個三角形都全等的！
PS：若是用不一樣的排列法，所求外圍的弓形面積仍相同！

作者: windsemi 時間: 2017-5-16 16:30

原來關鍵是弓形面積我懂了感謝eye大大~

作者: arend 時間: 2017-5-16 23:10 標題: 回復 18# weiye 的帖子

謝謝瑋岳老師
當時也有想到園內接四邊形,月沒想到AC是直徑

請教一下,若非內接四邊形,是否也有解? 記得以前看過類似題目, 做法不復記憶
謝謝

作者: 米斯蘭達 時間: 2017-5-17 14:00

請教各位，選擇2，謝謝各位。

作者: thepiano 時間: 2017-5-17 14:31 標題: 回復 26# 米斯蘭達的帖子

選擇第 2 題
設\(\theta\)為一銳角滿足\(\displaystyle \frac{16}{sin^6 \theta}+\frac{1}{cos^6 \theta}=81\)，則\(\tan\theta=\)
(A)\(\displaystyle \frac{1}{2}\)　(B)\(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\)　(C)1　(D)\(\sqrt{2}\)。
[提示]
跟今年彰女這題差不多
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2765&page=3#pid17207

作者: anyway13 時間: 2017-5-19 23:19 標題: 請教選擇11題

請教板上老師,選擇11要怎模做阿? 定坐標要做好久,(還是我計算速度太慢)
謝謝

作者: anyway13 時間: 2017-5-19 23:59 標題: 請教填充六

Google 找到 http://mathworld.wolfram.com/Sphere-SphereIntersection.html

可是還是不會,請教一下板上老師!

作者: superlori 時間: 2017-5-20 10:23 標題: 回復 29# anyway13 的帖子

h ttp://ppt.cc/p98DK　連結已失效
給你參考看看

作者: anyway13 時間: 2017-5-20 11:15 標題: 謝謝superlori老師的詳解

只問了兩題,superlori老師卻好心提供全詳解

感恩!

作者: anyway13 時間: 2017-5-20 12:55 標題: 填充3

superlori老師您好

t=-1時不合的原因應該是AD 不平行 BC

因為t=-1時 D(1,-4,1) 也落在E: 2x-y-2z=4上

應該是您筆誤吧! 總之,感謝您po 詳解

作者: superlori 時間: 2017-5-20 14:46 標題: 回復 32# anyway13 的帖子

謝謝您的指教

作者: rotch 時間: 2017-5-24 14:35 標題: 回復 2# thepiano 的帖子

請問這樣假設不就代表要證的東西已經成立了嗎？

作者: thepiano 時間: 2017-5-24 15:01 標題: 回復 34# rotch 的帖子

重點是要證m是正整數

作者: cefepime 時間: 2017-5-25 22:31

填充題 1.
設級數\(f(n)=1^n-2^n+3^n-4^n+\ldots+2015^n-2016^n+2017^n\)，求\(\displaystyle \frac{f(1)f(2)}{f(3)}=\)　　　。
[解答]
一般的結果具有簡單型式

f(n) = 1ⁿ - 2ⁿ + 3ⁿ ... + (-1)^(k-1) *kⁿ

f(1)*f(2) / f(3) =

k / (2k-1)，當 k 是奇數

-(k+1) / (2k+3)，當 k 是偶數

作者: jfy281117 時間: 2017-5-26 12:59 標題: 單選8

箱中有6顆白球、2顆紅球、2顆黑球和2顆綠球，今由箱中每次取1球，取後不放回，取完為止。若每顆球被取到的機會均等，則白球最先取完的機率為何？
(A)\(\displaystyle \frac{1}{24}\)　(B)\(\displaystyle \frac{1}{20}\)　(C)\(\displaystyle \frac{1}{16}\)　(D)\(\displaystyle \frac{1}{10}\)
[解答]
可先將問題轉換為白球以外的球最後取完的機率

例如:紅球最後取完，黑球倒數第二取完，綠球倒數第三取完，所以白球倒數第四取完（即白球最先取完）

紅球最後取完之機率為 \( \frac{2}{12} \)
黑球倒數第二取完之機率為 \( \frac{2}{10} \)
綠球倒數第三取完之機率為 \( \frac{2}{8} \)

故這種情形發生之機率為 \( \frac{2}{12}\times\frac{2}{10}\times\frac{2}{8}=\frac{1}{120} \)

而其他顏色的取完順序有3!=6種，故所求為\(\frac{1}{20}\)

