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標題: 106全國高中聯招 [打印本頁]

作者: Sandy    時間: 2017-5-13 12:04     標題: 106全國高中聯招

如題

附件: 106全國聯招.pdf (2017-5-13 23:58, 232.64 KB) / 該附件被下載次數 7825
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4071&k=a4d6522c363cb8dc4d387948175bbd17&t=1632615803
作者: thepiano    時間: 2017-5-13 13:05

計算第1題
(1)若\((\sqrt{2}-1)^5=\sqrt{m+1}-\sqrt{m}\),則正整數\(m\)之值為何?
(2)請證明存在某一正整數\(m\)滿足:\((\sqrt{2}-1)^{2017}=\sqrt{m+1}-\sqrt{m}\)。
[提示]
利用
\(\begin{align}
  & {{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{n}}=\sqrt{a+1}-\sqrt{a} \\
& {{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{n}}=\sqrt{a+1}+\sqrt{a} \\
\end{align}\)

可得\(m=1681\)及證出下一小題
作者: thepiano    時間: 2017-5-13 13:23

計算第3題
(1) \({{a}^{2}}\ge 3b\)
(2) \(-5<c<27\)
作者: laylay    時間: 2017-5-13 14:31     標題: 填充6.

在空間中,設球體\(S_1\):\((x-1)^2+(y-2)^2+z^2\le 4\),球體\(S_2\):\((x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2\le 9\)。若\(S_1\)和\(S_2\)的交集區域為\(T\),則區域\(T\)的體積為   
[解答]
Pi*(9-t^2)dt|7/3..3+Pi*(4-t^2)dt|2/3..2
=Pi*(9t-t^3/3)|7/3..3+Pi*(4t-t^3/3)|2/3..2
=4Pi
作者: eyeready    時間: 2017-5-13 17:34

明天拼新北,大家一起加油囉^_^
複選9
填充4、8
計算2

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作者: satsuki931000    時間: 2017-5-13 23:31

想問各位老師選擇第一題有沒有不硬幹的作法...
作者: weiye    時間: 2017-5-13 23:43     標題: 回復 6# satsuki931000 的帖子

選擇第一題:
設\(\displaystyle a=\root 3\of {\frac{3-\sqrt{5}}{2}}+\root 3 \of{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\),則\(a^6-6a^4+9a^2+27\)之值為
(A)34 (B)36 (C)38 (D)40
[解答]
利用 \(\left(x+y\right)^3 = x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)\),可得

\(\displaystyle \left(\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}\right)^3 = \frac{3+\sqrt{5}}{2}+\frac{3-\sqrt{5}}{2}+3\cdot\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\cdot \sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}\left(\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}\right)\)

\(\Rightarrow a^3 =3+3a\)

\(\Rightarrow a^3-3a=3\)

所以,\(\displaystyle a^6-6a^4+9a^2+27 = \left(a^3-3a\right)^2+27 = 36\)
作者: exin0955    時間: 2017-5-14 12:17

想請益單選 4 7
填充1 有比較快的方法嗎
我是用(1+2+...+2017)-2(2+4+6+....+2016)這樣三個都要算 好辛苦
填充7 怎麼轉換成圖形上的意義呢
作者: thepiano    時間: 2017-5-14 18:38     標題: 回復 8# exin0955 的帖子

填充第1題
設級數\(f(n)=1^n-2^n+3^n-4^n+\ldots+2015^n-2016^n+2017^n\),求\(\displaystyle \frac{f(1)f(2)}{f(3)}=\)   
[解答]
\(\begin{align}
  & f\left( 1 \right)=1+\left( -2+3 \right)+\left( -4+5 \right)+\cdots +\left( -2016+2017 \right)=1009 \\
&  \\
& f\left( 2 \right)={{1}^{2}}+\left( -{{2}^{2}}+{{3}^{2}} \right)+\left( -{{4}^{2}}+{{5}^{2}} \right)\cdots +\left( -{{2016}^{2}}+{{2017}^{2}} \right) \\
& =1+5+9+\cdots +4033 \\
& =\frac{1009\times \left( 1+4033 \right)}{2} \\
& =1009\times 2017 \\
\end{align}\)

而\(f\left( 3 \right)\)的做法與您相同


填充第7題
這題是老梗題了,一般都用代數做,應該無法轉成幾何來做
作者: exin0955    時間: 2017-5-14 18:54     標題: 回復 9# thepiano 的帖子

