標題: 106彰化女中 [打印本頁]

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作者: james2009    時間: 2017-5-7 15:22     標題: 106彰化女中

如附檔

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作者: swallow7103    時間: 2017-5-7 22:26

Part B 第七題
\( (a+b+c)^{2017} \) 的任一項為 \( a^{x} b^{y} c^{z}, x+y+z=2017 \) 的形式 ，因此共有 \( C^{2019}_{2} \)個不同類項。
然而當 y 和 z 兩數是一奇數一偶數時，\( a^{x} b^{y} c^{z} \) 和 \( a^{x} (-b)^{y} (-c)^{z} \) 會互消。
而當 \( x+y+z=2017 \) ，且 y 和 z 是一奇一偶時，\((x, y ,z )\)的奇偶性為 (偶, 奇, 偶) 或(偶, 偶, 奇)；

(1) 若(x, y ,z )為 (偶, 奇, 偶) 時，可令\(x=2p, y=2q+1, z=2r\)，其中\(p,q,r\)為整數，則\(2p+(2q+1)+2r = 2017\)，即\(p+q+r = 1008\)，因此將有 \( C^{1010}_{2} \)個項會消失。
(2) 若\((x, y ,z )\)為 (偶, 偶, 奇) 時， 計算方式同(1) ，結果亦相同。

綜合上述，\( (a+b+c)^{2017} + (a-b-c)^{2017}  \) 會有\( C^{2019}_{2} - 2 C^{1010}_{2} = 2037171- 1019090 = 1018081  \) 個不同項。

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作者: cefepime    時間: 2017-5-7 23:58

填充 B - 7 ( a + b + c ) ²⁰¹⁷+ ( a - b - c ) ²⁰¹⁷  化簡後共有幾項?

解: ( a + b + c ) ²⁰¹⁷+ ( a - b - c ) ²⁰¹⁷ = [ a + (b + c) ] ²⁰¹⁷+ [ a - (b + c) ] ²⁰¹⁷

化簡後剩 (b + c) 取偶次方者 = 1+3+5+...+2017 = 1009² = 1018081 項。

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作者: laylay    時間: 2017-5-8 12:39     標題: 填充A1.

設xyz=k,令f(t)=t^3-3t^2-9t-k,則f(t)=0 三根為x,y,z , f`(t)=3t^2-6t-9=3(t-3)(t+1)
由函數圖形(請自己畫)知
    當x有最大值時-1為f(t)=0的重根=>f(t)=(t+1)^2*(t-5)=>x有最大值=5(此時y=z=-1)
    當x有最小值時 3為f(t)=0的重根=>f(t)=(t-3)^2*(t+3)=>x有最小值=-3(此時y=z=3)


另解:
y+z=3-x
x(y+z)+yz=-9 => yz=-9-x(3-x)=x^2-3x-9
(y-z)^2=(y+z)^2-4yz=(3-x)^2-4(x^2-3x-9)=-3(x+3)(x-5)>=0 => -3<=x<=5  (等號成立時y=z=(3-x)/2)

最近一題兩解有出現,每解只能得一半喔 !

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作者: thepiano    時間: 2017-5-8 15:10     標題: 回復 4# laylay 的帖子

\(y\)，\(z\)是方程式\({{t}^{2}}+\left( x-3 \right)t+\left( {{x}^{2}}-3x-9 \right)=0\)的兩實根

\(\begin{align}
  & {{\left( x-3 \right)}^{2}}-4\left( {{x}^{2}}-3x-9 \right)\ge 0 \\
& -3\le x\le 5 \\
\end{align}\)

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作者: yinchou    時間: 2017-5-8 15:53     標題: 回復 4# laylay 的帖子

另解:

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作者: yinchou    時間: 2017-5-8 16:54     標題: 填充B第3



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作者: laylay    時間: 2017-5-8 19:03     標題: 填充B6.