作者: oceanli 時間: 2017-6-28 08:14

填充3
空間中，\(A(4,-4,4)\)、\(B(2,0,0)\)、\(C(-1,0,-3)\)、\(D\)四點同在一平面\(E\)上，若\(ABCD\)為一等腰梯形且\(\overline{AB}\)//\(\overline{CD}\)，求\(D\)點坐標　　　。
[解答]
小弟的解法

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作者: oceanli 時間: 2017-6-28 08:25

計算一
(1)若\((\sqrt{2}-1)^5=\sqrt{m+1}-\sqrt{m}\)，則正整數\(m\)之值為何？
(2)請證明存在某一正整數\(m\)滿足：\((\sqrt{2}-1)^{2017}=\sqrt{m+1}-\sqrt{m}\)。

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作者: bettytsai 時間: 2019-5-9 23:14

想請教複選11題(A)(B)兩選項，謝謝。

作者: kggj5220 時間: 2019-5-9 23:52 標題: 回復 40# bettytsai 的帖子

已知圓內接\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=6\)，\(\overline{BC}=5\)，\(\overline{AC}=4\)。
若\(\angle A\)的平分線分別交\(BC\)弦與\(BC\)弧於\(D\)、\(E\)兩點，
則下列哪些選項是正確的？
(A)\(\angle AEB:\angle AEC=3:2\)
(B)\(\overline{AD}:\overline{DE}=3:2\)
(C)\(\overline{AD}\times \overline{AE}=24\)
(D)設\(P\)為\(BEC\)弧上的一個動點，則\(\overline{AP}\)長的最大值為\(\displaystyle \frac{16\sqrt{7}}{7}\)。
[解答]
令\(\overline{AD}=x\)，
由餘弦定理得\(\frac{x^2+36x-9}{12x}=\frac{x^2+16x-4}{8x}\)
解得\(x=3\sqrt{2}\)

(A)\(\triangle\)AEB與\(\triangle\)AEC 有相同外接圓可得
   \(\frac{6}{sin \angle AEB}=\frac{4}{sin \angle AEC}\Rightarrow sin \angle AEB\)：\(sin \angle AEC= \)3：2 所以3：2是角度正弦比非角度比

(B)由圓內冪性質知道\(\overline{AD}\times \overline{DE}=\overline{BD} \times \overline{CD}\)
   解得\( \overline{DE}=\sqrt{2}\)  所以 \(\overline{AD} ： \overline{DE}= 3：1\)

(C)\(\overline{AD} \times (\overline{AD}+\overline{DE})=3\sqrt{2}\times4\sqrt{2}\)

(D)由三邊長知\(\triangle\)ABC為銳角三角形，外心在三角形內部(直徑不會在三角形的邊上)
   所以最大值就是P跑到讓AP為直徑時最長
   cosB=\(\frac{6^2+5^2-4^2}{2x6x5}=\frac{3}{4} \Rightarrow\)  sinB=\(\frac{\sqrt{7}}{4}\)
   2R= \( \frac{4}{sinB}=\frac{16 \sqrt{7}}{7}\)

作者: rotch 時間: 2019-10-15 10:48 標題: 回復 30# superlori 的帖子

請問這個連結是否失效了？

作者: nanpolend 時間: 2020-4-22 11:09 標題: 回復 1# Sandy 的帖子

請教單選第三題

作者: Ellipse 時間: 2020-4-22 11:29

引用:

原帖由 nanpolend 於 2020-4-22 11:09 發表
請教單選第三題

設\(0<b<a\)，且\(a,b\)滿足\((log_2a)(log_2b)=-1\)及\(ab=4\)，則\(log_a b\)的值為
(A)\(-3+2\sqrt{2}\)　(B)\(3+2\sqrt{2}\)　(C)\(3-2\sqrt{2}\)　(D)\(-3-2\sqrt{2}\)。
[解答]
令x=log_2(a) ,y=log_2(b)
因為b<a , 所以y<x
依題意知x*y= -1 ,x+y=2
則以x,y為兩根的一元二次方程式
為k²-2k-1=0 ,解出x=1+√2 ,y=1-√2
所求=log_a (b)=log_2 (b) / log_2(a) =y/x
=(1-√2)/(1+√2 )= -3+2√2

