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標題: 105全國聯招 [打印本頁]

作者: rueichi 時間: 2016-5-7 12:10 標題: 105全國聯招

我覺得計算第一題目好像出錯了，正四面體兩歪斜向量不是要垂直嗎？

附件: 105全國高中聯招.pdf (2020-10-30 14:01, 367.18 KB) / 該附件被下載次數 14292
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3334&k=de2627e7e28efa3b6786a0fd86853793&t=1714099880

作者: sega0806 時間: 2016-5-7 13:37

想問看看計算題要怎麼算阿，感謝~

作者: thepiano 時間: 2016-5-7 13:49

引用:

原帖由 rueichi 於 2016-5-7 12:10 PM 發表
我覺得計算第一題目好像出錯了，正四面體兩歪斜向量不是要垂直嗎？

怎麼這麼快就被發現了

作者: Ellipse 時間: 2016-5-7 14:03

引用:

原帖由 sega0806 於 2016-5-7 01:37 PM 發表
想問看看計算題要怎麼算阿，感謝~

計算2: 座標化試試看~~

作者: thepiano 時間: 2016-5-7 14:15 標題: 回復 4# Ellipse 的帖子

座標化+1，答案是\(\frac{5}{6}\)

作者: rueichi 時間: 2016-5-7 14:18

請教複選第11題C選項
喔沒事了，
其實就是要用\(x+1,x-1,x+2,x-2\)判斷吧

作者: eyeready 時間: 2016-5-7 18:12 標題: 回復 2# sega0806 的帖子

参考看看，順便附上填充8
坐標平面上，不等式\(\displaystyle \frac{|\;4x+7y|\;}{3}+\frac{|\;5x+2y|\;}{4}\le 1\)所圍成的區域面積為　　　。

計算題2.
已知\(\Delta ABC\)為邊長為1的正三角形，設\(\overline{BC}\)邊上有\(n-1\)個等分點，由\(B\)點到\(C\)點的順序為\(P_1,P_2,P_3,\ldots,P_{n-1}\)，且令\(B=P_0\)，\(C=P_n\)。若\(S_n=\vec{AB}\cdot \vec{AP_1}+\vec{AP_1}\cdot \vec{AP_2}+\vec{AP_2}\cdot \vec{AP_3}+\ldots+\vec{AP_{n-1}}\cdot \vec{AC}\)，試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{S_n}{n}=\)。

113.2.6補充
三角形\(AX_0X_{25}\)，已知\(\overline{AX_0}=3\)，\(\overline{AX_{25}}=4\)，\(\overline{X_0X_{25}}=5\)，且點\(X_1\)、\(X_2\)、…、\(X_{24}\)依序將斜邊等分成25等分，試求\(\displaystyle \sum_{k=1}^{25}\vec{AX_{k-1}}\cdot \vec{AX_k}=\)　　　。
(104北一女中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2218&page=1#pid12958)

112.1.6補充
在\(\Delta ABC\)中，\(\displaystyle \overline{AB}=\overline{AC},\overline{BC}=12,\angle A=\frac{2}{3}\pi\)。今將\(\overline{BC}\)等分成十段，其分點分別為\(P_1,P_2,\ldots,P_9\)，設\(x_i=\overline{AP_i}^2+\overline{BP_i}\times \overline{CP_i},i=1,2,\ldots,9\)，求\(\displaystyle \sum_{i=1}^9 x_i=\)？
(89高中數學能力競賽　屏東區試題(一))

平面上，設\(\Delta ABC\)為等腰直角三角形，其中\(\angle C\)為直角且\(\overline{AC}=1\)，在\(\overline{AB}\)上取\(n\)等分點\(P_0=A,P_1,P_2,P_3,\ldots,P_n=B\)，試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^n \vec{CP_{k-1}\cdot \vec{CP_k}}=\)　　　。
(112基隆女中第二次，https://math.pro/db/thread-3803-1-1.html)

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作者: csihcs 時間: 2016-5-7 21:08

