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(1)若$$(\sqrt{2}-1)^5=\sqrt{m+1}-\sqrt{m}$$，則正整數$$m$$之值為何？
(2)請證明存在某一正整數$$m$$滿足：$$(\sqrt{2}-1)^{2017}=\sqrt{m+1}-\sqrt{m}$$。
[提示]

\begin{align} & {{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{n}}=\sqrt{a+1}-\sqrt{a} \\ & {{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{n}}=\sqrt{a+1}+\sqrt{a} \\ \end{align}

110.11.16補充

(92高中數學能力競賽　中彰區)

111.2.5補充

(1)找出並證明符合此條件的所有數對$$(a,b)$$
(2)數對$$(a,b)$$的方程式$$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^3=\sqrt{m+1}-\sqrt{m}$$，在$$m$$是哪些正整數時，沒有正整數對解？

111.3.21補充
Prove that $$(\sqrt{2}-1)^n \forall n\in Z^{+}$$ can be represented as $$\sqrt{m}-\sqrt{m-1}$$ for some $$m\in Z^{+}$$.

113.3.31補充

$$\displaystyle{(\sqrt 2 - 1)^2} = \sqrt 9 - \sqrt 8$$
$$\displaystyle{(\sqrt 2 - 1)^3} = \sqrt {50} - \sqrt {49}$$
$$\displaystyle{(\sqrt 2 - 1)^4} = \sqrt {289} - \sqrt {288}$$

(1) $${{a}^{2}}\ge 3b$$
(2) $$-5<c<27$$

[解答]
Pi*(9-t^2)dt|7/3..3+Pi*(4-t^2)dt|2/3..2
=Pi*(9t-t^3/3)|7/3..3+Pi*(4t-t^3/3)|2/3..2
=4Pi

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(A)34　(B)36　(C)38　(D)40
[解答]

$$\displaystyle \left(\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}\right)^3 = \frac{3+\sqrt{5}}{2}+\frac{3-\sqrt{5}}{2}+3\cdot\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\cdot \sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}\left(\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}\right)$$

$$\Rightarrow a^3 =3+3a$$

$$\Rightarrow a^3-3a=3$$

[解答]
\begin{align} & f\left( 1 \right)=1+\left( -2+3 \right)+\left( -4+5 \right)+\cdots +\left( -2016+2017 \right)=1009 \\ & \\ & f\left( 2 \right)={{1}^{2}}+\left( -{{2}^{2}}+{{3}^{2}} \right)+\left( -{{4}^{2}}+{{5}^{2}} \right)\cdots +\left( -{{2016}^{2}}+{{2017}^{2}} \right) \\ & =1+5+9+\cdots +4033 \\ & =\frac{1009\times \left( 1+4033 \right)}{2} \\ & =1009\times 2017 \\ \end{align}

(A)5　(B)10　(C)15　(D)20
[解答]
\begin{align} & \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{1899} \\ & 1899y+1899x=xy \\ & \left( x-1899 \right)\left( y-1899 \right)={{1899}^{2}}={{3}^{4}}\times {{211}^{2}} \\ \end{align}

$${{3}^{4}}\times {{211}^{2}}$$有15個正因數

(A)3　(B)2.7　(C)2.6　(D)2.5
[解答]
\begin{align} & \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sum\limits_{k=n}^{2n-1}{\frac{3}{\sqrt{nk}}} \right) \\ & =\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{3}{\sqrt{{{n}^{2}}}}+\frac{3}{\sqrt{{{n}^{2}}+n}}+\frac{3}{\sqrt{{{n}^{2}}+2n}}+\cdots +\frac{3}{\sqrt{{{n}^{2}}+{{n}^{2}}-n}} \right) \\ & =3\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n}\left( \frac{1}{\sqrt{1+\frac{0}{n}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{1+\frac{n-1}{n}}} \right) \\ & =3\int_{0}^{1}{\frac{1}{\sqrt{1+x}}dx} \\ & =3\left( 2\sqrt{2}-2 \right) \\ & =6\sqrt{2}-6 \\ \end{align}

https://math.pro/db/attachment.php?aid=4084&k=589cdef516da95e87b824c93da7893c0&t=1713642213

