Math Pro 數學補給站

標題: 104楊梅高中 [打印本頁]

作者: czk0622 時間: 2015-7-8 15:53 標題: 104楊梅高中

小弟不才，只記得三題
填充4
設數列\( \langle\; a_n \rangle\;_{n=1}^{\infty} \)滿足\(a_1=2\),\(a_2=40\),\(a_3=2000\)，並設\( \displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_{n-1}}=\frac{a_{n+2}+a_{n+1}}{a_{n+1}+a_{n-1}} \)(\(n=2,3,4,\ldots\))則\( \displaystyle \frac{a_{2015}}{a_{2013}\times a_{2014}}= \)　　　。

填充10
不等式\( log_{\displaystyle \frac{1}{2}}(x^2-2x+a)>-3 \)，當\(a\)的範圍為　　　時，此不等式只有正整數解。

填充17
在平面座標上兩個座標都是整數的點稱為格子點，考慮一個三角形它的三個頂點座標為\((0,0)\),\((2n,0)\),\((0,n)\)的格子點，設\(n\)為正整數，假設這個三角形的內部恰好有81個格子點(不包含在三角形邊上的格子點)，則此三角形的面積為　　　。

作者: 瓜農自足 時間: 2015-7-8 18:13 標題: 回復 1# czk0622 的帖子

1.\( n=10\)
2.\( \displaystyle \frac{a_{3}}{a_{1}a_{2}}=50 \)
3.覺得怪，有請高手講解...
有錯煩請指正！

作者: jackyxul4 時間: 2015-7-8 20:12 標題: 回復 2# 瓜農自足的帖子

1.n應該是10
格子點總數為1+3+5+...+17，所以可以推得n=10
2.考卷上的a_2是40，算法沒錯
3.我也覺得怪

作者: czk0622 時間: 2015-7-8 20:18 標題: 回復 1# czk0622 的帖子

回想起來了，題目不是求\(n\)(正整數)，而是三角形面積

作者: thepiano 時間: 2015-7-8 20:46 標題: 回復 3# jackyxul4 的帖子

第 1 題
n 是正整數嗎？
若是的話，小弟是算\(n=10\)

第 2 題
出自 TRML 2001

作者: jackyxul4 時間: 2015-7-9 12:46 標題: 回復 5# thepiano 的帖子

恩我多算了一個19，應該是1+3+5+...+17=81
--
死定了，又多錯一題

圖片附件: 未命名.png (2015-7-9 12:46, 64.84 KB) / 該附件被下載次數 7502
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3010&k=821477d02aeaf6cfd1011735ca2714b1&t=1732258018

作者: leo790124 時間: 2015-7-9 16:08 標題: 官方試題

官方試題

附件: 104楊梅高中.pdf (2015-8-5 21:21, 373.8 KB) / 該附件被下載次數 11174
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3011&k=cb1d0a74371af30231bc6f5c2a25537f&t=1732258018

作者: leo790124 時間: 2015-7-9 16:22 標題: 回復 7# leo790124 的帖子

請益1,2,14

另問第8題
\(a=8\)的時候的解是\( 0<x<2 \) 這樣不滿足題意嗎??
答案沒有給等號T_T

謝謝

作者: thepiano 時間: 2015-7-9 16:52 標題: 回復 8# leo790124 的帖子

第1題
\( a,b,c \)為三正數，且滿足\( abc(b+c)=5 \)，則\( ab+bc+ca \)之最小值。

\(\begin{align}
& ab+bc+ca \\
& =a\left( b+c \right)+bc \\
& =\frac{5}{bc}+bc \\
& \ge 2\sqrt{5} \\
\end{align}\)

作者: leo790124 時間: 2015-7-9 17:02 標題: 回復 9# thepiano 的帖子

疑如果是這樣那\(a=8 \)應該也對吧!!!!!啊哈
考得當下也有覺得題意很怪+1

作者: peter0210 時間: 2015-7-11 11:50

第19題
\( \displaystyle a=\frac{tan \theta-sec \theta+1}{tan \theta+sec \theta-1} \)，若\( a \)是\( x^4-3x^3+2x^2-3x+1=0 \)的解，求\( sin \theta= \)　　　。

我算出兩個解怎麼判斷負的是不對的呢？再麻煩各位謝謝

圖片附件: 19.jpg (2015-7-11 11:50, 1.15 MB) / 該附件被下載次數 5434
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3013&k=28cfee6d08c36323418dd1c41d0ef730&t=1732258018

作者: thepiano 時間: 2015-7-11 15:42 標題: 回復 13# peter0210 的帖子

您式子中的\( \displaystyle t=\frac{1+a}{1-a}\)，應是\(\displaystyle t=\frac{1-a}{1+a}\)
不過小弟覺得這題的\(\sin \theta \)應該也可以是\(\displaystyle -\frac{\sqrt{5}}{3}\)才對啊？