可以請高手講解一下填充第6題嗎？

我只求出ＰＤ＝根號６
之後就沒有任何頭緒了

另外想問選擇第１，正常要怎麼算。

我是直接用個位數去判別，
只剩一個選項可選。

[ 本帖最後由 csihcs 於 2016-5-7 09:44 PM 編輯 ]

作者: csihcs 時間: 2016-5-7 21:38

填充第10
坐標平面上，由原點\(O\)作圓\((x-6)^2+(y-7)^2=10\)得兩切點為\(A,B\)。設\(P\)為射線\(OB\)上一點，則\(\displaystyle \frac{\overline{PO}}{\overline{PA}}\)的最大值為　　　。

難過，考試的時候來不及寫。

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作者: sega0806 時間: 2016-5-7 21:46

感謝各位大大精彩的解法，不知計算第一題最後會不會送分阿~
(第10題的答案還真複雜阿~）

作者: swallow7103 時間: 2016-5-7 21:55

回覆第十題
坐標平面上，由原點\(O\)作圓\((x-6)^2+(y-7)^2=10\)得兩切點為\(A,B\)。設\(P\)為射線\(OB\)上一點，則\(\displaystyle \frac{\overline{PO}}{\overline{PA}}\)的最大值為　　　。

令圓心為D，則 \(\displaystyle \sin \angle DOA= \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{85}}, \cos \angle DOA= \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{85}}\)
再令\( \angle PAO= \theta\)由正弦定理，\(\displaystyle \frac{\overline{PO}}{\overline{PA}}= \frac{\sin \theta}{\sin \angle AOP} \)
因 \(\displaystyle \sin \angle AOP = 2 \sin \angle DOA \cos \angle DOA= \frac{2 \sqrt{750}}{85} \)，又\( \sin \theta \) 的最大值為1
因此所求等於 \(\displaystyle \frac{1}{\sin \angle AOP } = \frac{85}{2 \sqrt{750}}= \frac{17 \sqrt{30}}{60} \)

怎麼每次都出了考場才想到作法@@

作者: thepiano 時間: 2016-5-7 22:04 標題: 回復 8# csihcs 的帖子

填充第6題
設\(P\)是正方形\(ABCD\)內部一點，且\(P\)到\(A\)、\(B\)、\(C\)三頂點的距離分別為1、2、3，求此正方形的面積為　　　。

∠PBA=α，∠PBC=β，正方形邊長為\(a\)
\(\begin{align}
& \cos \alpha =\frac{{{a}^{2}}+{{2}^{2}}-{{1}^{2}}}{2\times a\times 2}=\frac{{{a}^{2}}+3}{4a} \\
& \sin \alpha =\cos \beta =\frac{{{a}^{2}}+{{2}^{2}}-{{3}^{2}}}{2\times a\times 2}=\frac{{{a}^{2}}-5}{4a} \\
& {{\left( \frac{{{a}^{2}}+3}{4a} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{{a}^{2}}-5}{4a} \right)}^{2}}=1 \\
& {{a}^{2}}=5+2\sqrt{2}\ or\ 5-2\sqrt{2} \\
\end{align}\)
\(5-2\sqrt{2}\)不合

作者: thepiano 時間: 2016-5-7 22:26 標題: 回復 8# csihcs 的帖子

單選第1題
級數\(4^5+5^5+6^5+7^5+9^5+11^5=\)？(A)\(12^5\)　(B)\(13^5\)　(C)\(14^5\)　(D)\(15^5\)

真的要算也是差不多的方法
\({{n}^{5}}\equiv n\ \left( \bmod \ 10 \right)\)

令\({{n}^{5}}={{4}^{5}}+{{5}^{5}}+{{6}^{5}}+{{7}^{5}}+{{9}^{5}}+{{11}^{5}}\)
\({{n}^{5}}\equiv 4+5+6+7+9+11\equiv 2\ \left( \bmod \ 10 \right)\)
\(\begin{align}

& {{4}^{5}}<{{n}^{5}}<6\times {{11}^{5}}<{{2}^{5}}\times {{11}^{5}} \\
& 4<n<22 \\
& n=12 \\
\end{align}\)

