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標題: 106臺中一中 [打印本頁]

作者: weiye 時間: 2017-4-15 12:10 標題: 106臺中一中

106臺中一中，官方公告版的題目及參考答案，如附件。

註：感謝 flyimsky218 提供合併試題及答案版的檔案，我就刪掉原本分開的版本，節省網站空間。

作者: flyinsky218 時間: 2017-4-15 12:51 標題: 106 台中一中

附上官方檔案已經把解答和題目合併

想請問填充4,9,10,11~

附件: 106 台中一中.pdf (2017-4-15 12:51, 136.56 KB) / 該附件被下載次數 13506
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3957&k=724230e7059025d9dc84b2ea2d339c69&t=1732293673

作者: bugmens 時間: 2017-4-15 13:10

1.
設\(\displaystyle a_n=\frac{2}{n}\Bigg\{\;(2^2+1)+\left[\left(2+\frac{2}{n}\right)^2+1\right]+\left[\left(2+\frac{4}{n}\right)^2+1\right]+\left[\left(2+\frac{2n-2}{n}\right)^2+1\right] \Bigg\}\;\)，求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n=\)　　　。

110.5.3補充
8.
直角\(\Delta ABC\)的斜邊為\(\overline{AB}\)，若\(\overline{AC}=1\)，\(\overline{BC}=3\)，\(\overline{AB}\)的三等分點為\(D\)、\(E\)，且\(∠ACD=\alpha\)，\(∠DCE=\beta\)，\(∠ECB=\gamma\)。則\(\displaystyle \frac{sin\beta}{sin\alpha \cdot sin\gamma}=\)　　　。

\(\Delta ABC\)中，\(∠C=90^{\circ}\)，且\(3\overline{AD}=2\overline{DE}=\overline{EB}\)，已知\(∠ACD=\alpha\)，\(∠DCE=\beta\)，\(∠ECB=\gamma\)，\(\displaystyle \frac{sin\alpha\cdot sin\gamma}{sin\beta}\)之值為　　　。
(110台南女中，https://math.pro/db/thread-3503-1-1.html)

11.
如果自然數\(a\)的各位數字之和等於7，那麼稱\(a\)為"吉祥數"。將所有"吉祥數"從小到大排成一列如\(a_1,a_2,a_3,\ldots\)，若\(a_n=2005\)，則\(a_{5n}=\)_____。
(99中山女高，https://math.pro/db/thread-1775-1-5.html)

作者: eyeready 時間: 2017-4-15 13:24 標題: 回復 1# flyinsky218 的帖子

第9 第4

[ 本帖最後由 eyeready 於 2017-4-15 13:34 編輯 ]

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=3958&k=1fc382b191a09275dbcd32bfc0e9160e&t=1732293673

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=3959&k=8250c4a6c31029aadb66f406cba34ed3&t=1732293673

作者: eyeready 時間: 2017-4-15 13:45

第10 第11

[ 本帖最後由 eyeready 於 2017-4-15 14:15 編輯 ]

圖片附件: image.jpg (2017-4-15 13:45, 869.46 KB) / 該附件被下載次數 7341
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3960&k=94c52562484bb981434ac70def59f719&t=1732293673

圖片附件: image.jpg (2017-4-15 14:15, 778.98 KB) / 該附件被下載次數 7263
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3961&k=ad2fde5528b06fb8866fab9ca654e3bf&t=1732293673

作者: thepiano 時間: 2017-4-15 14:11

這份題目抄很大啊

作者: eyeready 時間: 2017-4-15 15:20

大概80進複試吧

作者: czk0622 時間: 2017-4-15 15:32

計算3
\(x^{n}-x^{n+1}=x^{n}(1-x) \geq 0 \)
由算幾不等式知 \( \displaystyle \frac{\frac{x}{n}+\frac{x}{n}+\cdots+\frac{x}{n}+(1-x)}{n+1} \geq \sqrt[n+1]{(\frac{x}{n})^{n}(1-x)}\)
因此 \(\displaystyle \frac{1}{n+1} \geq \sqrt[n+1]{(\frac{x}{n})^{n}(1-x)}\)
整理後得 \( \displaystyle x^{n}-x^{n+1}=x^{n}(1-x) \leq \frac{n^{n}}{(n+1)^{n+1}} \)

我也覺得這份抄很大

[ 本帖最後由 czk0622 於 2017-4-15 15:36 編輯 ]

作者: flyinsky218 時間: 2017-4-15 16:04 標題: 回復 4# eyeready 的帖子

謝謝!! 請問4如何得知必過O'(4,0)
我只能推出ab=-16?