作者: nanpolend 時間: 2020-4-22 16:41 標題: 回復 1# Sandy 的帖子

請教單選第五題

作者: thepiano 時間: 2020-4-22 20:28 標題: 回復 45# nanpolend 的帖子

單選第 5 題
在坐標平面上，\(A\)點坐標為\((-1,0)\)，\(B\)點坐標為\((1,0)\)，點\(P\)是直線\(x+y=4\)上的一個動點，則向量\(\vec{AP}+\vec{BP}\)長度的最小值為下列哪一個選項？
(A)4　(B)\(4\sqrt{2}\)　(C)\(4\sqrt{3}\)　(D)\(4\sqrt{5}\)
[解答]
P(t，4 - t)，A(-1，0)，B(1，0)
向量 AP = (t + 1，4 - t)，向量 BP = (t - 1，4 - t)
向量 AP + 向量 BP = (2t，8 - 2t)
剩下就簡單了

作者: nanpolend 時間: 2020-4-22 21:13 標題: 回復 1# Sandy 的帖子

請教單選第六題

作者: thepiano 時間: 2020-4-23 07:42 標題: 回復 47# nanpolend 的帖子

單選第6題
考慮滿足以下條件的正整數數對\((x,y)\)：(i)\(106\le x \le 2017\)；(ii)\(106\le y \le 2017\)；(iii)\(8x-5y=37\)。請問\((x,y)\)共有幾組解？
(A)232　(B)233　(C)234　(D)235
[解答]
\(\begin{align}
& 8x-5y=37 \\
& y=\frac{8x-37}{5} \\
& x\equiv 4\ or\ 9\ \left( \bmod \ 10 \right) \\
& \\
& 106\le \frac{8x-37}{5}\le 2017 \\
& 106\le x\le 2017 \\
& 106\le x\le 1265 \\
& x=109,114,119,\cdots ,1264 \\
\end{align}\)

作者: nanpolend 時間: 2020-4-27 14:03 標題: 回復 1# Sandy 的帖子

請教複選第12題

作者: thepiano 時間: 2020-4-27 14:50 標題: 回復 49# nanpolend 的帖子

第12題
設\(A,B,C\)均為二階方陣，且其各矩陣中的所有元均為整數，若滿足\(AB=\left[\matrix{2&2\cr -2&6}\right]\)，\(AC=\left[\matrix{5&1\cr-13&3}\right]\)，試求矩陣\(A\)可能為下列何者？
(A)\(\left[\matrix{2&0\cr 0&1}\right]\)　(B)\(\left[\matrix{3&-1\cr 1&1}\right]\)　(C)\(\left[\matrix{-3&1\cr 2&1}\right]\)　(D)\(\left[\matrix{1&-1\cr 1&1}\right]\)
[解答]
\(\begin{align}
  & AB-AC=A\left( B-C \right)=\left[ \begin{matrix}
-3 & 1  \\
11 & 3  \\
\end{matrix} \right] \\
& B-C={{A}^{-1}}\left[ \begin{matrix}
-3 & 1  \\
11 & 3  \\
\end{matrix} \right] \\
\end{align}\)
把四個選項的反矩陣求出來，再乘一乘，看所有元是否為整數

作者: nanpolend 時間: 2020-4-28 19:29 標題: 回復 9# thepiano 的帖子

填充題1
設級數\(f(n)=1^n-2^n+3^n-4^n+\ldots+2015^n-2016^n+2017^n\)，求\(\displaystyle \frac{f(1)f(2)}{f(3)}=\)　　　。

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作者: nanpolend 時間: 2020-4-28 23:06 標題: 回復 19# thepiano 的帖子

填充題5
求值：\(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^3+8k^2+15k}=\)　　　。

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作者: nanpolend 時間: 2020-4-29 10:04 標題: 回復 1# Sandy 的帖子

請教填充題6詳細作法版上解答和連結實在看不懂

作者: koeagle 時間: 2020-4-29 12:07 標題: 回復 53# nanpolend 的帖子

填充6
在空間中，設球體\(S_1\)：\((x-1)^2+(y-2)^2+z^2\le 4\)，球體\(S_2\)：\((x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2\le 9\)。若\(S_1\)和\(S_2\)的交集區域為\(T\)，則區域\(T\)的體積為　　　。
(左圖不完全準確)

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作者: nanpolend 時間: 2020-4-29 17:27 標題: 回復 1# Sandy 的帖子

請教填充題9

作者: jasonmv6124 時間: 2020-4-29 19:19 標題: 回復 55# nanpolend 的帖子

先把雙曲線寫出來
然後利用切線公式
找出兩條斜率為1的切線
再判斷y=x-5^(1/2)為所要求的
最後算兩條線的距離即可

作者: nanpolend 時間: 2020-4-29 22:21 標題: 回復 56# jasonmv6124 的帖子

填充9
設\(P\)為直線\(x-y+5=0\)上一點，\(Q\)為雙曲線一支\(\Gamma\)：\(\displaystyle x=\sqrt{\frac{9}{4}y^2+9}\)上一點，求\(\overline{PQ}\)最小值=　　　。