作者: cefepime 時間: 2016-5-8 00:19

已知\(\Delta ABC\)為邊長為1的正三角形，設\(\overline{BC}\)邊上有\(n-1\)個等分點，由\(B\)點到\(C\)點的順序為\(P_1,P_2,P_3,\ldots,P_{n-1}\)，且令\(B=P_0\)，\(C=P_n\)。若\(S_n=\vec{AB}\cdot \vec{AP_1}+\vec{AP_1}\cdot \vec{AP_2}+\vec{AP_2}\cdot \vec{AP_3}+\ldots+\vec{AP_{n-1}}\cdot \vec{AC}\)，試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{S_n}{n}=\)。

(亂入一下) 計算題 2.如果出在"非計算題"，則我會用以下"投機"的解法。至於是否說得通，請各位老師指導。

想法: 題意即求 n → ∞ 時，"相鄰兩向量內積的平均"。由於 n → ∞ 時，向量內積 APk．APK₊₁ → APk² (或 APk₊₁²)，故所求 = "各 APi ² 的平均"。

由對稱性，可以只考慮一半圖形，如下圖:

由畢氏定理，所求諸 APi ² 的平均

= (√3/2)² + lim (1/2)² * [ (1/n)² + (2/n)² + ... + [(n/n)² ] * (1/n)

= 3/4 + lim (1/4)*n(n+1)(2n+1) / 6n³

= 3/4 + 1/12

= 5/6

反思: 若懷疑此答案非所求，例如: 所求應 = t*(5/6)，0 < t < 1; 則論證如下:

如上圖，必存在一足夠大的 m，使當 n > m 時，皆有 APk．APK₊₁ / APk₊₁² > t，矛盾。

或者，亦可用 "夾擠定理" 來體會並論證。

[ 本帖最後由 cefepime 於 2016-5-8 01:13 AM 編輯 ]

作者: csihcs 時間: 2016-5-8 08:36 標題: 回復 13# thepiano 的帖子

先謝謝鋼琴老師的講解

只是有個疑惑是
\({{n}^{5}}\equiv n\ \left( \bmod \ 10 \right)\)

這是怎麼知道的

作者: thepiano 時間: 2016-5-8 09:05 標題: 回復 15# csihcs 的帖子

\(\begin{align}
& {{0}^{5}}\equiv 0\ \left( \bmod \ 10 \right) \\
& {{1}^{5}}\equiv 1\ \left( \bmod \ 10 \right) \\
& {{2}^{5}}\equiv 2\ \left( \bmod \ 10 \right) \\
& {{3}^{5}}\equiv 3\ \left( \bmod \ 10 \right) \\
& {{4}^{5}}\equiv 4\ \left( \bmod \ 10 \right) \\
& {{5}^{5}}\equiv 5\ \left( \bmod \ 10 \right) \\
& {{6}^{5}}\equiv 6\ \left( \bmod \ 10 \right) \\
& {{7}^{5}}\equiv 7\ \left( \bmod \ 10 \right) \\
& {{8}^{5}}\equiv 8\ \left( \bmod \ 10 \right) \\
& {{9}^{5}}\equiv 9\ \left( \bmod \ 10 \right) \\
\end{align}\)

作者: Ksj 時間: 2016-5-8 12:25

不好意思請教一下各位大大~~ 計算第一題答案是根號10嗎?

作者: cefepime 時間: 2016-5-8 15:43

回復 15# csihcs 的帖子

關於 n⁵ ≡ n  (mod 10)

亦可:

n⁵ - n = n (n² - 1) (n² + 1) = (n - 1) n (n + 1) (n² + 1) =  (n - 2) (n - 1) n (n + 1) (n + 2) + 5 (n - 1) n (n + 1)  必為 10 的倍數

或者:

n⁵ ≡ n  (mod 2)  (易證)

n⁵ ≡ n  (mod 5)  (費馬小定理)

故 n⁵ ≡ n  (mod 10)

引申: 當 n 是奇質數，m ∈ N，則 mⁿ ≡ m  (mod 2n)

[ 本帖最後由 cefepime 於 2016-5-9 04:00 PM 編輯 ]

作者: csihcs 時間: 2016-5-8 16:33

感謝各位老師的指導

作者: 王保丹 時間: 2016-5-8 19:39 標題: 回復 1# rueichi 的帖子

計算題第一題有送分喔

作者: acc10033 時間: 2016-5-8 20:35

計算一有送嗎？

作者: Ksj 時間: 2016-5-8 20:35 標題: 關於計算第一題

請教各位先進, 這個公布是代表數學全部都沒送分嗎? 所以計算第一題是...?

