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10.

(1)試證：$$FM⊥AB$$
(2)請問$$\lambda=$$？時，$$\Delta ABM$$面積有最小值。
[解答]
$$\displaystyle A\left( a,\frac{{{a}^{2}}}{4} \right),B\left( b,\frac{{{b}^{2}}}{4} \right),a>0>b$$

$$M$$是直線$$MA$$和$$MB$$的交點

2.

(1)求首項$$a_1$$
(2)求一般項$$a_n$$
(3)設$$\displaystyle T_n=\frac{2^n}{S_n}$$，$$n=1,2,3,\ldots$$，證明：$$\displaystyle \sum_{i=1}^n T_i<\frac{3}{2}$$

2-3
\begin{align} & {{a}_{n}}={{4}^{n}}-{{2}^{n}} \\ & \\ & {{T}_{n}}=\frac{{{2}^{n}}}{{{S}_{n}}}=\frac{{{2}^{n}}}{\sum\limits_{k=1}^{n}{\left( {{4}^{k}}-{{2}^{k}} \right)}}=\frac{{{2}^{n}}}{\frac{4}{3}\left( {{4}^{n}}-1 \right)-2\left( {{2}^{n}}-1 \right)} \\ & =\frac{3\times {{2}^{n}}}{{{4}^{n+1}}-4-3\times {{2}^{n+1}}+6} \\ & =\frac{3}{2}\times \frac{{{2}^{n}}}{2\times {{2}^{2n}}-3\times {{2}^{n}}+1} \\ & =\frac{3}{2}\times \frac{{{2}^{n}}}{\left( {{2}^{n}}-1 \right)\left( {{2}^{n+1}}-1 \right)} \\ & =\frac{3}{2}\left( \frac{1}{{{2}^{n}}-1}-\frac{1}{{{2}^{n+1}}-1} \right) \\ & \\ & \sum\limits_{i=1}^{n}{{{T}_{i}}}=\frac{3}{2}\left( 1-\frac{1}{{{2}^{n+1}}-1} \right)<\frac{3}{2} \\ \end{align}

2-2
\begin{align} & {{a}_{n}}={{S}_{n}}-{{S}_{n-1}} \\ & =\frac{4}{3}{{a}_{n}}-\frac{{{2}^{n+1}}}{3}+\frac{2}{3}-\left( \frac{4}{3}{{a}_{n-1}}-\frac{{{2}^{n}}}{3}+\frac{2}{3} \right) \\ & =\frac{4}{3}{{a}_{n}}-\frac{4}{3}{{a}_{n-1}}-\frac{{{2}^{n}}}{3} \\ & {{a}_{n}}=4{{a}_{n-1}}+{{2}^{n}} \\ & {{a}_{n}}+{{2}^{n}}=4\left( {{a}_{n-1}}+{{2}^{n-1}} \right) \\ & \\ & {{a}_{2}}+{{2}^{2}}=4\left( {{a}_{1}}+2 \right) \\ & {{a}_{3}}+{{2}^{3}}=4\left( {{a}_{2}}+{{2}^{2}} \right) \\ & : \\ & : \\ & {{a}_{n}}+{{2}^{n}}=4\left( {{a}_{n-1}}+{{2}^{n-1}} \right) \\ & \\ & {{a}_{n}}+{{2}^{n}}={{4}^{n-1}}\times \left( 2+2 \right) \\ & {{a}_{n}}={{4}^{n}}-{{2}^{n}} \\ \end{align}

\begin{align} & f\left( x \right)={{x}^{2}}+ax+1 \\ & \left( 1 \right)\ 0<-\frac{a}{2}<\frac{1}{2}\quad ,\quad -\frac{{{a}^{2}}-4}{4}\ge 0 \\ & \left( 2 \right)\ -\frac{a}{2}\ge \frac{1}{2}\quad ,\quad f\left( \frac{1}{2} \right)=\frac{1}{4}+\frac{a}{2}+1\ge 0 \\ & \left( 3 \right)\ -\frac{a}{2}\le 0\quad ,\quad f\left( 0 \right)=1\ge 0 \\ \end{align}

x的兩根就是a，b  由根與係數得到ab=-4

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