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標題: 106中大壢中 [打印本頁]

作者: czk0622 時間: 2017-4-23 19:16 標題: 106中大壢中

106中大壢中請參考

附件: 國立中大壢中106-1教甄數學.pdf (2017-4-23 19:16, 642.95 KB) / 該附件被下載次數 11172
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3973&k=b2801a98a926d1cef72067bcf5c2ee09&t=1732316538

作者: 新手老師 時間: 2017-4-23 19:58 標題: 回復 1# czk0622 的帖子

想請問6.10還有計算3
在考場都沒有頭緒
謝謝

作者: czk0622 時間: 2017-4-23 20:27 標題: 回復 2# 新手老師的帖子

6.
\( 36=2^{2}3^{2}\),設 \( a=2^{x_{1}}3^{y_{1}},b=2^{x_{2}}3^{y_{2}},c=2^{x_{3}}3^{y_{3}} \)
則 \(Max(x_{1},x_{2})=Max(x_{2},x_{3})=Max(x_{3},x_{1})=2\),因此 \(x_{1},x_{2},x_{3} \) 中至少有兩個 \( 2 \)
同理 \(y_{1},y_{2},y_{3} \) 中也至少有兩個 \( 2 \)
因此答案為 \((1+C^{3}_{2} \times 2)\times (1+C^{3}_{2} \times 2)=49 \)

作者: thepiano 時間: 2017-4-23 21:09 標題: 回復 2# 新手老師的帖子

計算第 3 題，填充第 10 題
參考 http://www.shiner.idv.tw/teacher ... &p=18148#p18148

[ 本帖最後由 thepiano 於 2017-4-23 22:47 編輯 ]

作者: jackyxul4 時間: 2017-4-24 15:49

填充第9題
(4/3)*三條中線圍成的三角形面積=原三角形面積

所以給定原三角形面積和兩條中線後，第三條中線是唯一的定值吧?

作者: pgcci7339 時間: 2017-4-24 17:57 標題: 回復 5# jackyxul4 的帖子

從面積為兩邊夾一角的角度去觀察，同樣的sin可能是銳角或鈍角，會影響第三邊的長度

作者: Christina 時間: 2017-4-24 22:02

請教填充8，謝謝

作者: laylay 時間: 2017-4-24 22:29 標題: 回復 7# Christina 的帖子

令 y=cosA ,x=sinAcosB ,z=sinAsinB
所求=y(根號2*x+z)=cosA*sinA*(根號2*cosB+sinB)=sin(2A)/2*(根號2*cosB+sinB)
Max=根號3/2

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-4-24 22:47 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2017-4-24 22:29 標題: 回復 7# Christina 的帖子

填充第 8 題
請參考
http://www.shiner.idv.tw/teacher ... 523574d936ca#p18154

作者: pgcci7339 時間: 2017-4-24 22:30 標題: 回復 7# Christina 的帖子

利用算幾(x，y，z設為正)
\(x^{2}+\displaystyle\frac{2}{3}y^{2}\geq\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}xy\)
\(\displaystyle\frac{1}{3}y^{2}+z^{2}\geq\frac{2}{\sqrt{3}}yz\)

[ 本帖最後由 pgcci7339 於 2017-4-24 23:44 編輯 ]

作者: laylay 時間: 2017-4-24 23:07 標題: 填12.

利用托勒密定理 , 四邊形四邊依序為根號3*x,y,z,w為圓內接四邊形(四內角60度,45度,120度,135度)
故所求=根號(3+2根號2)*根號(9+6根號2)=3根號3+2根號6
以上是四變數均正時,負的請有興趣的人討論一下
另外想請問版主有沒有辦法在我現在這編輯欄上方擺上方程式編輯器按鈕?
不然3根號3...實在不好看
還有,Geogebra的圖我試過,無法弄進來!

