空間中，A, B, C, D 不共面，求與四面體 ABCD 的四個頂點距離都相等的平面有多少個?
先思考基本要素:
空間中，與平面 E 距離 = d (d > 0) 的所有點，形成 2 個平面 E1 與 E2。 E1 ，E2 與 E 平行，位於 E 的相異側，且與 E 距離 = d。
進而，若點 A, B 與平面 E 距離 = d 且位於 E 的相同側，則向量 AB 垂直 E 的法向量; 而若 A, B 位於 E 的相異側，則 E 過 A, B 的中點。
以下考慮與不共面四點 A, B, C, D 距離都相等的平面 E 的個數，依照四點在 E 的同異側，分為 (4, 0)，(3,1)，(2,2) 三種情形 (顯然 A, B, C, D 皆不在 E 上)。
case 1: (4, 0) 則 A, B, C, D 共面，不合。
case 2: (3, 1) 如: {A, B, C} 與 {D} ，則 E 平行 A, B, C 所決定的平面 ( A, B, C 必不共線)，且過 A, D 的中點，故 E 恰有 1 個。由於本類有 4 種分組方式，故 (3, 1) 類共有 4 個平面E。
case 3: (2, 2) 如: {A, B} 與 {C, D} ，則 E 的法向量垂直向量 AB 與向量 CD (向量 AB 與向量 CD 必不平行)，且過 A, C 的中點，故 E 恰有 1 個。由於本類有 3 種分組方式，故 (2, 2) 類共有 3 個平面E。
綜上，所求平面共有 7 個。
(類似地，平面上，與不共線三點等距的直線共 3 條)