附件: 105試題疑義.pdf (2016-5-8 20:35, 368.76 KB) / 該附件被下載次數 6958
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3340&k=b07911839373db38dd7c3dd257e85d60&t=1714099880

作者: acc10033 時間: 2016-5-8 20:37

我剛剛也是看這個，完全沒有數學科，所以計算一應該沒送

作者: Ksj 時間: 2016-5-8 21:27

計算一請各位大大幫我看看這樣有沒有錯誤感恩感恩!!
已知有一個正四面體的四頂點落在兩歪斜線\(L_1\)：\(\displaystyle \frac{x-3}{2}=\frac{y+1}{-2}=z-2\)與\(L_2\)：\(2x=y=-2z+8\)上，求此正四面體的稜邊長？

圖片附件: 13161546_1107213009301345_195214172_o.jpg (2016-5-8 21:27, 238.91 KB) / 該附件被下載次數 4968
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3341&k=487a1cd90567e9d05aee0aac42a740eb&t=1714099880

作者: rueichi 時間: 2016-5-8 21:33

因為沒人寄信去申議所以當然沒有送分
這題一定是出錯沒問題

凡有申議者都有疑義說明
數學科沒在疑議說明中就代表沒人申議
沒申議就沒討論空間
當然也沒送分的可能
應該是這樣

作者: Ksj 時間: 2016-5-8 21:41 標題: 回復 24# Ksj 的帖子

兩題都寫出來了....考試真的不能太緊張..................有點想撞牆.............

作者: Ksj 時間: 2016-5-8 21:41 標題: 回復 25# rueichi 的帖子

我也是這樣想雖然其實我看不懂為甚麼題目有問題哈哈哈哈我太弱了

作者: eyeready 時間: 2016-5-8 22:34

今天終於都訂正完了，但選擇8耗不少時間，想請問各位神人有沒有快ㄧ點的方法

設\(k\)為自然數，已知直線\(2x+3y=k\)在第一象限內恰有122個格子點，則\(k\)的可能值有幾個？(A)5個　(B)6個　(C)7個　(D)8個

99建中考過感謝 thepiano 提供快速解決方法
http://lyingheart6174.pixnet.net/blog/post/5121790

感謝cefeprime老師的解說，小弟算的方式就刪了，就不獻丑了！

作者: thepiano 時間: 2016-5-8 22:51 標題: 回復 28# eyeready 的帖子

這題的類似題，99建中考過，填充第2題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1124&extra=&page=1
老王老師有妙解

作者: eyeready 時間: 2016-5-8 22:53 標題: 回復 29# thepiano 的帖子

@@"時間點蠻巧妙的

作者: chiang 時間: 2016-5-8 23:18 標題: 請教填充第三題

請大大解惑
謝謝您

作者: eyeready 時間: 2016-5-8 23:38 標題: 回復 31# chiang 的帖子

参考看看，記得高中講義好像有
填充3.
若\((x,y)\)為不等式組\(\cases{x+7y-4\ge 0 \cr 4x-5y+17\ge 0\cr 5x+2y-20\le 0}\)所表示圖形上的任一點，且\(k=ax-y\)在\((4,0)\)有最小值時，則實數\(a\)的範圍為　　　。

圖片附件: image.jpg (2016-5-8 23:38, 974.74 KB) / 該附件被下載次數 5498
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3343&k=20ac0ca86bb2af6f63869b67e1a1522e&t=1714099880

作者: jackyxul4 時間: 2016-5-8 23:44

引用:

原帖由 rueichi 於 2016-5-8 09:33 PM 發表
因為沒人寄信去申議所以當然沒有送分
這題一定是出錯沒問題

凡有申議者都有疑義說明
數學科沒在疑議說明中就代表沒人申議
沒申議就沒討論空間
當然也沒送分的可能
應該是這樣 ...