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-4-25 09:28 編輯 ]

作者: zidanesquall 時間: 2017-4-24 23:21 標題: 回復 4# thepiano 的帖子

想請問一下，為什麼有這個轉換的想法！

我直接硬拆，就卡在xyz項無法解決

（本來想回覆在美夢成真，但是無法註冊，收不到登入信件）

作者: thepiano 時間: 2017-4-25 07:38 標題: 回復 12# zidanesquall 的帖子

這種方法有個名字叫"增量法"，目的就是讓三數和為 0

作者: eyeready 時間: 2017-4-25 08:59

第六題
全部情況 - 皆無2^2 - 恰一個2^2
\(
\displaystyle ( 3^3-2^3-C_1^3 \times 2^2 )^2 = 49
\)
大概70以上才能進複試吧！

[ 本帖最後由 eyeready 於 2017-4-25 14:39 編輯 ]

作者: bluewing 時間: 2017-4-25 18:01 標題: 請問填充3

老師您好，請問填充3可否請教一下如何下手?謝謝您。

作者: thepiano 時間: 2017-4-25 18:40 標題: 回復 15# bluewing 的帖子

填充第 3 題
98 嘉義女中考過
https://math.pro/db/thread-808-1-1.html

作者: laylay 時間: 2017-4-25 19:35 標題: 回復 15# bluewing的帖子

填充第 3 題
Z^5,Z都在單位圓上且Z^5+Z=1=>Z^5,Z,虛部為相反數且可知Z^5,Z,實部會相等均為1/2
=>z=cos60度+isin60度,z^5=cos300度+isin300度(合)
或z=cos(-60度)+isin(-60度),z^5=cos(-300度)+isin(-300度)(也合)

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-4-25 19:38 編輯 ]

作者: hsnu864 時間: 2017-4-25 23:26 標題: 回復 7# Christina 的帖子

令\(a>0\)，再透過柯西及算幾
\((x^2+y^2+z^2)(\sqrt{2}^2+a^2+1^2)\geq(\sqrt{2}x+ay+z)^2\geq(2\sqrt{ay(\sqrt{2}x+z)})^2=4ay(\sqrt{2}x+z)\)
為了讓兩個不等式等號成立，必須同時滿足\(\frac{x}{\sqrt{2}}=\frac{y}{a}=\frac{z}{1}\)與\(ay=\sqrt{2}x+z\)，又\(z\neq 0\)
因此可解得\(a=\sqrt{3}\)，再代回一開始的不等式就可得到所求的最大值了。

作者: eyeready 時間: 2017-4-26 09:40 標題: 回復 18# hsnu864 的帖子

高招

作者: jkliopnm 時間: 2017-4-26 23:22 標題: 鋼琴老師的第11題 x+y=10為什麼mod之後變成2

鋼琴老師的第11題 x+y=10為什麼mod之後變成2
不好意思請教一下!

作者: BambooLotus 時間: 2017-4-27 00:03

用一題考古題舉個例子，這題應該就能做了

作者: laylay 時間: 2017-4-27 03:41 標題: 填充11.另解

原式=(5+24^.5)^1008
原式+(5-24^.5)^1008=(5+24^.5)^1008+(5-24^.5)^1008
=2*(5N)+2*24^504(利用二項式定理)
=10N+2*(10M+6)=10(N+2M+1)+2 , 又 (5-24^.5)^1008=0.0........... ,故所求=(1,9)
另外 log(5-24^.5)^1008=log(5+24^.5)^(-1008)=-1008*log(9.8989794856)=-1003.555.....
故(5-24^.5)^1008=0.0........0XXX,,,,,,(小數點後前1003位都是0)
=>原式的小數點前有1004位 , 原式的小數點後前1003位都是9

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-4-27 10:00 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2017-4-27 06:23

引用:

原帖由 jkliopnm 於 2017-4-26 23:22 發表
第11題 x+y=10為什麼mod之後變成2

小弟打錯了，已修正，感謝指正

作者: cefepime 時間: 2017-4-27 23:56

計算題 3 設 x, y, z 為整數且 x + y + z = 3，x³ + y³ + z³ = 3，但 x ≠ 1，y ≠ 1，z ≠ 1，求 x² + y² + z²。

想法: 利用單一變數的整除性

解: 由 y + z = 3 - x 與 y³ + z³ = 3 - x³

⇒ (x - 3) | (x³ - 3)，又 (x - 3) | (x³ - 27)

⇒ (x - 3) | 24

以下為了簡化討論，考慮: ∵ 立方數 ≡ -1, 0, 1 (mod 9)，∴ x, y, z ≡ 1 (mod 3)

⇒ (x - 3) | 8 ( y, z 亦同; 或者先討論 x )

⇒ { x, y, z } ∈ { 7, 4, -5 }

⇒ (x, y, z) = (4, 4, -5) (次序不拘)

⇒ x² + y² + z² = 57

作者: 小姑姑 時間: 2017-4-29 02:42

請教填充7，謝謝

作者: thepiano 時間: 2017-4-29 10:40 標題: 回復 25# 小姑姑的帖子

第7題
\(y={{x}^{3}}+x+1\)先平移到\(y={{x}^{3}}+x\)，此函數圖形關於原點對稱
由於\(\overline{AB}=\overline{BC}\)，\(B\)即為原點
設直線的方程式為\(y=mx\)，\(A\left( t,mt \right),t>0\)
\(\begin{align}
& \left\{ \begin{align}
& {{t}^{2}}+{{m}^{2}}{{t}^{2}}=5 \\
& {{t}^{3}}+t=mt \\
\end{align} \right. \\
& {{t}^{2}}+{{\left( {{t}^{2}}+1 \right)}^{2}}{{t}^{2}}=5 \\
& {{t}^{2}}=k \\
& k+{{\left( k+1 \right)}^{2}}k=5 \\
& {{k}^{3}}+2{{k}^{2}}+2k-5=0 \\
& \left( k-1 \right)\left( {{k}^{2}}+3k+5 \right)=0 \\
& k=1 \\
& m=2 \\
\end{align}\)

再平移回去，所求為\(y=2x+1\)

作者: dedekind 時間: 2017-5-1 08:29

請教計算 2，謝謝!!

作者: thepiano 時間: 2017-5-1 11:02 標題: 回復 27# dedekind 的帖子

計算第 2 題
請參考 http://www.shiner.idv.tw/teachers/download/file.php?id=2751

作者: rotch 時間: 2017-5-4 14:45 標題: 回復 4# thepiano 的帖子

請問第 10 題的那三個式子是如何列出來的？

作者: thepiano 時間: 2017-5-4 15:01 標題: 回復 29# rotch 的帖子

先看這一題
https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1443497528.A.DFF.html

作者: rotch 時間: 2017-5-8 07:40 標題: 回復 30# thepiano 的帖子

感恩您的說明

作者: d3054487667 時間: 2017-5-9 15:30 標題: 回復 24# cefepime 的帖子

想請教這部分
以下為了簡化討論，考慮: ∵ 立方數 ≡ -1, 0, 1 (mod 9)，∴ x, y, z ≡ 1 (mod 3)
...
後面的推論不太了解怎麼來的

作者: cefepime 時間: 2017-5-9 23:42

回復 32# d3054487667 的帖子

把整數依 "模3" 分類，易知: 立方數 ≡ -1, 0, 1 (mod 9)

又 x³ + y³ + z³ ≡ 3 (mod 9) ⇒ x³ ≡ 1 (mod 9) ⇒ x ≡ 1 (mod 3)

y, z 亦同

作者: d3054487667 時間: 2017-5-10 11:08 標題: 回復 33# cefepime 的帖子

謝謝cefepime老師！
多了 x³ + y³ + z³ ≡ 3 (mod 9) 這個步驟清晰許多謝謝

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