回復 1# weiye
不好意思沒有看到你已經先po了

作者: czk0622 時間: 2017-4-15 16:19 標題: 回復 9# flyinsky218 的帖子

用 \(\overset{\rightharpoonup}{OA}\cdot\overset{\rightharpoonup}{OB}=0\) 一樣可以得到 \(ab=-16\)

作者: eyeready 時間: 2017-4-15 16:43 標題: 回復 9# flyinsky218 的帖子

寸絲老師筆記中的339有介紹可以參考一下
順便提供其他題答案有錯的請提點ㄧ下
第六題
計算1（1）4關（2）10/729
計算2 小弟用log來解，不過GG.....

[ 本帖最後由 eyeready 於 2017-4-15 16:46 編輯 ]

圖片附件: image.jpg (2017-4-15 16:43, 484.92 KB) / 該附件被下載次數 5649
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3962&k=5bec6f6161b60db1be986a242e0d3522&t=1732293673

作者: thepiano 時間: 2017-4-15 17:07 標題: 回復 11# eyeready 的帖子

計算1（2）應是 \(\frac{100}{243}\)

作者: flyinsky218 時間: 2017-4-15 17:09

分享一下計算二，不知道對不對還請大家幫忙看看！
想問大家還有別的算法嗎？考試的格子不夠我寫這麼多><

圖片附件: image.jpg (2018-6-10 06:05, 1.84 MB) / 該附件被下載次數 6873
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3963&k=c1c4944ae55cbd151ac3a6550d1cd2fa&t=1732293673

作者: thepiano 時間: 2017-4-15 17:10 標題: 回復 13# flyinsky218 的帖子

答案是對的

作者: d3054487667 時間: 2017-4-15 17:11

想請教填充3與填充7，謝謝！

作者: eyeready 時間: 2017-4-15 17:30 標題: 回復 12# thepiano 的帖子

感謝！算昏頭了.....orz
\( \displaystyle
\frac{4}{6} \times \frac{{30}}{{36}} \times \frac{{160}}{{216}} = \frac{{100}}{{243}}
\)

作者: eyeready 時間: 2017-4-15 17:33 標題: 回復 13# flyinsky218 的帖子

謝謝您提供的詳解！

作者: thepiano 時間: 2017-4-15 17:48 標題: 回復 15# d3054487667 的帖子

填充第 7 題
參考 http://www.shiner.idv.tw/teacher ... &p=18113#p18113

作者: eyeready 時間: 2017-4-15 17:54 標題: 回復 15# d3054487667 的帖子

填充3
\(
\begin{array}{l}
設切點(t,t^3-t) 切線為y-(t^3-t)=(3t^2-1)(x-t) \\
P(2,a)代入切線中得f(t)=2t^3-6t^2+a+2=0 \\
微分後的根t=0或2，因為有三相異根f(0)f(2)<0 → -2<a<6 \\
\end{array}
\)

[ 本帖最後由 eyeready 於 2017-4-15 18:12 編輯 ]

作者: d3054487667 時間: 2017-4-15 19:04

感謝兩位老師的解答！！

作者: peter0210 時間: 2017-4-15 22:35

請教eyeready 師
填充6，你的解法是將A-BCD切成兩個四面體A-ECD和B-ECD的體積加總嗎？
那麼A到ECD的距離為何可以用EA線段長乘上sin60度，我想更明確的問，BA向量和CD向量的夾角，為何可以看成AE和平面ECD法向量的夾角

麻煩了感謝

作者: eyeready 時間: 2017-4-15 23:26 標題: 回復 21# peter0210 的帖子

主要是找出A,B兩點到平面CDE的垂直距離

圖片附件: image.jpg (2017-4-15 23:26, 1 MB) / 該附件被下載次數 4697
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3967&k=04dff9fdd0aad4c3097ab810aa43dcf8&t=1732293673

作者: laylay 時間: 2017-4-16 11:02 標題: 填 8.