我很確定有人去申訴
因為我有去申訴.....

不過我沒有提出書名、作者頁次那些東西
只有寫了一個證明在後面

難道這樣還不行嗎?

如果是其他科還好，數學科的東西考一個衍伸出來的性質，要怎麼找書本找的第幾頁來佐證?

明天早上再打電話給主辦單位問問看

作者: cefepime 時間: 2016-5-9 00:07

選擇題 8. 已知直線 2x + 3y = k 在第一象限內恰有 122 個格子點，則 k 的可能值有幾個 ?

(代數觀點) :

2x + 3y = k 整數解為 ( a + 3t , b - 2t )，這裡 (a, b) 是一組整數解，t ∈ Z

令 (a , b) 為正整數解中，x 值最小者 ⇔ 0 < a ≤ 3

恰有 122 組正整數解 ⇔ 2*121 < b ≤ 2*122

一組 ( a, b ) 對應一個 k ⇒ k 有 3*2 = 6 個可能值

是以，如同老王老師所述，本題滿足第一象限內恰有 c (>0 的常數) 個格子點的 k，皆有 6 個可能值。

引申: p, q, k ∈ N，已知直線 px + qy = k 在第一象限內恰有 c (>0 的常數) 個格子點，則 k 的可能值有 pq /d² 個，在此 d = (p, q)。

如欲用老王老師的妙解 (見28樓的連結)，方形的長寬分別取 q/d，p/d (而非 q，p)。

[ 本帖最後由 cefepime 於 2016-5-9 04:42 PM 編輯 ]

作者: 陳富慶 時間: 2016-5-9 09:33 標題: 回復 28# eyeready 的帖子

為何要刪？大家都是分享、交流罷了，解法沒甚麼好壞之分啊～

看的人自己會篩選要不要這樣解：)

還有，如果有解錯或想錯的地方，讓大家指正也是一種學習，沒甚麼啦，老師也不是不會解錯的：)

作者: 陳富慶 時間: 2016-5-9 09:43 標題: 分享與學習

如標題，解不好或解錯，大家也不會見怪吧！

在這裡獲益良多，感謝大家！

作者: jackyxul4 時間: 2016-5-9 10:44 標題: 回復 33# jackyxul4 的帖子

今天打電話過去問，回復的大意是這樣

主辦單位是有收到計算第一題的申訴

出題委員也有進行相關處理

只是計算題本來就是不公告答案的

作者: thepiano 時間: 2016-5-9 11:04 標題: 回復 37# jackyxul4 的帖子

小弟剛剛也打了電話去反映，對方的回應也如信哥老師所說

不過我直接請他們把題目錯誤的地方反映給出題老師，並告訴他們這跟公不公布答案無關，是題目本身就錯了，且這題 8 分，會影響到很多人，請他們審慎處理

小弟猜，有些人看到題目錯誤就跳過，等送分了

[ 本帖最後由 thepiano 於 2016-5-9 11:05 AM 編輯 ]

作者: Sandy 時間: 2016-5-9 16:54 標題: 回復 8# csihcs 的帖子

填充6
設\(P\)是正方形\(ABCD\)內部一點，且\(P\)到\(A\)、\(B\)、\(C\)三頂點的距離分別為1、2、3，求此正方形的面積為　　　。

提供另一做法將三角形APB逆時針轉90˚

可得三角形AP'B 其中角PBP'=90˚

PP'=2√2

三角形CPP' 再利用邊長可得角PP'C=90˚

角BP'C=135˚

最後用餘弦定理得得BC²=5+2√2

順便問一下填充5 算得答案總是不對，謝謝

[ 本帖最後由 Sandy 於 2016-5-9 05:06 PM 編輯 ]

作者: eyeready 時間: 2016-5-9 17:59 標題: 回復 39# Sandy 的帖子

103學測的類似題
填充5.
有一個房間的地面是由12個正方形所組成。今想用長方形瓷磚舖滿地面，已知每一塊長方形瓷磚可以覆蓋兩個相鄰的正方形，即☐☐或\(\matrix{☐\cr☐}\)。則用6塊瓷磚舖滿房間地面的方法有　　　種
☐☐☐☐
☐☐☐☐
　☐☐
　☐☐

