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標題: 106全國高中聯招 [打印本頁]

作者: Sandy    時間: 2017-5-13 12:04     標題: 106全國高中聯招

如題

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作者: thepiano    時間: 2017-5-13 13:05

計算第1題
利用
\(\begin{align}
  & {{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{n}}=\sqrt{a+1}-\sqrt{a} \\
& {{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{n}}=\sqrt{a+1}+\sqrt{a} \\
\end{align}\)

可得\(m=1681\)及證出下一小題

[ 本帖最後由 thepiano 於 2017-5-13 13:25 編輯 ]
作者: thepiano    時間: 2017-5-13 13:23

計算第3題
(1) \({{a}^{2}}\ge 3b\)
(2) \(-5<c<27\)
作者: laylay    時間: 2017-5-13 14:31     標題: 填充6.

Pi*(9-t^2)dt|7/3..3+Pi*(4-t^2)dt|2/3..2
=Pi*(9t-t^3/3)|7/3..3+Pi*(4t-t^3/3)|2/3..2
=4Pi

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-5-14 07:27 編輯 ]
作者: eyeready    時間: 2017-5-13 17:34

明天拼新北,大家一起加油囉^_^
複選9
填充4、8
計算2

[ 本帖最後由 eyeready 於 2017-5-13 18:56 編輯 ]

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作者: satsuki931000    時間: 2017-5-13 23:31

想問各位老師選擇第一題有沒有不硬幹的作法...
作者: weiye    時間: 2017-5-13 23:43     標題: 回復 6# satsuki931000 的帖子

選擇第一題:

利用 \(\left(x+y\right)^3 = x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)\),可得

\(\displaystyle \left(\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}\right)^3 = \frac{3+\sqrt{5}}{2}+\frac{3-\sqrt{5}}{2}+3\cdot\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\cdot \sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}\left(\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}\right)\)

\(\Rightarrow a^3 =3+3a\)

\(\Rightarrow a^3-3a=3\)

所以,\(\displaystyle a^6-6a^4+9a^2+27 = \left(a^3-3a\right)^2+27 = 36\)
作者: exin0955    時間: 2017-5-14 12:17

想請益單選 4 7
填充1 有比較快的方法嗎
我是用(1+2+...+2017)-2(2+4+6+....+2016)這樣三個都要算 好辛苦
填充7 怎麼轉換成圖形上的意義呢
作者: thepiano    時間: 2017-5-14 18:38     標題: 回復 8# exin0955 的帖子

填充第1題
\(\begin{align}
  & f\left( 1 \right)=1+\left( -2+3 \right)+\left( -4+5 \right)+\cdots +\left( -2016+2017 \right)=1009 \\
&  \\
& f\left( 2 \right)={{1}^{2}}+\left( -{{2}^{2}}+{{3}^{2}} \right)+\left( -{{4}^{2}}+{{5}^{2}} \right)\cdots +\left( -{{2016}^{2}}+{{2017}^{2}} \right) \\
& =1+5+9+\cdots +4033 \\
& =\frac{1009\times \left( 1+4033 \right)}{2} \\
& =1009\times 2017 \\
\end{align}\)

而\(f\left( 3 \right)\)的做法與您相同


填充第7題
這題是老梗題了,一般都用代數做,應該無法轉成幾何來做
作者: exin0955    時間: 2017-5-14 18:54     標題: 回復 9# thepiano 的帖子

非常感謝鋼琴老師的解惑
作者: thepiano    時間: 2017-5-14 20:32     標題: 回復 8# exin0955 的帖子

單選第4題
\(\begin{align}
  & \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{1899} \\
& 1899y+1899x=xy \\
& \left( x-1899 \right)\left( y-1899 \right)={{1899}^{2}}={{3}^{4}}\times {{211}^{2}} \\
\end{align}\)

\({{3}^{4}}\times {{211}^{2}}\)有15個正因數
所求為15組

單選第7題
\(\begin{align}
  & \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sum\limits_{k=n}^{2n-1}{\frac{3}{\sqrt{nk}}} \right) \\
& =\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{3}{\sqrt{{{n}^{2}}}}+\frac{3}{\sqrt{{{n}^{2}}+n}}+\frac{3}{\sqrt{{{n}^{2}}+2n}}+\cdots +\frac{3}{\sqrt{{{n}^{2}}+{{n}^{2}}-n}} \right) \\
& =3\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n}\left( \frac{1}{\sqrt{1+\frac{0}{n}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{1+\frac{n-1}{n}}} \right) \\
& =3\int_{0}^{1}{\frac{1}{\sqrt{1+x}}dx} \\
& =3\left( 2\sqrt{2}-2 \right) \\
& =6\sqrt{2}-6 \\
\end{align}\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2017-5-14 20:41 編輯 ]
作者: arend    時間: 2017-5-15 23:07