令g(x)=f(x+2015)=ax^2+bx+c
則原式=>  1<=g(-2)= 4a-2b+c <=5.....(1)
3<=g(-1)= a-b+c <=13.....(2)            2<=g(0)=  c  <=8.....(3)
設目標=g(2)=4a+2b+c=p(4a-2b+c)+q(a-b+c)+r(c)
比較係數得 p=3,q=-8,r=6
故最大值=5p+3q+8r=39

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作者: 阿光    時間: 2017-5-8 20:52

請問填充A2,5,7題,謝謝

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作者: thepiano    時間: 2017-5-8 21:43     標題: 回復 9# 阿光 的帖子

A-2 題
分成以下情形
(1) 四個 5：1 種
(2) 三個 5：6 種
(3) 二個 5：22 種
(4) 一個 5：54 種
(5) 零個 5：81 種

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作者: eyeready    時間: 2017-5-8 21:54

請以各種不同的解題方法求點到直線距離。
題目：求點\(P(8,7)\)到直線\(L\)：\(4x-3y+19=0\)的距離。
說明1：請於每種方法概述該法的主要解題結構，再列出解題過程。
說明2：每種方法得3分，本題上限12分。
[提示]
這張大概應該80分才能進複試吧！
計算一 小弟提供自己想到了4個方法
(1)代點到直線距離公式
(2)設直線參數式，配方法求最小值
(3)三角函數
(4)柯西

110.5.3補充
請根據108課綱的數學課程安排，分別使用10年級、11年級、12年級和大學微積分介紹的數學方法解此題目：
「\(x\)、\(y\)為實數，已知\(3x+4y=5\)，求\((x-1)^2+(y+2)^2\)的最小值與此時的\((x,y)\)值。」
(請標註該方法為哪一年級，每個方法2分，共8分)
(110彰化女中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3514&page=1#pid22759)

113.1.27補充
點到直線的13種證明方法

113.5.4補充
請利用108課綱高一學生可以理解的方法證明：已知點\(P(x_0,y_0)\)，直線\(L\)：\(ax+by+c=0\)，則\(P\)到\(L\)的距離為\(\displaystyle \frac{|\;ax_0+by_0+c|\;}{\sqrt{a^2+b^2}}\)。
(113全國高中職聯招，https://math.pro/db/thread-3859-1-1.html)

113.5.7補充
在數學「直線與圓」單元中提到，坐標平面上一點\(P(m,n)\)到直線\(L\)：\(ax+by+c=0\)的距離\(\displaystyle d(P,L)=\left|\frac{am+bn+c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right|\)。請回答下列問題：
(1)請以高職一年級學生的先備知識為基礎證明上式。
(2)現有一道問題「求平面上一點\(P(1,2)\)到直線\(L\)：\(x+y=-3\)的距離。」除了使用「點到直線的距離」公式之外，請你另寫出2種給高職二年級學生的解答。
(113南港高工，https://math.pro/db/thread-3863-1-1.html)

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作者: laylay    時間: 2017-5-8 21:55     標題: 填充A7.

建立坐標系 B(-4,0),D(-2,0),C(0,0),E(-3,0)射線CA:x-y=0，y>＝0
作過B,D的圓其半徑R,圓心Q(-3,k),k>0 使圓交射線CA於A,則由正弦定理知 2/sinBAD=2R,欲使角BAD最大則R要最小=>圓與射線CA:x-y=0 相切
=> d(Q,射線CA:x-y=0)^2 =R^2=>(k+3)^2/2=k^2+1
=>k^2+6k+9=2k^2+2 => (k-7)(k+1)=0 =>k=7
tanBAD=tanBQE=1/k=1/7

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作者: thepiano    時間: 2017-5-8 22:31     標題: 回復 9# 阿光 的帖子

A-7 另解
作DE垂直直線AC於E，作BF垂直直線AC於F
CD=2，DE=CE=√2，BC=4，BF=CF=2√2
令AC=x
\(\begin{align}
  & \tan BAD=\tan \left( BAF-DAE \right) \\
& =\frac{\frac{2\sqrt{2}}{x+2\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{2}}{x+\sqrt{2}}}{1+\frac{2\sqrt{2}}{x+2\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{2}}{x+\sqrt{2}}} \\
& =\frac{\sqrt{2}x}{{{x}^{2}}+3\sqrt{2}x+8}\le \frac{1}{7} \\
&  \\
& \frac{{{x}^{2}}+3\sqrt{2}x+8}{\sqrt{2}x}=\frac{x}{\sqrt{2}}+\frac{8}{\sqrt{2}x}+3\ge 2\sqrt{4}+3=7 \\
\end{align}\)