非常感謝鋼琴老師的解惑
作者: thepiano    時間: 2017-5-14 20:32     標題: 回復 8# exin0955 的帖子

單選第4題
滿足\(\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{1899}\)的正整數數對\((x,y)\)共有多少組?
(A)5 (B)10 (C)15 (D)20
[解答]
\(\begin{align}
  & \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{1899} \\
& 1899y+1899x=xy \\
& \left( x-1899 \right)\left( y-1899 \right)={{1899}^{2}}={{3}^{4}}\times {{211}^{2}} \\
\end{align}\)

\({{3}^{4}}\times {{211}^{2}}\)有15個正因數
所求為15組

單選第7題
試問\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(\sum_{k=n}^{2n-1}\frac{3}{\sqrt{nk}}\right)\)之值最接近下列哪一個選項?
(A)3 (B)2.7 (C)2.6 (D)2.5
[解答]
\(\begin{align}
  & \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sum\limits_{k=n}^{2n-1}{\frac{3}{\sqrt{nk}}} \right) \\
& =\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{3}{\sqrt{{{n}^{2}}}}+\frac{3}{\sqrt{{{n}^{2}}+n}}+\frac{3}{\sqrt{{{n}^{2}}+2n}}+\cdots +\frac{3}{\sqrt{{{n}^{2}}+{{n}^{2}}-n}} \right) \\
& =3\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n}\left( \frac{1}{\sqrt{1+\frac{0}{n}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{1+\frac{n-1}{n}}} \right) \\
& =3\int_{0}^{1}{\frac{1}{\sqrt{1+x}}dx} \\
& =3\left( 2\sqrt{2}-2 \right) \\
& =6\sqrt{2}-6 \\
\end{align}\)
作者: arend    時間: 2017-5-15 23:07

請教複選 2 與 4
作者: Bra    時間: 2017-5-15 23:37

想請教一下填充5和填充7
麻煩各位老師了

複選4
我是把各選項的反方陣算出來
再拿去乘AB和AC
結果必須要是每一個元素都是整數才可以
作者: tuhunger    時間: 2017-5-15 23:37     標題: 複選2

迴歸線公式請見高中第二冊4-2

圖片附件: 2017-05-15 23.35.35.jpg (2017-5-15 23:37, 383.43 KB) / 該附件被下載次數 2726
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4084&k=cba501c036118dcd116ae03ebcdbd13c&t=1632615803


作者: arend    時間: 2017-5-16 00:56     標題: 回復 14# tuhunger 的帖子

謝謝tuhunger老師
這次考題變化比以前大,一時沒轉過來
當時只想到\(\displaystyle \frac{1}{2}=r x \frac{S_y}{S_x}\),\(a+b=14\), 然後就....
作者: arend    時間: 2017-5-16 01:59

請教填充2與3
謝謝
作者: yinchou    時間: 2017-5-16 07:54     標題: 回復 16# arend 的帖子

填充3
空間中,\(A(4,-4,4)\)、\(B(2,0,0)\)、\(C(-1,0,-3)\)、\(D\)四點同在一平面\(E\)上,若\(ABCD\)為一等腰梯形且\(\overline{AB}\)//\(\overline{CD}\),求\(D\)點坐標   
[解答]
\(\overline{AB}\)//\(\overline{CD}\)可設\(D(-1+t,-2t,-3+2t)\)
且\(\overline{AD}^2=\overline{BC}^2=18 \Rightarrow t^2-6t+8=0 \Rightarrow t=4 or 2\)
\(t=2\)時\(\overline{AD}\)//\(\overline{BC}\)不合,故\(t=4\),\(D(3,-8,5)\)
作者: weiye    時間: 2017-5-16 08:01     標題: 回復 16# arend 的帖子

填充第二題:
四邊形\(ABCD\),已知\(\angle A=120^{\circ}\),\(B\)和\(D\)都是直角,\(\overline{AB}=13\),\(\overline{AD}=46\),試求\(\overline{AC}=\)   
[解答]
觀察:

     因為 \(\angle ABC = \angle ADC = 90^\circ\),

     所以 四邊形 \(ABCD\) 內接於「以\(\overline{AC}\) 為直徑的圓」。

解:

在 \(\triangle ABD\) 中,由餘弦定理,\(\overline{BD}=\sqrt{13^2+46^2-2\cdot 13\cdot 46 \cos120^\circ}=31\sqrt{3}\)

在 \(\triangle CBD\) 中,由正弦定理,\(\displaystyle\frac{\overline{BD}}{\sin60^\circ}=2 \times\mbox{四邊形}ABCD\mbox{的外接圓半徑}\)

      \(\Rightarrow \overline{AC}=2\times\mbox{四邊形}ABCD\mbox{的外接圓半徑}=62\)
作者: thepiano    時間: 2017-5-16 08:02     標題: 回復 13# Bra 的帖子

填充第5題
求值:\(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^3+8k^2+15k}=\)   
[解答]
\(\begin{align}
  & \frac{1}{{{k}^{3}}+8{{k}^{2}}+15k} \\
& =\frac{1}{k\left( k+3 \right)\left( k+5 \right)} \\
& =\frac{1}{5}\left[ \frac{1}{k\left( k+3 \right)}-\frac{1}{\left( k+3 \right)\left( k+5 \right)} \right] \\
& =\frac{1}{15}\left( \frac{1}{k}-\frac{1}{k+3} \right)-\frac{1}{10}\left( \frac{1}{k+3}-\frac{1}{k+5} \right) \\
\end{align}\)
作者: laylay    時間: 2017-5-16 10:55     標題: 回復 16# arend 的帖子

填充2另解
四邊形\(ABCD\),已知\(\angle A=120^{\circ}\),\(B\)和\(D\)都是直角,\(\overline{AB}=13\),\(\overline{AD}=46\),試求\(\overline{AC}=\)   
[解答]
(現在流行寫兩解,每解只能得一半分數)
cos120=cc-ss,(cc+1/2)^2=(ss)^2=(1-c^2)(1-c^2)
c^2+c^2+cc=3/4,兩邊同乘A C^2得13^2+46^2+13*46=3/4*A C^2
得A C=62
這裡頭令人好奇的是AC為整數難道純屬巧合嗎?
作者: thepiano    時間: 2017-5-16 11:29     標題: 回復 13# Bra 的帖子

填充第7題
設\(z\)為複數,若\(|\;z|\;=2\),則\(|\;z^2-2z+8|\;\)的最小值為   
[解答]
令\(z=2\left( \cos \theta +i\sin \theta  \right)\)

\(\begin{align}
  & \left| {{z}^{2}}-2z+8 \right| \\
& =\left| z \right|\left| z-2+\frac{8}{z} \right| \\
& =2\left| 2\cos \theta +2i\sin \theta -2+8\left( \frac{\cos \left( -\theta  \right)+i\sin \left( -\theta  \right)}{2} \right) \right| \\
& =2\left| 6\cos \theta -2-2i\sin \theta  \right| \\
& =2\sqrt{{{\left( 6\cos \theta -2 \right)}^{2}}+{{\left( -2\sin \theta  \right)}^{2}}} \\
& =2\sqrt{32{{\cos }^{2}}\theta -24\cos \theta +8} \\
& =2\sqrt{32{{\left( \cos \theta -\frac{3}{8} \right)}^{2}}+\frac{7}{2}} \\
& \ge \sqrt{14} \\
\end{align}\)
作者: windsemi    時間: 2017-5-16 12:35

想請教填充4的圖形 要如何確定只有這種畫法~

又或者是因為不管怎麼畫面積都一樣所以才取這種特殊畫法

麻煩大家了~
作者: eyeready    時間: 2017-5-16 13:00     標題: 回復 22# windsemi 的帖子

主要是方便運算才這樣安排每個三角形都全等的!
PS:若是用不一樣的排列法,所求外圍的弓形面積仍相同!
作者: windsemi    時間: 2017-5-16 16:30

