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標題: 106新竹高中考題 [打印本頁]

作者: 新手老師    時間: 2017-4-8 16:37     標題: 106新竹高中考題

小弟不才,只能記得這些
第5題我記的不是很清楚
想請教版上的高手們
計算題1.3.4.6怎麼做?感謝!

圖片附件: 17795769_1793406040675644_7002044094652646418_n.jpg (2017-4-8 16:37, 28.65 KB) / 該附件被下載次數 185
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3914&k=4ac8b438bef69bab870c637849bf980e&t=1505886533



圖片附件: 17799008_1793406947342220_8041824952928725845_n.jpg (2017-4-8 16:37, 19.67 KB) / 該附件被下載次數 145
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3915&k=d5ace2234f2c8f447e3ab53b95e57e4f&t=1505886533


作者: czk0622    時間: 2017-4-8 17:12     標題: 補充

填充4. 印象中是至少一個位數是9 的機率為 \(P_{n}\)
計算5.(2) 求 \( \sum\limits^{8}_{k=1}{z_{k}^{7}} \)
6.(1)
明顯的 \( a_{n}>0 \)
因為 \(a_{n}=\displaystyle  \frac{2a_{n-1}}{3}+\frac{4}{a_{n-1}^{2}} \geq 3\sqrt[3]{ \frac{a_{n-1}}{3}+ \frac{a_{n-1}}{3}+ \frac{4}{a_{n-1}^{2}}}=\sqrt[3]{12}\) (算幾不等式),
所以數列 \( a_{n}\) 有下界 \( \sqrt[3]{12} \)
\( a_{n}-a_{n-1}=\displaystyle  \frac{2a_{n-1}}{3}+ \frac{4}{a_{n-1}^{2}}-a_{n-1}= \frac{12-a_{n-1}^{3}}{3a_{n-1}^{2}} \leq 0 \) (因為 \(a_{n-1}^{3} \geq 12\) ),
所以數列 \(a_{n}\) 為遞減數列
由實數的完備性知道數列 \(a_{n}\) 收斂
6.(2)
設 \( \lim\limits_{n\rightarrow \infty}{a_{n}}=\alpha \),則 \(\alpha=\displaystyle  \frac{2\alpha}{3}+\ \frac{4}{\alpha^{2}}\) 可以解出 \( \lim\limits_{n\rightarrow \infty}{a_{n}}=\alpha=\sqrt[3]{12} \)
3.
設 \( f : ( 2 , \infty )\rightarrow R \),\(f(x)=\log_{x-1}{x} \)
\(f(x)=\log_{x-1}{x}=\displaystyle  \frac{\ln{x}}{\ln{(x-1)}} \),\(f'(x)= \displaystyle   \frac{\frac{1}{x}\times\ln{(x-1)}-\frac{1}{x-1}\times\ln{x}}{[\ln{(x-1)}]^{2}} \)
因為 \([\ln{(x-1)}]^{2}>0 \),\(0<\displaystyle  \frac{1}{x}< \frac{1}{(x-1)} \),\( 0=\ln{(2-1)}<\ln{(x-1)}<\ln{x} \),
所以 \( f'(x)<0 \),因此 \( f(x) \) 為嚴格遞減函數

[ 本帖最後由 czk0622 於 2017-4-8 17:53 編輯 ]
作者: thepiano    時間: 2017-4-8 22:21

回復 1# 新手老師 的帖子
計算第 4 題
\(\begin{align}
  & {{\overline{MD}}^{2}}=\overline{MN}\times \overline{MG}=\overline{CG}\times \overline{CN}={{\overline{CF}}^{2}} \\
& \overline{MD}=\overline{CF}=\overline{CE} \\
& \overline{BC}=\overline{BM}=10 \\
\end{align}\)
令\(\overline{CF}=x\),則\(\overline{AF}=\overline{AD}=20-\left( 10-x \right)=x+10,\overline{CG}=\frac{1}{\sqrt{2}}x,\overline{CM}=\frac{3}{\sqrt{2}}x\)