圖片附件: image.jpg (2016-5-9 17:59, 836.2 KB) / 該附件被下載次數 5403
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3346&k=234b237f47b97905f3db390e864b1bdf&t=1714099880

作者: Ksj 時間: 2016-5-9 19:26

在這邊提供不同的想法=）

圖片附件: image.jpeg (2016-5-9 22:21, 193.21 KB) / 該附件被下載次數 3975
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3347&k=5c8be22fcdba65aab77f09fb99f97a73&t=1714099880

作者: Ellipse 時間: 2016-5-9 22:56

引用:

原帖由 thepiano 於 2016-5-9 11:04 AM 發表
小弟剛剛也打了電話去反映，對方的回應也如信哥老師所說

不過我直接請他們把題目錯誤的地方反映給出題老師，並告訴他們這跟公不公布答案無關，是題目本身就錯了，且這題 8 分，會影響到很多人，請他們審慎處理

小弟猜，有些人看 ...

希望出題老師出題要謹慎達到零錯誤
不然沒注意(或緊張)的考生浪費在這題許多時間
其他部分可能來不及寫完,結果大家這題都送分
對那些考生來講很吃虧

作者: tuhunger 時間: 2016-5-10 00:17 標題: 單選2,3,4,5,6,7

補上版上尚未討論之單選題。
忙中若有錯，請不吝指教

圖片附件: 2016-05-10 00.06.06.jpg (2016-5-10 00:17, 349.17 KB) / 該附件被下載次數 4986
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3348&k=7f09bf79e72910afd95068c29a54541b&t=1714099880

作者: iamcfg 時間: 2016-5-10 00:34 標題: 回復 43# tuhunger 的帖子

單選5 我用1- AC奇奇-AC偶偶

作者: cefepime 時間: 2016-5-10 01:55

感謝 tuhunger 老師提供解法!

個人心得:

單選5.
擲一個公正骰子三次，所擲出的點數依序為\(a\)、\(b\)、\(c\)，則使得多項式\(\displaystyle f(x)=a\cdot\frac{(x-2)(x-3)}{(1-2)(1-3)}+b\cdot\frac{(x-1)(x-3)}{(2-1)(2-3)}+c\cdot\frac{(x-1)(x-2)}{(3-1)(3-2)}\)為二次函數的機率為？
(A)\(\displaystyle \frac{8}{9}\)　(B)\(\displaystyle \frac{11}{12}\)　(C)\(\displaystyle \frac{23}{24}\)　(D)\(\displaystyle \frac{67}{72}\)
f(x) 非二次函數 ⇔ a, b, c 依序呈等差 ⇒ 共 2*3*3 種情形 ( 2: a, c 同奇或同偶，3: a 的選擇，3: c 的選擇)，其機率 = 1/12。

所求 = 11/12 ⇒ 選 (B)

單選題 6.
有\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)、\(E\)五個觀光站，今規劃5天的觀光路線，每一天只觀光一站，且隔天必到另一站觀光，而每一站觀光次數不限。求第一天在\(A\)站，第5天在\(C\)站的觀光路線安排，共有幾種方法？(A)50　(B)51　(C)52　(D)53
投機猜法: 因 A, C 無法佔滿 5 天，故答案必是 3 的倍數 (B, D, E 地位平等) ⇒ 選 (B)

另解: 題意等同於 "環狀塗色，相鄰異色" 之方法數問題，只是固定了 2 個相鄰區域。若記得該問題之解，可逕用:

( 4⁵ - 4 ) / 5*4 = 51 ⇒ 選 (B)

作者: Sandy 時間: 2016-5-10 15:23 標題: 回復 36# 陳富慶的帖子

我的k範圍是在733~738

和您的奇數討論似乎有所不同，

想請教你們算出來的k值是多少，謝謝

另，謝謝everyday 與Ksj 的解答

附上我的寫法

[ 本帖最後由 Sandy 於 2016-5-10 03:35 PM 編輯 ]

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作者: thepiano 時間: 2016-5-10 17:01 標題: 回復 1# rueichi 的帖子