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作者: cefepime    時間: 2017-5-8 22:53

填充 A - 2 另解

取捨原理: 4⁴ - 3*2*4² + 2² = 164


填充 A - 7 另解

設 A 在 BC 上的垂足為 A'，令 AA' = A'C = x

tan∠BAD = tan(∠BAA' - ∠DAA') = x / (x²+3x+4) [ x>0 ] ⇒ 最大值 = 1/7


計算 1

除了 eyeready 老師提出的方法，另可用 1. 先求垂足  2. 向量投影長  3. 由面積求高

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作者: yinchou    時間: 2017-5-9 08:04     標題: 回復 9# 阿光 的帖子

A-5

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作者: tommy10127    時間: 2017-5-9 09:47

想請問計算第三題，這題好像在哪看過，但就是想不起來

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作者: thepiano    時間: 2017-5-9 10:11     標題: 回復 16# tommy10127 的帖子

98彰化女中，103台中二中，103南大附中都考過.....
參考https://www.physixfan.com/archives/445

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作者: laylay    時間: 2017-5-9 13:09     標題: 回復 16# tommy10127 的帖子

x^2<=1-y^2 , z^2<=1-y^2   給定y 則x,z圍出4(1-y^2)的面積,y由-1積分到1得體積=4(y-y^3/3)[-1..1]=4[(1-1/3)-(-1-(-1)/3)]=16/3
若再加上x^2+z^2<=1的條件
則體積變成(根號2)^3+6*4(y-y^3/3)[1/根號2..1]=16-8根號2

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作者: laylay    時間: 2017-5-9 13:38     標題: 填充B2.

(x^4+8x^3-2x^2+kx-5)'＝4x^3+24x^2-4x+k＝0
它的三根即為-6,-1,1＝> k＝-24

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作者: laylay    時間: 2017-5-9 14:42     標題: 填充A4.

L必過反曲點（0,-5）設L:y＝mx-5代入f得x^2＝2-m
B C^2＝x^2*(1+m^2)得20＝(2-m)(1+m^2)得m＝-2
L:y＝-2x-5

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作者: 阿光    時間: 2017-5-9 19:33

想再請教填充B8,謝謝

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作者: thepiano    時間: 2017-5-9 20:20     標題: 回復 21# 阿光 的帖子

B-8
1 + 2 + 3 + ... + 7 = 28

(1) a_4 = 奇數 時
a_1 + a_2 + a_3 與 a_5 + a_6 + a_7 一定是一大一小
a_1 + a_2 + a_3 ＞ a_5 + a_6 + a_7 的情形有 6! / 2 = 360 種

(2) a_4 = 2 時
先考慮 a_1 + a_2 + a_3 = a_5 + a_6 + a_7 = 13
(a_1，a_2，a_3) = (1，5，7) 或 (3，4，6) 之排列
有 3! * 3! * 2 = 72 種
a_1 + a_2 + a_3 ≧ a_5 + a_6 + a_7 的情形有 (6! + 72)/2 = 396 種

同理，a_4 = 4 or 6 時，亦有 396 種

所求 = (360 * 4 + 396 * 3) / 7! = 73/140

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作者: tsusy    時間: 2017-5-9 20:39     標題: 回復 21# 阿光 的帖子

填充B8. 另解

這類問題，我的想法是處理等重，再利用對稱性

若等重的機率是\( p \)，則所求 =\( \frac{1-p}{2} + p = \frac{1+p}{2} \)

注意 \( 1+2+3+4+5+6+7 = 28 \)，因此僅有在 \( a_4 \) 為偶數時，才有發生等重的可能

\( a_4 =2 \), \( 13 = 1+5+7 = 3+4+6 \)
\( a_4 =4 \), \( 12 = 2+3+7 = 1+5+6\)
\( a_6 =6 \), \( 11 = 1+3+7 = 2+4+5\)

故 \( p =3 \times \frac17 \times \frac{2\times 3! \times 3!}{6!} = \frac{3}{70}\)

所求 = \( \frac{1+p}{2} = \frac{73}{140} \)

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作者: anyway13    時間: 2017-5-10 00:32     標題: 請問B部分填充四

請問板上老師B部分填充四應該要怎麼做呢?

微分微得很辛苦   !謝謝!