作者: wrty2451 時間: 2015-7-11 16:17

請教12與16
謝謝^^~

作者: thepiano 時間: 2015-7-11 17:41 標題: 回復 15# wrty2451 的帖子

第 12 題
已知\( \Delta ABC \)中，\( ∠BAC=40^{\circ} \)，\( \overline{AB}=8 \)，\( \overline{AC}=6 \)，若\( D,E \)分別在\( \overline{AB} \)及\( \overline{AC} \)上則\( \overline{BE}+\overline{DE}+\overline{CD} \)最小可能的值為　　　。

作 B 關於 AC 的對應點 B'
作 C 關於 AB 的對應點 C'
所求為 B'C'，連 AB' 和 AC'，再用餘弦定理

第16題
求\( \displaystyle y=\frac{3}{2}x-\frac{1}{2} \)和\( y=\sqrt{2x^2-1} \)所圍成的區域繞\( x \)軸旋轉的旋轉體體積為　　　。

\(\left( \int_{1}^{5}{{{\left( \sqrt{2{{x}^{2}}-1} \right)}^{2}}dx-\int_{1}^{5}{{{\left( \frac{3}{2}x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}dx}} \right)\pi \)

作者: 陳盈諭 時間: 2015-7-14 15:45

第9題
周長為10的直角三角形，其面積的最大值為　　　。

請問有其他的解法嗎？

我的解法:
令2股為\(a,b\)，解面積的極大化問題，在周長=10的條件下。
微分算一皆條件=0。

作者: thepiano 時間: 2015-7-14 16:03 標題: 回復 17# 陳盈諭的帖子

兩股長a、b，斜邊長c
\(\begin{align}
& {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge 2ab \\
& c\ge \sqrt{2}\sqrt{ab} \\
\end{align}\)

由算幾\(a+b\ge 2\sqrt{ab}\)

\(\begin{align}
& a+b+c\ge \left( 2+\sqrt{2} \right)\sqrt{ab} \\
& \sqrt{ab}\le \frac{10}{2+\sqrt{2}} \\
& \frac{ab}{2}\le 25\left( 3-2\sqrt{2} \right) \\
\end{align}\)
以上等號都成立於\(a=b\)

作者: 陳盈諭 時間: 2015-7-14 17:19 標題: 回復 13# peter0210 的帖子

(錯了，樓下鋼琴大有反例)負的應該"不合"

你可以把\(a\)整理成下面這樣比較容易看，則\(a<1\) 所以\(\displaystyle a=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\)
-------------------------------------------------------------------------------------
註:下面分母大於分子時，該分數不一定小於1，要看分母的正負號。<---沒考慮到。
\(\displaystyle \frac{tan\theta-sec\theta+1}{tan\theta+sec\theta-1}\times
\frac{cos\theta}{cos\theta}\)
\(\displaystyle =\frac{sin\theta-1+cos\theta}{sin\theta+1-cos\theta}\)
\(\displaystyle =\frac{sin\theta-(1-cos\theta)}{sin\theta+(1-cos\theta)}\)

作者: thepiano 時間: 2015-7-14 17:43 標題: 回復 19# 陳盈諭的帖子

\(\begin{align}
& \theta =-\frac{\pi }{4} \\
& \frac{\sin \theta -\left( 1-\cos \theta \right)}{\sin \theta +\left( 1-\cos \theta \right)}=\sqrt{2}+1>1 \\
\end{align}\)

作者: valkyriea 時間: 2015-7-15 10:35 標題: 回復 13# peter0210 的帖子

提供另解
如圖，答案應該是正負皆可

圖片附件: 12345.png (2015-7-15 10:35, 11.05 KB) / 該附件被下載次數 6070
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3016&k=913709ec8b85ad4d9c57f54ead503bb5&t=1732258018

作者: martinofncku 時間: 2015-7-16 13:49

16
請問老師, 這一題是要把以下這個式子積分出來嗎?
\( \displaystyle \int_{1}^{5}[\sqrt{2x^{2}-1}-(\frac{3}{2}x-\frac{1}{2})]dx\)

作者: thepiano 時間: 2015-7-16 14:24 標題: 回復 22# martinofncku 的帖子

前一頁有

作者: martinofncku 時間: 2015-7-16 16:10

謝謝老師

作者: exin0955 時間: 2015-12-18 13:47 標題: 回復 14# thepiano 的帖子

想請問鋼琴老師 12.餘弦定理列出三個等式我就卡住了
另外想請益3.4.13.的想法

作者: thepiano 時間: 2015-12-18 16:33 標題: 回復 23# exin0955 的帖子

第 12 題
已知\(\Delta ABC\)中，\(\angle BAC=40^{\circ}\)，\(\overline{AB}=8\)，\(\overline{AC}=6\)，若\(D,E\)分別在\(\overline{AB}\)及\(\overline{AC}\)上則\(\overline{BE}+\overline{DE}+\overline{CD}\)最小可能的值為　　　。
[解答]
AB' = AB = 8
AC' = AC = 6
∠C'AB' = 3∠BAC = 120 度
對 △AB'C' 用餘弦定理即可求出 B'C' = 2√37