計算第 1 題
確定送分了

作者: thepiano 時間: 2016-5-10 17:21 標題: 回復 45# cefepime 的帖子

選擇第6題
有\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)、\(E\)五個觀光站，今規劃5天的觀光路線，每一天只觀光一站，且隔天必到另一站觀光，而每一站觀光次數不限。求第一天在\(A\)站，第5天在\(C\)站的觀光路線安排，共有幾種方法？(A)50　(B)51　(C)52　(D)53
[解答]
遞迴的做法
設\({{a}_{n}}\)是n天中，第一天在A，第n天在C的觀光路線安排方法數
易知\({{a}_{2}}=1,{{a}_{3}}=3\)
若第n天排C，第n+2天也排C，則第n+1天有4種排法
若第n+1天排C，則第n天排C以外的其中之一，此時在第n天和第n+1天之間可插入3種排法，變成n+2天的排法
故\({{a}_{n+2}}=4{{a}_{n}}+3{{a}_{n+1}}\)
\(\begin{align}
& {{a}_{n}}=\frac{{{4}^{n-1}}+{{\left( -1 \right)}^{n}}}{5} \\
& {{a}_{5}}=51 \\
\end{align}\)

作者: sega0806 時間: 2016-5-10 21:37

計算第一題確定白算了...

作者: tuhunger 時間: 2016-5-10 22:58 標題: 複選

補上版上尚未討論之複選題。
忙中若有錯，請不吝指教

p.s.寫太快跳題了，請注意題號

[ 本帖最後由 tuhunger 於 2016-5-10 11:04 PM 編輯 ]

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作者: tuhunger 時間: 2016-5-10 23:32 標題: 填充1,2,4,9

補上版上尚未討論之填充題。
忙中若有錯，請不吝指教

p.s. 填充6小弟在104松山有補充四個解法，供各位參考

[ 本帖最後由 tuhunger 於 2016-5-11 12:04 AM 編輯 ]

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作者: ASDGOD 時間: 2016-5-11 00:44 標題: 回復 50# tuhunger 的帖子

多選第10題，D應該不是10-A，因為第二項不合，看起來不是線性關係。

作者: hsifeht 時間: 2016-5-11 01:08 標題: 回復 51# tuhunger 的帖子

tuhunger老師您好
小弟弄不懂填充9
也看不出藍紅黑筆顏色的重點
覺得填充9的算法好簡潔
這個矩陣有名字嗎？
可否請老師在仔細說明一下，謝謝！

作者: tuhunger 時間: 2016-5-11 01:35 標題: 回復 53# hsifeht 的帖子

1.回風行者:sorry,小弟眼殘，感謝指導

2.回樓上:馬可夫矩陣之質量不變定律，
經過幾次轉移，總個數不會變。
所以只要把(原個數)x4^5即可

作者: csihcs 時間: 2016-5-11 09:50

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作者: hsifeht 時間: 2016-5-11 16:02 標題: 回復 54# tuhunger 的帖子

謝謝tuhunger老師
小弟我又學習到這個性質了 !! 感謝 !!

作者: jackyxul4 時間: 2016-5-12 11:17 標題: 回復 46# Sandy 的帖子

你的解法是錯的，36# 陳富慶的帖子是對的只是不夠簡潔

雖然有122個格子點的有6個，但這6個的t值並不全相同。
舉例，有一個格子點的2x+3y=k，k=5,7,8,9,10,12

比較簡潔的做法，你可以先證明2x+3y=k和2x+3y=k+6所包含的格子點必差1
已知有一個格子點的2x+3y=t，t=5,7,8,9,10,12
去推有122個格子點的k=121*6+t , t=5,7,8,9,10,12
可得K=731,733,734,735,736,738

作者: studentJ 時間: 2016-5-13 15:11 標題: 回復 7# eyeready 的帖子

請問老師，填充8在乘上一個行列式的值的原因是什麼，另外這題有其他算法嗎?