\(\begin{align}
  & {{\overline{AC}}^{2}}+{{\overline{BC}}^{2}}=2{{\overline{CM}}^{2}}+2{{\overline{AM}}^{2}} \\
& {{\left( 2x+10 \right)}^{2}}+{{10}^{2}}=2{{\left( \frac{3}{\sqrt{2}}x \right)}^{2}}+2\times {{10}^{2}} \\
& x=8 \\
& \overline{AC}=26 \\
& \Delta ABC=24\sqrt{14} \\
\end{align}\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2017-4-8 22:23 編輯 ]

圖片附件: 20170408_2.jpg (2017-4-8 22:21, 29.95 KB) / 該附件被下載次數 137
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3916&k=8565626f0b63bde59fde3a2c159daafa&t=1505886533


作者: thepiano    時間: 2017-4-9 15:15     標題: 回復 1# 新手老師 的帖子

計算第 1 題
P 應在正四面體的四個面上

P 在\(\Delta CAB\)和\(\Delta OAB\)上,所形成的面積如圖中的黃色區域
黃色區域面積\(=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\pi }{6}\)

P 在\(\Delta OAC\)和\(\Delta OBC\)上,所形成的面積如圖中的綠色區域
綠色區域面積\(=\frac{\sqrt{3}}{6}+\frac{\pi }{9}\)

所求\(=\left( \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\pi }{6}+\frac{\sqrt{3}}{6}+\frac{\pi }{9} \right)\times 2=\frac{4}{3}\sqrt{3}+\frac{5}{9}\pi \)

圖片附件: 20170409.jpg (2017-4-9 15:15, 42.51 KB) / 該附件被下載次數 142
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3917&k=979cadb56562170f9d06ce2ab6fc8c1d&t=1505886533


作者: mathbigtree    時間: 2017-4-9 16:46

幫忙朋友代PO
這是他們多人集結考題後
整理出來的

並非官方正式版本

感謝他們熱心的幫忙^^

附件: 106年新竹高中.pdf (2017-4-9 16:46, 313.46 KB) / 該附件被下載次數 1117
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3918&k=71fac464dfc6c52179d19020089e7689&t=1505886533
作者: 新手老師    時間: 2017-4-9 19:58     標題: 回復 5# mathbigtree 的帖子

感謝mathbigtree幫忙整理
讓考題完整
感謝thepiano、czk0622老師真的很精彩的想法

[ 本帖最後由 新手老師 於 2017-4-9 21:04 編輯 ]
作者: flyinsky218    時間: 2017-4-9 23:17

想請問計算五的第二小題~謝謝
作者: 米斯蘭達    時間: 2017-4-10 09:23     標題: 回復 5# mathbigtree 的帖子

感謝新手老師的PO文
感謝mathbigtree幫忙整理
讓考題完整
感謝thepiano、czk0622老師真的很精彩的想法
作者: weiye    時間: 2017-4-10 10:26

計算五的第二小題

\(\displaystyle \sum_{k=1}^8 z_k{}^7 = \sum_{k=1}^8 \frac{z_k{}^8}{z_k} = \left(-4+5i\right)\cdot\sum_{k=1}^8 \frac{1}{z_k} = \left(-4+5i\right)\cdot \frac{\left(z_1,z_2,\cdots z_8\mbox{任取7個乘積之和}\right)}{z_1 z_2\cdots z_8}=0\)
作者: g112    時間: 2017-4-10 11:23

引用:
原帖由 weiye 於 2017-4-10 10:26 發表
計算五的第二小題

\(\displaystyle \sum_{k=1}^8 z_k{}^7 = \sum_{k=1}^8 \frac{z_k{}^8}{z_k} = \left(-4+5i\right)\cdot\sum_{k=1}^8 \frac{1}{z_k} = \left(-4+5i\right)\cdot \frac{\left(z_1,z_2,\cdots z_8\m ...
後面等於0的部分這樣解釋不曉得對不對

考試寫到一半修正帶用完,所以後面寫的一團亂了@@
-------------
話說怎麼沒辦法上傳附件啊

圖片附件: hPJyZNw.jpg (2017-4-20 21:44, 704.65 KB) / 該附件被下載次數 118
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3972&k=c9a5aceade48de4d7c192df5b64c3260&t=1505886533


作者: cefepime    時間: 2017-4-10 17:43

計算證明題 3.