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作者: laylay    時間: 2017-5-10 02:39     標題: 回復 24# anyway13 的帖子

16(-6)s^(-7)*c+81(-6)c^(-7)*(-s)=0
16c^8-81s^8=0 =>t^2=2/3

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作者: yinchou    時間: 2017-5-10 08:23     標題: 回復 24# anyway13 的帖子

由廣義柯西不等式

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作者: fuji95313    時間: 2017-5-10 09:29

想請教填充A的5和填充B的6和計算2，謝謝！

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作者: thepiano    時間: 2017-5-10 13:15     標題: 回復 27# fuji95313 的帖子

B-6 題
請參考附件

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作者: cefepime    時間: 2017-5-10 13:48

填充 B - 6 參照 8# laylay 老師 和 28# thepiano 老師 的精解。

目標: 把 f(2017) 用 f(2013)，f(2014)，f(2015) 表示 -- 因三個函數值決定一個二次以下的多項式函數，這個計畫是合理的。

作法: 用拉格朗日插值法即可。又，依本題數據特性，可用 巴貝奇定理 或 差分。

例如: 令 f(2013)，f(2014)，f(2015)，f(2016)，f(2017) 依序為 a，b，c，d，e

a - 3b + 3c - d = 0 ...(1)

b - 3c + 3d - e = 0 ...(2)

(1) 代入 (2)

e = 3a - 8b + 6c ⇒ e 最大值 39

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作者: cefepime    時間: 2017-5-10 14:29

填充 B - 2  另解:

以 1-a, 1-b, 1-c, 1-d 為 4 根的方程式為:

(1-x)⁴ + 8(1-x)³ - 2(1-x)² + k(1-x) - 5 = 0

由條件和根與係數關係知， x 項係數 = 0

⇒ -4 -24 + 4 - k = 0

⇒ k = -24

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作者: thepiano    時間: 2017-5-10 15:26     標題: 回復 27# fuji95313 的帖子

計算第2題
\(\begin{align}
  & {{a}_{n}}=2{{a}_{n-1}}-4n+13 \\
& {{a}_{n}}-4n=2\left[ {{a}_{n-1}}-4\left( n-1 \right) \right]+5 \\
& {{b}_{n}}={{a}_{n}}-4n \\
& {{b}_{1}}={{a}_{1}}-4=2 \\
& {{b}_{n}}=2{{b}_{n-1}}+5 \\
& {{b}_{n}}=7\times {{2}^{n-1}}-5 \\
& {{a}_{n}}=7\times {{2}^{n-1}}+4n-5 \\
& {{a}_{50}}=7\times {{2}^{49}}+195 \\
& ...... \\
\end{align}\)

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作者: yinchou    時間: 2017-5-10 15:35     標題: 填充 B - 2

另解:

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作者: d3054487667    時間: 2017-5-10 21:07

想請教B5

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作者: anyway13    時間: 2017-5-10 22:53     標題: 謝謝B 4的回答

謝謝yinchou老師 和laylay老師詳細的回答.

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作者: thepiano    時間: 2017-5-11 09:33     標題: 回復 33# d3054487667 的帖子

B-5
將 2 紅視為相異，2 黃也視為相異

(1) 取 5 球才取到三色
第 5 球一定是綠色，有 4! = 24 種取法

(2) 取 4 球取到三色
(i) 第 4 球是綠色，有 4! = 24 種取法
(ii) 第 4 球是紅色，前 3 球是 2 黃 1 綠，有 C(2，1) * 3! = 12 種取法
(iii) 第 4 球是黃色，前 3 球是 2 紅 1 綠，有 C(2，1) * 3! = 12 種取法
以上小計 48 種

(3) 取 3 球就取到三色
前 3 球是 1 紅 1 黃 1 綠，有 C(2，1) * C(2，1) * 3! * 2 = 48 種取法

所求 = 5 * 24/5! + 4 * 48/5! + 3 * 48/5! = 19/5

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作者: valkyriea    時間: 2017-5-11 11:38     標題: 回復 27# fuji95313 的帖子

A5
令AD、BE分別垂直L於D、E。
最小值發生時，A、B分別以L為軸旋轉到同一平面後，
A、B、P三點共線，則三角形APD ~ BPE
=> PD : PE = AD:BE
再分別求出D、E坐標即可