作矩形ACBF,延長CD交矩形於G,延長CE交矩形於H,則AG=3/2,BH=1/2
分子=cos(a+c)=cosa*cosc-sina*sinc
所求=cota*cotc-1=2/3*6-1=3

作者: laylay 時間: 2017-4-16 11:49 標題: 填6.另法

作平行四邊形ABCE及DCBF,則所求=AE-BCDF體積/3=ECD面積*(AB,CD之距離)/3
=(1/2*1*根號3*sin60度)*2/3=1/2

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-4-16 11:55 編輯 ]

作者: laylay 時間: 2017-4-16 13:15 標題: 填充11.

n=H(3,7)+H(3,6)+1=65,5n=325=H(5,7)-5,
a330=70000>61000>60100>60010>60001>52000=a325.......為所求

作者: cefepime 時間: 2017-4-16 14:50

填充題 7

(bugmens 老師 "我的教甄準備之路" 19#)

除式 g(x) = x⁴ -x³ +x -1 = (x³ +1)*(x -1) ⇒ g(x) | x⁶-1 (可由根判斷)

所求 = x⁵ +4x³ -3x +1 除以 g(x) 的餘式 = 5x³ -x² -3x +2

填充題 8

(bugmens 老師 "我的教甄準備之路" 8# 面積法)

令 a△ACD = a△DCE = a△ECB = T

所求 = AC*BC /2T = 3T /T = 3

(題目的 AC 與 BC 長度可不給予)

作者: ssdddd2003 時間: 2017-4-16 17:14 標題: 回復 24# laylay 的帖子

想請問laylay老師
這個解法有圖嗎?
有點理解不出來

作者: laylay 時間: 2017-4-17 09:03 標題: 回復 27# ssdddd2003 的帖子

ABF-ECD顯然是平行六面體砍一半的產物,AEDF為其截面
A-BCD體積=平行六面體體積/6,
AE-BCDF體積=平行六面體體積/2 => A-BCD體積=AE-BCDF體積/3

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-4-17 10:03 編輯 ]

作者: zidanesquall 時間: 2017-4-17 10:32

複試門檻分數：82

作者: pretext 時間: 2017-4-18 09:28

計算3應該也可以用微分來證
只是沒有算幾不等式的方法快
可是我覺得滿直觀的

作者: czk0622 時間: 2017-4-18 11:41 標題: 回復 30# pretext 的帖子

願聞其詳

作者: laylay 時間: 2017-4-18 12:17 標題: 回復 30# pretext 的帖子

微分=nx^(n-1)-(n+1)x^n=x^(n-1)*(n-(n+1)x)=0 => x=0,n/n+1
x在(0,n/n+1)時微分>0,函數遞增,x在(n/n+1,1) 時微分<0,函數遞減
故函數在x=n/n+1有最大值=x^n*(1-x)=n^n/(n+1)^(n+1)
又函數=x^n*(1-x), x在0..1顯然最小值=0,故得證,其實這證法也滿快的

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-4-18 22:26 編輯 ]

作者: czk0622 時間: 2017-4-18 19:30 標題: 回復 32# laylay 的帖子

感謝laylay老師提供另解

作者: tommy10127 時間: 2017-4-19 13:02

想請問計算一，感謝

作者: pretext 時間: 2017-4-19 13:44 標題: 回復 34# tommy10127 的帖子

計算1
第一關丟 1 次，點數和要大於 2 ---> 機率是 4/6
第二關丟 2 次，點數和要大於 4 ---> 機率是 30/36
第三關丟 3 次，點數和要大於 8 ---> 機率是 160/216
第四關丟 4 次，點數和要大於 16
第五關丟 5 次，點數和要大於 32 ---> 機率是 0

作者: ssdddd2003 時間: 2017-4-22 12:28 標題: 回復 28# laylay 的帖子

謝謝老師~~

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