標題:
[請教]空間中,求和四面體ABCD的四頂點等距的平面有多少個?
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作者:
Lingling02
時間:
2015-9-9 23:47
標題:
[請教]空間中,求和四面體ABCD的四頂點等距的平面有多少個?
]空間中,ABCD不共面，求與四面體ABCD的四個頂點距離都相等的平面有多少個?
111.3.25補充
與四面體\(ABCD\)的四個頂點等距離的平面共有
個。
(89高中數學能力競賽第一區筆試二)
113.5.25補充
給定空間中6點，其中任四點不共面，則至多有
個相異的平面恰與其中四點等距。
(101台中二中，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1367&page=1#pid5714
)
作者:
cefepime
時間:
2015-9-11 22:09
空間中，A, B, C, D 不共面，求與四面體 ABCD 的四個頂點距離都相等的平面有多少個?
先思考基本要素:
空間中，與平面 E 距離 = d (d > 0) 的所有點，形成 2 個平面 E
1
與 E
2
。 E
1
，E
2
與 E 平行，位於 E 的相異側，且與 E 距離 = d。
進而，若點 A, B 與平面 E 距離 = d 且位於 E 的相同側，則向量 AB 垂直 E 的法向量; 而若 A, B 位於 E 的相異側，則 E 過 A, B 的中點。
以下考慮與不共面四點 A, B, C, D 距離都相等的平面 E 的個數，依照四點在 E 的同異側，分為 (4, 0)，(3,1)，(2,2) 三種情形 (顯然 A, B, C, D 皆不在 E 上)。
case 1: (4, 0) 則 A, B, C, D 共面，不合。
case 2: (3, 1) 如: {A, B, C} 與 {D} ，則 E 平行 A, B, C 所決定的平面 ( A, B, C 必不共線)，且過 A, D 的中點，故 E 恰有 1 個。由於本類有 4 種分組方式，故 (3, 1) 類共有
4
個平面E。
case 3: (2, 2) 如: {A, B} 與 {C, D} ，則 E 的法向量垂直向量 AB 與向量 CD (向量 AB 與向量 CD 必不平行)，且過 A, C 的中點，故 E 恰有 1 個。由於本類有 3 種分組方式，故 (2, 2) 類共有
3
個平面E。
綜上，所求平面共有
7
個。
(類似地，平面上，與不共線三點等距的直線共 3 條)
作者:
jmath2021
時間:
2021-12-5 15:56
標題:
高二數學
與四面體四頂點等距的平面有7個
哪位高手幫忙 解說
多~謝
作者:
satsuki931000
時間:
2021-12-5 21:01
標題:
回復 1# jmath2021 的帖子
正四面體?
平面兩側分別為1，3個頂點:4個
過兩對邊歪斜線 兩側各兩個:3個
作者:
thepiano
時間:
2021-12-5 21:40
標題:
回復 1# jmath2021 的帖子
參考 cefepime 老師的說明
https://math.pro/db/thread-2352-1-1.html
作者:
jmath2021
時間:
2021-12-5 21:50
是一般的四面體
多謝
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