請教複選 2 與 4
作者: Bra    時間: 2017-5-15 23:37

想請教一下填充5和填充7
麻煩各位老師了

複選4
我是把各選項的反方陣算出來
再拿去乘AB和AC
結果必須要是每一個元素都是整數才可以
作者: tuhunger    時間: 2017-5-15 23:37     標題: 複選2

迴歸線公式請見高中第二冊4-2

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作者: arend    時間: 2017-5-16 00:56     標題: 回復 14# tuhunger 的帖子

謝謝tuhunger老師
這次考題變化比以前大,一時沒轉過來
當時只想到1/2=r x Sy/Sx, a+b=14, 然後就....
作者: arend    時間: 2017-5-16 01:59

請教填充2與3
謝謝
作者: yinchou    時間: 2017-5-16 07:54     標題: 回復 16# arend 的帖子

填充3

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作者: weiye    時間: 2017-5-16 08:01     標題: 回復 16# arend 的帖子

填充第二題:

觀察:

     因為 \(\angle ABC = \angle ADC = 90^\circ\),

     所以 四邊形 \(ABCD\) 內接於「以\(\overline{AC}\) 為直徑的圓」。

解:

在 \(\triangle ABD\) 中,由餘弦定理,\(\overline{BD}=\sqrt{13^2+46^2-2\cdot 13\cdot 46 \cos120^\circ}=31\sqrt{3}\)

在 \(\triangle CBD\) 中,由正弦定理,\(\displaystyle\frac{\overline{BD}}{\sin60^\circ}=2 \times\mbox{四邊形}ABCD\mbox{的外接圓半徑}\)

      \(\Rightarrow \overline{AC}=2\times\mbox{四邊形}ABCD\mbox{的外接圓半徑}=62\)
作者: thepiano    時間: 2017-5-16 08:02     標題: 回復 13# Bra 的帖子

填充第5題
\(\begin{align}
  & \frac{1}{{{k}^{3}}+8{{k}^{2}}+15k} \\
& =\frac{1}{k\left( k+3 \right)\left( k+5 \right)} \\
& =\frac{1}{5}\left[ \frac{1}{k\left( k+3 \right)}-\frac{1}{\left( k+3 \right)\left( k+5 \right)} \right] \\
& =\frac{1}{15}\left( \frac{1}{k}-\frac{1}{k+3} \right)-\frac{1}{10}\left( \frac{1}{k+3}-\frac{1}{k+5} \right) \\
\end{align}\)
作者: laylay    時間: 2017-5-16 10:55     標題: 回復 16# arend 的帖子

填充2另解(現在流行寫兩解,每解只能得一半分數)
cos120=cc-ss,(cc+1/2)^2=(ss)^2=(1-c^2)(1-c^2)
c^2+c^2+cc=3/4,兩邊同乘A C^2得13^2+46^2+13*46=3/4*A C^2
得A C=62
這裡頭令人好奇的是A C為整數難道純屬巧合嗎?

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-5-16 11:00 編輯 ]
作者: thepiano    時間: 2017-5-16 11:29     標題: 回復 13# Bra 的帖子

填充第7題
令\(z=2\left( \cos \theta +i\sin \theta  \right)\)

\(\begin{align}
  & \left| {{z}^{2}}-2z+8 \right| \\
& =\left| z \right|\left| z-2+\frac{8}{z} \right| \\
& =2\left| 2\cos \theta +2i\sin \theta -2+8\left( \frac{\cos \left( -\theta  \right)+i\sin \left( -\theta  \right)}{2} \right) \right| \\
& =2\left| 6\cos \theta -2-2i\sin \theta  \right| \\
& =2\sqrt{{{\left( 6\cos \theta -2 \right)}^{2}}+{{\left( -2\sin \theta  \right)}^{2}}} \\
& =2\sqrt{32{{\cos }^{2}}\theta -24\cos \theta +8} \\
& =2\sqrt{32{{\left( \cos \theta -\frac{3}{8} \right)}^{2}}+\frac{7}{2}} \\
& \ge \sqrt{14} \\
\end{align}\)
作者: windsemi    時間: 2017-5-16 12:35

想請教填充4的圖形 要如何確定只有這種畫法~

又或者是因為不管怎麼畫面積都一樣所以才取這種特殊畫法

麻煩大家了~
作者: eyeready    時間: 2017-5-16 13:00     標題: 回復 22# windsemi 的帖子

主要是方便運算才這樣安排每個三角形都全等的!
PS:若是用不一樣的排列法,所求外圍的弓形面積仍相同!
作者: windsemi    時間: 2017-5-16 16:30

原來關鍵是弓形面積 我懂了 感謝eye大大~
作者: arend    時間: 2017-5-16 23:10     標題: 回復 18# weiye 的帖子

謝謝瑋岳老師
當時也有想到園內接四邊形,月沒想到AC是直徑

請教一下,若非內接四邊形,是否也有解? 記得以前看過類似題目, 做法不復記憶
謝謝
作者: 米斯蘭達    時間: 2017-5-17 14:00

請教各位,選擇2,謝謝各位。
作者: thepiano    時間: 2017-5-17 14:31     標題: 回復 26# 米斯蘭達 的帖子

選擇第 2 題
跟今年彰女這題差不多
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2765&page=3#pid17207
作者: anyway13    時間: 2017-5-19 23:19     標題: 請教選擇11題