[解答]
$$\overline{AB}$$//$$\overline{CD}$$可設$$D(-1+t,-2t,-3+2t)$$

$$t=2$$時$$\overline{AD}$$//$$\overline{BC}$$不合，故$$t=4$$，$$D(3,-8,5)$$

[解答]

因為 $$\angle ABC = \angle ADC = 90^\circ$$，

所以 四邊形 $$ABCD$$ 內接於「以$$\overline{AC}$$ 為直徑的圓」。

$$\Rightarrow \overline{AC}=2\times\mbox{四邊形}ABCD\mbox{的外接圓半徑}=62$$

[解答]
\begin{align} & \frac{1}{{{k}^{3}}+8{{k}^{2}}+15k} \\ & =\frac{1}{k\left( k+3 \right)\left( k+5 \right)} \\ & =\frac{1}{5}\left[ \frac{1}{k\left( k+3 \right)}-\frac{1}{\left( k+3 \right)\left( k+5 \right)} \right] \\ & =\frac{1}{15}\left( \frac{1}{k}-\frac{1}{k+3} \right)-\frac{1}{10}\left( \frac{1}{k+3}-\frac{1}{k+5} \right) \\ \end{align}

[解答]
（現在流行寫兩解，每解只能得一半分數）
cos120＝cc-ss,（cc+1/2）^2＝（ss）^2＝（1-c^2）（1-c^2）
c^2+c^2+cc＝3/4,兩邊同乘A C^2得13^2+46^2+13*46＝3/4*A C^2

[解答]

\begin{align} & \left| {{z}^{2}}-2z+8 \right| \\ & =\left| z \right|\left| z-2+\frac{8}{z} \right| \\ & =2\left| 2\cos \theta +2i\sin \theta -2+8\left( \frac{\cos \left( -\theta \right)+i\sin \left( -\theta \right)}{2} \right) \right| \\ & =2\left| 6\cos \theta -2-2i\sin \theta \right| \\ & =2\sqrt{{{\left( 6\cos \theta -2 \right)}^{2}}+{{\left( -2\sin \theta \right)}^{2}}} \\ & =2\sqrt{32{{\cos }^{2}}\theta -24\cos \theta +8} \\ & =2\sqrt{32{{\left( \cos \theta -\frac{3}{8} \right)}^{2}}+\frac{7}{2}} \\ & \ge \sqrt{14} \\ \end{align}

PS：若是用不一樣的排列法，所求外圍的弓形面積仍相同！

(A)$$\displaystyle \frac{1}{2}$$　(B)$$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$$　(C)1　(D)$$\sqrt{2}$$。
[提示]

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superlori老師您好

t=-1時不合的原因  應該是AD 不平行 BC

[解答]

f(n) = 1ⁿ - 2ⁿ + 3ⁿ ... + (-1)^(k-1) *kⁿ

f(1)*f(2) / f(3) =

k / (2k-1)，當 k 是奇數

-(k+1) / (2k+3)，當 k 是偶數

(A)$$\displaystyle \frac{1}{24}$$　(B)$$\displaystyle \frac{1}{20}$$　(C)$$\displaystyle \frac{1}{16}$$　(D)$$\displaystyle \frac{1}{10}$$
[解答]

[解答]

https://math.pro/db/attachment.php?aid=4202&k=3d746357181ec23afa9544d77c582a24&t=1713642213

(1)若$$(\sqrt{2}-1)^5=\sqrt{m+1}-\sqrt{m}$$，則正整數$$m$$之值為何？
(2)請證明存在某一正整數$$m$$滿足：$$(\sqrt{2}-1)^{2017}=\sqrt{m+1}-\sqrt{m}$$。

https://math.pro/db/attachment.php?aid=4203&k=a71eb5265abb99bdc77cffc72fe7ca08&t=1713642213

(A)$$\angle AEB:\angle AEC=3:2$$
(B)$$\overline{AD}:\overline{DE}=3:2$$
(C)$$\overline{AD}\times \overline{AE}=24$$
(D)設$$P$$為$$BEC$$弧上的一個動點，則$$\overline{AP}$$長的最大值為$$\displaystyle \frac{16\sqrt{7}}{7}$$。
[解答]