也可以用算幾不等式。
作者: g112    時間: 2017-4-11 10:33

引用:
原帖由 thepiano 於 2017-4-9 15:15 發表
計算第 1 題
P 應在正四面體的四個面上

P 在\(\Delta CAB\)和\(\Delta OAB\)上,所形成的面積如圖中的黃色區域
黃色區域面積\(=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\pi }{6}\)

P 在\(\Delta OAC\)和\(\Delta OBC\)上,所形成的 ...
想請問綠色區域怎麼出來的
另外想請問填充3.4
---------------------
另外這是我算的答案,不曉得有沒有算錯

填充
1.   469
2.   28/5
5.   5人(這題忘了是哪裡的考古題了)
6.  2*C11取5=924
7. 1417
8.  -1/1297

計算
2. (a,b,c,k)=(-3,6,-4,3)
作者: laylay    時間: 2017-4-11 11:28     標題: 回復 12# g112 的帖子

設AB中點為S,設AC中點為M,設AO中點為N
則SA=SM=SN=以AB為直徑之球體的半徑 r,S為球心
所以AMN的外接圓為球體與平面ACO的交圓,P要在球體內部又要在ACO內部,就是那綠色區域了
作者: thepiano    時間: 2017-4-11 12:09     標題: 回復 12# g112 的帖子

填充第 3 題
各位數字都沒有9的情形有\({{9}^{n}}-1+1={{9}^{n}}\)種情形
\({{P}_{n}}=1-\frac{{{9}^{n}}}{{{10}^{n}}}\)

填充第 4 題
把 p、q、r 用 x 和 y 表示出來,畫圖求面積
作者: Sandy    時間: 2017-4-11 12:11     標題: 回復 12# g112 的帖子

不一樣的答案:
6. C11取5=462
7.100*0.3*20+17=617

作一下記錄:

數學科初試錄取人員計9名(最低錄取分數為54分)

[ 本帖最後由 Sandy 於 2017-4-11 17:11 編輯 ]
作者: g112    時間: 2017-4-11 13:04

引用:
原帖由 thepiano 於 2017-4-11 12:09 發表
填充第 3 題
各位數字都沒有9的情形有\({{9}^{n}}-1+1={{9}^{n}}\)種情形
\({{P}_{n}}=1-\frac{{{9}^{n}}}{{{10}^{n}}}\)

填充第 4 題
把 p、q、r 用 x 和 y 表示出來,畫圖求面積 ...
所以第3題真的是1...因為感覺不太合理所以不敢寫=.=

第4題想請問比較詳細的作法
引用:
原帖由 Sandy 於 2017-4-11 12:11 發表
不一樣的答案:
6. C11取5=462
7.100*0.3*20+17=617
第6題 a6可以選6或7,選完之後再分兩堆

第7題 我也考慮過這個答案

是要用(0.3+x)^100還是(0.7+x)^100去套公式
作者: superlori    時間: 2017-4-11 13:18     標題: 回復 16# g112 的帖子

4.
前面鋼琴老師有說過(#14)
將p,q,r表示成x,y的線性組合後
做線性規劃,可以畫出可行解區
.
7.考慮二項分配B~X(100,0.3)
所求為20E(X)+17=20*(100*0.3)+17=617
作者: Sandy    時間: 2017-4-11 14:17     標題: 回復 16# g112 的帖子

6.a_6=1 前五項C11 取5
7. 成功的機率是0.3 公式推導一下就知道了
作者: james2009    時間: 2017-4-11 14:47

小弟不才,想請教填充8....謝謝

[ 本帖最後由 james2009 於 2017-4-11 14:53 編輯 ]
作者: ichiban    時間: 2017-4-11 15:56     標題: 回復 19# james2009 的帖子

填充第8題
若有誤還請指正


圖片附件: 新竹高中1_8.jpg (2017-4-11 15:56, 153.39 KB) / 該附件被下載次數 75
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3937&k=4182c95bc3e6ed826ee610f6c4923757&t=1505886533


作者: g112    時間: 2017-4-11 15:58

引用:
原帖由 Sandy 於 2017-4-11 14:17 發表
6.a_6=1 前五項C11 取5
7. 成功的機率是0.3 公式推導一下就知道了
ok,是我弄錯了,謝謝