請教板上老師,選擇11要怎模做阿?  定坐標要做好久,(還是我計算速度太慢)
謝謝
作者: anyway13    時間: 2017-5-19 23:59     標題: 請教填充六

Google  找到  http://mathworld.wolfram.com/Sphere-SphereIntersection.html

可是還是不會,請教一下板上老師!
作者: superlori    時間: 2017-5-20 10:23     標題: 回復 29# anyway13 的帖子

http://ppt.cc/p98DK
.
給你參考看看
作者: anyway13    時間: 2017-5-20 11:15     標題: 謝謝superlori老師的詳解

只問了兩題,superlori老師卻好心提供全詳解

感恩!
作者: anyway13    時間: 2017-5-20 12:55     標題: 填充3

superlori老師您好

t=-1時不合的原因  應該是AD 不平行 BC

因為t=-1時 D(1,-4,1) 也落在E: 2x-y-2z=4上

應該是您筆誤吧!  總之,感謝您po 詳解
作者: superlori    時間: 2017-5-20 14:46     標題: 回復 32# anyway13 的帖子

謝謝您的指教
作者: rotch    時間: 2017-5-24 14:35     標題: 回復 2# thepiano 的帖子

請問這樣假設不就代表要證的東西已經成立了嗎?
作者: thepiano    時間: 2017-5-24 15:01     標題: 回復 34# rotch 的帖子

重點是要證m是正整數
作者: cefepime    時間: 2017-5-25 22:31

填充題 1. 一般的結果具有簡單型式

f(n) = 1ⁿ - 2ⁿ + 3ⁿ ... + (-1)^(k-1) *kⁿ

f(1)*f(2) / f(3) =

k / (2k-1),當 k 是奇數

-(k+1) / (2k+3),當 k 是偶數

作者: jfy281117    時間: 2017-5-26 12:59     標題: 單選8

可先將問題轉換為白球以外的球最後取完的機率

例如:紅球最後取完,黑球倒數第二取完,綠球倒數第三取完,所以白球倒數第四取完(即白球最先取完)

紅球最後取完之機率為 \( \frac{2}{12} \)
黑球倒數第二取完之機率為 \( \frac{2}{10} \)
綠球倒數第三取完之機率為 \( \frac{2}{8} \)

故這種情形發生之機率為  \( \frac{2}{12}\times\frac{2}{10}\times\frac{2}{8}=\frac{1}{120} \)

而其他顏色的取完順序有3!=6種,故所求為\(\frac{1}{20}\)

[ 本帖最後由 jfy281117 於 2017-5-26 13:14 編輯 ]
作者: oceanli    時間: 2017-6-28 08:14

填充3
小弟的解法

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作者: oceanli    時間: 2017-6-28 08:25

計算一
(2)

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作者: bettytsai    時間: 2019-5-9 23:14

想請教複選11題(A)(B)兩選項,謝謝。

[ 本帖最後由 bettytsai 於 2019-5-9 23:57 編輯 ]
作者: kggj5220    時間: 2019-5-9 23:52     標題: 回復 40# bettytsai 的帖子

令\(\overline{AD}=x\),
由餘弦定理得\(\frac{x^2+36x-9}{12x}=\frac{x^2+16x-4}{8x}\)
解得\(x=3\sqrt{2}\)

(A)\(\triangle\)AEB與\(\triangle\)AEC 有相同外接圓可得
       \(\frac{6}{sin \angle AEB}=\frac{4}{sin \angle AEC}\Rightarrow sin \angle AEB\):\(sin \angle AEC= \)3:2    所以3:2是角度正弦比非角度比

(B)由圓內冪性質知道\(\overline{AD}\times \overline{DE}=\overline{BD} \times \overline{CD}\)
     解得\( \overline{DE}=\sqrt{2}\)  所以 \(\overline{AD} : \overline{DE}= 3:1\)

(C)\(\overline{AD} \times (\overline{AD}+\overline{DE})=3\sqrt{2}\times4\sqrt{2}\)

(D)由三邊長知\(\triangle\)ABC為銳角三角形,外心在三角形內部(直徑不會在三角形的邊上)
     所以最大值就是P跑到讓AP為直徑時最長
      cosB=\(\frac{6^2+5^2-4^2}{2x6x5}=\frac{3}{4} \Rightarrow\)  sinB=\(\frac{\sqrt{7}}{4}\)
       2R= \( \frac{4}{sinB}=\frac{16 \sqrt{7}}{7}\)

[ 本帖最後由 kggj5220 於 2019-5-10 00:07 編輯 ]




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