(A)$$\triangle$$AEB與$$\triangle$$AEC 有相同外接圓可得
$$\frac{6}{sin \angle AEB}=\frac{4}{sin \angle AEC}\Rightarrow sin \angle AEB$$：$$sin \angle AEC=$$3：2    所以3：2是角度正弦比非角度比

(B)由圓內冪性質知道$$\overline{AD}\times \overline{DE}=\overline{BD} \times \overline{CD}$$
解得$$\overline{DE}=\sqrt{2}$$  所以 $$\overline{AD} ： \overline{DE}= 3：1$$

(C)$$\overline{AD} \times (\overline{AD}+\overline{DE})=3\sqrt{2}\times4\sqrt{2}$$

(D)由三邊長知$$\triangle$$ABC為銳角三角形，外心在三角形內部(直徑不會在三角形的邊上)
所以最大值就是P跑到讓AP為直徑時最長
cosB=$$\frac{6^2+5^2-4^2}{2x6x5}=\frac{3}{4} \Rightarrow$$  sinB=$$\frac{\sqrt{7}}{4}$$
2R= $$\frac{4}{sinB}=\frac{16 \sqrt{7}}{7}$$

##### 引用:

(A)$$-3+2\sqrt{2}$$　(B)$$3+2\sqrt{2}$$　(C)$$3-2\sqrt{2}$$　(D)$$-3-2\sqrt{2}$$。
[解答]

=(1-√2)/(1+√2 )= -3+2√2

(A)4　(B)$$4\sqrt{2}$$　(C)$$4\sqrt{3}$$　(D)$$4\sqrt{5}$$
[解答]
P(t，4 - t)，A(-1，0)，B(1，0)

(A)232　(B)233　(C)234　(D)235
[解答]
\begin{align} & 8x-5y=37 \\ & y=\frac{8x-37}{5} \\ & x\equiv 4\ or\ 9\ \left( \bmod \ 10 \right) \\ & \\ & 106\le \frac{8x-37}{5}\le 2017 \\ & 106\le x\le 2017 \\ & 106\le x\le 1265 \\ & x=109,114,119,\cdots ,1264 \\ \end{align}

(A)$$\left[\matrix{2&0\cr 0&1}\right]$$　(B)$$\left[\matrix{3&-1\cr 1&1}\right]$$　(C)$$\left[\matrix{-3&1\cr 2&1}\right]$$　(D)$$\left[\matrix{1&-1\cr 1&1}\right]$$
[解答]
\begin{align} & AB-AC=A\left( B-C \right)=\left[ \begin{matrix} -3 & 1 \\ 11 & 3 \\ \end{matrix} \right] \\ & B-C={{A}^{-1}}\left[ \begin{matrix} -3 & 1 \\ 11 & 3 \\ \end{matrix} \right] \\ \end{align}

https://math.pro/db/attachment.php?aid=5429&k=c7755cc215cde61a78ef90a3f42519e8&t=1713642213

https://math.pro/db/attachment.php?aid=5430&k=ec75aa069d95cb4b911034dd6422cf76&t=1713642213

(左圖不完全準確)

https://math.pro/db/attachment.php?aid=5432&k=244e1c1dba03cc859dd50a56b8187319&t=1713642213

https://math.pro/db/attachment.php?aid=5435&k=9de9c7256d956e9732f35db147138693&t=1713642213

http://www.sec.ntnu.edu.tw/Month ... 8-214-02(16-22).pdf

(這篇文章是我用關鍵字搜尋到的，事前完全不知道有這個公式)

[ 本帖最後由 克勞棣 於 2020-5-3 20:24 編輯 ]

106-全國高中教師聯招(詳解整理)

$$\left(\frac{16}{\sin^{6}\theta}+\frac{1}{\cos^{6}\theta}\right)(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta)\geq(\frac{4}{\sin^{2}\theta}+\frac{1}{\cos^{2}\theta})^{2}$$

$$(\frac{4}{\sin^{2}\theta}+\frac{1}{\cos^{2}\theta})(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta)\geq(2+1)^{2}$$

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$$t^{6}+3t^{5}+3t^{4}-64t^{3}+48t^{2}+48t+16=0$$

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