原來關鍵是弓形面積 我懂了 感謝eye大大~
作者: arend    時間: 2017-5-16 23:10     標題: 回復 18# weiye 的帖子

謝謝瑋岳老師
當時也有想到園內接四邊形,月沒想到AC是直徑

請教一下,若非內接四邊形,是否也有解? 記得以前看過類似題目, 做法不復記憶
謝謝
作者: 米斯蘭達    時間: 2017-5-17 14:00

請教各位,選擇2,謝謝各位。
作者: thepiano    時間: 2017-5-17 14:31     標題: 回復 26# 米斯蘭達 的帖子

選擇第 2 題
設\(\theta\)為一銳角滿足\(\displaystyle \frac{16}{sin^6 \theta}+\frac{1}{cos^6 \theta}=81\),則\(\tan\theta=\)
(A)\(\displaystyle \frac{1}{2}\) (B)\(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\) (C)1 (D)\(\sqrt{2}\)。
[提示]
跟今年彰女這題差不多
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2765&page=3#pid17207
作者: anyway13    時間: 2017-5-19 23:19     標題: 請教選擇11題

請教板上老師,選擇11要怎模做阿?  定坐標要做好久,(還是我計算速度太慢)
謝謝
作者: anyway13    時間: 2017-5-19 23:59     標題: 請教填充六

Google  找到  http://mathworld.wolfram.com/Sphere-SphereIntersection.html

可是還是不會,請教一下板上老師!
作者: superlori    時間: 2017-5-20 10:23     標題: 回復 29# anyway13 的帖子

h ttp://ppt.cc/p98DK 連結已失效
給你參考看看
作者: anyway13    時間: 2017-5-20 11:15     標題: 謝謝superlori老師的詳解

只問了兩題,superlori老師卻好心提供全詳解

感恩!
作者: anyway13    時間: 2017-5-20 12:55     標題: 填充3

superlori老師您好

t=-1時不合的原因  應該是AD 不平行 BC

因為t=-1時 D(1,-4,1) 也落在E: 2x-y-2z=4上

應該是您筆誤吧!  總之,感謝您po 詳解
作者: superlori    時間: 2017-5-20 14:46     標題: 回復 32# anyway13 的帖子

謝謝您的指教
作者: rotch    時間: 2017-5-24 14:35     標題: 回復 2# thepiano 的帖子

請問這樣假設不就代表要證的東西已經成立了嗎?
作者: thepiano    時間: 2017-5-24 15:01     標題: 回復 34# rotch 的帖子

重點是要證m是正整數
作者: cefepime    時間: 2017-5-25 22:31

填充題 1.
設級數\(f(n)=1^n-2^n+3^n-4^n+\ldots+2015^n-2016^n+2017^n\),求\(\displaystyle \frac{f(1)f(2)}{f(3)}=\)   
[解答]
一般的結果具有簡單型式

f(n) = 1ⁿ - 2ⁿ + 3ⁿ ... + (-1)^(k-1) *kⁿ

f(1)*f(2) / f(3) =

k / (2k-1),當 k 是奇數

-(k+1) / (2k+3),當 k 是偶數

作者: jfy281117    時間: 2017-5-26 12:59     標題: 單選8

箱中有6顆白球、2顆紅球、2顆黑球和2顆綠球,今由箱中每次取1球,取後不放回,取完為止。若每顆球被取到的機會均等,則白球最先取完的機率為何?
(A)\(\displaystyle \frac{1}{24}\) (B)\(\displaystyle \frac{1}{20}\) (C)\(\displaystyle \frac{1}{16}\) (D)\(\displaystyle \frac{1}{10}\)
[解答]
可先將問題轉換為白球以外的球最後取完的機率

例如:紅球最後取完,黑球倒數第二取完,綠球倒數第三取完,所以白球倒數第四取完(即白球最先取完)

紅球最後取完之機率為 \( \frac{2}{12} \)
黑球倒數第二取完之機率為 \( \frac{2}{10} \)
綠球倒數第三取完之機率為 \( \frac{2}{8} \)

故這種情形發生之機率為  \( \frac{2}{12}\times\frac{2}{10}\times\frac{2}{8}=\frac{1}{120} \)

而其他顏色的取完順序有3!=6種,故所求為\(\frac{1}{20}\)
作者: oceanli    時間: 2017-6-28 08:14

填充3
空間中,\(A(4,-4,4)\)、\(B(2,0,0)\)、\(C(-1,0,-3)\)、\(D\)四點同在一平面\(E\)上,若\(ABCD\)為一等腰梯形且\(\overline{AB}\)//\(\overline{CD}\),求\(D\)點坐標   
[解答]
小弟的解法

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作者: oceanli    時間: 2017-6-28 08:25