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作者: nanpolend 時間: 2020-4-29 22:48 標題: 回復 1# Sandy 的帖子

感謝各位老師幫忙練習過一遍

作者: 克勞棣 時間: 2020-5-3 03:30

單選第2題
設θ為一銳角滿足16/(sinθ)^6 + 1/(cosθ)^6=81，則tanθ=？

請教這題怎麼算？看起來似乎不難，但是在下抓不到關鍵點。
我嘗試令tanθ=x，則(sinθ)^2=x^2/(1+x^2)，(cosθ)^2=1/(1+x^2)，代回原式，
得(1+x^2)^3*(16+x^6)=81x^6
未知數固然只剩一個，但方程式次數太高，依然解不出來。
對這一題我實在很好奇。謝謝！

作者: thepiano 時間: 2020-5-3 06:41 標題: 回復 59# 克勞棣的帖子

廣義柯西不等式

作者: 克勞棣 時間: 2020-5-3 15:56 標題: 回復 60# thepiano 的帖子

http://www.sec.ntnu.edu.tw/Month ... 8-214-02(16-22).pdf
您指的是這篇文章第20頁的類題3的公式嗎？
(這篇文章是我用關鍵字搜尋到的，事前完全不知道有這個公式)

[ 本帖最後由克勞棣於 2020-5-3 20:24 編輯 ]

作者: tenlong1000 時間: 2020-9-17 10:21 標題: 106-全國高中教師聯招(詳解整理)

106-全國高中教師聯招(詳解整理)

附件: 106-全國高中教師聯招(詳解整理).pdf (2020-9-17 10:21, 627.13 KB) / 該附件被下載次數 6507
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5638&k=5a8b65e1d9b7f70bfac5c1702bf9eddc&t=1713999651

作者: tsusy 時間: 2020-9-17 22:05 標題: 回復 61# 克勞棣的帖子

是該連結中第17頁的定理3，
第20頁的類題，只是使用它的一例子

以這題來說，也可以多做柯西

\( \left(\frac{16}{\sin^{6}\theta}+\frac{1}{\cos^{6}\theta}\right)(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta)\geq(\frac{4}{\sin^{2}\theta}+\frac{1}{\cos^{2}\theta})^{2} \)

\( (\frac{4}{\sin^{2}\theta}+\frac{1}{\cos^{2}\theta})(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta)\geq(2+1)^{2} \)

故 \( \left(\frac{16}{\sin^{6}\theta}+\frac{1}{\cos^{6}\theta}\right)\geq(2+1)^{4}=81 \)

由柯西不等式的等號條件，即可解出原程式的解為 \( \tan\theta=\sqrt{2} \)。

作者: 克勞棣 時間: 2020-9-18 13:48 標題: 回復 63# tsusy 的帖子

原來還有柯西用兩次這招，很奇妙。謝謝！

作者: tsusy 時間: 2020-9-19 17:04 標題: 回復 64# 克勞棣的帖子

依稀記得，很久以前我也像 #59 處那樣炸過這題或是它的類似考古題

_______________________________________________________

承 #59 樓的算式 \( (1+x^{2})^{3}(16+x^{6})=81x^{6} \)

令 \( t = x^2 \)，用力展開移項得

\( t^{6}+3t^{5}+3t^{4}-64t^{3}+48t^{2}+48t+16=0 \)

有理根檢驗法 \( t=1,2,... \) 代入得 \( t=2 \) 為方程式的一解

而因式分解得 \( (t-2)(t^{5}+5t^{4}+13t^{3}-38t^{2}-28t-8)=0 \)

再分解得 \( (t-2)^{2}(t^{4}+7t^{3}+27t^{2}+16t+4) = 0 \)

因 \( t^{4}+7t^{3}+27t^{2}+16t+4 \) 係數皆正，

故 \( t^{4}+7t^{3}+27t^{2}+16t+4 =0 \) 無正根

因此 t 的六次方程式的正根僅有 \( t = 2 \)

故 \( \tan \theta = \sqrt{2} \)

_______________________________________________________

其實上面的算式不太重要，重要的是在這類題型中，培養使用的不等式解方程式的技能與時機

這也是我現在好像找不到當年硬暴算式的原因了(沒有留存價值)

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