感謝

作者: eyeready 時間: 2016-5-13 16:45

高中第四冊 3-4
原面積乘上矩陣行列式值等於線性變換後的面積
這方法應該是最快的了，如果有更快的，小弟也想知道

[ 本帖最後由 eyeready 於 2016-5-13 04:49 PM 編輯 ]

作者: 六道 時間: 2016-5-13 19:58 標題: 回復 51# tuhunger 的帖子

謝謝阿基鴻德老師賜教

作者: d3054487667 時間: 2016-6-30 12:21

引用:

原帖由 tuhunger 於 2016-5-11 01:35 AM 發表
1.回風行者:sorry,小弟眼殘，感謝指導

2.回樓上:馬可夫矩陣之質量不變定律，
經過幾次轉移，總個數不會變。
所以只要把(原個數)x4^5即可

阿基鴻德老師，想請教有"馬可夫矩陣之質量不變定律"相關文章或定裡可以看嗎?還是不能理解這題，謝謝

作者: raven 時間: 2016-6-30 13:10

我認為可以用
1.轉移矩陣^n亦為轉移矩陣
2.轉移矩陣*機率矩陣=機率矩陣 (機率矩陣行上各元之和=1)
3.矩陣乘法各行向量的獨立性
去思考，不知是否有誤?

作者: peter0210 時間: 2016-10-14 22:48

單選8
設\(k\)為自然數，已知直線\(2x+3y=k\)在第一象限內恰有122個格子點，則\(k\)的可能值有幾個？(A)5個 (B)6個 (C)7個 (D)8個
自己想的笨方法

圖片附件: 單選8.jpg (2016-10-14 22:48, 119.37 KB) / 該附件被下載次數 4444
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3638&k=61efdef23024e4c3f378a4eefeab3747&t=1714099880

作者: nanpolend 時間: 2020-5-11 08:46 標題: 回復 1# rueichi 的帖子

請教填充題6

作者: yi4012 時間: 2020-5-11 09:18 標題: 回復 64# nanpolend 的帖子

填充6.
設\(P\)是正方形\(ABCD\)內部一點，且\(P\)到\(A\)、\(B\)、\(C\)三頂點的距離分別為1、2、3，求此正方形的面積為　　　。

利用角度互餘，PBC+PBA=90度，兩者sin和cos值相反
假設邊長為x，令角PBC為α
看三角形PBC和三角形PAB
邊長為x，2，3和x，1，2
三角形PBC中：
2^2+X^2-2*2*X*cosα=3^2
三角形PBA中：
2^2+X^2-2*2*X*sinα=1^2
所以sinα=(x^2+3)/(4x)
cosα=(X^2-5)/(4X)
兩者平方和為1，且X^2>5
可得X^2=5+2根號2
因為是要求X^2，所以算到這兒就可以了

[ 本帖最後由 yi4012 於 2020-5-11 09:21 編輯 ]

作者: nanpolend 時間: 2020-5-11 19:18 標題: 回復 1# rueichi 的帖子

請教填充題7

作者: Lopez 時間: 2020-5-11 20:52 標題: 回復 66# nanpolend 的帖子

填充7.
設\(\Delta ABC\)是邊長為2的正三角形，已知\(P\)為\(\overline{AB}\)上一點，\(Q\)為\(\overline{BC}\)上一點，且\(\overline{AP}+\overline{CQ}=1\)。\(∠BPQ=45^{\circ}\)，則\(\Delta BPQ\)的面積為　　　。

設 AP=x
則 CQ=1-x , BP=2-x , BQ = 1+x
作 QR 垂直 BP 於 R
則 ΔBQR內角60-30-90度, ΔPQR內角45-45-90度
可得 BR=(1+x)/2 , QR=PR=(√3 /2)(1+x)
2-x = BP = BR + PR = (1+x)/2 + (√3 /2)(1+x)
解得 x = 2 -√3
剩下的請自己算...

作者: nanpolend 時間: 2020-5-11 22:00 標題: 回復 1# rueichi 的帖子

感謝各位老師練習過一遍

作者: tenlong1000 時間: 2020-10-27 14:46

105-全國高中教師聯招(詳解整理)

附件: 105-全國高中教師聯招(詳解整理).pdf (2020-10-27 14:46, 406.48 KB) / 該附件被下載次數 4258
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