計算一
(1)若\((\sqrt{2}-1)^5=\sqrt{m+1}-\sqrt{m}\),則正整數\(m\)之值為何?
(2)請證明存在某一正整數\(m\)滿足:\((\sqrt{2}-1)^{2017}=\sqrt{m+1}-\sqrt{m}\)。

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=4203&k=882f1d2392ba1c5bed1566bb278ae528&t=1632615803


作者: bettytsai    時間: 2019-5-9 23:14

想請教複選11題(A)(B)兩選項,謝謝。
作者: kggj5220    時間: 2019-5-9 23:52     標題: 回復 40# bettytsai 的帖子

已知圓內接\(\Delta ABC\)中,\(\overline{AB}=6\),\(\overline{BC}=5\),\(\overline{AC}=4\)。
若\(\angle A\)的平分線分別交\(BC\)弦與\(BC\)弧於\(D\)、\(E\)兩點,
則下列哪些選項是正確的?
(A)\(\angle AEB:\angle AEC=3:2\)
(B)\(\overline{AD}:\overline{DE}=3:2\)
(C)\(\overline{AD}\times \overline{AE}=24\)
(D)設\(P\)為\(BEC\)弧上的一個動點,則\(\overline{AP}\)長的最大值為\(\displaystyle \frac{16\sqrt{7}}{7}\)。
[解答]
令\(\overline{AD}=x\),
由餘弦定理得\(\frac{x^2+36x-9}{12x}=\frac{x^2+16x-4}{8x}\)
解得\(x=3\sqrt{2}\)

(A)\(\triangle\)AEB與\(\triangle\)AEC 有相同外接圓可得
       \(\frac{6}{sin \angle AEB}=\frac{4}{sin \angle AEC}\Rightarrow sin \angle AEB\):\(sin \angle AEC= \)3:2    所以3:2是角度正弦比非角度比

(B)由圓內冪性質知道\(\overline{AD}\times \overline{DE}=\overline{BD} \times \overline{CD}\)
     解得\( \overline{DE}=\sqrt{2}\)  所以 \(\overline{AD} : \overline{DE}= 3:1\)

(C)\(\overline{AD} \times (\overline{AD}+\overline{DE})=3\sqrt{2}\times4\sqrt{2}\)

(D)由三邊長知\(\triangle\)ABC為銳角三角形,外心在三角形內部(直徑不會在三角形的邊上)
     所以最大值就是P跑到讓AP為直徑時最長
      cosB=\(\frac{6^2+5^2-4^2}{2x6x5}=\frac{3}{4} \Rightarrow\)  sinB=\(\frac{\sqrt{7}}{4}\)
       2R= \( \frac{4}{sinB}=\frac{16 \sqrt{7}}{7}\)
作者: rotch    時間: 2019-10-15 10:48     標題: 回復 30# superlori 的帖子

請問這個連結是否失效了?
作者: nanpolend    時間: 2020-4-22 11:09     標題: 回復 1# Sandy 的帖子

請教單選第三題
作者: Ellipse    時間: 2020-4-22 11:29

引用:
原帖由 nanpolend 於 2020-4-22 11:09 發表
請教單選第三題
設\(0<b<a\),且\(a,b\)滿足\((log_2a)(log_2b)=-1\)及\(ab=4\),則\(log_a b\)的值為
(A)\(-3+2\sqrt{2}\) (B)\(3+2\sqrt{2}\) (C)\(3-2\sqrt{2}\) (D)\(-3-2\sqrt{2}\)。
[解答]
令x=log_2(a) ,y=log_2(b)
因為b<a , 所以y<x
依題意知x*y= -1 ,x+y=2
則以x,y為兩根的一元二次方程式
為k²-2k-1=0 ,解出x=1+√2 ,y=1-√2
所求=log_a (b)=log_2 (b) / log_2(a) =y/x
=(1-√2)/(1+√2 )= -3+2√2
作者: nanpolend    時間: 2020-4-22 16:41     標題: 回復 1# Sandy 的帖子

請教單選第五題
作者: thepiano    時間: 2020-4-22 20:28     標題: 回復 45# nanpolend 的帖子

單選第 5 題
在坐標平面上,\(A\)點坐標為\((-1,0)\),\(B\)點坐標為\((1,0)\),點\(P\)是直線\(x+y=4\)上的一個動點,則向量\(\vec{AP}+\vec{BP}\)長度的最小值為下列哪一個選項?
(A)4 (B)\(4\sqrt{2}\) (C)\(4\sqrt{3}\) (D)\(4\sqrt{5}\)
[解答]
P(t,4 - t),A(-1,0),B(1,0)
向量 AP = (t + 1,4 - t),向量 BP = (t - 1,4 - t)
向量 AP + 向量 BP = (2t,8 - 2t)
剩下就簡單了
作者: nanpolend    時間: 2020-4-22 21:13     標題: 回復 1# Sandy 的帖子