作者: exin0955 時間: 2015-12-18 16:57 標題: 回復 24# thepiano 的帖子

懂了謝謝鋼琴老師

作者: thepiano 時間: 2015-12-18 17:44 標題: 回復 23# exin0955 的帖子

第3題
設\(<a_n>\)為一數列，其中\(a_1=1\)當\(n>1\)，\(a_{2n}=2a_n-1\)，\(a_{2n+1}=2a_n+1\)，則\(a_{2^{2015}+1}=\)　　　。
[解答]
\(\begin{align}
& {{a}_{{{2}^{2015}}+1}} \\
& =2{{a}_{{{2}^{2014}}}}+1 \\
& =2\left( 2{{a}_{{{2}^{2013}}}}-1 \right)+1 \\
& ={{2}^{2}}{{a}_{{{2}^{2013}}}}-2+1 \\
& ={{2}^{3}}{{a}_{{{2}^{2012}}}}-{{2}^{2}}-2+1 \\
& ={{2}^{2015}}{{a}_{1}}-{{2}^{2014}}-{{2}^{2013}}-\cdots \cdots -{{2}^{2}}-2+1 \\
& =3 \\
\end{align}\)

第4題
TRML 2001 個人賽第 2 題

第13題
高中數學競賽教程 P235

作者: acc10033 時間: 2016-4-11 18:44

想問第二題

作者: thepiano 時間: 2016-4-11 20:19 標題: 回復 27# acc10033 的帖子

第 2 題
已知一球面上有四點\(A,B,C,D\)且\(\overline{AB},\overline{AC},\overline{AD}\)兩兩垂直，\(\overline{AB}=3,\overline{AC}=4,\overline{AD}=5\)，則此球體的體積　　　。
[解答]
考慮球內接長方體
AB,AC,AD 分別是此長方體的長、寬、高
球直徑 = 長方體對角線長

球面上有四點\(P,A,B,C\)，且\(\overline{PA},\overline{PB},\overline{PC}\)兩兩垂直，\(\overline{PA}=2,\overline{PB}=3,\overline{PC}=6\)，求此球體的體積。
(97國立大里高中，https://math.pro/db/thread-2402-1-1.html)

111.1.27新增圖片

圖片附件: 球面上4點連成3個線段兩兩垂直.gif (2022-1-27 21:13, 25.58 KB) / 該附件被下載次數 3114
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6187&k=2a4d1a7f5e1e1fb32a866edcb8021042&t=1732258018

附件: 球面上4點連成3個線段兩兩垂直SketchUp檔.zip (2022-1-27 21:13, 49.44 KB) / 該附件被下載次數 3954
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6188&k=55e769ebf26e747fdbdc1314a232c5bd&t=1732258018

作者: Chen 時間: 2017-4-2 23:27

第10題，我想題目有誤，
怎麼可能有\(a\)使得它只有正整數解？！
第14題，不大瞭解題目的意思@@

作者: thepiano 時間: 2017-4-3 07:25 標題: 回復 29# Chen 的帖子

第 10 題
不等式\(\displaystyle log_{\frac{1}{2}}x^2-2x+a>-3\)，當\(a\)的範圍為　　　時，此不等式只有正整數解。
題目有誤，最後一句應是 "此不等式只有 1 個正整數解"

第 14 題
已知甲乙兩地間有3處紅綠燈，紅綠燈每1分鐘循環1次，且設出現綠燈的時間分別為40秒、45秒、50 秒，若汽車遵守交通規則，今由甲地到乙地若只遇一次紅燈，則是第三個紅燈的機率為　　　。
[解答]
參考 http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&p=13438

作者: Chen 時間: 2017-4-3 12:28

第15題，

有的時候丟兩次就停止了，分母不該是 6^3。丟不到第三次。

我覺得這題是在丟三次的條件下，算條件機率。那麼答案應該是 5/18。

作者: anyway13 時間: 2021-11-11 10:42 標題: 請問第七題

甲乙兩人以"剪刀、石頭、布"猜拳，規定先贏3場為勝，但平手也算猜一次，則在5次猜拳以內能分出勝負的機率為　　　。
[解答]
板上老師好，請問第七題不知道哪裡有少算到。過程如附件，感謝。

圖片附件: 1.jpg (2022-1-27 10:35, 1.48 MB) / 該附件被下載次數 2745
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6150&k=14c94b618259ba52796b2e2d54c7a09a&t=1732258018

作者: thepiano 時間: 2021-11-11 11:13 標題: 回復 32# anyway13 的帖子

您的算法有遺漏

例如甲在第四場比完後取得勝利，那有可能前三場中有一場是輸或是平手，您沒考慮到輸的情形

小弟會先算甲勝的機率

(1) 三場就勝
機率 (1/3)^3 = 1/27

(2) 到第四場才勝
機率 (1/3)^3 * (2/3) * C(3，2) = 2/27

(3) 到第五場才勝
機率 (1/3)^3 * (2/3)^2 * C(4，2) = 8/81

最後加起來乘以 2 即可

作者: anyway13 時間: 2021-11-11 15:47 標題: 回復 33# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師。老師算法簡潔有力。

歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/)

論壇程式使用 Discuz! 6.1.0