第8題看 ichiban 兄的(連微積分基本定理都算錯...我在幹嘛啊orz)

[ 本帖最後由 g112 於 2017-4-11 16:03 編輯 ]
作者: BambooLotus    時間: 2017-4-11 20:10

用跟ichban很像又不太像的做法



[ 本帖最後由 BambooLotus 於 2017-4-11 20:13 編輯 ]
作者: thepiano    時間: 2017-4-11 20:20

54分進複試
作者: cefepime    時間: 2017-4-11 23:05

填充題 4. 實數 p, q, r ≥ 0,且 p + q + r = 1,已知 x = p + 3q + 4r,y = 2p + q + 3r,求點 (x, y) 所圍成的圖形面積。


以下構想請看是否正確。

由題意,有下列向量線性關係:

(x, y) = p*(1, 2) + q*(3, 1) + r*(4, 3),p, q, r ≥ 0,p + q + r = 1

⇒ 所求即頂點為 (1, 2),(3, 1),(4, 3) 的三角形面積

⇒ 由公式求得 5/2

作者: laylay    時間: 2017-4-12 10:46     標題: 回復 24# cefepime 的帖子

沒錯,
於三角形ABC中,在BC 線段上取一點D使BD;DC=r:q,在CA 線段上取一點E使CE:EA=p:r
在AB 線段上取一點F使AF:FB=q:p ,(q/p)*(r/q)*(p/r)=1, 由西瓦逆定理知AD,BE,CF三線段交於一點K,
由孟氏定理得AK:KD=(r+q):p => K=pA+(r+q)D, 而D=(qB+rc)/(r+q) =>K=pA+qB+rC,故K=(x,y)掃出來的區域即為三角形ABC

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-4-12 10:54 編輯 ]
作者: cefepime    時間: 2017-4-12 16:13

回復 25# laylay 的帖子

感謝 laylay 老師提供的證明。

這個解法是這樣聯想到的:

考慮平面上相異三點 O, A, B,若 C 點滿足:

向量OC = p*向量OA + q*向量OB,p, q ≥ 0,p + q = 1

則 C 點軌跡為 AB 線段。


推廣至空間成為:

空間中相異四點 O, A, B, C,若 D 點滿足:

向量OD = p*向量OA + q*向量OB + r*向量OC,p, q, r ≥ 0,p + q + r = 1

則 D 點軌跡為 △ABC 及其內部 (含退化為線段情形)。


本題可視為空間中相異四點 O, A, B, C 共面的情況。



[ 本帖最後由 cefepime 於 2017-4-12 16:20 編輯 ]
作者: tsusy    時間: 2017-4-13 15:40     標題: 回復 11# cefepime 的帖子

第一眼,我也覺得第三題眼熟,可以用算幾

但試了一下,沒做出來,如果可用算幾,可否煩麻寫一下

也先來個另證:

令 \( x=\log_{n-1}n \),則 \( x>1 \) 且 \( (n-1)^{x}=n\Rightarrow(n-1)^{x-1}=\frac{n}{n-1} \)

\( n^{x}=n\cdot n^{x-1}>n\cdot(n-1)^{x-1}=\frac{n^{2}}{n-1}>n+1 \)

\( \Rightarrow x>\log_{n}(n+1) \),即 \( \log_{n-1}n >\log_{n}(n+1) \)
作者: eyeready    時間: 2017-4-13 15:52     標題: 回復 27# tsusy 的帖子

應該是這樣吧?

圖片附件: image.jpg (2017-4-13 15:52, 549.71 KB) / 該附件被下載次數 61
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3944&k=a3aa44c6d04aac595fe431a5b99875d4&t=1505886533


作者: cefepime    時間: 2017-4-13 20:00

回復 27# tsusy 的帖子

因為不會輸入漂亮的對數符號,當時就沒寫了。當初的構思過程如下:

原題即證:

1 / log_n (n-1) > log_n (n+1)

⇔ 1 > [ log_n (n-1) ]*[ log_n (n+1) ]

因同底的對數相乘沒有搞頭,相加則有,故想到算幾不等式 (各項皆正):

√(上式右式) < { [ log_n (n-1) ]+[ log_n (n+1) ] } /2 = [ log_n (n²-1) ] /2 < [ log_n (n²) ] /2 = 1,從而得證。