請教單選第六題
作者: thepiano    時間: 2020-4-23 07:42     標題: 回復 47# nanpolend 的帖子

單選第6題
考慮滿足以下條件的正整數數對\((x,y)\):(i)\(106\le x \le 2017\);(ii)\(106\le y \le 2017\);(iii)\(8x-5y=37\)。請問\((x,y)\)共有幾組解?
(A)232 (B)233 (C)234 (D)235
[解答]
\(\begin{align}
  & 8x-5y=37 \\
& y=\frac{8x-37}{5} \\
& x\equiv 4\ or\ 9\ \left( \bmod \ 10 \right) \\
&  \\
& 106\le \frac{8x-37}{5}\le 2017 \\
& 106\le x\le 2017 \\
& 106\le x\le 1265 \\
& x=109,114,119,\cdots ,1264 \\
\end{align}\)
作者: nanpolend    時間: 2020-4-27 14:03     標題: 回復 1# Sandy 的帖子

請教複選第12題
作者: thepiano    時間: 2020-4-27 14:50     標題: 回復 49# nanpolend 的帖子

第12題
設\(A,B,C\)均為二階方陣,且其各矩陣中的所有元均為整數,若滿足\(AB=\left[\matrix{2&2\cr -2&6}\right]\),\(AC=\left[\matrix{5&1\cr-13&3}\right]\),試求矩陣\(A\)可能為下列何者?
(A)\(\left[\matrix{2&0\cr 0&1}\right]\) (B)\(\left[\matrix{3&-1\cr 1&1}\right]\) (C)\(\left[\matrix{-3&1\cr 2&1}\right]\) (D)\(\left[\matrix{1&-1\cr 1&1}\right]\)
[解答]
\(\begin{align}
  & AB-AC=A\left( B-C \right)=\left[ \begin{matrix}
   -3 & 1  \\
   11 & 3  \\
\end{matrix} \right] \\
& B-C={{A}^{-1}}\left[ \begin{matrix}
   -3 & 1  \\
   11 & 3  \\
\end{matrix} \right] \\
\end{align}\)
把四個選項的反矩陣求出來,再乘一乘,看所有元是否為整數
作者: nanpolend    時間: 2020-4-28 19:29     標題: 回復 9# thepiano 的帖子

填充題1
設級數\(f(n)=1^n-2^n+3^n-4^n+\ldots+2015^n-2016^n+2017^n\),求\(\displaystyle \frac{f(1)f(2)}{f(3)}=\)   

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作者: nanpolend    時間: 2020-4-28 23:06     標題: 回復 19# thepiano 的帖子

填充題5
求值:\(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^3+8k^2+15k}=\)   

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作者: nanpolend    時間: 2020-4-29 10:04     標題: 回復 1# Sandy 的帖子

請教填充題6詳細作法版上解答和連結實在看不懂
作者: koeagle    時間: 2020-4-29 12:07     標題: 回復 53# nanpolend 的帖子

填充6
在空間中,設球體\(S_1\):\((x-1)^2+(y-2)^2+z^2\le 4\),球體\(S_2\):\((x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2\le 9\)。若\(S_1\)和\(S_2\)的交集區域為\(T\),則區域\(T\)的體積為   
(左圖不完全準確)

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作者: nanpolend    時間: 2020-4-29 17:27     標題: 回復 1# Sandy 的帖子

請教填充題9
作者: jasonmv6124    時間: 2020-4-29 19:19     標題: 回復 55# nanpolend 的帖子

先把雙曲線寫出來
然後利用切線公式
找出兩條斜率為1的切線
再判斷y=x-5^(1/2)為所要求的
最後算兩條線的距離即可
作者: nanpolend    時間: 2020-4-29 22:21     標題: 回復 56# jasonmv6124 的帖子

填充9
設\(P\)為直線\(x-y+5=0\)上一點,\(Q\)為雙曲線一支\(\Gamma\):\(\displaystyle x=\sqrt{\frac{9}{4}y^2+9}\)上一點,求\(\overline{PQ}\)最小值=   

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作者: nanpolend    時間: 2020-4-29 22:48     標題: 回復 1# Sandy 的帖子

感謝各位老師幫忙練習過一遍
作者: 克勞棣    時間: 2020-5-3 03:30

單選第2題
設θ為一銳角滿足16/(sinθ)^6 + 1/(cosθ)^6=81,則tanθ=?