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作者: cefepime    時間: 2017-5-11 14:05

填充 B - 5 另解 (基於題目的數字較小)


令 P(n) 表示 " 取球次數 = n " 的機率，則:

P(3) = 3!*(1/5)*(2/4)*(2/3) = 2/5

P(5) = P(第5顆是綠球) = 1/5

P(4) =1 - P(3) - P(5) = 2/5

所求 = 3*(2/5) + 4*(2/5) + 5*(1/5) = 19/5

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作者: d3054487667    時間: 2017-5-11 20:25     標題: 回復 35# thepiano 的帖子

(3) 取 3 球就取到三色
前 3 球是 1 紅 1 黃 1 綠，有 C(2，1) * C(2，1) * 3! * 2 = 48 種取法

不太懂最後為什麼要乘以2
情況不是只有底下這四種在3!排列嗎?
紅1黃1綠
紅1黃2綠
紅2黃1綠
紅2黃2綠

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作者: d3054487667    時間: 2017-5-11 20:32

啊! 是不是剩下沒取的那兩顆的排列情況，因為樣本空間是5!，所以要考慮剩下兩顆

今天自己想的方法是只看前3、前4或前5的情況就不必考慮剩下的球

謝謝鋼琴老師與cefepime老師!!

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作者: thepiano    時間: 2017-5-14 07:03

引用:

原帖由 eyeready 於 2017-5-8 21:54 發表
這張大概應該80分才能進複試吧！

56 分進複試

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作者: Christina    時間: 2017-5-16 21:01     標題: 回復 18# laylay 的帖子

想請教如何知道\(x,z\)圍出的面積是\(4(1-y^2)\)呢？感謝

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作者: laylay    時間: 2017-5-17 07:16     標題: 回復 41# Christina 的帖子

-根號(1-y^2)<=x,z<=根號(1-y^2),
x,z圍出的圖形是邊長  2根號(1-y^2)的正方形

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作者: Christina    時間: 2017-5-19 08:21     標題: 回復 42# laylay 的帖子

謝謝，再請教為何增加了「x^2+z^2<=1」的條件，
則體積「變成(根號2)^3+6*4(y-y^3/3)[1/根號2..1]=16-8根號2」？從#18前面的積分可以得到16/3不就是體積了嗎？後面這段話的意思是？
謝謝您^^

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作者: laylay    時間: 2017-5-19 08:41     標題: 回復 43# Christina 的帖子

正中央是正立方體，另六面外的物體一定是一模一樣的與原題目的那部分是一樣
當x^2,y^2,z^2<＝1/2時，必定滿足三個式子，故有上述之正立方體
而在y^2>＝1/2時原題的x^2,z^2<＝1/2必定滿足新增加的第三個式子，故那個部分維持不變
再者x,y,z大家條件相當，故那六個部分一模一樣。
再增加第三個條件的限制，後來的體積當然要比原本的更小。
現在再增加x^2+y^2+z^2<＝5/4,則體積又將縮小到多少呢？
此時x^2＝y^2＝z^2＝1/2的八個點不見了喔！

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作者: arend    時間: 2017-6-8 19:20

引用:

原帖由 yinchou 於 2017-5-10 08:23 發表
由廣義柯西不等式

請問廣義柯西不等式等號成立的條件為和?

我上網只查到"倆倆平行"則等號成立, 但不知怎麼看?
謝謝

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作者: Chen    時間: 2017-8-4 20:03     標題: 回復 45# arend 的帖子

http://oz.nthu.edu.tw/~u9721201/ ... e/GeneralCauchy.pdf

「倆倆平行」若且唯若「等號成立」，這個直接檢查即可。

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作者: L.Y.    時間: 2021-6-16 16:49     標題: 請教A-6

想請問這題是要用 1^k+2^k+...+n^k 的公式嗎？
還是有其他解法呢？

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作者: thepiano    時間: 2021-6-16 17:16     標題: 回復 47# L.Y. 的帖子

A-6
分子前面除以 n^2，後面除以 n^5
分母前面除以 n^3，後面除以 n^4
這四個都乘以 1/n，再分別寫成黎曼和

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作者: L.Y.    時間: 2021-6-16 17:37     標題: 回復 48# thepiano 的帖子

了解了，非常謝謝鋼琴老師！

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