基本上同 eyeready 老師的方法。




[ 本帖最後由 cefepime 於 2017-4-14 21:28 編輯 ]
作者: cefepime    時間: 2017-4-14 16:27

計算證明題 3. 試證:log_(n-1) n > log_n (n+1) , n > 2 , n ∈ N。

拼湊一個基於直觀的 "另證" 如下。

想法: 以 n 為底的指數函數值變化速率,較以 (n-1) 為底者"快"。當兩者同予以指數 "1" 時,其指數函數值分別為 n 與 (n-1)。現在函數值要再"增加1",當然是以 n 為底者較快達成,即如待證式含義。  基於這個思維,可以用 "1" 作為待證式中左右兩式的起點,而比較之。

證明: (注意到底數 >1)

左式 -1

= [ log_(n-1) n ] -1

= log_(n-1) [n/(n-1)]

> log_(n-1) [(n+1)/n)]  (∵真數變小)

> log_n [(n+1)/n)]  (∵底數變大)

= [ log_n (n+1) ] -1

= 右式 -1


得證。


作者: tsusy    時間: 2017-4-15 09:51     標題: 回復 30# cefepime 的帖子

第三題,我 #27 的另解,也是基於同樣的想法

只是用指數寫,也是在指數做了 \( -1 \) 的操作,在比大小的時候引入 \( n+1\)
作者: bluewing    時間: 2017-4-18 14:52

各位老師們好,請問填充第五題,人數5人是怎麼找出來的呢??謝謝各位老師。
作者: thepiano    時間: 2017-4-18 16:08     標題: 回復 32# bluewing 的帖子

第 5 題
同時喜歡國文和英文的最少有 30 + 35 - 50 = 15 人
把喜歡數學的 40 人分 15 人去喜歡國文,分 20 人去喜歡英文
就可得到三科皆喜歡的至少有 5 人
作者: laylay    時間: 2017-4-21 11:35     標題: 回復 32# bluewing 的帖子

同時喜歡國文和英文的最少有 30 + 35 - 50 = 15 人,設喜歡國文和英文的有(15+x) 人,x>=0
則喜歡國文不喜歡英文的有(15-x)人,喜歡英文不喜歡國文的有(20-x)人,不喜歡國文也不喜歡英文的有x人
為使喜歡三科人數最少(15-x)+(20-x)+x=35-x,這些人全部讓他們喜歡數學,此時可得三科都喜歡的人數至少是(5+x)人
又x>=0,取x=0可得三科都喜歡的人數至少是5人
作者: dedekind    時間: 2017-5-1 08:30

請教 計算 5,謝謝!!
作者: eyeready    時間: 2017-5-1 18:10     標題: 回復 35# dedekind 的帖子

\(
\begin{array}{l}
計算五 第一小題   因為 z^8 + 4 - 5i = (z - z_1 )(z - z_2 )(z - z_3 )...(z - z_8 ) \\
所求=|(z - z_1)(z - z_2 )(z - z_3 )...(z - z_8 )| =|(1 + i)^8 + 4 - 5i| = |20 - 5i| = 5\sqrt {17}
\end{array}
\)

[ 本帖最後由 eyeready 於 2017-5-2 06:51 編輯 ]
作者: fuji95313    時間: 2017-5-7 01:32     標題: 想請教填充2

答案是28/5嗎?
如果是用科西消去t、s算出來的,這樣是不是會造成裡頭的兩個t和s的值有打架矛盾的現象?
作者: thepiano    時間: 2017-5-7 06:35     標題: 回復 37# fuji95313 的帖子

答案正確,檢查等號是否成立,不用擔心變數會不會打架
作者: jfy281117    時間: 2017-6-6 12:33     標題: 回復 3# thepiano 的帖子

想請問鋼琴老師
\(
{{\overline{MD}}^{2}}=\overline{MN}\times \overline{MG}
\)
是利用到什麼定理呢?
==============================================
查到原因了 來個自問自答

A:圓的外冪性質

[ 本帖最後由 jfy281117 於 2017-6-6 12:55 編輯 ]
作者: eyeready    時間: 2017-6-6 12:55     標題: 回復 39# jfy281117 的帖子

圓的切冪性質




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