請教這題怎麼算?看起來似乎不難,但是在下抓不到關鍵點。
我嘗試令tanθ=x,則(sinθ)^2=x^2/(1+x^2),(cosθ)^2=1/(1+x^2),代回原式,
得(1+x^2)^3*(16+x^6)=81x^6
未知數固然只剩一個,但方程式次數太高,依然解不出來。
對這一題我實在很好奇。謝謝!
作者: thepiano    時間: 2020-5-3 06:41     標題: 回復 59# 克勞棣 的帖子

廣義柯西不等式
作者: 克勞棣    時間: 2020-5-3 15:56     標題: 回復 60# thepiano 的帖子

http://www.sec.ntnu.edu.tw/Month ... 8-214-02(16-22).pdf
您指的是這篇文章第20頁的類題3的公式嗎?
(這篇文章是我用關鍵字搜尋到的,事前完全不知道有這個公式)

[ 本帖最後由 克勞棣 於 2020-5-3 20:24 編輯 ]
作者: tenlong1000    時間: 2020-9-17 10:21     標題: 106-全國高中教師聯招(詳解整理)

106-全國高中教師聯招(詳解整理)

附件: 106-全國高中教師聯招(詳解整理).pdf (2020-9-17 10:21, 627.13 KB) / 該附件被下載次數 1587
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5638&k=5da010a146c44e8a55b2c4956e41fce0&t=1632615803
作者: tsusy    時間: 2020-9-17 22:05     標題: 回復 61# 克勞棣 的帖子

是該連結中第17頁的定理3,
第20頁的類題,只是使用它的一例子

以這題來說,也可以多做柯西

\( \left(\frac{16}{\sin^{6}\theta}+\frac{1}{\cos^{6}\theta}\right)(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta)\geq(\frac{4}{\sin^{2}\theta}+\frac{1}{\cos^{2}\theta})^{2} \)

\( (\frac{4}{\sin^{2}\theta}+\frac{1}{\cos^{2}\theta})(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta)\geq(2+1)^{2} \)

故 \( \left(\frac{16}{\sin^{6}\theta}+\frac{1}{\cos^{6}\theta}\right)\geq(2+1)^{4}=81 \)

由柯西不等式的等號條件,即可解出原程式的解為 \( \tan\theta=\sqrt{2} \)。
作者: 克勞棣    時間: 2020-9-18 13:48     標題: 回復 63# tsusy 的帖子

原來還有柯西用兩次這招,很奇妙。謝謝!
作者: tsusy    時間: 2020-9-19 17:04     標題: 回復 64# 克勞棣 的帖子

依稀記得,很久以前我也像 #59 處那樣炸過這題或是它的類似考古題

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承 #59 樓的算式 \( (1+x^{2})^{3}(16+x^{6})=81x^{6} \)

令 \( t = x^2 \),用力展開移項得

\( t^{6}+3t^{5}+3t^{4}-64t^{3}+48t^{2}+48t+16=0 \)

有理根檢驗法 \( t=1,2,... \) 代入得 \( t=2 \) 為方程式的一解

而因式分解得 \( (t-2)(t^{5}+5t^{4}+13t^{3}-38t^{2}-28t-8)=0 \)

再分解得 \( (t-2)^{2}(t^{4}+7t^{3}+27t^{2}+16t+4) = 0 \)

因 \( t^{4}+7t^{3}+27t^{2}+16t+4 \) 係數皆正,

故 \( t^{4}+7t^{3}+27t^{2}+16t+4 =0 \) 無正根

因此 t 的六次方程式的正根僅有 \( t = 2 \)

故 \( \tan \theta = \sqrt{2} \)

_______________________________________________________

其實上面的算式不太重要,重要的是在這類題型中,培養使用的不等式解方程式的技能與時機

這也是我現在好像找不到當年硬暴算式的原因了(沒有留存價值)




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